LMFDB - Galois orbit of Artin representations 2.540.12t18.c

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$540$$\medspace = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 $
Artin number field:	Galois closure of 12.0.34012224000000.2
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Projective image:	$S_3$
Projective field:	Galois closure of 3.1.1620.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 6.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{6} + 10x^{3} + 11x^{2} + 11x + 2 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 8 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a + 12\right)\cdot 13 + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 5a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 11a + 8 + (8a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 4a + 12)13 + (a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 5a + 10)13^2 + (7a^5 + 8a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 7a + 8)13^3 + (2a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 2a + 5)13^4 + (7a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 5a + 8)13^5+O(13^6)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 7 a^{5} + a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12 + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a + 4\right)\cdot 13 + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 7a^5 + a^3 + 2a^2 + 10a + 12 + (10a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 12a + 4)13 + (2a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 5a + 1)13^2 + (11a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 4a + 12)13^3 + (10a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 9a + 11)13^4 + (6a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 5a + 8)13^5+O(13^6)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13 + \left(2 a^{5} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 12a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 6a + (10a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 9a + 9)13 + (2a^5 + 2a^3 + 3a^2 + 3a + 5)13^2 + (10a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 8)13^3 + (8a^5 + 6a^4 + 9a^2 + 9a + 7)13^4 + (7a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 12a^2 + a + 9)13^5+O(13^6)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{2} + a + 6 + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13 + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 2a^5 + 2a^4 + 10a^2 + a + 6 + (5a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 6a^2 + a + 7)13 + (9a^5 + 8a^4 + a^3 + 10a^2 + 10a + 9)13^2 + (2a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 11a + 4)13^3 + (5a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 9a + 7)13^4 + (7a^5 + 2a^4 + a^3 + 10a^2 + 8a + 11)*13^5+O(13^6)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 7 + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13 + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 10a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 4a + 7 + (10a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 5a + 1)13 + (5a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 9a + 6)13^2 + (4a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 11a)13^3 + (7a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 3)13^4 + (10a^5 + 12a^4 + 10a^2 + a + 3)13^5+O(13^6)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 11 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13 + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 2a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 7a + 11 + (2a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 5a + 8)13 + (10a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 5a + 11)13^2 + (4a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 9a^2 + a + 8)13^3 + (11a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 8a + 11)13^4 + (6a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 10a + 5)13^5+O(13^6)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8 + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 7a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 9a + 8 + (10a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 6a)13 + (4a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 3a + 5)13^2 + (4a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 8a + 6)13^3 + (a^5 + a^4 + 8a^3 + 7a^2 + a + 4)13^4 + (6a^5 + 8a^4 + a^3 + 3a^2 + 10)*13^5+O(13^6)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 6 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 5 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + a + 10\right)\cdot 13 + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{5} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 6a^5 + 6a^4 + 4a^2 + 3a + 5 + (11a^5 + 10a^4 + 7a^3 + a + 10)13 + (5a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 9a + 3)13^2 + (4a^5 + 3a^4 + a^3 + 3a^2 + 5a + 10)13^3 + (4a^5 + 6a^4 + 5a^2 + 2a + 6)13^4 + (8a^5 + 2a^3 + 7a^2 + 7a + 8)*13^5+O(13^6)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 8 + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13 + \left(5 a^{4} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 4a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 5a^2 + 12a + 8 + (12a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 7a + 3)13 + (5a^4 + 4a^2 + 6a + 12)13^2 + (11a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 11a + 10)13^3 + (12a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 3a + 9)13^4 + (2a^4 + 6a^3 + a^2 + 5a + 8)*13^5+O(13^6)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 11 a^{5} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 4 + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13 + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 11a^5 + 9a^3 + 5a^2 + 12a + 4 + (10a^5 + 11a^4 + 3a^2 + 7a + 4)13 + (12a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 9a + 11)13^2 + (5a^5 + a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 9a + 6)13^3 + (10a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 4a + 7)13^4 + (10a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 9a + 1)*13^5+O(13^6)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 3\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 4a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 2a + (6a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 3)13 + (4a^5 + 9a^4 + 7a^2 + a + 8)13^2 + (a^5 + 2a^4 + 11a^2 + 3a + 5)13^3 + (4a^5 + 11a^4 + 9a^3 + a^2 + 6a + 8)13^4 + (10a^5 + 12a^4 + a^2 + a + 11)*13^5+O(13^6)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + a + 11 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13 + \left(3 a^{5} + a^{3} + a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})$ 8a^5 + 6a^4 + a^3 + 11a^2 + a + 11 + (4a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 2a + 11)13 + (3a^5 + a^3 + a^2 + 8a + 4)13^2 + (10a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 2a + 7)13^3 + (3a^5 + 2a^4 + 12a^3 + a^2 + 6a + 6)13^4 + (8a^5 + a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 8a + 2)13^5+O(13^6)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,4,5)(2,3,12)(6,8,9)(7,10,11)$
$(2,3,12)(7,10,11)$
$(1,6)(2,10)(3,11)(4,8)(5,9)(7,12)$
$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character values
			$c1$	$c2$
$1$	$1$	$()$	$2$	$2$
$1$	$2$	$(1,6)(2,10)(3,11)(4,8)(5,9)(7,12)$	$-2$	$-2$
$3$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$	$0$	$0$
$3$	$2$	$(1,12)(2,4)(3,5)(6,7)(8,10)(9,11)$	$0$	$0$
$1$	$3$	$(1,4,5)(2,3,12)(6,8,9)(7,10,11)$	$2 \zeta_{3}$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$1$	$3$	$(1,5,4)(2,12,3)(6,9,8)(7,11,10)$	$-2 \zeta_{3} - 2$	$2 \zeta_{3}$
$2$	$3$	$(2,3,12)(7,10,11)$	$\zeta_{3} + 1$	$-\zeta_{3}$
$2$	$3$	$(2,12,3)(7,11,10)$	$-\zeta_{3}$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(1,4,5)(2,12,3)(6,8,9)(7,11,10)$	$-1$	$-1$
$1$	$6$	$(1,8,5,6,4,9)(2,11,12,10,3,7)$	$-2 \zeta_{3}$	$2 \zeta_{3} + 2$
$1$	$6$	$(1,9,4,6,5,8)(2,7,3,10,12,11)$	$2 \zeta_{3} + 2$	$-2 \zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,6)(2,11,12,10,3,7)(4,8)(5,9)$	$-\zeta_{3} - 1$	$\zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,6)(2,7,3,10,12,11)(4,8)(5,9)$	$\zeta_{3}$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,8,5,6,4,9)(2,7,3,10,12,11)$	$1$	$1$
$3$	$6$	$(1,10,5,7,4,11)(2,9,12,8,3,6)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,11,4,7,5,10)(2,6,3,8,12,9)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,2,5,12,4,3)(6,10,9,7,8,11)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,3,4,12,5,2)(6,11,8,7,9,10)$	$0$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.540.12t18.c
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$540$
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 8 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a + 12\right)\cdot 13 + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 5a^5 + 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 11a + 8 + (8a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 4a + 12)13 + (a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 5a + 10)13^2 + (7a^5 + 8a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 7a + 8)13^3 + (2a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 2a + 5)13^4 + (7a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 6a^2 + 5a + 8)13^5+O(13^6)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 7 a^{5} + a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12 + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a + 4\right)\cdot 13 + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 7a^5 + a^3 + 2a^2 + 10a + 12 + (10a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 12a + 4)13 + (2a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 5a + 1)13^2 + (11a^5 + 5a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 4a + 12)13^3 + (10a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 9a + 11)13^4 + (6a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 5a + 8)13^5+O(13^6)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13 + \left(2 a^{5} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 12a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 6a + (10a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 9a + 9)13 + (2a^5 + 2a^3 + 3a^2 + 3a + 5)13^2 + (10a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 8)13^3 + (8a^5 + 6a^4 + 9a^2 + 9a + 7)13^4 + (7a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 12a^2 + a + 9)13^5+O(13^6)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{2} + a + 6 + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13 + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 2a^5 + 2a^4 + 10a^2 + a + 6 + (5a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 6a^2 + a + 7)13 + (9a^5 + 8a^4 + a^3 + 10a^2 + 10a + 9)13^2 + (2a^5 + 5a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 11a + 4)13^3 + (5a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 9a + 7)13^4 + (7a^5 + 2a^4 + a^3 + 10a^2 + 8a + 11)*13^5+O(13^6)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 7 + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13 + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 10a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 4a + 7 + (10a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 5a + 1)13 + (5a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 9a + 6)13^2 + (4a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 11a)13^3 + (7a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 3)13^4 + (10a^5 + 12a^4 + 10a^2 + a + 3)13^5+O(13^6)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 11 + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13 + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 2a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 7a + 11 + (2a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 5a + 8)13 + (10a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 5a + 11)13^2 + (4a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 9a^2 + a + 8)13^3 + (11a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 8a + 11)13^4 + (6a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 10a + 5)13^5+O(13^6)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8 + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 7a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 9a + 8 + (10a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 6a)13 + (4a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 3a + 5)13^2 + (4a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 8a + 6)13^3 + (a^5 + a^4 + 8a^3 + 7a^2 + a + 4)13^4 + (6a^5 + 8a^4 + a^3 + 3a^2 + 10)*13^5+O(13^6)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 6 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 5 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + a + 10\right)\cdot 13 + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{5} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 6a^5 + 6a^4 + 4a^2 + 3a + 5 + (11a^5 + 10a^4 + 7a^3 + a + 10)13 + (5a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 9a + 3)13^2 + (4a^5 + 3a^4 + a^3 + 3a^2 + 5a + 10)13^3 + (4a^5 + 6a^4 + 5a^2 + 2a + 6)13^4 + (8a^5 + 2a^3 + 7a^2 + 7a + 8)*13^5+O(13^6)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 8 + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13 + \left(5 a^{4} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 4a^5 + 2a^4 + 11a^3 + 5a^2 + 12a + 8 + (12a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 7a + 3)13 + (5a^4 + 4a^2 + 6a + 12)13^2 + (11a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 11a + 10)13^3 + (12a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 3a + 9)13^4 + (2a^4 + 6a^3 + a^2 + 5a + 8)*13^5+O(13^6)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 11 a^{5} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 4 + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13 + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 11a^5 + 9a^3 + 5a^2 + 12a + 4 + (10a^5 + 11a^4 + 3a^2 + 7a + 4)13 + (12a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 9a + 11)13^2 + (5a^5 + a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 9a + 6)13^3 + (10a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 4a + 7)13^4 + (10a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 9a + 1)*13^5+O(13^6)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 3\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 4a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 2a + (6a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 3)13 + (4a^5 + 9a^4 + 7a^2 + a + 8)13^2 + (a^5 + 2a^4 + 11a^2 + 3a + 5)13^3 + (4a^5 + 11a^4 + 9a^3 + a^2 + 6a + 8)13^4 + (10a^5 + 12a^4 + a^2 + a + 11)*13^5+O(13^6)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + a + 11 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13 + \left(3 a^{5} + a^{3} + a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{5} +O(13^{6})\) 8a^5 + 6a^4 + a^3 + 11a^2 + a + 11 + (4a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 2a + 11)13 + (3a^5 + a^3 + a^2 + 8a + 4)13^2 + (10a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 2a + 7)13^3 + (3a^5 + 2a^4 + 12a^3 + a^2 + 6a + 6)13^4 + (8a^5 + a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 8a + 2)13^5+O(13^6)