Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 223 }$ to precision 11.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 33 + 114\cdot 223 + 106\cdot 223^{2} + 119\cdot 223^{3} + 96\cdot 223^{4} + 62\cdot 223^{5} + 75\cdot 223^{6} + 216\cdot 223^{7} + 143\cdot 223^{8} + 181\cdot 223^{9} + 148\cdot 223^{10} +O\left(223^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 45 + 55\cdot 223 + 93\cdot 223^{2} + 27\cdot 223^{3} + 36\cdot 223^{4} + 136\cdot 223^{5} + 168\cdot 223^{6} + 92\cdot 223^{7} + 38\cdot 223^{8} + 199\cdot 223^{9} + 94\cdot 223^{10} +O\left(223^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 84 + 158\cdot 223 + 53\cdot 223^{2} + 206\cdot 223^{3} + 215\cdot 223^{4} + 150\cdot 223^{5} + 34\cdot 223^{6} + 212\cdot 223^{7} + 70\cdot 223^{8} + 132\cdot 223^{9} + 175\cdot 223^{10} +O\left(223^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 90 + 204\cdot 223 + 144\cdot 223^{2} + 139\cdot 223^{3} + 13\cdot 223^{4} + 112\cdot 223^{5} + 76\cdot 223^{6} + 116\cdot 223^{7} + 152\cdot 223^{8} + 112\cdot 223^{9} + 140\cdot 223^{10} +O\left(223^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 133 + 18\cdot 223 + 78\cdot 223^{2} + 83\cdot 223^{3} + 209\cdot 223^{4} + 110\cdot 223^{5} + 146\cdot 223^{6} + 106\cdot 223^{7} + 70\cdot 223^{8} + 110\cdot 223^{9} + 82\cdot 223^{10} +O\left(223^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 139 + 64\cdot 223 + 169\cdot 223^{2} + 16\cdot 223^{3} + 7\cdot 223^{4} + 72\cdot 223^{5} + 188\cdot 223^{6} + 10\cdot 223^{7} + 152\cdot 223^{8} + 90\cdot 223^{9} + 47\cdot 223^{10} +O\left(223^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 178 + 167\cdot 223 + 129\cdot 223^{2} + 195\cdot 223^{3} + 186\cdot 223^{4} + 86\cdot 223^{5} + 54\cdot 223^{6} + 130\cdot 223^{7} + 184\cdot 223^{8} + 23\cdot 223^{9} + 128\cdot 223^{10} +O\left(223^{ 11 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 190 + 108\cdot 223 + 116\cdot 223^{2} + 103\cdot 223^{3} + 126\cdot 223^{4} + 160\cdot 223^{5} + 147\cdot 223^{6} + 6\cdot 223^{7} + 79\cdot 223^{8} + 41\cdot 223^{9} + 74\cdot 223^{10} +O\left(223^{ 11 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,2)(4,5)(7,8)$ |
| $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ |
| $(1,3,7,4,8,6,2,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,2)(4,5)(7,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,4,7,5)$ | $0$ |
| $2$ | $8$ | $(1,3,7,4,8,6,2,5)$ | $-\zeta_{8}^{3} - \zeta_{8}$ |
| $2$ | $8$ | $(1,6,7,5,8,3,2,4)$ | $\zeta_{8}^{3} + \zeta_{8}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
