Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $S_3 \times C_6$ |
| Conductor: | $2100= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{18} - 9 x^{16} - 4 x^{15} + 30 x^{14} + 25 x^{13} + 44 x^{12} - 50 x^{11} - 304 x^{10} + 131 x^{9} + 295 x^{8} - 162 x^{7} - 65 x^{6} + 69 x^{5} - 75 x^{4} + 11 x^{3} + 28 x^{2} - 5 x - 1 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_6\times S_3$ |
| Parity: | Odd |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 7.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{6} + x^{4} + 9 x^{3} + 9 x^{2} + x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 3 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 11 + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23 + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 21 + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 1 + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23 + \left(14 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{4} + 2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 2 + \left(17 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23 + \left(16 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 10 + \left(20 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 4 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 14 + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23 + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 2 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 16 + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 10 + \left(a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23 + \left(20 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 16 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 7 + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 3\right)\cdot 23 + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 18 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 6 + \left(16 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 21 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 22 + \left(10 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ 15 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 4 + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23 + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{5} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 8 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 15 + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23 + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 6 a^{5} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 6 + \left(6 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23 + \left(16 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 9 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 17 + \left(9 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23 + \left(5 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 7 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + a + 9 + \left(13 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23 + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 20 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + a + 2 + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 18 }$ | $=$ | $ 12 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 11 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a + 16\right)\cdot 23 + \left(9 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{6} +O\left(23^{ 7 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 18 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 18 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,11)(3,13)(4,12)(6,15)(7,17)(8,16)(9,18)(10,14)$ | $-2$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,18)(2,4)(5,9)(6,8)(11,12)(15,16)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $2$ | $(1,9)(2,12)(3,13)(4,11)(5,18)(6,16)(7,17)(8,15)(10,14)$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,8,4)(2,18,6)(3,14,7)(5,16,12)(9,15,11)(10,17,13)$ | $2 \zeta_{3}$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,4,8)(2,6,18)(3,7,14)(5,12,16)(9,11,15)(10,13,17)$ | $-2 \zeta_{3} - 2$ | $2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,3,6)(2,8,14)(4,7,18)(5,13,15)(9,12,17)(10,11,16)$ | $\zeta_{3} + 1$ | $-\zeta_{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,6,3)(2,14,8)(4,18,7)(5,15,13)(9,17,12)(10,16,11)$ | $-\zeta_{3}$ | $\zeta_{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,18,14)(2,3,4)(5,9,10)(6,7,8)(11,13,12)(15,17,16)$ | $-1$ | $-1$ |
| $1$ | $6$ | $(1,16,4,5,8,12)(2,9,6,11,18,15)(3,10,7,13,14,17)$ | $-2 \zeta_{3}$ | $2 \zeta_{3} + 2$ |
| $1$ | $6$ | $(1,12,8,5,4,16)(2,15,18,11,6,9)(3,17,14,13,7,10)$ | $2 \zeta_{3} + 2$ | $-2 \zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,13,6,5,3,15)(2,16,14,11,8,10)(4,17,18,12,7,9)$ | $-\zeta_{3} - 1$ | $\zeta_{3}$ |
| $2$ | $6$ | $(1,15,3,5,6,13)(2,10,8,11,14,16)(4,9,7,12,18,17)$ | $\zeta_{3}$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,9,14,5,18,10)(2,13,4,11,3,12)(6,17,8,15,7,16)$ | $1$ | $1$ |
| $3$ | $6$ | $(1,2,8,18,4,6)(3,7,14)(5,11,16,9,12,15)(10,13,17)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,6,4,18,8,2)(3,14,7)(5,15,12,9,16,11)(10,17,13)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,11,8,9,4,15)(2,16,18,12,6,5)(3,17,14,13,7,10)$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,15,4,9,8,11)(2,5,6,12,18,16)(3,10,7,13,14,17)$ | $0$ | $0$ |