Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_3$ |
| Conductor: | $924= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 2 x^{17} + 47 x^{16} - 74 x^{15} + 907 x^{14} - 1134 x^{13} + 9377 x^{12} - 9216 x^{11} + 56719 x^{10} - 43522 x^{9} + 205793 x^{8} - 125158 x^{7} + 442963 x^{6} - 223626 x^{5} + 549366 x^{4} - 241380 x^{3} + 372456 x^{2} - 127008 x + 74088 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $S_3\times C_3$ |
| Parity: | Odd |
| Determinant: | 1.2e2_3_7_11.6t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{6} + 19 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a + 7 + \left(27 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31 + \left(17 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 28 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 15 + \left(16 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 31 + \left(12 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{5} + 19 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 14 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 7 + \left(30 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31 + \left(21 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{5} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 28 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 21 a + 11 + \left(25 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31 + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 24 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 25 a + 19 + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31 + \left(29 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + a + 9 + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a + 13\right)\cdot 31 + \left(26 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{5} + a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 5 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 9 + \left(26 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 31 + \left(20 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 19 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 13 + \left(21 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31 + \left(17 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 5 + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 31 + \left(28 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 11 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 30 + \left(24 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31 + \left(26 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{5} + 29 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 22 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 22 + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31 + \left(a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 30 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a + 21 + \left(27 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31 + \left(18 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 24 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 12 + \left(17 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31 + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 8 a + 6 + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31 + \left(24 a^{5} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 25 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 7 + \left(12 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 27\right)\cdot 31 + \left(6 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 7 + \left(28 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31 + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{5} + 17 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 29 a^{5} + a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 29 + \left(20 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31 + \left(23 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{5} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 21 + \left(12 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31 + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{7} +O\left(31^{ 8 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,7)(2,8)(3,11)(4,10)(5,15)(6,9)(12,16)(13,17)(14,18)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,6,8)(2,7,9)(3,5,13)(4,12,14)(10,16,18)(11,15,17)$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $1$ | $3$ | $(1,8,6)(2,9,7)(3,13,5)(4,14,12)(10,18,16)(11,17,15)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,3,16)(2,4,17)(5,18,6)(7,12,11)(8,13,10)(9,14,15)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,5,10)(2,12,15)(3,18,8)(4,11,9)(6,13,16)(7,14,17)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,10,5)(2,15,12)(3,8,18)(4,9,11)(6,16,13)(7,17,14)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,2,6,7,8,9)(3,17,5,11,13,15)(4,18,12,10,14,16)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,9,8,7,6,2)(3,15,13,11,5,17)(4,16,14,10,12,18)$ | $0$ |