Properties

Label 2.2807.26t3.a.a
Dimension $2$
Group $D_{26}$
Conductor $2807$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: $D_{26}$
Conductor: \(2807\)\(\medspace = 7 \cdot 401 \)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: 26.0.1674969840842867253564530506487708596884007.1
Galois orbit size: $6$
Smallest permutation container: $D_{26}$
Parity: odd
Determinant: 1.2807.2t1.a.a
Projective image: $D_{13}$
Projective stem field: 13.1.489163986649360075249.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$\(x^{26} - 8 x^{25} + 22 x^{24} - 43 x^{23} + 115 x^{22} - 151 x^{21} + 220 x^{20} - 577 x^{19} + 509 x^{18} - 1015 x^{17} + 1547 x^{16} - 884 x^{15} + 2815 x^{14} - 3027 x^{13} + 2341 x^{12} - 3581 x^{11} + 6893 x^{10} + 2193 x^{9} + 12186 x^{8} - 1094 x^{7} + 906 x^{6} - 2074 x^{5} + 14041 x^{4} + 14998 x^{3} + 13037 x^{2} + 4230 x + 1325\)  Toggle raw display.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: \(x^{13} + 7 x + 27\)  Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( a^{12} + 2 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 19 + \left(25 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 29 + \left(a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(24 a^{12} + 17 a^{11} + 22 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{12} + 20 a^{11} + 12 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 7 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{12} + 17 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 29^{7} + \left(18 a^{12} + 27 a^{11} + 2 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 29^{8} + \left(23 a^{12} + 18 a^{11} + 2 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 2 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 1 + \left(27 a^{12} + 26 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 29 + \left(15 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{12} + 17 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 29^{5} + \left(26 a^{12} + 25 a^{11} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 29^{6} + \left(23 a^{12} + 10 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(4 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 29^{8} + \left(24 a^{12} + a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 2 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 21 + \left(13 a^{12} + 15 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 29 + \left(24 a^{12} + 26 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{12} + 4 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{12} + a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(5 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 25 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 29^{6} + \left(15 a^{12} + 12 a^{11} + 19 a^{10} + 20 a^{9} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(23 a^{12} + 28 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{12} + 17 a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 5 a^{12} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 3 a + 27 + \left(23 a^{12} + 13 a^{11} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 29 + \left(23 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{12} + 25 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 15 a + 28\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{12} + 28 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{12} + 16 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{12} + 17 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{3} + 13 a\right)\cdot 29^{8} + \left(22 a^{12} + 17 a^{11} + 6 a^{10} + 14 a^{9} + 28 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 5 a^{12} + 23 a^{11} + 23 a^{10} + 7 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 27 + \left(16 a^{12} + 16 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 29 + \left(19 a^{12} + 17 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 20 a^{9} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{12} + 3 a^{11} + 8 a^{10} + 26 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{12} + 25 a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 25 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(22 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{12} + 2 a^{10} + 4 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 29^{7} + \left(17 a^{12} + 22 a^{11} + 23 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 29^{8} + \left(17 a^{12} + 24 a^{11} + 27 a^{10} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 6 a^{12} + 21 a^{11} + 11 a^{10} + 6 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + \left(19 a^{12} + 13 a^{11} + 20 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 29 + \left(12 a^{12} + a^{11} + 22 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{12} + 27 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 8 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{12} + 5 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{12} + 2 a^{11} + 28 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{12} + 26 a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 7 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 11 + \left(5 a^{12} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + 23 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 29 + \left(26 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{12} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 20 a^{9} + 24 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{12} + 12 a^{11} + 12 a^{10} + 25 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a^{2} + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{12} + 19 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{12} + 13 a^{11} + 2 a^{10} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{7} + \left(22 a^{12} + 2 a^{11} + 4 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{12} + 24 a^{10} + 26 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 9 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 22 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a + 6 + \left(15 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 4 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 29 + \left(15 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{12} + 26 a^{11} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{12} + 26 a^{11} + 25 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(7 a^{12} + 15 a^{11} + 28 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2}\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + a\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{12} + 21 a^{11} + 3 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 29^{7} + \left(27 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 14 a^{9} + 23 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a + 17\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 9 a^{12} + 24 a^{11} + 9 a^{10} + 18 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + a + 6 + \left(4 a^{12} + 27 a^{11} + 12 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 29 + \left(a^{12} + 25 a^{11} + 23 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(11 a^{12} + 11 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{12} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{12} + 12 a^{11} + 10 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{12} + a^{11} + 24 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 6\right)\cdot 29^{6} + \left(5 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 29^{7} + \left(24 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 23 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 29^{8} + \left(17 a^{12} + 6 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 12 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 21 + \left(28 a^{12} + 22 a^{11} + 19 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 29 + \left(11 a^{11} + 23 a^{10} + 20 a^{9} + 26 a^{8} + 7 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{12} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{12} + 6 a^{11} + 21 a^{10} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{12} + 15 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(27 a^{12} + 25 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(28 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 29^{7} + \left(18 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{12} + a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 13 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 23 + \left(27 a^{12} + 23 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 29 + \left(16 a^{12} + 23 a^{11} + 22 a^{10} + 7 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{12} + 16 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{12} + 28 a^{11} + 14 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{12} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{12} + 2 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 29^{8} + \left(16 a^{12} + 10 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 14 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 16 + \left(a^{12} + 10 a^{11} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a + 23\right)\cdot 29 + \left(16 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{12} + 3 a^{11} + 20 a^{10} + 8 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{12} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 29^{7} + \left(20 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(16 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 14 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 15 a^{12} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 5 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 18 + \left(17 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 29 + \left(25 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 22 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(4 a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{12} + 13 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 29^{7} + \left(4 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{5} + a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{12} + 6 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 13\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 16 a^{12} + 12 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 15 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 20 + \left(12 a^{12} + 3 a^{11} + 3 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 29 + \left(23 a^{12} + 22 a^{11} + 19 a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{12} + 8 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 25 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{12} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(5 a^{12} + 28 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(22 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{12} + 7 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{12} + 10 a^{11} + 19 a^{10} + 27 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 29^{8} + \left(16 a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 16 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 16 a^{12} + 28 a^{11} + 21 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + \left(14 a^{12} + 5 a^{11} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 29 + \left(14 a^{12} + 16 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{12} + 4 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 16 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(9 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 29^{5} + \left(27 a^{12} + 25 a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 29^{7} + \left(25 a^{12} + 26 a^{11} + 8 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 29^{8} + \left(10 a^{12} + 27 a^{11} + 24 a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 17 a^{12} + 4 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 22 + \left(3 a^{12} + a^{10} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 29 + \left(24 a^{12} + 25 a^{11} + 16 a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 1\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{12} + 27 a^{11} + 2 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{12} + 7 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a + 9\right)\cdot 29^{6} + \left(12 a^{12} + 18 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 23 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 29^{8} + \left(14 a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 28 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 18 a^{12} + 8 a^{11} + 10 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 24 + \left(10 a^{12} + 2 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 5 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 29 + \left(6 a^{12} + 9 a^{11} + 10 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{12} + 16 a^{11} + 9 a^{10} + 20 a^{9} + 7 a^{8} + 4 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{12} + 27 a^{11} + 27 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{12} + 14 a^{11} + 5 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{12} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 17 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(15 a^{12} + 19 a^{11} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{12} + 8 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(6 a^{12} + 10 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 18 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + 2 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a + 4 + \left(23 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 29 + \left(18 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{12} + 21 a^{11} + 3 a^{9} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{3} + 26 a^{2} + a + 1\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{12} + 21 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{12} + 8 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 29^{5} + \left(10 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 29^{6} + \left(11 a^{12} + 7 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 8 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 29^{7} + \left(25 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 18 a^{12} + 21 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 4 + \left(20 a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + 5 a^{9} + 23 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 29 + \left(9 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{12} + 6 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 3 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{12} + 9 a^{11} + 23 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 25 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 29^{5} + \left(3 a^{12} + 24 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 29^{6} + \left(15 a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 29^{8} + \left(20 a^{12} + 26 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( 20 a^{12} + 16 a^{11} + 19 a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 8 + \left(22 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 29 + \left(6 a^{12} + 17 a^{11} + 13 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{11} + 24 a^{10} + 13 a^{9} + 2 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(21 a^{12} + 24 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{12} + 12 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 17 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 17\right)\cdot 29^{6} + \left(6 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 24 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{12} + a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + a + 24\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 21 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 10 + \left(21 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + a + 6\right)\cdot 29 + \left(11 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 20 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{12} + 20 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{12} + 23 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{12} + 7 a^{11} + 17 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{12} + 27 a^{11} + 9 a^{10} + 10 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(15 a^{12} + 21 a^{11} + 24 a^{10} + 23 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(7 a^{12} + 22 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 24 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 16 + \left(22 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + a + 17\right)\cdot 29 + \left(16 a^{12} + 13 a^{11} + 25 a^{10} + 15 a^{9} + a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{12} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(28 a^{12} + a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{9} + 20 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{12} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a + 22\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + 16 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 29^{7} + \left(10 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + 26 a^{9} + 24 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 26 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + a + 20 + \left(12 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 29 + \left(18 a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{12} + 23 a^{11} + 15 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{9} + 10 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(24 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + 11 a^{9} + 17 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(13 a^{12} + 27 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 29^{7} + \left(12 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(22 a^{12} + 20 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 27 a^{12} + 24 a^{11} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 22 + \left(15 a^{12} + 14 a^{11} + 27 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 29 + \left(24 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{12} + 14 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + a + 20\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{12} + 13 a^{11} + 15 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 29^{7} + \left(11 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 2 a^{8} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 29^{8} + \left(7 a^{12} + 25 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 25 }$ $=$ \( 28 a^{12} + 5 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 15 + \left(11 a^{12} + 12 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 29 + \left(8 a^{12} + 11 a^{10} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(4 a^{12} + 28 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(3 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 16 a^{9} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(4 a^{12} + 24 a^{11} + 26 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(5 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 29^{6} + \left(21 a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2}\right)\cdot 29^{7} + \left(17 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 29^{8} + \left(23 a^{12} + 27 a^{11} + a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 26 }$ $=$ \( 28 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 24 + \left(9 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 29 + \left(22 a^{12} + 24 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{12} + 5 a^{11} + a^{10} + 24 a^{9} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(15 a^{12} + 21 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 29^{7} + \left(25 a^{12} + 4 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 29^{8} + \left(6 a^{12} + 15 a^{11} + 7 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)  Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 26 }$

Cycle notation
$(1,16)(2,22)(3,12)(4,25)(5,14)(7,10)(8,13)(9,17)(15,26)(18,24)(19,23)(20,21)$
$(1,19)(2,6)(3,26)(4,11)(5,21)(7,12)(8,15)(9,23)(10,14)(13,18)(16,20)(17,22)(24,25)$
$(1,15)(2,4)(3,20)(5,7)(6,11)(8,19)(9,18)(10,14)(12,21)(13,23)(16,26)(17,24)(22,25)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 26 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$1$$2$$(1,15)(2,4)(3,20)(5,7)(6,11)(8,19)(9,18)(10,14)(12,21)(13,23)(16,26)(17,24)(22,25)$$-2$
$13$$2$$(1,19)(2,6)(3,26)(4,11)(5,21)(7,12)(8,15)(9,23)(10,14)(13,18)(16,20)(17,22)(24,25)$$0$
$13$$2$$(1,8)(2,11)(3,16)(4,6)(5,12)(7,21)(9,13)(15,19)(17,25)(18,23)(20,26)(22,24)$$0$
$2$$13$$(1,17,6,9,16,14,3,13,4,25,8,12,5)(2,22,19,21,7,15,24,11,18,26,10,20,23)$$\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$
$2$$13$$(1,13,17,4,6,25,9,8,16,12,14,5,3)(2,11,22,18,19,26,21,10,7,20,15,23,24)$$-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$
$2$$13$$(1,12,25,13,14,9,17,5,8,4,3,16,6)(2,20,26,11,15,21,22,23,10,18,24,7,19)$$\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$
$2$$13$$(1,25,14,17,8,3,6,12,13,9,5,4,16)(2,26,15,22,10,24,19,20,11,21,23,18,7)$$\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$
$2$$13$$(1,14,8,6,13,5,16,25,17,3,12,9,4)(2,15,10,19,11,23,7,26,22,24,20,21,18)$$\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$
$2$$13$$(1,9,3,25,5,6,14,4,12,17,16,13,8)(2,21,24,26,23,19,15,18,20,22,7,11,10)$$\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$
$2$$26$$(1,23,17,2,6,22,9,19,16,21,14,7,3,15,13,24,4,11,25,18,8,26,12,10,5,20)$$\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6} + \zeta_{13}^{5} + \zeta_{13}^{4} + \zeta_{13}^{3} + \zeta_{13}^{2} + 1$
$2$$26$$(1,2,9,21,3,24,25,26,5,23,6,19,14,15,4,18,12,20,17,22,16,7,13,11,8,10)$$-\zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{3}$
$2$$26$$(1,22,14,24,8,20,6,21,13,18,5,2,16,15,25,10,17,19,3,11,12,23,9,7,4,26)$$-\zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{5}$
$2$$26$$(1,19,13,26,17,21,4,10,6,7,25,20,9,15,8,23,16,24,12,2,14,11,5,22,3,18)$$-\zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6}$
$2$$26$$(1,21,25,23,14,18,17,7,8,2,3,26,6,15,12,22,13,10,9,24,5,19,4,20,16,11)$$-\zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{4}$
$2$$26$$(1,7,12,19,25,2,13,20,14,26,9,11,17,15,5,21,8,22,4,23,3,10,16,18,6,24)$$-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{2}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.