Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $140= 2^{2} \cdot 5 \cdot 7 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 6 x^{17} + 28 x^{16} - 102 x^{15} + 296 x^{14} - 696 x^{13} + 1429 x^{12} - 2684 x^{11} + 4639 x^{10} - 7178 x^{9} + 9523 x^{8} - 10268 x^{7} + 8521 x^{6} - 5202 x^{5} + 2254 x^{4} - 672 x^{3} + 133 x^{2} - 16 x + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 13 + \left(9 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 5 + \left(17 a^{5} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 2 + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19 + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 12 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a + 4\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 8 + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + a + 2\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 5 + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 18 + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a + 13 + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 14 + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a + 18\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 1 + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{4} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12 + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19 + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 12 + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 2 + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19 + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4 + \left(6 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 2 + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19 + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 3 + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 6 + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{4} + 6 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{2} + 5 a + 7 + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{7} +O\left(19^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,10)(2,11)(3,12)(4,13)(5,14)(6,15)(7,16)(8,17)(9,18)$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,12,11)(2,10,3)(4,8,18)(5,15,7)(6,16,14)(9,13,17)$ | $2 \zeta_{3}$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,11,12)(2,3,10)(4,18,8)(5,7,15)(6,14,16)(9,17,13)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,14)(2,7,9)(3,15,17)(5,13,10)(6,12,8)(11,18,16)$ | $-1$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,8,16)(2,5,17)(3,7,13)(4,6,11)(9,10,15)(12,18,14)$ | $-\zeta_{3}$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,16,8)(2,17,5)(3,13,7)(4,11,6)(9,15,10)(12,14,18)$ | $\zeta_{3} + 1$ | $-\zeta_{3}$ |
| $3$ | $6$ | $(1,2,12,10,11,3)(4,9,8,13,18,17)(5,16,15,14,7,6)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,3,11,10,12,2)(4,17,18,13,8,9)(5,6,7,14,15,16)$ | $0$ | $0$ |