Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $1476= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 41 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 28 x^{15} + 315 x^{14} + 150 x^{13} + 3095 x^{12} + 270 x^{11} + 11586 x^{10} - 1196 x^{9} + 71424 x^{8} - 109152 x^{7} + 339768 x^{6} - 252432 x^{5} + 419040 x^{4} + 59040 x^{3} + 145152 x^{2} + 20736 x + 5184 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e2_3e2_41.6t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 9.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} + x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 22 + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + a + 7 + \left(5 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23 + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 10 + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 19 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 11 + \left(17 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7 + \left(20 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23 + \left(4 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 7 + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 22 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 6 + \left(7 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23 + \left(11 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2}\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2 + \left(20 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23 + \left(18 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 10 + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23 + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 10 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 14 + \left(14 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23 + \left(15 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 5 + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23 + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 19 + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 17 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a + 10 + \left(18 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 20 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 9 a + 2 + \left(22 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 9 + \left(19 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 18 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 4 + \left(16 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23 + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 21 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 16 + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{8} +O\left(23^{ 9 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,2)(3,16)(4,7)(5,15)(6,17)(8,14)(9,10)(11,18)(12,13)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,6,4)(2,17,7)(3,18,14)(5,12,9)(8,16,11)(10,15,13)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,4,6)(2,7,17)(3,14,18)(5,9,12)(8,11,16)(10,13,15)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,12,8)(2,3,15)(4,5,11)(6,9,16)(7,14,10)(13,17,18)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,8,12)(2,15,3)(4,11,5)(6,16,9)(7,10,14)(13,18,17)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,11,9)(2,10,18)(3,7,13)(4,16,12)(5,6,8)(14,17,15)$ | $-1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,3,6,18,4,14)(2,12,17,9,7,5)(8,10,16,15,11,13)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,14,4,18,6,3)(2,5,7,9,17,12)(8,13,11,15,16,10)$ | $0$ |