Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $980= 2^{2} \cdot 5 \cdot 7^{2} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 3 x^{17} + 7 x^{16} - 12 x^{15} + 20 x^{14} - 29 x^{13} + 39 x^{12} - 59 x^{11} + 96 x^{10} - 151 x^{9} + 210 x^{8} - 264 x^{7} + 290 x^{6} - 272 x^{5} + 216 x^{4} - 144 x^{3} + 80 x^{2} - 32 x + 8 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 7.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 16 + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12 + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 19 + \left(10 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8 + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 4 + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 11 + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19 + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 10 + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19 + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 18 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 7 + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19 + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + a + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19 + \left(5 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 3 + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 2 + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 15 + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10 + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + a\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12 + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 17 + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19 + \left(14 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6 + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19 + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 17 + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{6} +O\left(19^{ 7 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,10)(2,12)(3,11)(4,17)(5,16)(6,15)(7,14)(8,13)(9,18)$ | $-2$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,11)(3,10)(6,7)(8,18)(9,13)(14,15)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,3)(2,12)(4,17)(5,16)(6,14)(7,15)(8,9)(10,11)(13,18)$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,18,15)(2,17,5)(3,13,7)(4,16,12)(6,10,9)(8,14,11)$ | $2 \zeta_{3}$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,15,18)(2,5,17)(3,7,13)(4,12,16)(6,9,10)(8,11,14)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,14,4)(2,6,13)(3,5,9)(7,17,10)(8,12,15)(11,16,18)$ | $\zeta_{3} + 1$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,14)(2,13,6)(3,9,5)(7,10,17)(8,15,12)(11,18,16)$ | $-\zeta_{3}$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,12,11)(2,3,10)(4,8,18)(5,7,6)(9,17,13)(14,15,16)$ | $-1$ | $-1$ |
| $1$ | $6$ | $(1,6,18,10,15,9)(2,16,17,12,5,4)(3,14,13,11,7,8)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,9,15,10,18,6)(2,4,5,12,17,16)(3,8,7,11,13,14)$ | $-2 \zeta_{3}$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $2$ | $6$ | $(1,2,11,10,12,3)(4,13,18,17,8,9)(5,14,6,16,7,15)$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,7,4,10,14,17)(2,15,13,12,6,8)(3,16,9,11,5,18)$ | $-\zeta_{3} - 1$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,17,14,10,4,7)(2,8,6,12,13,15)(3,18,5,11,9,16)$ | $\zeta_{3}$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,15,18)(2,7,17,3,5,13)(4,11,16,8,12,14)(6,9,10)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,18,15)(2,13,5,3,17,7)(4,14,12,8,16,11)(6,10,9)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,6,18,10,15,9)(2,14,17,11,5,8)(3,16,13,12,7,4)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,9,15,10,18,6)(2,8,5,11,17,14)(3,4,7,12,13,16)$ | $0$ | $0$ |