Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $540= 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 3 x^{17} + 6 x^{16} - 15 x^{15} + 21 x^{14} - 33 x^{13} + 73 x^{12} - 123 x^{11} + 216 x^{10} - 257 x^{9} + 72 x^{8} + 171 x^{7} - 164 x^{6} - 12 x^{5} + 72 x^{4} - 19 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x + 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e2_3e2_5.6t1.2c2 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 7.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} + x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 19 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 18 + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23 + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 4 + \left(14 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23 + \left(3 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 16 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 19 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 21 + \left(21 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23 + \left(11 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + a + 3 + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23 + \left(22 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a + 13 + \left(21 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a + 21\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9 + \left(17 a^{5} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 3 + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + a + 22\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a + 19 + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 18 + \left(21 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 19 + \left(20 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23 + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 21 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23 + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 5 + \left(18 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23 + \left(18 a^{5} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 3 + \left(8 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 13 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 15 + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 21 + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23 + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 22 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 7 + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 1 + \left(5 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 10 + \left(18 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + a\right)\cdot 23 + \left(6 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,10)(2,11)(3,12)(4,13)(5,14)(6,15)(7,16)(8,17)(9,18)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,13)(2,16)(3,12)(4,10)(5,6)(7,11)(8,17)(9,18)(14,15)$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,4)(2,7)(5,15)(6,14)(10,13)(11,16)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,2,15)(3,9,17)(4,7,5)(6,10,11)(8,12,18)(13,16,14)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,15,2)(3,17,9)(4,5,7)(6,11,10)(8,18,12)(13,14,16)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,5,12)(2,4,18)(3,10,14)(6,16,17)(7,8,15)(9,11,13)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,12,5)(2,18,4)(3,14,10)(6,17,16)(7,15,8)(9,13,11)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,8)(2,7,12)(3,11,16)(5,18,15)(6,14,9)(10,13,17)$ | $-1$ |
| $1$ | $6$ | $(1,6,2,10,15,11)(3,8,9,12,17,18)(4,14,7,13,5,16)$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $6$ | $(1,11,15,10,2,6)(3,18,17,12,9,8)(4,16,5,13,7,14)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $2$ | $6$ | $(1,17,4,10,8,13)(2,3,7,11,12,16)(5,6,18,14,15,9)$ | $1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,14,12,10,5,3)(2,13,18,11,4,9)(6,7,17,15,16,8)$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,3,5,10,12,14)(2,9,4,11,18,13)(6,8,16,15,17,7)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,9,2,17,15,3)(4,14,7,13,5,16)(6,12,10,18,11,8)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,3,15,17,2,9)(4,16,5,13,7,14)(6,8,11,18,10,12)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,5,2,4,15,7)(3,17,9)(6,16,10,14,11,13)(8,18,12)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,7,15,4,2,5)(3,9,17)(6,13,11,14,10,16)(8,12,18)$ | $0$ |