↑

Properties

Label 2.2916.18t16.b.f
Dimension $2$
Group $S_3\times C_9$
Conductor $2916$
Root number not computed
Indicator $0$

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: 27T12
Conductor: \(2916\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3^{6} \)
Artin stem field: Galois closure of 27.9.218729065566982775445089767573496266752.1
Galois orbit size: $6$
Smallest permutation container: $C_9\times S_3$
Parity: odd
Determinant: 1.27.18t1.a.b
Projective image: $S_3$
Projective stem field: Galois closure of 3.1.108.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$ \( x^{27} - 18 x^{25} - 9 x^{24} + 135 x^{23} + 63 x^{22} - 642 x^{21} - 135 x^{20} + 2133 x^{19} + \cdots + 1 \) Copy content Toggle raw display .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 8.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: \( x^{18} + 24x^{11} + x^{10} + x^{9} + 6x^{8} + 26x^{7} + 2x^{6} + 10x^{5} + 8x^{4} + 16x^{3} + 19x^{2} + 14x + 2 \) Copy content Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 27 a^{17} + 14 a^{16} + 13 a^{15} + 23 a^{14} + 14 a^{13} + 2 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 28 + \left(9 a^{17} + 15 a^{16} + 4 a^{15} + 2 a^{14} + 16 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 19\right)\cdot 29 + \left(a^{17} + 25 a^{16} + 23 a^{15} + 28 a^{14} + 18 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 23 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{17} + 23 a^{16} + 11 a^{15} + 6 a^{14} + 17 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 26 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{16} + 16 a^{15} + 7 a^{14} + 16 a^{13} + 23 a^{12} + 3 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{17} + 16 a^{16} + 3 a^{14} + 23 a^{13} + a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{17} + 23 a^{16} + 26 a^{15} + 6 a^{14} + 6 a^{13} + 19 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(12 a^{17} + 3 a^{16} + 12 a^{15} + 11 a^{14} + 28 a^{13} + 22 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 9 a^{17} + 25 a^{16} + 16 a^{15} + 11 a^{14} + 6 a^{13} + 4 a^{12} + 19 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 17 + \left(25 a^{17} + 13 a^{16} + 9 a^{15} + 14 a^{14} + 16 a^{13} + 4 a^{12} + 14 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a\right)\cdot 29 + \left(18 a^{17} + 2 a^{16} + 9 a^{15} + 27 a^{14} + a^{13} + 3 a^{12} + 23 a^{11} + 16 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(4 a^{17} + a^{16} + 23 a^{15} + 12 a^{14} + 6 a^{13} + 14 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{17} + 25 a^{16} + 26 a^{15} + 18 a^{14} + 18 a^{13} + 5 a^{12} + 12 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 25 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{17} + 15 a^{15} + 20 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 2 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{17} + 12 a^{16} + a^{15} + 22 a^{14} + 15 a^{13} + 14 a^{12} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{17} + 7 a^{16} + 15 a^{15} + 24 a^{14} + 18 a^{13} + 13 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 12 a^{17} + 19 a^{16} + 16 a^{15} + 9 a^{14} + 11 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 23 + \left(25 a^{17} + 3 a^{16} + 4 a^{15} + 5 a^{14} + 15 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 29 + \left(15 a^{17} + 23 a^{16} + 2 a^{15} + 11 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 22 a^{11} + 27 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{17} + 10 a^{16} + a^{15} + 12 a^{14} + 10 a^{13} + 20 a^{12} + 28 a^{10} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{17} + 3 a^{16} + 9 a^{15} + 22 a^{14} + 28 a^{13} + 3 a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{17} + 19 a^{16} + 13 a^{15} + 4 a^{13} + 15 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 9 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(5 a^{17} + 22 a^{16} + 28 a^{15} + 6 a^{14} + 9 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 29^{6} + \left(19 a^{17} + 10 a^{16} + 17 a^{15} + 21 a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 4 a^{17} + 6 a^{16} + 26 a^{15} + 20 a^{14} + 15 a^{13} + a^{12} + 23 a^{11} + 20 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + a + \left(6 a^{17} + 10 a^{16} + 3 a^{15} + 2 a^{14} + 20 a^{13} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 29 + \left(27 a^{17} + 27 a^{16} + 3 a^{15} + 23 a^{14} + 28 a^{13} + 26 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{17} + 15 a^{16} + 3 a^{15} + 18 a^{14} + 13 a^{13} + 10 a^{12} + 22 a^{11} + 13 a^{10} + 18 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{17} + 24 a^{16} + 5 a^{15} + 22 a^{14} + 15 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{17} + 3 a^{16} + 18 a^{15} + 2 a^{14} + 15 a^{13} + 28 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(10 a^{17} + 28 a^{16} + 24 a^{15} + 14 a^{14} + 11 a^{13} + 7 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{17} + 11 a^{16} + 25 a^{15} + 26 a^{14} + 2 a^{12} + 27 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 3 a^{17} + 18 a^{16} + 21 a^{15} + 15 a^{14} + 10 a^{13} + 17 a^{12} + 22 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 25 + \left(13 a^{17} + 10 a^{16} + 22 a^{15} + 7 a^{14} + 19 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 7 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 29 + \left(28 a^{17} + 27 a^{16} + 4 a^{15} + 5 a^{14} + 23 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{17} + 28 a^{16} + 5 a^{15} + 17 a^{14} + a^{13} + 12 a^{12} + 8 a^{11} + 21 a^{10} + 26 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{17} + 27 a^{16} + 26 a^{15} + 10 a^{14} + 26 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{17} + 24 a^{16} + 12 a^{15} + 4 a^{14} + a^{13} + 18 a^{12} + 21 a^{11} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{17} + 8 a^{16} + 10 a^{15} + 28 a^{14} + 27 a^{12} + 6 a^{11} + 26 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{17} + 5 a^{16} + 7 a^{15} + 7 a^{13} + 16 a^{12} + 22 a^{11} + 19 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 20 a^{17} + 19 a^{16} + 24 a^{15} + 8 a^{14} + 18 a^{13} + 17 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 5 + \left(17 a^{17} + 9 a^{16} + 26 a^{15} + 21 a^{14} + 27 a^{13} + 23 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 29 + \left(28 a^{17} + 15 a^{16} + 23 a^{15} + 23 a^{14} + 7 a^{13} + 15 a^{12} + 10 a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{17} + 4 a^{16} + 2 a^{15} + 3 a^{14} + a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{17} + 22 a^{16} + 11 a^{15} + 28 a^{14} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 5 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{17} + 15 a^{16} + 27 a^{15} + a^{14} + 7 a^{13} + 22 a^{12} + 26 a^{11} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{17} + 27 a^{16} + 15 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{12} + a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 29^{6} + \left(12 a^{17} + 27 a^{16} + 14 a^{15} + 10 a^{14} + 3 a^{13} + 7 a^{12} + 3 a^{11} + 15 a^{10} + 15 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 28 a^{17} + 5 a^{16} + 2 a^{15} + 8 a^{14} + 14 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 4 + \left(14 a^{17} + 20 a^{16} + 8 a^{15} + a^{14} + 20 a^{13} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a\right)\cdot 29 + \left(18 a^{17} + 4 a^{16} + 23 a^{15} + 10 a^{14} + 26 a^{13} + 3 a^{12} + 26 a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{17} + 11 a^{16} + 18 a^{15} + 14 a^{14} + 3 a^{13} + 13 a^{12} + 8 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{16} + 7 a^{15} + 25 a^{14} + 14 a^{13} + 8 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{17} + 21 a^{16} + 15 a^{15} + 11 a^{14} + 25 a^{13} + 20 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(a^{17} + 14 a^{16} + 24 a^{15} + 22 a^{14} + 15 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 10 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a + 11\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{17} + 21 a^{15} + 20 a^{14} + 26 a^{13} + 6 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 21 a^{17} + 22 a^{16} + 21 a^{15} + 11 a^{14} + 17 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 25 + \left(6 a^{17} + 22 a^{16} + 19 a^{15} + 3 a^{14} + 21 a^{13} + 14 a^{12} + 6 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 29 + \left(18 a^{17} + 21 a^{16} + 10 a^{15} + a^{14} + 26 a^{12} + 19 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{17} + 5 a^{16} + 6 a^{15} + 19 a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{11} + 11 a^{10} + 27 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{17} + 20 a^{16} + 12 a^{15} + 7 a^{14} + 5 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{17} + 11 a^{16} + 5 a^{15} + 2 a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 6 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{17} + 8 a^{16} + 18 a^{15} + 23 a^{14} + 11 a^{13} + 22 a^{11} + 15 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{17} + a^{16} + 26 a^{15} + 16 a^{14} + 6 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 16 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 14 a^{16} + 6 a^{15} + 9 a^{14} + 3 a^{13} + 24 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 26 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 23 + \left(14 a^{17} + 3 a^{16} + 3 a^{15} + 3 a^{14} + 27 a^{13} + 20 a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 29 + \left(18 a^{17} + 27 a^{16} + 25 a^{15} + 13 a^{14} + 9 a^{13} + 26 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{17} + 27 a^{16} + 9 a^{15} + 21 a^{14} + 13 a^{13} + 2 a^{12} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{17} + 6 a^{16} + 4 a^{15} + 25 a^{14} + 19 a^{13} + 11 a^{12} + 7 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{17} + 5 a^{16} + 15 a^{15} + 11 a^{14} + 24 a^{13} + 6 a^{12} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{17} + 14 a^{16} + 23 a^{15} + 6 a^{14} + 20 a^{13} + 16 a^{12} + 22 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 29^{6} + \left(6 a^{17} + 11 a^{16} + 20 a^{15} + 11 a^{14} + 24 a^{13} + 9 a^{12} + 15 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 13 a^{17} + 28 a^{16} + a^{15} + 10 a^{14} + 5 a^{13} + 10 a^{12} + 10 a^{11} + 22 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 23 + \left(18 a^{17} + 12 a^{16} + 3 a^{15} + 14 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 15 a^{11} + 23 a^{10} + 16 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 29 + \left(22 a^{17} + 18 a^{16} + 24 a^{15} + 26 a^{14} + 11 a^{13} + 12 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{17} + 28 a^{16} + 13 a^{15} + 10 a^{14} + 26 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{17} + 18 a^{16} + 7 a^{15} + 14 a^{14} + 14 a^{13} + 25 a^{12} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{17} + 17 a^{16} + 5 a^{15} + 20 a^{14} + 3 a^{13} + 23 a^{12} + 17 a^{11} + 5 a^{10} + 9 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{17} + 12 a^{16} + 22 a^{15} + 24 a^{14} + 15 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 11 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{17} + 14 a^{16} + 20 a^{15} + 27 a^{14} + 6 a^{13} + 27 a^{12} + 16 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 5 a^{17} + 6 a^{16} + 24 a^{15} + 26 a^{14} + 25 a^{13} + 12 a^{12} + 3 a^{11} + 27 a^{10} + 26 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 21 + \left(23 a^{17} + 15 a^{16} + 12 a^{15} + 9 a^{14} + 11 a^{13} + 3 a^{12} + 22 a^{11} + 25 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 29 + \left(28 a^{17} + 20 a^{16} + a^{15} + 26 a^{14} + 8 a^{13} + 5 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{17} + 7 a^{16} + 14 a^{15} + 15 a^{14} + 24 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(19 a^{17} + 28 a^{16} + 14 a^{15} + 19 a^{14} + 17 a^{13} + 13 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{17} + 15 a^{16} + 12 a^{15} + 2 a^{14} + 19 a^{13} + 15 a^{12} + 12 a^{11} + 26 a^{10} + 11 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{17} + 13 a^{16} + 19 a^{15} + 21 a^{14} + 13 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 29^{6} + \left(6 a^{17} + 8 a^{16} + 28 a^{15} + 14 a^{14} + 4 a^{13} + 15 a^{12} + 18 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 5 a^{17} + 23 a^{16} + 8 a^{15} + 13 a^{14} + 20 a^{13} + a^{12} + 10 a^{11} + 23 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 21 + \left(10 a^{17} + 17 a^{16} + 23 a^{15} + 11 a^{14} + 2 a^{13} + 25 a^{11} + 17 a^{10} + 2 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 29 + \left(11 a^{17} + 5 a^{16} + a^{15} + a^{14} + 21 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{17} + 9 a^{16} + 27 a^{15} + 23 a^{14} + 2 a^{13} + 15 a^{12} + a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{17} + 7 a^{16} + 20 a^{15} + 22 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{8} + 19 a^{7} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{17} + 16 a^{16} + 19 a^{14} + 19 a^{13} + 15 a^{12} + 6 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{17} + 11 a^{16} + 24 a^{15} + 9 a^{14} + 3 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 15 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{17} + 11 a^{16} + 17 a^{15} + 17 a^{14} + 25 a^{13} + 27 a^{12} + 14 a^{11} + 21 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 26 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 20 a^{17} + 24 a^{15} + 25 a^{14} + 23 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 8 + \left(12 a^{17} + a^{16} + a^{15} + 14 a^{14} + 5 a^{13} + 13 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 29 + \left(19 a^{17} + 25 a^{16} + 24 a^{15} + 4 a^{14} + 8 a^{13} + 6 a^{12} + 22 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{17} + 3 a^{16} + 27 a^{15} + 16 a^{14} + 12 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{17} + 26 a^{16} + 2 a^{15} + 12 a^{14} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{17} + 8 a^{16} + 10 a^{15} + 6 a^{14} + 23 a^{13} + 13 a^{12} + 17 a^{11} + 10 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 19 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(27 a^{17} + 18 a^{16} + 9 a^{15} + 5 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 21 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{17} + 5 a^{16} + 14 a^{15} + 14 a^{14} + 3 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 17 a^{16} + 20 a^{15} + 9 a^{14} + 22 a^{13} + 11 a^{12} + 14 a^{11} + 20 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 8 + \left(4 a^{17} + 18 a^{16} + 24 a^{14} + 13 a^{13} + 4 a^{12} + 19 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 29 + \left(a^{17} + 10 a^{16} + 11 a^{15} + 11 a^{14} + 28 a^{13} + 9 a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(a^{17} + 15 a^{16} + 23 a^{15} + 22 a^{14} + 4 a^{13} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 19 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{17} + 19 a^{16} + 23 a^{15} + 5 a^{14} + 6 a^{13} + 17 a^{12} + 4 a^{11} + 23 a^{10} + 12 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{17} + 20 a^{16} + 9 a^{15} + 25 a^{14} + 24 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{17} + 22 a^{16} + 13 a^{15} + 12 a^{14} + 25 a^{13} + 7 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 5\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{17} + 2 a^{16} + 23 a^{15} + 15 a^{14} + 20 a^{13} + 23 a^{12} + 2 a^{11} + 12 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 5 a^{17} + 23 a^{16} + 14 a^{15} + 28 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 9 a^{11} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 12 + \left(21 a^{17} + 27 a^{16} + 22 a^{15} + 6 a^{14} + 9 a^{13} + 11 a^{12} + 7 a^{11} + 5 a^{10} + 16 a^{9} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 29 + \left(25 a^{17} + 18 a^{16} + 17 a^{15} + 3 a^{14} + 25 a^{13} + 23 a^{12} + 8 a^{11} + 9 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{17} + 27 a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 3 a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 6 a^{10} + a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{17} + 18 a^{16} + 11 a^{15} + 14 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 4 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{17} + 6 a^{16} + 28 a^{15} + 11 a^{14} + 19 a^{13} + 10 a^{12} + 28 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{17} + 5 a^{16} + 8 a^{15} + 5 a^{14} + 21 a^{13} + 22 a^{12} + 6 a^{11} + a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 29^{6} + \left(10 a^{17} + 26 a^{16} + 19 a^{15} + 19 a^{14} + 15 a^{13} + 2 a^{12} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 14 a^{16} + 18 a^{15} + 10 a^{14} + 5 a^{13} + 8 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 7 + \left(15 a^{17} + 5 a^{16} + 21 a^{15} + 22 a^{14} + 14 a^{13} + a^{12} + 5 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + a + 3\right)\cdot 29 + \left(10 a^{17} + 11 a^{16} + 24 a^{15} + 6 a^{14} + 19 a^{13} + 10 a^{12} + 24 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{17} + 23 a^{16} + 2 a^{15} + 12 a^{14} + 21 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{17} + 10 a^{16} + 20 a^{15} + 11 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{17} + 12 a^{16} + 14 a^{15} + 6 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 4 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(7 a^{17} + 18 a^{16} + 26 a^{15} + 20 a^{14} + 9 a^{13} + 9 a^{12} + 23 a^{11} + 24 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{17} + 22 a^{16} + 28 a^{15} + 22 a^{14} + 7 a^{13} + 8 a^{12} + a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 8 a^{17} + 17 a^{16} + 5 a^{14} + 7 a^{13} + a^{12} + 19 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + 20 + \left(25 a^{17} + 26 a^{15} + 5 a^{14} + 23 a^{13} + 16 a^{12} + 8 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 29 + \left(4 a^{17} + 7 a^{16} + 15 a^{15} + 15 a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{17} + 23 a^{15} + 25 a^{14} + 27 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 26 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{17} + 2 a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 5 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{17} + 16 a^{16} + 27 a^{15} + 23 a^{14} + 11 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 16 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(14 a^{17} + 2 a^{16} + 5 a^{15} + 13 a^{14} + 5 a^{13} + 9 a^{12} + 19 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(10 a^{17} + 9 a^{16} + 2 a^{15} + 23 a^{14} + 9 a^{13} + 13 a^{12} + 25 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 14\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 8 a^{17} + 22 a^{16} + 2 a^{15} + 9 a^{14} + 9 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 10 + \left(8 a^{17} + 2 a^{16} + 6 a^{15} + 22 a^{14} + 9 a^{13} + 22 a^{12} + 27 a^{11} + 26 a^{10} + 17 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 29 + \left(21 a^{17} + 9 a^{16} + 22 a^{15} + 14 a^{14} + 18 a^{13} + 4 a^{12} + 5 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 6 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{17} + 24 a^{16} + 12 a^{15} + 17 a^{14} + 27 a^{13} + 25 a^{12} + a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{16} + 12 a^{15} + 24 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + a^{11} + 24 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{17} + 12 a^{16} + 8 a^{15} + 14 a^{14} + 16 a^{13} + 24 a^{12} + 27 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{2} + a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{17} + 6 a^{16} + 16 a^{15} + 28 a^{14} + 25 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{17} + 16 a^{16} + 10 a^{15} + 26 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 3 a^{17} + 10 a^{16} + 14 a^{15} + 27 a^{14} + a^{13} + 9 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 26 + \left(4 a^{17} + 22 a^{16} + 16 a^{15} + 24 a^{14} + 21 a^{13} + 13 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 29 + \left(9 a^{17} + 27 a^{16} + 11 a^{15} + 19 a^{14} + 12 a^{13} + 18 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 14 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{16} + 27 a^{15} + 7 a^{14} + 7 a^{13} + 7 a^{12} + a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{17} + 13 a^{16} + 4 a^{15} + 25 a^{14} + 27 a^{13} + 26 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{17} + 19 a^{16} + 13 a^{15} + 13 a^{14} + 8 a^{13} + 6 a^{12} + 19 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{17} + 19 a^{16} + 7 a^{15} + 6 a^{13} + 26 a^{12} + 16 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(19 a^{17} + 24 a^{16} + 23 a^{15} + 26 a^{14} + 3 a^{13} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( 5 a^{17} + 21 a^{16} + 20 a^{15} + 8 a^{14} + 7 a^{13} + 5 a^{12} + 2 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 13 + \left(24 a^{17} + 2 a^{16} + a^{15} + 24 a^{14} + 20 a^{13} + 28 a^{12} + 9 a^{11} + 17 a^{10} + a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 29 + \left(28 a^{17} + 24 a^{16} + 15 a^{15} + 17 a^{14} + 28 a^{13} + 23 a^{12} + a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{17} + 12 a^{16} + 14 a^{15} + 14 a^{14} + 26 a^{13} + 22 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{17} + 23 a^{16} + 12 a^{15} + 28 a^{14} + 11 a^{13} + 4 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{17} + 26 a^{16} + 16 a^{15} + 23 a^{14} + 28 a^{13} + 3 a^{12} + 22 a^{11} + 9 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 28\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{17} + 10 a^{16} + 17 a^{15} + 27 a^{14} + 8 a^{13} + 12 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 3 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 29^{6} + \left(5 a^{17} + 9 a^{16} + 10 a^{15} + 28 a^{14} + 14 a^{13} + 17 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 25 a^{17} + 14 a^{16} + 27 a^{15} + a^{14} + 6 a^{13} + 24 a^{12} + 27 a^{11} + 9 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 25 + \left(25 a^{17} + 16 a^{16} + 7 a^{15} + 2 a^{14} + 26 a^{13} + a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 29 + \left(12 a^{16} + 28 a^{15} + 8 a^{14} + 9 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{17} + 14 a^{16} + 26 a^{15} + 22 a^{14} + 15 a^{13} + 3 a^{12} + 10 a^{11} + 24 a^{10} + 18 a^{9} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{17} + 5 a^{16} + 18 a^{15} + 12 a^{14} + 16 a^{13} + 24 a^{12} + 26 a^{11} + 11 a^{10} + 25 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{17} + a^{16} + 25 a^{14} + 19 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{17} + 28 a^{16} + 11 a^{15} + 25 a^{14} + 18 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{17} + 22 a^{15} + 28 a^{14} + 18 a^{13} + 16 a^{12} + 6 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a + 2\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 19 a^{17} + 2 a^{16} + 14 a^{15} + 24 a^{14} + 26 a^{13} + 12 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 24 + \left(10 a^{17} + 11 a^{16} + 14 a^{15} + 23 a^{14} + 25 a^{13} + 26 a^{12} + 26 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 29 + \left(13 a^{16} + 12 a^{15} + 13 a^{14} + 20 a^{13} + 28 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(11 a^{17} + 8 a^{16} + 27 a^{14} + a^{13} + 10 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{17} + 6 a^{16} + 2 a^{15} + 9 a^{14} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{17} + 15 a^{16} + 2 a^{14} + 10 a^{13} + 10 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{17} + 4 a^{16} + 21 a^{15} + 9 a^{14} + 6 a^{13} + 19 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + 28 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{17} + 11 a^{16} + 18 a^{15} + 14 a^{14} + 10 a^{13} + 24 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 16 a^{17} + a^{16} + 12 a^{15} + 22 a^{14} + 14 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 3 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 14 + \left(16 a^{17} + 4 a^{16} + 26 a^{15} + 20 a^{14} + 7 a^{13} + 11 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 29 + \left(24 a^{17} + 16 a^{16} + a^{15} + 8 a^{14} + 5 a^{13} + 24 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{17} + 5 a^{16} + 6 a^{15} + 23 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 23 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{17} + 26 a^{16} + 14 a^{15} + 14 a^{14} + 14 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{17} + 15 a^{16} + 28 a^{15} + 13 a^{14} + 24 a^{13} + 20 a^{12} + 2 a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{17} + 18 a^{16} + 16 a^{15} + 13 a^{14} + 2 a^{13} + 19 a^{12} + 15 a^{11} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{17} + 4 a^{16} + 13 a^{15} + 20 a^{14} + 25 a^{13} + 28 a^{12} + 27 a^{11} + 26 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 10 a^{17} + 10 a^{16} + 25 a^{15} + 21 a^{14} + 5 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 19 + \left(28 a^{17} + 14 a^{16} + 8 a^{15} + 2 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 29 + \left(4 a^{17} + 14 a^{16} + 22 a^{15} + 15 a^{14} + a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{17} + 23 a^{16} + 17 a^{15} + 17 a^{14} + 5 a^{13} + 12 a^{12} + 16 a^{11} + 6 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{17} + 3 a^{16} + 17 a^{15} + 3 a^{14} + 14 a^{13} + 23 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{17} + 17 a^{16} + 16 a^{15} + 11 a^{14} + 3 a^{13} + 18 a^{12} + 4 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{17} + a^{16} + a^{15} + 16 a^{14} + 26 a^{13} + 10 a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{17} + 19 a^{16} + 8 a^{15} + 7 a^{14} + 25 a^{13} + 12 a^{12} + 8 a^{11} + 11 a^{10} + 3 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 25 }$ $=$ \( 20 a^{17} + 16 a^{16} + a^{15} + 18 a^{14} + 18 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + 26 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 10 + \left(13 a^{17} + 28 a^{16} + 18 a^{15} + 12 a^{14} + 28 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 14 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 29 + \left(5 a^{17} + 26 a^{16} + 5 a^{15} + 23 a^{14} + 7 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 15 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{17} + 14 a^{16} + 17 a^{15} + 24 a^{14} + 16 a^{13} + 28 a^{12} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{17} + 4 a^{16} + 2 a^{15} + a^{14} + 26 a^{13} + 7 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{17} + 10 a^{16} + 23 a^{15} + 12 a^{14} + 5 a^{13} + 6 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 24 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{17} + 17 a^{16} + 24 a^{15} + 7 a^{14} + 24 a^{13} + 25 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{17} + 13 a^{16} + 14 a^{15} + a^{14} + 3 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 26 }$ $=$ \( 12 a^{17} + 16 a^{16} + 28 a^{15} + 21 a^{14} + 15 a^{13} + 7 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 23 + \left(11 a^{17} + 26 a^{16} + a^{15} + 16 a^{14} + 4 a^{13} + 14 a^{12} + a^{11} + 18 a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 29 + \left(16 a^{17} + 15 a^{16} + 9 a^{15} + 14 a^{14} + 7 a^{13} + 2 a^{12} + 27 a^{11} + 21 a^{10} + 27 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{17} + 19 a^{16} + 7 a^{15} + 28 a^{14} + 14 a^{13} + 27 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 27 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{17} + 6 a^{16} + 8 a^{15} + 20 a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{11} + 28 a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{17} + 3 a^{16} + 16 a^{15} + 16 a^{14} + 4 a^{13} + 3 a^{12} + 27 a^{11} + 3 a^{10} + 15 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{17} + a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 27 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 2 a^{10} + 4 a^{9} + 28 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(28 a^{17} + 21 a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 6 a^{13} + 19 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 27 }$ $=$ \( 21 a^{17} + 24 a^{16} + 9 a^{15} + 15 a^{14} + 17 a^{12} + 25 a^{11} + a^{10} + 26 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 1 + \left(28 a^{17} + 9 a^{16} + 2 a^{15} + 28 a^{14} + 21 a^{13} + 8 a^{12} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 29 + \left(22 a^{17} + 11 a^{16} + 2 a^{15} + a^{14} + 25 a^{13} + 10 a^{12} + 21 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{17} + 13 a^{16} + 11 a^{15} + 10 a^{14} + 25 a^{13} + 13 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{17} + 7 a^{16} + 13 a^{15} + 5 a^{14} + 16 a^{13} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(6 a^{17} + 21 a^{16} + 20 a^{15} + 9 a^{14} + 22 a^{13} + 25 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 29^{5} + \left(a^{17} + 3 a^{16} + 9 a^{15} + 2 a^{14} + 26 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{17} + 17 a^{16} + 3 a^{15} + 19 a^{14} + 27 a^{13} + 21 a^{12} + 2 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 29^{7} +O(29^{8})\) Copy content Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 27 }$

Cycle notation
$(3,17)(4,9)(5,22)(8,13)(11,24)(12,18)(14,15)(20,23)(26,27)$
$(1,23)(2,4)(3,25)(5,19)(6,12)(7,24)(10,26)(13,16)(15,21)$
$(1,20)(2,9)(6,18)(7,11)(8,16)(10,27)(14,21)(17,25)(19,22)$
$(1,11,19,20,7,22)(2,18,16,9,6,8)(3,15,26)(4,12,13)(5,23,24)(10,17,21,27,25,14)$
$(1,25,2,7,21,6,19,10,16)(3,4,24,15,12,5,26,13,23)(8,20,17,9,11,14,18,22,27)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 27 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$3$$2$$(1,23)(2,4)(3,25)(5,19)(6,12)(7,24)(10,26)(13,16)(15,21)$$0$
$1$$3$$(1,19,7)(2,16,6)(3,26,15)(4,13,12)(5,24,23)(8,18,9)(10,21,25)(11,20,22)(14,17,27)$$-2 \zeta_{9}^{3} - 2$
$1$$3$$(1,7,19)(2,6,16)(3,15,26)(4,12,13)(5,23,24)(8,9,18)(10,25,21)(11,22,20)(14,27,17)$$2 \zeta_{9}^{3}$
$2$$3$$(1,24,22)(2,12,8)(3,14,10)(4,18,16)(5,20,7)(6,13,9)(11,19,23)(15,27,25)(17,21,26)$$-\zeta_{9}^{3}$
$2$$3$$(1,22,24)(2,8,12)(3,10,14)(4,16,18)(5,7,20)(6,9,13)(11,23,19)(15,25,27)(17,26,21)$$\zeta_{9}^{3} + 1$
$2$$3$$(1,23,20)(2,4,9)(3,17,25)(5,22,19)(6,12,18)(7,24,11)(8,16,13)(10,26,27)(14,21,15)$$-1$
$3$$6$$(1,11,19,20,7,22)(2,18,16,9,6,8)(3,15,26)(4,12,13)(5,23,24)(10,17,21,27,25,14)$$0$
$3$$6$$(1,22,7,20,19,11)(2,8,6,9,16,18)(3,26,15)(4,13,12)(5,24,23)(10,14,25,27,21,17)$$0$
$1$$9$$(1,25,2,7,21,6,19,10,16)(3,4,24,15,12,5,26,13,23)(8,20,17,9,11,14,18,22,27)$$2 \zeta_{9}^{4}$
$1$$9$$(1,2,21,19,16,25,7,6,10)(3,24,12,26,23,4,15,5,13)(8,17,11,18,27,20,9,14,22)$$-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$
$1$$9$$(1,21,16,7,10,2,19,25,6)(3,12,23,15,13,24,26,4,5)(8,11,27,9,22,17,18,20,14)$$-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$
$1$$9$$(1,6,25,19,2,10,7,16,21)(3,5,4,26,24,13,15,23,12)(8,14,20,18,17,22,9,27,11)$$2 \zeta_{9}^{2}$
$1$$9$$(1,10,6,7,25,16,19,21,2)(3,13,5,15,4,23,26,12,24)(8,22,14,9,20,27,18,11,17)$$2 \zeta_{9}$
$1$$9$$(1,16,10,19,6,21,7,2,25)(3,23,13,26,5,12,15,24,4)(8,27,22,18,14,11,9,17,20)$$2 \zeta_{9}^{5}$
$2$$9$$(1,15,8,7,26,9,19,3,18)(2,5,17,6,23,14,16,24,27)(4,22,25,12,20,21,13,11,10)$$\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$
$2$$9$$(1,8,26,19,18,15,7,9,3)(2,17,23,16,27,5,6,14,24)(4,25,20,13,10,22,12,21,11)$$-\zeta_{9}^{5}$
$2$$9$$(1,26,18,7,3,8,19,15,9)(2,23,27,6,24,17,16,5,14)(4,20,10,12,11,25,13,22,21)$$-\zeta_{9}$
$2$$9$$(1,9,15,19,8,3,7,18,26)(2,14,5,16,17,24,6,27,23)(4,21,22,13,25,11,12,10,20)$$\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$
$2$$9$$(1,3,9,7,15,18,19,26,8)(2,24,14,6,5,27,16,23,17)(4,11,21,12,22,10,13,20,25)$$-\zeta_{9}^{4}$
$2$$9$$(1,18,3,19,9,26,7,8,15)(2,27,24,16,14,23,6,17,5)(4,10,11,13,21,20,12,25,22)$$-\zeta_{9}^{2}$
$3$$18$$(1,3,2,24,21,12,19,26,16,23,25,4,7,15,6,5,10,13)(8,20,17,9,11,14,18,22,27)$$0$
$3$$18$$(1,12,25,5,2,26,7,13,21,23,6,3,19,4,10,24,16,15)(8,14,20,18,17,22,9,27,11)$$0$
$3$$18$$(1,26,6,24,25,13,19,15,2,23,10,12,7,3,16,5,21,4)(8,22,14,9,20,27,18,11,17)$$0$
$3$$18$$(1,4,21,5,16,3,7,12,10,23,2,15,19,13,25,24,6,26)(8,17,11,18,27,20,9,14,22)$$0$
$3$$18$$(1,15,16,24,10,4,19,3,6,23,21,13,7,26,2,5,25,12)(8,11,27,9,22,17,18,20,14)$$0$
$3$$18$$(1,13,10,5,6,15,7,4,25,23,16,26,19,12,21,24,2,3)(8,27,22,18,14,11,9,17,20)$$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.