Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | 27T12 |
| Conductor: | \(2916\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 3^{6} \) |
| Artin stem field: | Galois closure of 27.9.656187196700948326335269302720488800256.1 |
| Galois orbit size: | $6$ |
| Smallest permutation container: | $C_9\times S_3$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.108.18t1.a.f |
| Projective image: | $S_3$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 3.1.324.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{27} - 9 x^{26} + 27 x^{25} - 24 x^{24} - 9 x^{23} - 63 x^{22} + 273 x^{21} + 144 x^{20} - 2376 x^{19} + \cdots - 1 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 8.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$:
\( x^{18} + x^{12} + 27 x^{11} + 5 x^{10} + 24 x^{9} + 2 x^{8} + 7 x^{7} + 12 x^{6} + 11 x^{5} + 25 x^{4} + \cdots + 3 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 2 a^{17} + 25 a^{16} + 18 a^{15} + 11 a^{14} + 21 a^{13} + 24 a^{12} + 12 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 16 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 26 + \left(24 a^{17} + 17 a^{16} + 11 a^{15} + 26 a^{14} + 14 a^{13} + 30 a^{12} + 10 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31 + \left(25 a^{17} + 23 a^{16} + 19 a^{14} + 28 a^{13} + 27 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 3 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{17} + 11 a^{16} + 7 a^{14} + 21 a^{13} + 5 a^{12} + 16 a^{11} + 24 a^{10} + 26 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{17} + 2 a^{16} + 11 a^{14} + 3 a^{13} + 30 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 14 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{17} + 21 a^{16} + 25 a^{15} + 23 a^{14} + 14 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 4 a^{10} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{17} + 3 a^{16} + 22 a^{15} + 11 a^{14} + 5 a^{13} + 6 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{4} + a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{17} + a^{16} + 17 a^{15} + 10 a^{14} + 27 a^{13} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 4 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 16 a^{17} + a^{16} + 8 a^{15} + 12 a^{14} + 16 a^{13} + 11 a^{12} + 3 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 27 + \left(30 a^{17} + 23 a^{16} + 19 a^{15} + 19 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 8 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a + 12\right)\cdot 31 + \left(12 a^{17} + 12 a^{16} + 4 a^{15} + 6 a^{14} + a^{13} + 8 a^{12} + 29 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{17} + 13 a^{16} + 3 a^{15} + 21 a^{14} + 2 a^{13} + a^{12} + 26 a^{11} + 7 a^{10} + 27 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{17} + 7 a^{16} + 9 a^{15} + 28 a^{14} + 22 a^{13} + 23 a^{12} + 8 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{17} + 18 a^{16} + 21 a^{15} + 15 a^{14} + 13 a^{13} + 12 a^{12} + 17 a^{11} + 5 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 30 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{17} + 10 a^{16} + 3 a^{15} + 26 a^{14} + 17 a^{13} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{17} + 19 a^{16} + 2 a^{15} + 16 a^{14} + 27 a^{13} + 17 a^{12} + 28 a^{11} + 5 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 3 a^{17} + 14 a^{16} + 12 a^{15} + 16 a^{14} + 17 a^{13} + a^{12} + 22 a^{11} + 14 a^{10} + 20 a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 27 + \left(17 a^{16} + 23 a^{15} + 23 a^{14} + 19 a^{13} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 31 + \left(9 a^{17} + 30 a^{16} + 3 a^{15} + 10 a^{14} + 3 a^{13} + 10 a^{12} + 5 a^{11} + 17 a^{10} + 27 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{17} + 23 a^{16} + 12 a^{15} + 11 a^{14} + 28 a^{13} + 22 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{17} + 2 a^{16} + 11 a^{15} + 13 a^{14} + 6 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{17} + a^{16} + 14 a^{15} + 22 a^{14} + 4 a^{13} + 27 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 25 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{17} + 24 a^{16} + 16 a^{15} + 20 a^{14} + 7 a^{13} + 13 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{17} + 19 a^{16} + 23 a^{15} + 30 a^{14} + 28 a^{13} + 4 a^{12} + 7 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 30 a^{8} + 19 a^{7} + 24 a^{6} + 29 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 10 a^{17} + 23 a^{16} + 8 a^{15} + 20 a^{14} + 10 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 24 a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 16 + \left(9 a^{17} + 14 a^{16} + 9 a^{15} + 18 a^{14} + 27 a^{13} + 25 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31 + \left(10 a^{17} + 4 a^{16} + 6 a^{15} + 24 a^{14} + 26 a^{13} + 9 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{17} + 21 a^{16} + 30 a^{15} + 22 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 6 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{17} + 27 a^{16} + 12 a^{15} + 22 a^{14} + a^{13} + 23 a^{12} + 3 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{17} + 14 a^{16} + 25 a^{15} + 30 a^{14} + 10 a^{13} + 30 a^{12} + 27 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{17} + 18 a^{16} + 7 a^{15} + 27 a^{14} + 21 a^{13} + 20 a^{12} + 30 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{17} + 26 a^{16} + 11 a^{15} + 17 a^{14} + 17 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 15 a^{17} + 21 a^{16} + 20 a^{15} + 10 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 24 a^{9} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 29 + \left(a^{17} + 13 a^{16} + 17 a^{15} + 30 a^{13} + 24 a^{12} + 12 a^{11} + 23 a^{10} + 29 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31 + \left(13 a^{17} + 8 a^{16} + 16 a^{15} + 28 a^{14} + 5 a^{13} + 26 a^{11} + 17 a^{10} + 29 a^{9} + 27 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{17} + 25 a^{16} + 21 a^{15} + 20 a^{14} + 19 a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{17} + 23 a^{16} + 2 a^{15} + 20 a^{14} + 29 a^{13} + 26 a^{12} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{17} + 24 a^{16} + 14 a^{15} + 25 a^{14} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{17} + 2 a^{16} + 23 a^{15} + 28 a^{14} + 6 a^{13} + 23 a^{12} + 18 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{17} + 26 a^{16} + 2 a^{15} + 19 a^{14} + 8 a^{13} + 7 a^{12} + 28 a^{11} + 30 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 29 a^{17} + 14 a^{16} + 4 a^{15} + 13 a^{14} + a^{13} + 18 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 6 + \left(14 a^{17} + 20 a^{16} + 5 a^{15} + 23 a^{14} + 9 a^{13} + 11 a^{12} + 23 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31 + \left(13 a^{17} + a^{16} + 20 a^{15} + 16 a^{14} + 13 a^{13} + 26 a^{12} + a^{11} + 24 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{17} + 10 a^{16} + a^{15} + 23 a^{14} + 24 a^{13} + 20 a^{12} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{17} + a^{16} + 7 a^{15} + 22 a^{14} + 11 a^{13} + 23 a^{12} + 2 a^{11} + 29 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{17} + 3 a^{16} + 13 a^{15} + 23 a^{14} + 11 a^{13} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 19 a^{9} + a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{17} + 26 a^{16} + 28 a^{15} + 16 a^{14} + 19 a^{13} + 15 a^{12} + 17 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 24 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{17} + 28 a^{16} + 24 a^{15} + 26 a^{14} + 22 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{11} + 23 a^{10} + 30 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 6 a^{17} + a^{16} + 11 a^{15} + 12 a^{14} + 20 a^{13} + 5 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 17 + \left(28 a^{17} + 5 a^{16} + 29 a^{15} + 23 a^{14} + 28 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31 + \left(20 a^{17} + 10 a^{16} + 18 a^{15} + a^{14} + 23 a^{12} + 29 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{17} + 8 a^{16} + 6 a^{15} + 9 a^{14} + 30 a^{13} + 10 a^{12} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{17} + 21 a^{16} + 18 a^{15} + 24 a^{14} + 17 a^{13} + 2 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{17} + 2 a^{16} + 28 a^{15} + 27 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + 19 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{17} + 30 a^{16} + 25 a^{15} + 7 a^{14} + 27 a^{13} + 18 a^{12} + 19 a^{11} + 19 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{17} + 5 a^{16} + 27 a^{15} + 4 a^{14} + 10 a^{13} + 23 a^{12} + 2 a^{11} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 20 a^{17} + 27 a^{16} + 4 a^{15} + 28 a^{14} + 23 a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 25 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 20 + \left(8 a^{17} + 30 a^{16} + 2 a^{15} + 2 a^{14} + 14 a^{13} + 29 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31 + \left(24 a^{17} + 13 a^{16} + 4 a^{15} + 21 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{17} + 15 a^{16} + 30 a^{15} + 3 a^{14} + 11 a^{13} + 19 a^{12} + 9 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 30 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{17} + 24 a^{16} + 11 a^{15} + 28 a^{14} + 6 a^{13} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + 12 a^{10} + 26 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + a\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{17} + 15 a^{16} + 21 a^{15} + 18 a^{14} + 6 a^{13} + 22 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{17} + 17 a^{16} + 16 a^{15} + 4 a^{14} + 15 a^{13} + 26 a^{12} + 29 a^{11} + 27 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{17} + 26 a^{16} + 11 a^{15} + 14 a^{14} + 5 a^{13} + 3 a^{12} + 24 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 10 a^{17} + 16 a^{16} + 19 a^{15} + 29 a^{14} + 20 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + 2 a^{10} + 4 a^{9} + 27 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{2} + 2 a + 9 + \left(25 a^{17} + 20 a^{16} + 12 a^{15} + 13 a^{14} + 13 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 27 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31 + \left(9 a^{17} + 7 a^{16} + 6 a^{15} + 2 a^{14} + 6 a^{13} + 26 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{17} + 27 a^{16} + 21 a^{15} + 21 a^{14} + 25 a^{13} + 28 a^{12} + 5 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{17} + 26 a^{16} + 30 a^{15} + 17 a^{14} + 9 a^{13} + a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{17} + 6 a^{16} + 13 a^{15} + 20 a^{14} + 24 a^{13} + a^{12} + 30 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 4 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{17} + 7 a^{16} + 2 a^{15} + 15 a^{14} + 21 a^{13} + 8 a^{12} + a^{11} + 30 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{17} + 8 a^{16} + 2 a^{15} + 26 a^{14} + 26 a^{13} + 19 a^{12} + 2 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 12 a^{17} + 20 a^{16} + 5 a^{15} + 9 a^{14} + 14 a^{13} + 30 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{2} + 10 a + 2 + \left(20 a^{17} + 19 a^{16} + 12 a^{14} + 29 a^{13} + 30 a^{12} + 16 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 31 + \left(2 a^{17} + 28 a^{16} + 14 a^{15} + 24 a^{13} + 5 a^{12} + 14 a^{11} + 29 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{17} + 12 a^{16} + 27 a^{14} + 24 a^{13} + 22 a^{12} + 22 a^{11} + 13 a^{10} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{17} + 3 a^{16} + 25 a^{15} + 17 a^{14} + 9 a^{13} + 19 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{17} + 23 a^{16} + 26 a^{15} + 20 a^{14} + 11 a^{13} + 5 a^{12} + 30 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{17} + 27 a^{16} + 8 a^{15} + 5 a^{14} + 15 a^{13} + 2 a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{17} + 23 a^{16} + 23 a^{15} + 21 a^{14} + 5 a^{13} + 13 a^{12} + 14 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 7 a^{17} + 22 a^{16} + 6 a^{15} + 17 a^{14} + 22 a^{13} + 28 a^{12} + 25 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 27 + \left(28 a^{17} + 8 a^{16} + 19 a^{15} + 17 a^{14} + 12 a^{13} + 17 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31 + \left(6 a^{17} + 24 a^{16} + 15 a^{15} + 14 a^{14} + 24 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{17} + 13 a^{16} + 11 a^{15} + 14 a^{14} + 17 a^{12} + 8 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{17} + 7 a^{16} + a^{15} + 20 a^{14} + 20 a^{13} + 25 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 24 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 30 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 29 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{17} + 3 a^{16} + 23 a^{15} + 21 a^{14} + 20 a^{13} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{17} + 5 a^{16} + 27 a^{15} + 30 a^{14} + 27 a^{13} + a^{12} + 14 a^{11} + 30 a^{10} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{17} + 4 a^{16} + 16 a^{15} + 27 a^{14} + 6 a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 7 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 11 a^{17} + 4 a^{16} + 23 a^{15} + 25 a^{14} + 8 a^{13} + 4 a^{12} + a^{11} + 10 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 30 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + \left(12 a^{17} + a^{16} + 2 a^{15} + 6 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31 + \left(11 a^{17} + 23 a^{16} + 6 a^{14} + 11 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{11} + 17 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{17} + 27 a^{16} + 12 a^{15} + 6 a^{14} + 11 a^{13} + 26 a^{12} + 29 a^{11} + 3 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{17} + 30 a^{16} + 2 a^{15} + 24 a^{14} + 26 a^{13} + 15 a^{12} + a^{11} + 18 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 30 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{17} + 15 a^{16} + 30 a^{15} + 25 a^{14} + 10 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{17} + 19 a^{16} + 3 a^{15} + 26 a^{14} + 20 a^{13} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{17} + 21 a^{16} + 30 a^{15} + 15 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 14 a^{17} + 9 a^{16} + 8 a^{15} + 20 a^{14} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 29 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 19 + \left(2 a^{17} + 17 a^{16} + 22 a^{15} + a^{14} + 9 a^{13} + 19 a^{12} + 26 a^{11} + 4 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31 + \left(13 a^{17} + 14 a^{16} + 7 a^{15} + 9 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 26 a^{10} + 27 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{17} + 23 a^{16} + 19 a^{15} + 16 a^{14} + 10 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{17} + 3 a^{16} + 26 a^{15} + 23 a^{14} + 14 a^{13} + 14 a^{12} + 16 a^{11} + 5 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{17} + 20 a^{16} + 22 a^{15} + 2 a^{14} + 29 a^{13} + 13 a^{12} + 27 a^{11} + 29 a^{10} + 25 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{17} + 4 a^{16} + 20 a^{15} + 13 a^{14} + 9 a^{13} + 2 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{17} + 25 a^{16} + 16 a^{15} + 15 a^{13} + 5 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 30 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 16 a^{17} + 9 a^{16} + 8 a^{15} + 23 a^{14} + 9 a^{13} + 11 a^{12} + 25 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 26 + \left(22 a^{17} + 9 a^{16} + a^{15} + 26 a^{14} + 28 a^{13} + 19 a^{12} + 23 a^{11} + 22 a^{10} + 15 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31 + \left(2 a^{17} + 9 a^{16} + 15 a^{15} + 14 a^{14} + 30 a^{13} + 17 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{17} + 18 a^{16} + 22 a^{15} + 5 a^{14} + 25 a^{13} + 13 a^{12} + 20 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{17} + 20 a^{16} + 18 a^{14} + 17 a^{13} + 23 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{17} + a^{16} + 25 a^{15} + 18 a^{14} + 19 a^{13} + 4 a^{12} + 23 a^{11} + 23 a^{10} + 18 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{17} + 22 a^{16} + 30 a^{15} + 8 a^{14} + 23 a^{13} + 19 a^{12} + 13 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{17} + 16 a^{16} + 19 a^{15} + 30 a^{14} + 23 a^{13} + 2 a^{12} + 5 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 27 a^{17} + 17 a^{16} + 11 a^{15} + a^{14} + 20 a^{13} + 28 a^{12} + 23 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 17 + \left(16 a^{17} + 21 a^{16} + 3 a^{15} + 9 a^{14} + 24 a^{13} + 5 a^{12} + 22 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31 + \left(4 a^{17} + 21 a^{16} + 7 a^{15} + 30 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{12} + 12 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{17} + 11 a^{16} + 21 a^{15} + 11 a^{14} + 28 a^{13} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{17} + 24 a^{16} + 9 a^{15} + 19 a^{14} + 2 a^{13} + a^{12} + 14 a^{11} + 25 a^{10} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{17} + 11 a^{16} + 8 a^{15} + 20 a^{14} + 28 a^{13} + 13 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 11 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{17} + 14 a^{16} + 18 a^{15} + 27 a^{14} + 8 a^{13} + 26 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{17} + 25 a^{16} + 27 a^{15} + 7 a^{14} + 10 a^{13} + a^{12} + 30 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 23 a^{17} + 5 a^{16} + 7 a^{15} + 4 a^{14} + 28 a^{13} + 13 a^{12} + a^{11} + 30 a^{10} + 25 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 2 + \left(16 a^{17} + 22 a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 14 a^{13} + 26 a^{11} + 9 a^{10} + 4 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31 + \left(28 a^{17} + 11 a^{16} + 26 a^{15} + 2 a^{14} + 8 a^{13} + 18 a^{12} + 7 a^{11} + 29 a^{10} + 27 a^{9} + 16 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{17} + 16 a^{16} + 11 a^{15} + 27 a^{14} + 6 a^{13} + 28 a^{12} + 23 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 28 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{17} + 11 a^{16} + 25 a^{15} + 8 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{17} + 28 a^{16} + 19 a^{15} + 16 a^{14} + 9 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{17} + 19 a^{16} + 23 a^{15} + 7 a^{14} + 10 a^{13} + 2 a^{12} + 25 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{17} + 26 a^{16} + 16 a^{15} + 29 a^{14} + 6 a^{13} + 21 a^{12} + 6 a^{11} + 11 a^{10} + 26 a^{9} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 19 a^{17} + 27 a^{16} + 4 a^{14} + 18 a^{13} + 23 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 26 + \left(2 a^{17} + 2 a^{16} + 15 a^{15} + 11 a^{14} + 13 a^{13} + 4 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31 + \left(9 a^{17} + 25 a^{16} + 13 a^{15} + 17 a^{14} + 2 a^{13} + a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{2} + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{17} + 21 a^{16} + 16 a^{15} + 9 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{17} + 13 a^{16} + 22 a^{15} + 15 a^{14} + 20 a^{13} + a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + 20 a^{9} + 23 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 15 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{17} + 12 a^{16} + 8 a^{15} + 5 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{17} + 17 a^{16} + 20 a^{15} + 21 a^{14} + 15 a^{13} + 8 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{17} + 2 a^{16} + 29 a^{14} + 28 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 23 a^{10} + 30 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 13 a^{17} + 15 a^{16} + 11 a^{15} + 9 a^{14} + 10 a^{13} + 26 a^{12} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 25 + \left(29 a^{16} + 12 a^{15} + 15 a^{14} + 4 a^{13} + 22 a^{12} + 7 a^{11} + 17 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31 + \left(11 a^{17} + 30 a^{16} + 7 a^{15} + 4 a^{14} + 25 a^{13} + 9 a^{12} + 29 a^{11} + 19 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{17} + a^{16} + 2 a^{15} + 17 a^{14} + 10 a^{13} + 13 a^{12} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{17} + 19 a^{16} + 30 a^{15} + 23 a^{14} + a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{17} + 12 a^{16} + 20 a^{15} + 26 a^{14} + 8 a^{12} + 29 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{17} + 18 a^{16} + 12 a^{15} + 10 a^{14} + 27 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 30 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{17} + 22 a^{16} + 24 a^{15} + 27 a^{14} + 14 a^{13} + 20 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 10 a^{17} + 16 a^{16} + 17 a^{15} + 19 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 16 + \left(9 a^{17} + 26 a^{16} + 30 a^{15} + 4 a^{14} + 5 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + 11 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31 + \left(2 a^{17} + 24 a^{16} + 28 a^{15} + 13 a^{14} + 15 a^{13} + 22 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 23 a^{9} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{17} + 12 a^{16} + 29 a^{15} + 14 a^{14} + 20 a^{13} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{17} + 28 a^{16} + 4 a^{15} + 13 a^{14} + a^{13} + 17 a^{12} + 29 a^{11} + 30 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{16} + 19 a^{15} + 25 a^{14} + 30 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 4 a^{10} + 29 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{17} + 3 a^{16} + 4 a^{15} + 11 a^{14} + 9 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{11} + 26 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{17} + 17 a^{16} + 16 a^{15} + 27 a^{14} + 23 a^{13} + 4 a^{12} + 30 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 2 a^{17} + 26 a^{16} + 20 a^{15} + 28 a^{14} + 16 a^{13} + 6 a^{12} + 4 a^{11} + 4 a^{10} + 29 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 3 + \left(8 a^{17} + 15 a^{16} + 11 a^{15} + 14 a^{14} + 15 a^{13} + 17 a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 31 + \left(30 a^{17} + 20 a^{16} + 13 a^{15} + 2 a^{14} + 17 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{17} + 5 a^{16} + 25 a^{15} + 27 a^{14} + 27 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 3 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 17 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{17} + 18 a^{16} + 12 a^{15} + 23 a^{14} + 15 a^{13} + 23 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{17} + 25 a^{16} + 7 a^{15} + 3 a^{14} + 16 a^{13} + 28 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{17} + 18 a^{16} + 12 a^{15} + 22 a^{14} + 13 a^{13} + 13 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{17} + 25 a^{16} + 15 a^{15} + 21 a^{14} + 12 a^{13} + 23 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 21 a^{17} + 7 a^{16} + 4 a^{15} + 16 a^{14} + 8 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 23 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 25 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 25 + \left(22 a^{17} + 9 a^{16} + 4 a^{15} + 7 a^{14} + 26 a^{13} + 24 a^{12} + 19 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31 + \left(26 a^{17} + 18 a^{16} + 15 a^{15} + 9 a^{14} + 10 a^{13} + 28 a^{12} + 20 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{17} + 30 a^{16} + 3 a^{15} + 2 a^{14} + 20 a^{13} + 11 a^{12} + 29 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{17} + 15 a^{16} + 12 a^{15} + 25 a^{14} + 30 a^{13} + 5 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{17} + 16 a^{16} + 30 a^{14} + 17 a^{13} + 17 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{17} + 10 a^{16} + 20 a^{15} + 27 a^{14} + 6 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 30 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{17} + 20 a^{16} + 27 a^{15} + 10 a^{14} + 18 a^{13} + 4 a^{12} + 29 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 7 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 14 a^{17} + 7 a^{16} + 22 a^{15} + 12 a^{14} + 5 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 30 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 23 + \left(30 a^{17} + 18 a^{16} + a^{15} + 29 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31 + \left(26 a^{16} + 6 a^{15} + 7 a^{14} + a^{13} + 13 a^{12} + 3 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{9} + 17 a^{8} + 23 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{17} + 22 a^{16} + 18 a^{15} + 10 a^{14} + 23 a^{13} + 12 a^{12} + 28 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{17} + 28 a^{16} + 16 a^{15} + 24 a^{14} + 29 a^{13} + 2 a^{12} + 17 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{17} + 22 a^{16} + 18 a^{14} + 21 a^{13} + 25 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{17} + 24 a^{16} + 27 a^{15} + 19 a^{14} + 23 a^{13} + 28 a^{12} + 6 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{6} + 28 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{17} + 23 a^{16} + 26 a^{15} + 8 a^{14} + 28 a^{13} + 28 a^{12} + 9 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 12 a^{3} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 20 a^{17} + 3 a^{16} + a^{15} + 22 a^{14} + 9 a^{13} + 29 a^{12} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 12 a + 28 + \left(20 a^{17} + 26 a^{16} + 20 a^{15} + 7 a^{14} + 26 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 14 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31 + \left(23 a^{17} + 11 a^{16} + 4 a^{15} + 7 a^{14} + 9 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{17} + 8 a^{16} + 21 a^{14} + 26 a^{13} + 25 a^{12} + 2 a^{11} + 27 a^{10} + 27 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 9 a^{6} + 30 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{17} + 24 a^{16} + 22 a^{15} + 5 a^{14} + 17 a^{13} + 19 a^{12} + 22 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 30 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{17} + 20 a^{16} + 16 a^{15} + 8 a^{14} + 2 a^{13} + 17 a^{12} + 29 a^{11} + 23 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{17} + a^{16} + a^{15} + 21 a^{14} + 9 a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{17} + 10 a^{16} + 8 a^{15} + 30 a^{14} + 4 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 20 a^{17} + 17 a^{16} + 20 a^{15} + 24 a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 25 a + 20 + \left(22 a^{17} + 28 a^{16} + 20 a^{15} + 18 a^{14} + 25 a^{13} + 24 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31 + \left(30 a^{17} + 7 a^{16} + 23 a^{15} + 13 a^{14} + 14 a^{13} + 20 a^{12} + 4 a^{11} + 15 a^{10} + 15 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{17} + 10 a^{16} + 8 a^{15} + 10 a^{14} + 14 a^{13} + 13 a^{12} + 25 a^{11} + 9 a^{10} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{17} + 7 a^{16} + 2 a^{15} + 24 a^{14} + 20 a^{13} + 17 a^{12} + 13 a^{11} + 29 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{17} + 19 a^{16} + 12 a^{15} + 26 a^{14} + 24 a^{13} + 4 a^{12} + 29 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{16} + 27 a^{15} + 3 a^{14} + 17 a^{13} + 17 a^{12} + 3 a^{11} + 26 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{17} + 12 a^{16} + 21 a^{15} + 26 a^{14} + 18 a^{13} + 26 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 16 a^{17} + 20 a^{16} + 11 a^{15} + 26 a^{14} + 19 a^{13} + 30 a^{12} + 4 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6 + \left(19 a^{16} + 18 a^{15} + 26 a^{14} + 11 a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{11} + 24 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31 + \left(4 a^{17} + 3 a^{16} + 15 a^{15} + 14 a^{14} + 29 a^{13} + 22 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 4 a^{9} + 28 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{17} + 22 a^{16} + 29 a^{15} + 18 a^{14} + 27 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{17} + 10 a^{16} + 15 a^{15} + 14 a^{14} + 28 a^{13} + 8 a^{12} + 29 a^{11} + 4 a^{10} + 21 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{17} + 25 a^{16} + 28 a^{15} + 7 a^{14} + 20 a^{13} + a^{12} + 26 a^{11} + 15 a^{10} + 16 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{17} + 10 a^{16} + 14 a^{15} + 4 a^{14} + 25 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(16 a^{17} + 14 a^{16} + 19 a^{15} + 13 a^{14} + 30 a^{13} + 11 a^{12} + 17 a^{11} + 8 a^{10} + a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 21 a^{17} + a^{16} + 6 a^{15} + 12 a^{14} + 29 a^{13} + a^{12} + 29 a^{11} + 22 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 26 a^{6} + 30 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 5 + \left(27 a^{17} + 27 a^{15} + 16 a^{14} + 25 a^{13} + 4 a^{12} + 23 a^{11} + 19 a^{10} + 9 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31 + \left(18 a^{17} + 2 a^{16} + 23 a^{15} + 12 a^{14} + 29 a^{13} + 26 a^{12} + 6 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{17} + 25 a^{16} + 14 a^{15} + 7 a^{14} + 27 a^{13} + 14 a^{12} + 22 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{17} + 29 a^{16} + 30 a^{15} + 18 a^{14} + 13 a^{13} + 24 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{17} + a^{16} + 7 a^{15} + 12 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 3 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{17} + 26 a^{16} + 15 a^{15} + a^{14} + 29 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 26 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{16} + 15 a^{15} + 4 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{12} + 22 a^{11} + a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 26 a^{17} + 5 a^{16} + 26 a^{15} + 22 a^{14} + 6 a^{13} + 8 a^{12} + 20 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 27 + \left(26 a^{17} + 25 a^{16} + 10 a^{15} + 7 a^{14} + 28 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31 + \left(4 a^{17} + 15 a^{16} + 21 a^{15} + 18 a^{14} + 27 a^{13} + 2 a^{12} + 6 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{16} + 28 a^{15} + 15 a^{14} + 9 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{17} + 28 a^{16} + 6 a^{15} + 16 a^{14} + 28 a^{13} + 30 a^{12} + 7 a^{11} + 13 a^{10} + 10 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{17} + 7 a^{16} + 9 a^{15} + 30 a^{14} + 9 a^{13} + 18 a^{12} + 27 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{17} + 28 a^{16} + 27 a^{15} + 8 a^{14} + 29 a^{13} + 5 a^{12} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{17} + 22 a^{16} + 13 a^{15} + 27 a^{14} + 30 a^{13} + 30 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{7} +O(31^{8})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 27 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 27 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,15)(2,22)(3,19)(4,7)(6,18)(16,23)(20,26)(21,27)(24,25)$ | $0$ |
| $1$ | $3$ | $(1,27,3)(2,6,4)(5,10,17)(7,22,18)(8,12,13)(9,14,11)(15,21,19)(16,26,25)(20,24,23)$ | $-2 \zeta_{9}^{3} - 2$ |
| $1$ | $3$ | $(1,3,27)(2,4,6)(5,17,10)(7,18,22)(8,13,12)(9,11,14)(15,19,21)(16,25,26)(20,23,24)$ | $2 \zeta_{9}^{3}$ |
| $2$ | $3$ | $(1,9,15)(2,22,8)(3,11,19)(4,7,13)(5,23,16)(6,18,12)(10,20,26)(14,21,27)(17,24,25)$ | $-1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,14,19)(2,18,13)(3,9,21)(4,22,12)(5,20,25)(6,7,8)(10,24,16)(11,15,27)(17,23,26)$ | $\zeta_{9}^{3} + 1$ |
| $2$ | $3$ | $(1,19,14)(2,13,18)(3,21,9)(4,12,22)(5,25,20)(6,8,7)(10,16,24)(11,27,15)(17,26,23)$ | $-\zeta_{9}^{3}$ |
| $3$ | $6$ | $(1,21,3,15,27,19)(2,18,4,22,6,7)(5,10,17)(8,12,13)(9,14,11)(16,20,25,23,26,24)$ | $0$ |
| $3$ | $6$ | $(1,19,27,15,3,21)(2,7,6,22,4,18)(5,17,10)(8,13,12)(9,11,14)(16,24,26,23,25,20)$ | $0$ |
| $1$ | $9$ | $(1,16,22,3,25,7,27,26,18)(2,19,24,4,21,20,6,15,23)(5,8,11,17,13,14,10,12,9)$ | $2 \zeta_{9}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,22,25,27,18,16,3,7,26)(2,24,21,6,23,19,4,20,15)(5,11,13,10,9,8,17,14,12)$ | $2 \zeta_{9}^{2}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,25,18,3,26,22,27,16,7)(2,21,23,4,15,24,6,19,20)(5,13,9,17,12,11,10,8,14)$ | $2 \zeta_{9}^{4}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,7,16,27,22,26,3,18,25)(2,20,19,6,24,15,4,23,21)(5,14,8,10,11,12,17,9,13)$ | $2 \zeta_{9}^{5}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,26,7,3,16,18,27,25,22)(2,15,20,4,19,23,6,21,24)(5,12,14,17,8,9,10,13,11)$ | $-2 \zeta_{9}^{4} - 2 \zeta_{9}$ |
| $1$ | $9$ | $(1,18,26,27,7,25,3,22,16)(2,23,15,6,20,21,4,24,19)(5,9,12,10,14,13,17,11,8)$ | $-2 \zeta_{9}^{5} - 2 \zeta_{9}^{2}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,13,23,27,8,20,3,12,24)(2,26,11,6,25,9,4,16,14)(5,21,22,10,19,18,17,15,7)$ | $-\zeta_{9}^{5}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,23,8,3,24,13,27,20,12)(2,11,25,4,14,26,6,9,16)(5,22,19,17,7,21,10,18,15)$ | $-\zeta_{9}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,8,24,27,12,23,3,13,20)(2,25,14,6,16,11,4,26,9)(5,19,7,10,15,22,17,21,18)$ | $-\zeta_{9}^{2}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,20,13,3,23,12,27,24,8)(2,9,26,4,11,16,6,14,25)(5,18,21,17,22,15,10,7,19)$ | $\zeta_{9}^{4} + \zeta_{9}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,12,20,27,13,24,3,8,23)(2,16,9,6,26,14,4,25,11)(5,15,18,10,21,7,17,19,22)$ | $\zeta_{9}^{5} + \zeta_{9}^{2}$ |
| $2$ | $9$ | $(1,24,12,3,20,8,27,23,13)(2,14,16,4,9,25,6,11,26)(5,7,15,17,18,19,10,22,21)$ | $-\zeta_{9}^{4}$ |
| $3$ | $18$ | $(1,4,16,21,22,20,3,6,25,15,7,23,27,2,26,19,18,24)(5,14,8,10,11,12,17,9,13)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,20,7,19,16,6,27,24,22,15,26,4,3,23,18,21,25,2)(5,12,14,17,8,9,10,13,11)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,6,26,21,7,24,3,2,16,15,18,20,27,4,25,19,22,23)(5,9,12,10,14,13,17,11,8)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,23,22,19,25,4,27,20,18,15,16,2,3,24,7,21,26,6)(5,8,11,17,13,14,10,12,9)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,2,25,21,18,23,3,4,26,15,22,24,27,6,16,19,7,20)(5,11,13,10,9,8,17,14,12)$ | $0$ |
| $3$ | $18$ | $(1,24,18,19,26,2,27,23,7,15,25,6,3,20,22,21,16,4)(5,13,9,17,12,11,10,8,14)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.