Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | 25T3 |
Conductor: | \(2883\)\(\medspace = 3 \cdot 31^{2} \) |
Artin stem field: | Galois closure of 25.5.39668558936237989671952184481937449.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | $D_5\times C_5$ |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.93.10t1.a.a |
Projective image: | $D_5$ |
Projective stem field: | Galois closure of 5.1.8311689.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{25} - 3 x^{24} + x^{23} - 3 x^{22} + 19 x^{21} - 17 x^{20} - 8 x^{19} - 27 x^{18} + 13 x^{17} + \cdots - 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: \( x^{10} + x^{6} + 25x^{5} + 8x^{4} + 17x^{3} + 2x^{2} + 22x + 2 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 7 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 27 + \left(17 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 29 + \left(6 a^{9} + 5 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{9} + 27 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + a + 6\right)\cdot 29^{6} + \left(4 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 29^{8} + \left(16 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( 16 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 21 + \left(17 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 29 + \left(6 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 29^{8} + \left(22 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 23 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 11 + \left(23 a^{9} + 10 a^{8} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 29 + \left(12 a^{9} + 23 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{5} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 25 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{9} + 16 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 29^{5} + \left(10 a^{9} + 3 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(15 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 29^{7} + \left(23 a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 29^{8} + \left(4 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( 15 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 10 + \left(17 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 29 + \left(28 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(a^{9} + 11 a^{8} + 28 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 29^{6} + \left(28 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 29^{7} + \left(6 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{9} + 11 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + a + 27\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 21 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 3 + \left(26 a^{9} + 5 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 29 + \left(23 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a + 5\right)\cdot 29^{6} + \left(13 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(8 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 11 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 1 + \left(27 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 29 + \left(13 a^{9} + a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(3 a^{9} + 20 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 29^{7} + \left(24 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 29^{8} + \left(17 a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 2 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + a + 9 + \left(22 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 29 + \left(2 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 29^{5} + \left(22 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 29^{6} + \left(4 a^{9} + 12 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 29^{7} + \left(a^{9} + 21 a^{7} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 29^{8} + \left(24 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a + 27\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 25 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 1 + \left(22 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 23 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 29 + \left(25 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(4 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{2} + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{9} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(5 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(25 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 29^{8} + \left(3 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 5 a^{9} + 3 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 1 + \left(4 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 29 + \left(6 a^{9} + 20 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 29^{4} + \left(6 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(26 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 29^{8} + \left(23 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( 12 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 10 + \left(28 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 29 + \left(14 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(3 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 29^{8} + \left(24 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 23 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + a + 3 + \left(27 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 29 + \left(2 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(15 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 29^{8} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 18 a^{9} + 7 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 14 + \left(15 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 29 + \left(9 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(8 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 29^{7} + \left(20 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 29^{8} + \left(24 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( 18 a^{9} + 6 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 14 a + \left(27 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 29 + \left(17 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 29^{4} + \left(5 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a + 14\right)\cdot 29^{6} + \left(7 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{9} + 21 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 14 }$ | $=$ | \( 17 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 26 + \left(6 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a + 14\right)\cdot 29 + \left(28 a^{9} + 15 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(21 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 29^{7} + \left(28 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(24 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 15 }$ | $=$ | \( 22 a^{9} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 4 + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29 + \left(a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{6} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{9} + a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 29^{8} + \left(22 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 16 }$ | $=$ | \( 4 a^{9} + 13 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + a + 17 + \left(16 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 29 + \left(21 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{9} + 25 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 29^{7} + \left(18 a^{9} + 10 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(22 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 17 }$ | $=$ | \( 9 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 10 + \left(28 a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 29 + \left(12 a^{9} + 12 a^{8} + 27 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a + 21\right)\cdot 29^{7} + \left(6 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 27 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(19 a^{9} + 26 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 18 }$ | $=$ | \( 16 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 22 + \left(20 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a + 4\right)\cdot 29 + \left(20 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{9} + 24 a^{8} + 13 a^{7} + 26 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 29^{4} + \left(9 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{9} + 19 a^{8} + 12 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{9} + 10 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 29^{8} + \left(5 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 19 }$ | $=$ | \( 10 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 18 + \left(14 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29 + \left(12 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(13 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{9} + 16 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 29^{6} + \left(19 a^{9} + 26 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 29^{8} + \left(6 a^{9} + 28 a^{8} + 6 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 20 }$ | $=$ | \( 5 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 19 + \left(6 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 29 + \left(16 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 29^{6} + \left(21 a^{9} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{7} + \left(5 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 29^{8} + \left(16 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 21 }$ | $=$ | \( 22 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 14 + \left(8 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a + 8\right)\cdot 29 + \left(19 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{9} + 7 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{9} + 7 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{9} + 9 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 29^{7} + \left(22 a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 22 }$ | $=$ | \( 21 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 16 + \left(4 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 29 + \left(13 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a + 10\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 29^{6} + \left(4 a^{9} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 29^{8} + \left(21 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 23 }$ | $=$ | \( 23 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 24 + \left(8 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + a + 24\right)\cdot 29 + \left(21 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 29^{6} + \left(21 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 24 }$ | $=$ | \( 8 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 25 + \left(18 a^{9} + 9 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 29 + \left(17 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(3 a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(21 a^{9} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 29^{6} + \left(4 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(12 a^{9} + 26 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 29^{8} + \left(10 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
$r_{ 25 }$ | $=$ | \( 24 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 16 + \left(8 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 29 + \left(14 a^{9} + 8 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(13 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 20\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{9} + 22 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$5$ | $2$ | $(2,21)(3,23)(4,7)(6,18)(8,10)(9,13)(12,24)(14,16)(17,19)(20,22)$ | $0$ |
$1$ | $5$ | $(1,5,11,15,25)(2,23,4,20,19)(3,7,22,17,21)(6,12,8,16,13)(9,18,24,10,14)$ | $2 \zeta_{5}$ |
$1$ | $5$ | $(1,11,25,5,15)(2,4,19,23,20)(3,22,21,7,17)(6,8,13,12,16)(9,24,14,18,10)$ | $2 \zeta_{5}^{2}$ |
$1$ | $5$ | $(1,15,5,25,11)(2,20,23,19,4)(3,17,7,21,22)(6,16,12,13,8)(9,10,18,14,24)$ | $2 \zeta_{5}^{3}$ |
$1$ | $5$ | $(1,25,15,11,5)(2,19,20,4,23)(3,21,17,22,7)(6,13,16,8,12)(9,14,10,24,18)$ | $-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$ |
$2$ | $5$ | $(1,4,10,8,7)(2,18,6,21,15)(3,25,23,24,12)(5,20,14,16,22)(9,13,17,11,19)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,10,7,4,8)(2,6,15,18,21)(3,23,12,25,24)(5,14,22,20,16)(9,17,19,13,11)$ | $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$ |
$2$ | $5$ | $(1,20,9,6,3)(2,24,8,22,11)(4,14,13,21,25)(5,19,18,12,7)(10,16,17,15,23)$ | $\zeta_{5}^{2} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,9,3,20,6)(2,8,11,24,22)(4,13,25,14,21)(5,18,7,19,12)(10,17,23,16,15)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,6,20,3,9)(2,22,24,11,8)(4,21,14,25,13)(5,12,19,7,18)(10,15,16,23,17)$ | $\zeta_{5} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,3,6,9,20)(2,11,22,8,24)(4,25,21,13,14)(5,7,12,18,19)(10,23,15,17,16)$ | $\zeta_{5}^{3} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,19,24,16,21)(2,10,13,3,5)(4,9,12,22,15)(6,7,11,23,14)(8,17,25,20,18)$ | $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,24,21,19,16)(2,13,5,10,3)(4,12,15,9,22)(6,11,14,7,23)(8,25,18,17,20)$ | $\zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,16,19,21,24)(2,3,10,5,13)(4,22,9,15,12)(6,23,7,14,11)(8,20,17,18,25)$ | $-\zeta_{5}^{2} - \zeta_{5} - 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,21,16,24,19)(2,5,3,13,10)(4,15,22,12,9)(6,14,23,11,7)(8,18,20,25,17)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5} - 1$ |
$5$ | $10$ | $(1,5,11,15,25)(2,3,4,22,19,21,23,7,20,17)(6,24,8,14,13,18,12,10,16,9)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,15,5,25,11)(2,22,23,17,4,21,20,3,19,7)(6,14,12,9,8,18,16,24,13,10)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,11,25,5,15)(2,7,19,3,20,21,4,17,23,22)(6,10,13,24,16,18,8,9,12,14)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,25,15,11,5)(2,17,20,7,23,21,19,22,4,3)(6,9,16,10,12,18,13,14,8,24)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.