Properties

Label 2.28919.25t4.a.g
Dimension $2$
Group $D_{25}$
Conductor $28919$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: $D_{25}$
Conductor: \(28919\)\(\medspace = 11^{2} \cdot 239 \)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: Galois closure of 25.1.23368375067493109808662942110693103411946589151921.1
Galois orbit size: $10$
Smallest permutation container: $D_{25}$
Parity: odd
Determinant: 1.239.2t1.a.a
Projective image: $D_{25}$
Projective stem field: Galois closure of 25.1.23368375067493109808662942110693103411946589151921.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$ \( x^{25} - 7 x^{24} + 49 x^{23} - 283 x^{22} + 1302 x^{21} - 5636 x^{20} + 22809 x^{19} - 80739 x^{18} + 282358 x^{17} - 893429 x^{16} + 2621604 x^{15} - 6788665 x^{14} + \cdots - 447083 \) Copy content Toggle raw display .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 5.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: \( x^{25} + 9x^{5} + 28x^{4} + 9x^{3} + 21x^{2} + 27 \) Copy content Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 9 a^{23} + 12 a^{22} + 20 a^{21} + 21 a^{20} + 15 a^{19} + 19 a^{18} + 24 a^{17} + 5 a^{16} + 24 a^{15} + 25 a^{14} + 14 a^{13} + 21 a^{12} + 7 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 19 a + 15 + \left(3 a^{24} + 18 a^{23} + 2 a^{22} + 17 a^{21} + 15 a^{20} + 23 a^{19} + 12 a^{18} + 16 a^{17} + 18 a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 3 a^{13} + 17 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 29 + \left(11 a^{24} + 18 a^{23} + 8 a^{22} + 27 a^{21} + 20 a^{20} + 11 a^{19} + 18 a^{18} + 22 a^{17} + 12 a^{16} + 13 a^{15} + 27 a^{14} + 25 a^{13} + 23 a^{12} + 25 a^{11} + 7 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{24} + 10 a^{23} + 27 a^{22} + 11 a^{21} + 28 a^{20} + a^{19} + 6 a^{18} + 10 a^{17} + 22 a^{16} + 21 a^{15} + 24 a^{14} + 17 a^{13} + 16 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 3 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{23} + 26 a^{22} + 26 a^{21} + 15 a^{19} + 17 a^{18} + 19 a^{17} + 8 a^{16} + 25 a^{15} + 9 a^{14} + 7 a^{13} + 11 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( a^{24} + 13 a^{23} + 19 a^{22} + 23 a^{21} + 28 a^{20} + 23 a^{19} + 21 a^{18} + 2 a^{17} + 8 a^{16} + 26 a^{15} + 7 a^{14} + 7 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 10 + \left(9 a^{24} + 8 a^{23} + 7 a^{22} + 5 a^{21} + 23 a^{20} + 6 a^{19} + 17 a^{18} + a^{17} + 25 a^{16} + 19 a^{15} + 22 a^{14} + 25 a^{13} + 4 a^{12} + 11 a^{11} + 7 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 29 + \left(16 a^{24} + 8 a^{23} + 28 a^{22} + 20 a^{21} + a^{19} + 11 a^{18} + 3 a^{17} + 14 a^{16} + 4 a^{15} + 2 a^{14} + 27 a^{13} + 5 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 23 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{24} + 11 a^{23} + 10 a^{22} + 24 a^{21} + 28 a^{20} + 14 a^{19} + 8 a^{18} + 19 a^{17} + 10 a^{16} + 7 a^{15} + 8 a^{14} + 14 a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 14 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{24} + 22 a^{23} + 28 a^{22} + 18 a^{21} + 26 a^{20} + 4 a^{19} + 20 a^{17} + 27 a^{16} + 5 a^{15} + 13 a^{14} + 28 a^{13} + 23 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 2 a^{24} + 9 a^{23} + 23 a^{22} + 17 a^{21} + 26 a^{20} + 23 a^{19} + 7 a^{18} + 18 a^{17} + 13 a^{16} + 23 a^{15} + 19 a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 20 + \left(27 a^{24} + 22 a^{23} + 15 a^{22} + 10 a^{21} + 20 a^{20} + 26 a^{19} + 14 a^{18} + 14 a^{17} + 24 a^{16} + 9 a^{14} + 12 a^{13} + 2 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 8 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 6\right)\cdot 29 + \left(3 a^{24} + 2 a^{23} + 3 a^{22} + 6 a^{21} + 16 a^{19} + 4 a^{18} + 20 a^{17} + 3 a^{16} + 9 a^{15} + 8 a^{14} + 13 a^{13} + 22 a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{24} + 17 a^{23} + 18 a^{22} + 9 a^{21} + 19 a^{20} + 27 a^{19} + 18 a^{18} + 8 a^{17} + 22 a^{16} + 2 a^{15} + 3 a^{14} + 20 a^{13} + 17 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + a + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{24} + 24 a^{23} + 8 a^{22} + 13 a^{21} + 4 a^{20} + 18 a^{19} + 11 a^{18} + 20 a^{17} + 5 a^{16} + 17 a^{15} + 9 a^{14} + 18 a^{13} + 10 a^{12} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 3 a^{24} + 20 a^{23} + 17 a^{22} + 13 a^{21} + 15 a^{20} + 4 a^{19} + 9 a^{18} + 3 a^{17} + 17 a^{16} + 22 a^{15} + 4 a^{14} + 2 a^{11} + 5 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 21 + \left(27 a^{24} + 19 a^{23} + 20 a^{22} + 17 a^{21} + 15 a^{20} + 20 a^{19} + 6 a^{18} + 13 a^{17} + 4 a^{16} + 12 a^{15} + 7 a^{14} + 20 a^{13} + 15 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 29 + \left(5 a^{24} + 27 a^{23} + 17 a^{22} + 27 a^{21} + 25 a^{20} + 8 a^{19} + 11 a^{18} + 23 a^{17} + 7 a^{16} + 11 a^{15} + 5 a^{14} + 9 a^{13} + 13 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{24} + 15 a^{23} + 13 a^{22} + 15 a^{21} + 25 a^{20} + 13 a^{19} + 26 a^{17} + 9 a^{16} + 16 a^{15} + a^{14} + 26 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{11} + 25 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{24} + 9 a^{23} + 3 a^{22} + 13 a^{20} + 6 a^{19} + 2 a^{18} + 4 a^{17} + 7 a^{16} + 3 a^{15} + 21 a^{14} + 19 a^{12} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 6 a^{24} + 9 a^{23} + 10 a^{22} + 9 a^{21} + 26 a^{20} + 8 a^{19} + 6 a^{18} + 25 a^{17} + 7 a^{16} + 2 a^{15} + 18 a^{14} + 27 a^{13} + 4 a^{12} + 11 a^{11} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 27 + \left(27 a^{24} + 26 a^{22} + 15 a^{21} + 7 a^{20} + 20 a^{19} + 12 a^{18} + 22 a^{17} + 9 a^{16} + 12 a^{15} + 9 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 29 + \left(25 a^{24} + 11 a^{23} + a^{22} + 2 a^{21} + 13 a^{20} + 17 a^{19} + 9 a^{18} + 26 a^{17} + 9 a^{16} + 3 a^{15} + 12 a^{14} + 13 a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{24} + 27 a^{23} + 12 a^{21} + 3 a^{20} + 12 a^{19} + 18 a^{18} + 10 a^{17} + 11 a^{16} + 25 a^{15} + 7 a^{14} + 6 a^{13} + 9 a^{12} + 15 a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 26 a^{6} + 16 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{24} + 4 a^{23} + 27 a^{22} + 19 a^{21} + 12 a^{20} + 6 a^{19} + 16 a^{18} + 14 a^{17} + 8 a^{16} + 11 a^{15} + 3 a^{14} + 20 a^{13} + 24 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{10} + 28 a^{9} + 20 a^{8} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 7 a^{24} + 16 a^{23} + 22 a^{22} + 10 a^{21} + 17 a^{20} + 17 a^{19} + 14 a^{18} + 3 a^{17} + 14 a^{16} + 10 a^{14} + 26 a^{13} + 6 a^{12} + 12 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 13 + \left(14 a^{24} + 25 a^{23} + 11 a^{22} + 21 a^{21} + 11 a^{20} + 2 a^{19} + 16 a^{18} + 2 a^{17} + 4 a^{16} + 15 a^{15} + 21 a^{14} + 15 a^{13} + 10 a^{12} + 5 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 29 + \left(23 a^{23} + 8 a^{22} + 7 a^{21} + 14 a^{20} + 22 a^{19} + 6 a^{18} + 5 a^{17} + 24 a^{16} + 6 a^{15} + 9 a^{14} + a^{13} + a^{12} + 23 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{24} + 8 a^{23} + 5 a^{22} + 6 a^{21} + 16 a^{20} + 16 a^{19} + 22 a^{18} + 20 a^{17} + 10 a^{16} + 19 a^{15} + 6 a^{14} + 15 a^{13} + 22 a^{12} + 17 a^{11} + 5 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{24} + 11 a^{23} + 23 a^{22} + 25 a^{21} + 27 a^{20} + 13 a^{19} + 16 a^{18} + 25 a^{17} + 24 a^{16} + 28 a^{15} + 25 a^{14} + 28 a^{13} + 11 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 8 a^{24} + 9 a^{23} + 24 a^{22} + 6 a^{21} + 7 a^{20} + 14 a^{19} + 6 a^{18} + 3 a^{17} + 22 a^{16} + 6 a^{15} + 6 a^{14} + 8 a^{13} + a^{12} + 27 a^{11} + 21 a^{10} + 26 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 21 + \left(10 a^{24} + 26 a^{23} + 4 a^{22} + 7 a^{21} + 27 a^{20} + 2 a^{19} + 17 a^{18} + 20 a^{17} + 8 a^{15} + 10 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 23 a^{9} + 22 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 29 + \left(21 a^{24} + 12 a^{23} + 27 a^{22} + 20 a^{21} + 19 a^{20} + 3 a^{19} + 3 a^{18} + 16 a^{16} + 23 a^{14} + 28 a^{13} + 26 a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 17 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{24} + 11 a^{23} + 14 a^{22} + 8 a^{21} + 22 a^{19} + 6 a^{18} + 19 a^{17} + 7 a^{16} + 19 a^{14} + 22 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{24} + 4 a^{23} + 10 a^{22} + 3 a^{21} + 8 a^{20} + 24 a^{19} + 18 a^{18} + 15 a^{17} + 9 a^{16} + 20 a^{15} + 7 a^{14} + 20 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 19 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 8 a^{24} + 21 a^{23} + 14 a^{22} + 5 a^{21} + 28 a^{20} + 26 a^{19} + 26 a^{18} + 13 a^{17} + 23 a^{16} + 27 a^{15} + 26 a^{14} + 16 a^{13} + a^{11} + 8 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a + 9 + \left(3 a^{23} + 26 a^{22} + 2 a^{21} + 16 a^{20} + 17 a^{18} + 27 a^{17} + 27 a^{16} + 9 a^{15} + 16 a^{14} + 16 a^{13} + 4 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{7} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 29 + \left(7 a^{24} + 7 a^{23} + 5 a^{22} + a^{21} + 21 a^{20} + 6 a^{19} + 27 a^{18} + 28 a^{17} + 25 a^{16} + 9 a^{15} + 10 a^{14} + 12 a^{13} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 29^{2} + \left(4 a^{24} + 15 a^{23} + 10 a^{22} + 10 a^{21} + 11 a^{20} + 7 a^{19} + 14 a^{18} + 28 a^{17} + 2 a^{16} + 14 a^{14} + 11 a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{24} + 9 a^{23} + 24 a^{22} + 22 a^{21} + 7 a^{20} + 2 a^{19} + 21 a^{18} + 13 a^{17} + 13 a^{16} + 12 a^{15} + 11 a^{14} + 24 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 9 a^{24} + 20 a^{23} + 26 a^{22} + 27 a^{21} + 11 a^{20} + 21 a^{19} + 8 a^{18} + 5 a^{16} + 21 a^{15} + 13 a^{14} + 8 a^{13} + 7 a^{12} + 22 a^{10} + 5 a^{9} + 22 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 3 + \left(28 a^{24} + 3 a^{23} + 20 a^{22} + 18 a^{21} + 10 a^{20} + 5 a^{19} + 3 a^{18} + 15 a^{17} + 28 a^{16} + 3 a^{15} + 7 a^{14} + 26 a^{13} + 13 a^{12} + 27 a^{11} + 12 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a + 5\right)\cdot 29 + \left(21 a^{24} + 20 a^{23} + 3 a^{22} + 21 a^{21} + 19 a^{20} + 19 a^{19} + 6 a^{18} + 5 a^{17} + 13 a^{16} + 19 a^{15} + 14 a^{14} + 11 a^{13} + 17 a^{12} + 12 a^{11} + 3 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{24} + 12 a^{23} + a^{22} + 27 a^{21} + 18 a^{20} + 23 a^{19} + 18 a^{18} + 10 a^{17} + 25 a^{16} + 22 a^{15} + 3 a^{14} + 16 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{24} + 25 a^{23} + 24 a^{22} + 22 a^{21} + 5 a^{20} + 21 a^{19} + 10 a^{18} + 21 a^{17} + 28 a^{16} + 19 a^{15} + 2 a^{14} + 20 a^{13} + 10 a^{12} + 24 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 9 a^{24} + 23 a^{23} + 22 a^{22} + 15 a^{21} + 25 a^{20} + 28 a^{18} + 21 a^{17} + 7 a^{16} + 8 a^{15} + 6 a^{14} + 21 a^{13} + 13 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 23 + \left(8 a^{24} + 18 a^{23} + 12 a^{22} + 5 a^{21} + 12 a^{20} + 6 a^{19} + 28 a^{18} + 3 a^{17} + 2 a^{16} + 25 a^{15} + 25 a^{14} + 19 a^{13} + 24 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 16 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 29 + \left(15 a^{24} + 17 a^{23} + 9 a^{22} + 23 a^{21} + a^{20} + 10 a^{19} + a^{18} + 14 a^{17} + 13 a^{16} + 27 a^{15} + 6 a^{14} + 3 a^{13} + 9 a^{12} + 23 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{24} + 3 a^{23} + 12 a^{22} + 13 a^{21} + 24 a^{19} + 18 a^{18} + 22 a^{17} + 20 a^{15} + 8 a^{14} + 19 a^{13} + 14 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{24} + 11 a^{23} + 6 a^{22} + 23 a^{21} + 21 a^{20} + 3 a^{19} + 18 a^{18} + 5 a^{17} + 28 a^{16} + 24 a^{15} + 8 a^{14} + 18 a^{13} + 28 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 10 a^{24} + 17 a^{23} + 18 a^{22} + 15 a^{21} + 2 a^{20} + 5 a^{19} + 21 a^{18} + 19 a^{17} + 18 a^{16} + 21 a^{15} + 23 a^{14} + 6 a^{13} + 17 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 23 + \left(20 a^{23} + 22 a^{22} + 4 a^{21} + 22 a^{20} + 11 a^{19} + 23 a^{18} + 6 a^{17} + 19 a^{16} + 23 a^{15} + 2 a^{14} + 14 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a + 13\right)\cdot 29 + \left(6 a^{24} + 11 a^{23} + 8 a^{22} + 16 a^{21} + 28 a^{20} + 21 a^{19} + 22 a^{18} + 9 a^{17} + 28 a^{16} + 21 a^{15} + 3 a^{14} + 4 a^{13} + 9 a^{12} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{24} + 4 a^{23} + 7 a^{22} + 9 a^{21} + 26 a^{20} + 3 a^{19} + 28 a^{18} + 5 a^{17} + 15 a^{16} + 26 a^{15} + 14 a^{14} + 25 a^{13} + 6 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{24} + 2 a^{23} + 8 a^{22} + 5 a^{21} + 4 a^{20} + 4 a^{19} + 23 a^{18} + 17 a^{17} + 22 a^{16} + 10 a^{15} + 26 a^{14} + 26 a^{13} + 8 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 11 a^{24} + 4 a^{23} + 25 a^{22} + 27 a^{21} + 11 a^{20} + 28 a^{19} + 20 a^{18} + 2 a^{17} + 5 a^{16} + 19 a^{15} + 11 a^{14} + 7 a^{13} + 18 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 22 a^{7} + 27 a^{6} + 20 a^{5} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 27 + \left(5 a^{24} + 25 a^{23} + 23 a^{22} + 27 a^{21} + 10 a^{20} + 12 a^{19} + 6 a^{18} + 12 a^{17} + 25 a^{16} + 16 a^{15} + 3 a^{14} + 5 a^{13} + a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 29 + \left(16 a^{24} + 15 a^{23} + 10 a^{22} + 24 a^{21} + 22 a^{20} + 14 a^{19} + 19 a^{18} + 13 a^{17} + 9 a^{16} + a^{15} + 24 a^{14} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 28 a^{11} + 27 a^{10} + 15 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{24} + 13 a^{23} + 10 a^{22} + 20 a^{21} + 14 a^{20} + 25 a^{19} + 23 a^{18} + 15 a^{17} + 21 a^{16} + 27 a^{15} + 10 a^{14} + 4 a^{12} + 25 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{24} + 9 a^{23} + 13 a^{22} + 13 a^{21} + 11 a^{20} + 22 a^{19} + 6 a^{18} + 13 a^{17} + 18 a^{16} + 9 a^{15} + 27 a^{14} + 11 a^{13} + 24 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 12 a^{24} + 21 a^{23} + 7 a^{22} + 12 a^{21} + 17 a^{20} + 19 a^{19} + 2 a^{18} + 25 a^{17} + 6 a^{16} + 8 a^{15} + 11 a^{14} + 9 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 10 + \left(7 a^{24} + 7 a^{23} + 22 a^{22} + 16 a^{21} + 14 a^{20} + 6 a^{19} + 28 a^{18} + 25 a^{17} + 4 a^{16} + 18 a^{15} + 3 a^{14} + 23 a^{13} + 24 a^{12} + 20 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 29 + \left(4 a^{24} + 5 a^{23} + 14 a^{22} + 22 a^{21} + 5 a^{20} + 18 a^{19} + 25 a^{18} + 27 a^{17} + 4 a^{16} + 4 a^{15} + 10 a^{14} + 25 a^{13} + 17 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{24} + 3 a^{23} + 28 a^{22} + a^{21} + 18 a^{20} + 17 a^{19} + 13 a^{18} + 17 a^{17} + a^{16} + 5 a^{15} + 12 a^{14} + 10 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{24} + 21 a^{23} + 21 a^{21} + 10 a^{20} + 22 a^{19} + 10 a^{18} + 18 a^{17} + 23 a^{16} + 27 a^{15} + 19 a^{14} + 23 a^{13} + 11 a^{12} + 11 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 13 a^{24} + 2 a^{23} + 15 a^{22} + 20 a^{21} + 20 a^{20} + 10 a^{19} + 8 a^{18} + 7 a^{17} + 9 a^{16} + 26 a^{14} + 4 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 10 + \left(6 a^{24} + 7 a^{23} + 3 a^{22} + 17 a^{21} + 18 a^{20} + 23 a^{19} + 19 a^{18} + 14 a^{17} + 27 a^{16} + 25 a^{15} + 24 a^{14} + 22 a^{13} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 29 + \left(28 a^{23} + 9 a^{22} + 14 a^{21} + 14 a^{20} + 8 a^{19} + 9 a^{18} + 25 a^{17} + 15 a^{16} + 12 a^{15} + 14 a^{13} + 28 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 9 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{24} + 17 a^{23} + 28 a^{22} + 5 a^{21} + 27 a^{20} + 7 a^{19} + 28 a^{18} + 15 a^{17} + 6 a^{16} + 25 a^{15} + 25 a^{14} + 19 a^{13} + 21 a^{12} + 18 a^{11} + 23 a^{10} + 26 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{24} + 6 a^{23} + 20 a^{22} + 22 a^{21} + 11 a^{20} + 10 a^{19} + 9 a^{18} + 3 a^{17} + 23 a^{16} + 2 a^{15} + 25 a^{14} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 13 a^{24} + 13 a^{23} + 27 a^{22} + 8 a^{21} + 5 a^{19} + 17 a^{18} + a^{17} + 10 a^{16} + 6 a^{15} + 24 a^{14} + 9 a^{13} + 21 a^{12} + 18 a^{11} + 7 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 15 a + 5 + \left(a^{24} + 24 a^{23} + 5 a^{22} + 11 a^{21} + 25 a^{20} + 12 a^{19} + 11 a^{18} + 8 a^{16} + 6 a^{15} + 25 a^{14} + 2 a^{13} + 22 a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 29 + \left(27 a^{24} + 24 a^{23} + 21 a^{22} + 6 a^{20} + 16 a^{19} + 5 a^{18} + 10 a^{17} + 27 a^{16} + 19 a^{15} + 12 a^{14} + 6 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{24} + 10 a^{23} + 26 a^{22} + 25 a^{21} + 11 a^{20} + 23 a^{19} + 21 a^{18} + 25 a^{17} + a^{16} + 5 a^{15} + 18 a^{14} + 9 a^{13} + 8 a^{12} + 23 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{24} + 28 a^{23} + 26 a^{22} + 21 a^{21} + 8 a^{20} + 5 a^{19} + 3 a^{18} + 25 a^{17} + a^{16} + 18 a^{15} + 20 a^{14} + 22 a^{13} + 8 a^{12} + 12 a^{11} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 13 a^{24} + 16 a^{23} + 7 a^{22} + 4 a^{21} + 28 a^{20} + 13 a^{19} + 26 a^{18} + 27 a^{17} + 8 a^{16} + 16 a^{15} + 4 a^{14} + 18 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 26 + \left(25 a^{24} + 11 a^{23} + 23 a^{22} + 13 a^{21} + 27 a^{20} + 27 a^{19} + 22 a^{18} + 7 a^{17} + 25 a^{16} + 3 a^{15} + 4 a^{14} + 19 a^{13} + 4 a^{12} + 14 a^{11} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 29 + \left(21 a^{24} + 10 a^{23} + 15 a^{22} + 26 a^{21} + 25 a^{20} + 8 a^{19} + 15 a^{18} + 18 a^{17} + 6 a^{16} + 4 a^{15} + 16 a^{14} + 20 a^{13} + 3 a^{12} + 14 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{24} + 26 a^{23} + 5 a^{22} + 26 a^{21} + 7 a^{20} + 16 a^{19} + 16 a^{18} + 13 a^{17} + a^{16} + 10 a^{15} + 5 a^{14} + 5 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{24} + 20 a^{23} + 25 a^{22} + 5 a^{21} + 13 a^{20} + 17 a^{19} + 26 a^{18} + 17 a^{17} + 14 a^{16} + 3 a^{15} + 21 a^{14} + 27 a^{13} + 8 a^{12} + 25 a^{11} + 7 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{7} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 15 a^{24} + 14 a^{23} + 8 a^{22} + 22 a^{21} + 15 a^{20} + 11 a^{19} + 16 a^{18} + 24 a^{17} + 6 a^{16} + 4 a^{15} + 15 a^{14} + 13 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 13 + \left(15 a^{24} + 5 a^{23} + 17 a^{22} + a^{21} + 8 a^{20} + 9 a^{19} + 21 a^{18} + 5 a^{17} + 28 a^{16} + 28 a^{15} + 17 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 7 a + 26\right)\cdot 29 + \left(26 a^{24} + 15 a^{23} + 15 a^{22} + 20 a^{21} + 27 a^{20} + 12 a^{19} + 21 a^{18} + 16 a^{17} + 25 a^{16} + 13 a^{15} + 17 a^{14} + 17 a^{13} + 22 a^{12} + 27 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{4} + 23 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{24} + 17 a^{23} + 3 a^{22} + 3 a^{21} + 10 a^{20} + 21 a^{19} + 21 a^{18} + 8 a^{17} + 12 a^{16} + 26 a^{15} + 16 a^{14} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{24} + 17 a^{23} + 2 a^{22} + a^{21} + 10 a^{20} + 4 a^{19} + 17 a^{18} + 3 a^{17} + 21 a^{16} + 27 a^{15} + a^{14} + 13 a^{13} + 22 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 17 a^{24} + 17 a^{23} + 3 a^{22} + 21 a^{21} + 8 a^{20} + 17 a^{19} + 23 a^{18} + 10 a^{17} + 15 a^{16} + 27 a^{15} + 2 a^{14} + 22 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 5 + \left(19 a^{24} + 4 a^{23} + 25 a^{22} + 16 a^{21} + 14 a^{20} + 21 a^{19} + 13 a^{18} + 15 a^{17} + 12 a^{16} + a^{15} + 6 a^{14} + 21 a^{13} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 29 + \left(3 a^{23} + 27 a^{22} + 16 a^{21} + 11 a^{20} + 27 a^{19} + 19 a^{18} + 3 a^{17} + a^{16} + 5 a^{15} + 21 a^{14} + 25 a^{13} + 5 a^{12} + 26 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{24} + 25 a^{22} + 19 a^{21} + 11 a^{20} + 22 a^{19} + 22 a^{18} + 12 a^{17} + 7 a^{16} + 21 a^{15} + 27 a^{14} + 28 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{24} + 11 a^{23} + 12 a^{22} + 3 a^{21} + 5 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 16 a^{17} + 6 a^{16} + 16 a^{15} + 8 a^{14} + 7 a^{13} + 5 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 18 a^{24} + 7 a^{23} + 18 a^{22} + 10 a^{21} + 25 a^{20} + 9 a^{19} + 8 a^{18} + 22 a^{17} + 12 a^{16} + a^{15} + a^{14} + 27 a^{13} + 8 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{2} + 13 a + 17 + \left(21 a^{24} + 13 a^{23} + 25 a^{22} + 17 a^{21} + 13 a^{20} + 6 a^{19} + 24 a^{18} + a^{17} + 9 a^{16} + 13 a^{15} + 22 a^{14} + 13 a^{13} + 17 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 17 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 24\right)\cdot 29 + \left(21 a^{24} + 6 a^{23} + 25 a^{22} + 28 a^{21} + 23 a^{20} + 2 a^{19} + 27 a^{18} + 25 a^{17} + 5 a^{16} + 22 a^{14} + 14 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 27 a^{6} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{24} + 7 a^{22} + 21 a^{21} + a^{20} + 15 a^{19} + 18 a^{18} + 19 a^{17} + 22 a^{16} + 9 a^{15} + 20 a^{14} + 2 a^{13} + 28 a^{12} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{24} + 27 a^{23} + 6 a^{22} + 9 a^{21} + 14 a^{20} + 14 a^{19} + 24 a^{18} + 16 a^{17} + 19 a^{16} + 8 a^{15} + 26 a^{14} + 24 a^{13} + 7 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( 19 a^{24} + 13 a^{23} + 6 a^{22} + 11 a^{21} + 6 a^{20} + 25 a^{19} + 7 a^{18} + 21 a^{17} + 27 a^{16} + 21 a^{15} + 3 a^{14} + 23 a^{13} + 22 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 8 a + \left(27 a^{24} + 7 a^{23} + 12 a^{22} + 4 a^{21} + 23 a^{20} + 13 a^{19} + 20 a^{18} + 28 a^{17} + 16 a^{16} + 4 a^{15} + 8 a^{14} + 5 a^{13} + 28 a^{12} + 7 a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{3} + a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 29 + \left(4 a^{24} + 25 a^{23} + 18 a^{22} + 3 a^{21} + 11 a^{20} + 26 a^{19} + 28 a^{18} + 20 a^{17} + 11 a^{16} + 20 a^{15} + 25 a^{14} + 3 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 19 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{24} + 24 a^{23} + 7 a^{22} + 13 a^{21} + 16 a^{20} + 12 a^{19} + 12 a^{18} + 12 a^{17} + 3 a^{16} + 3 a^{15} + 4 a^{14} + 9 a^{13} + 2 a^{12} + 23 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{24} + 3 a^{23} + a^{22} + a^{21} + 15 a^{20} + 27 a^{19} + 18 a^{18} + 24 a^{17} + 24 a^{16} + 2 a^{15} + 23 a^{14} + 5 a^{13} + 8 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 21 a^{24} + 4 a^{23} + 17 a^{22} + 28 a^{21} + 23 a^{20} + 28 a^{19} + 18 a^{18} + 12 a^{17} + 2 a^{16} + 16 a^{15} + 14 a^{14} + 13 a^{13} + a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 26 + \left(21 a^{24} + 13 a^{23} + 24 a^{22} + 14 a^{21} + 12 a^{20} + 13 a^{19} + 27 a^{18} + 6 a^{17} + 4 a^{16} + 9 a^{15} + 8 a^{14} + 7 a^{13} + 2 a^{12} + 16 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 29 + \left(21 a^{24} + 24 a^{23} + 27 a^{22} + 6 a^{21} + 26 a^{20} + 3 a^{19} + 23 a^{18} + 9 a^{17} + 18 a^{16} + 10 a^{15} + 4 a^{14} + 23 a^{13} + 20 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{24} + 26 a^{23} + 9 a^{22} + 9 a^{21} + 25 a^{20} + 7 a^{19} + a^{18} + 4 a^{17} + 27 a^{15} + 21 a^{14} + 13 a^{13} + 10 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{24} + 25 a^{23} + 9 a^{22} + 11 a^{21} + 18 a^{20} + 27 a^{19} + 8 a^{18} + 20 a^{17} + 19 a^{16} + 5 a^{14} + 2 a^{13} + 7 a^{12} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 23 a^{24} + 20 a^{23} + 26 a^{22} + 3 a^{21} + 16 a^{20} + 21 a^{19} + 28 a^{18} + 11 a^{17} + 15 a^{16} + 12 a^{15} + 10 a^{14} + 3 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + 4 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + \left(23 a^{24} + 18 a^{23} + 21 a^{22} + 16 a^{21} + 12 a^{20} + 23 a^{19} + 10 a^{18} + 7 a^{17} + 24 a^{16} + 4 a^{15} + 27 a^{14} + 4 a^{13} + 17 a^{12} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29 + \left(12 a^{24} + 19 a^{23} + 26 a^{22} + 12 a^{21} + 7 a^{20} + 17 a^{19} + 22 a^{18} + 9 a^{17} + 21 a^{16} + 18 a^{15} + 14 a^{14} + 18 a^{13} + 4 a^{12} + 21 a^{11} + 20 a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{24} + 9 a^{23} + 13 a^{22} + 12 a^{21} + 23 a^{20} + 10 a^{19} + 8 a^{18} + 3 a^{17} + 2 a^{16} + 17 a^{15} + 26 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{12} + 24 a^{11} + 11 a^{10} + 17 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{24} + 10 a^{23} + 27 a^{22} + 26 a^{21} + 10 a^{19} + 16 a^{18} + 26 a^{17} + 21 a^{16} + 2 a^{15} + 4 a^{14} + 12 a^{13} + 26 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 26 a^{24} + 19 a^{23} + 28 a^{22} + 26 a^{21} + 11 a^{20} + 9 a^{19} + 14 a^{18} + 14 a^{17} + 16 a^{16} + 22 a^{15} + 2 a^{14} + 19 a^{12} + 6 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 5 + \left(20 a^{24} + 23 a^{22} + 22 a^{21} + 2 a^{20} + 24 a^{19} + 15 a^{18} + 19 a^{17} + 11 a^{16} + 7 a^{15} + 9 a^{14} + 12 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 29 + \left(20 a^{24} + 27 a^{23} + 27 a^{22} + 13 a^{21} + 25 a^{20} + a^{19} + 15 a^{18} + 8 a^{17} + 12 a^{16} + 8 a^{15} + 26 a^{14} + 5 a^{13} + a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{24} + 23 a^{23} + 2 a^{22} + 25 a^{20} + 7 a^{19} + 10 a^{18} + a^{17} + 18 a^{16} + 11 a^{15} + 8 a^{14} + 20 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{11} + 6 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(22 a^{24} + 4 a^{23} + 24 a^{22} + 15 a^{21} + 22 a^{20} + 20 a^{19} + 11 a^{18} + 24 a^{17} + 12 a^{16} + 9 a^{15} + 5 a^{14} + 3 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 12 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 27 a^{24} + 9 a^{23} + 28 a^{22} + 10 a^{21} + 25 a^{20} + 7 a^{19} + 11 a^{18} + 2 a^{17} + 5 a^{16} + 27 a^{15} + 8 a^{14} + 3 a^{13} + 22 a^{12} + 17 a^{11} + 9 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 20 + \left(28 a^{24} + 25 a^{23} + 28 a^{22} + 26 a^{21} + 13 a^{20} + 10 a^{19} + 28 a^{18} + 4 a^{17} + 4 a^{16} + 18 a^{15} + 27 a^{14} + 22 a^{13} + 15 a^{12} + a^{11} + 14 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 29 + \left(6 a^{24} + 13 a^{22} + 10 a^{21} + 12 a^{20} + 18 a^{19} + 23 a^{18} + 8 a^{17} + 15 a^{16} + 24 a^{15} + 5 a^{14} + 12 a^{13} + 7 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{24} + 10 a^{23} + 25 a^{22} + 2 a^{21} + 21 a^{20} + 4 a^{19} + 9 a^{18} + 25 a^{16} + 17 a^{15} + 25 a^{14} + 7 a^{13} + a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 26 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(19 a^{24} + 19 a^{23} + 21 a^{22} + 6 a^{21} + 16 a^{20} + 11 a^{19} + 24 a^{18} + 15 a^{17} + 27 a^{16} + 13 a^{15} + 10 a^{14} + 13 a^{13} + 28 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 25 }$ $=$ \( 28 a^{24} + 23 a^{23} + 13 a^{22} + 15 a^{21} + 24 a^{20} + 19 a^{19} + 14 a^{18} + 10 a^{17} + 15 a^{16} + 18 a^{15} + 2 a^{14} + 25 a^{13} + 16 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 27 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 6 + \left(24 a^{24} + 15 a^{23} + 4 a^{22} + 14 a^{21} + 22 a^{20} + 15 a^{19} + 13 a^{18} + 26 a^{17} + 10 a^{16} + 8 a^{15} + 20 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 27\right)\cdot 29 + \left(26 a^{24} + 8 a^{23} + 27 a^{22} + a^{21} + 18 a^{20} + 3 a^{19} + 22 a^{18} + 20 a^{17} + 2 a^{16} + 19 a^{15} + 22 a^{14} + 27 a^{13} + 15 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + 25 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{24} + 24 a^{23} + 6 a^{21} + 9 a^{20} + 18 a^{19} + 5 a^{18} + 14 a^{17} + 26 a^{16} + 6 a^{15} + 12 a^{14} + 2 a^{13} + 22 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{24} + a^{23} + 22 a^{22} + 7 a^{21} + 25 a^{20} + 21 a^{19} + 14 a^{18} + a^{17} + 18 a^{16} + 25 a^{15} + 8 a^{14} + 24 a^{13} + 11 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\) Copy content Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$

Cycle notation
$(1,7,11,12,8)(2,4,14,25,3)(5,6,17,20,10)(9,15,24,23,13)(16,22,18,19,21)$
$(1,19)(2,14)(3,25)(5,23)(6,24)(7,18)(8,21)(9,20)(10,13)(11,22)(12,16)(15,17)$
$(1,14,16,10,24,7,25,22,5,23,11,3,18,6,13,12,2,19,17,9,8,4,21,20,15)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$25$$2$$(1,19)(2,14)(3,25)(5,23)(6,24)(7,18)(8,21)(9,20)(10,13)(11,22)(12,16)(15,17)$$0$
$2$$5$$(1,7,11,12,8)(2,4,14,25,3)(5,6,17,20,10)(9,15,24,23,13)(16,22,18,19,21)$$-\zeta_{25}^{15} - \zeta_{25}^{10} - 1$
$2$$5$$(1,11,8,7,12)(2,14,3,4,25)(5,17,10,6,20)(9,24,13,15,23)(16,18,21,22,19)$$\zeta_{25}^{15} + \zeta_{25}^{10}$
$2$$25$$(1,14,16,10,24,7,25,22,5,23,11,3,18,6,13,12,2,19,17,9,8,4,21,20,15)$$-\zeta_{25}^{16} - \zeta_{25}^{11} - \zeta_{25}^{6} + \zeta_{25}^{4} - \zeta_{25}$
$2$$25$$(1,16,24,25,5,11,18,13,2,17,8,21,15,14,10,7,22,23,3,6,12,19,9,4,20)$$\zeta_{25}^{17} + \zeta_{25}^{8}$
$2$$25$$(1,10,25,23,18,12,17,4,15,16,7,5,3,13,19,8,20,14,24,22,11,6,2,9,21)$$\zeta_{25}^{13} + \zeta_{25}^{12}$
$2$$25$$(1,24,5,18,2,8,15,10,22,3,12,9,20,16,25,11,13,17,21,14,7,23,6,19,4)$$\zeta_{25}^{16} + \zeta_{25}^{9}$
$2$$25$$(1,25,18,17,15,7,3,19,20,24,11,2,21,10,23,12,4,16,5,13,8,14,22,6,9)$$-\zeta_{25}^{19} - \zeta_{25}^{14} - \zeta_{25}^{9} - \zeta_{25}^{4} + \zeta_{25}$
$2$$25$$(1,22,13,4,10,11,19,15,25,6,8,16,23,2,20,7,18,9,14,5,12,21,24,3,17)$$-\zeta_{25}^{17} - \zeta_{25}^{12} - \zeta_{25}^{7} + \zeta_{25}^{3} - \zeta_{25}^{2}$
$2$$25$$(1,5,2,15,22,12,20,25,13,21,7,6,4,24,18,8,10,3,9,16,11,17,14,23,19)$$\zeta_{25}^{18} + \zeta_{25}^{7}$
$2$$25$$(1,23,17,16,3,8,24,6,21,25,12,15,5,19,14,11,9,10,18,4,7,13,20,22,2)$$\zeta_{25}^{14} + \zeta_{25}^{11}$
$2$$25$$(1,3,21,5,9,7,2,16,6,15,11,4,22,17,24,12,14,18,20,23,8,25,19,10,13)$$\zeta_{25}^{19} + \zeta_{25}^{6}$
$2$$25$$(1,18,15,3,20,11,21,23,4,5,8,22,9,25,17,7,19,24,2,10,12,16,13,14,6)$$-\zeta_{25}^{18} - \zeta_{25}^{13} - \zeta_{25}^{8} - \zeta_{25}^{3} + \zeta_{25}^{2}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.