Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | $D_{27}$ |
Conductor: | \(27135\)\(\medspace = 3^{4} \cdot 5 \cdot 67 \) |
Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
Root number: | $1$ |
Artin stem field: | Galois closure of 27.1.100449472719512733423421001345835601036409912109375.1 |
Galois orbit size: | $9$ |
Smallest permutation container: | $D_{27}$ |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.335.2t1.a.a |
Projective image: | $D_{27}$ |
Projective stem field: | Galois closure of 27.1.100449472719512733423421001345835601036409912109375.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{27} - 82 x^{24} - 9 x^{23} + 195 x^{22} + 2387 x^{21} + 810 x^{20} - 11814 x^{19} - 33683 x^{18} + 2520 x^{17} + 230379 x^{16} + 441880 x^{15} - 1170738 x^{14} + \cdots + 14269375 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: \( x^{27} + x + 8 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 27 a^{26} + 26 a^{25} + 13 a^{24} + 19 a^{23} + 22 a^{21} + 6 a^{20} + 26 a^{19} + 8 a^{18} + 12 a^{17} + 23 a^{16} + 19 a^{15} + 8 a^{14} + a^{13} + 26 a^{12} + 21 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + a + 26 + \left(27 a^{26} + 28 a^{25} + a^{24} + 7 a^{23} + 17 a^{22} + 15 a^{21} + 15 a^{20} + 13 a^{19} + 8 a^{18} + 11 a^{17} + 6 a^{16} + 22 a^{15} + 24 a^{14} + 6 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 29 + \left(26 a^{26} + 20 a^{25} + 5 a^{24} + 22 a^{23} + 24 a^{22} + 28 a^{21} + 2 a^{20} + 6 a^{19} + 23 a^{18} + 22 a^{17} + 7 a^{16} + 9 a^{15} + 7 a^{14} + 2 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 7 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{26} + 12 a^{25} + 23 a^{24} + 19 a^{23} + 22 a^{22} + 6 a^{21} + 13 a^{20} + 16 a^{19} + 12 a^{18} + 7 a^{17} + 24 a^{16} + 15 a^{15} + 16 a^{14} + 28 a^{13} + 18 a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{26} + 16 a^{25} + 25 a^{24} + 5 a^{23} + 21 a^{21} + 26 a^{20} + 7 a^{19} + 4 a^{18} + 12 a^{17} + 22 a^{16} + 3 a^{15} + 9 a^{14} + 26 a^{12} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
$r_{ 2 }$ |
$=$ |
\( 10 a^{26} + 15 a^{25} + 10 a^{24} + 22 a^{23} + 24 a^{22} + 3 a^{21} + 14 a^{20} + 11 a^{19} + 7 a^{18} + 18 a^{17} + 17 a^{16} + 7 a^{15} + 20 a^{14} + 22 a^{13} + 19 a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{10} + 25 a^{9} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 15 + \left(21 a^{26} + 18 a^{25} + 27 a^{24} + 6 a^{23} + 11 a^{22} + 23 a^{21} + 18 a^{20} + 16 a^{19} + 18 a^{18} + 20 a^{17} + 2 a^{16} + 9 a^{15} + 24 a^{14} + 27 a^{13} + 15 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 29 + \left(18 a^{26} + 12 a^{25} + 6 a^{24} + 9 a^{23} + 27 a^{22} + 23 a^{20} + 22 a^{19} + 9 a^{18} + 3 a^{17} + 9 a^{16} + 10 a^{15} + 19 a^{14} + 5 a^{13} + 20 a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + 23 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(a^{26} + 26 a^{25} + 16 a^{24} + 4 a^{23} + 5 a^{22} + 23 a^{21} + 18 a^{20} + 16 a^{19} + 24 a^{18} + 28 a^{17} + 10 a^{16} + 14 a^{15} + 2 a^{14} + 28 a^{13} + 6 a^{12} + 28 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(3 a^{26} + 12 a^{25} + 13 a^{24} + 5 a^{23} + 4 a^{22} + 15 a^{21} + 24 a^{20} + 12 a^{19} + 25 a^{18} + 13 a^{17} + 8 a^{16} + 13 a^{15} + 8 a^{14} + 26 a^{13} + 26 a^{12} + 19 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
\( 15 a^{26} + 15 a^{25} + 28 a^{24} + 8 a^{23} + 13 a^{22} + 7 a^{21} + 2 a^{20} + 25 a^{19} + 13 a^{18} + 3 a^{17} + 9 a^{16} + 21 a^{15} + 6 a^{14} + 4 a^{13} + 19 a^{12} + 6 a^{11} + 28 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 8 + \left(24 a^{26} + 7 a^{25} + 4 a^{24} + 10 a^{23} + 14 a^{22} + 13 a^{21} + 5 a^{20} + 11 a^{19} + 17 a^{18} + 3 a^{17} + 17 a^{16} + 18 a^{15} + 24 a^{14} + 10 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 29 + \left(2 a^{26} + 12 a^{25} + 11 a^{24} + 23 a^{23} + 28 a^{22} + 9 a^{21} + 6 a^{20} + 6 a^{19} + 4 a^{18} + 10 a^{17} + 12 a^{16} + 14 a^{15} + 21 a^{14} + 11 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 17 a^{10} + 26 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{26} + 28 a^{25} + 8 a^{24} + 28 a^{23} + 26 a^{22} + 21 a^{21} + 24 a^{20} + 26 a^{19} + 27 a^{18} + 19 a^{17} + 9 a^{16} + 11 a^{15} + 5 a^{14} + 24 a^{13} + 8 a^{12} + 27 a^{10} + 14 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{26} + 2 a^{25} + 22 a^{24} + 4 a^{23} + 12 a^{22} + 22 a^{21} + 20 a^{20} + 6 a^{19} + 22 a^{18} + 16 a^{17} + 15 a^{16} + 26 a^{15} + 3 a^{14} + 12 a^{13} + 28 a^{12} + 4 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
\( 23 a^{26} + 9 a^{25} + 5 a^{24} + 18 a^{23} + 9 a^{21} + 21 a^{20} + 11 a^{19} + 18 a^{18} + 15 a^{17} + 23 a^{16} + 15 a^{15} + 21 a^{14} + 9 a^{13} + 13 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 21 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 20 + \left(25 a^{26} + 16 a^{25} + 13 a^{24} + 7 a^{23} + 4 a^{22} + 13 a^{21} + 12 a^{20} + 7 a^{19} + 24 a^{18} + 13 a^{17} + 21 a^{16} + 23 a^{15} + 19 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 23 a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 29 + \left(11 a^{26} + 6 a^{25} + 24 a^{24} + 20 a^{23} + 9 a^{22} + 9 a^{21} + 20 a^{20} + 24 a^{19} + 4 a^{18} + 22 a^{17} + 14 a^{16} + 27 a^{15} + 21 a^{14} + 4 a^{13} + 25 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 3 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{26} + 11 a^{25} + 27 a^{24} + 26 a^{23} + 27 a^{22} + 25 a^{21} + 22 a^{20} + 15 a^{19} + 17 a^{18} + 28 a^{17} + 22 a^{16} + 23 a^{15} + 11 a^{14} + 18 a^{13} + 8 a^{12} + 7 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{26} + 14 a^{25} + 3 a^{24} + 28 a^{23} + 5 a^{22} + 20 a^{21} + 4 a^{20} + 20 a^{19} + 28 a^{18} + 13 a^{17} + 6 a^{16} + 2 a^{15} + 12 a^{14} + 9 a^{13} + 5 a^{12} + a^{11} + 5 a^{10} + 25 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
\( 13 a^{26} + 19 a^{25} + 19 a^{24} + a^{23} + 22 a^{22} + 8 a^{21} + 10 a^{20} + 2 a^{19} + 3 a^{18} + 21 a^{17} + 3 a^{16} + a^{15} + 20 a^{14} + 10 a^{13} + a^{12} + 19 a^{11} + 10 a^{10} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 5 + \left(22 a^{26} + 23 a^{25} + 2 a^{24} + 25 a^{23} + 26 a^{22} + 2 a^{21} + 28 a^{20} + 27 a^{19} + 24 a^{18} + 16 a^{17} + 16 a^{16} + 27 a^{15} + 3 a^{14} + 28 a^{13} + 9 a^{12} + 12 a^{11} + 20 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 29 + \left(3 a^{26} + 20 a^{25} + 19 a^{23} + 23 a^{22} + 21 a^{21} + 25 a^{20} + 26 a^{19} + 11 a^{18} + 14 a^{17} + 10 a^{16} + 5 a^{15} + 18 a^{14} + 15 a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{26} + 23 a^{25} + 3 a^{24} + 13 a^{23} + 2 a^{22} + 27 a^{21} + 28 a^{20} + 5 a^{19} + 6 a^{18} + 28 a^{17} + 6 a^{16} + 4 a^{15} + 7 a^{14} + 7 a^{13} + 21 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{26} + 17 a^{25} + 21 a^{24} + 16 a^{23} + 21 a^{22} + 18 a^{21} + 16 a^{20} + 15 a^{19} + 4 a^{18} + 24 a^{17} + 15 a^{16} + 9 a^{15} + 2 a^{14} + a^{13} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
\( 28 a^{26} + 7 a^{25} + 23 a^{24} + 8 a^{23} + 27 a^{22} + 5 a^{21} + 7 a^{20} + 7 a^{19} + 14 a^{18} + 16 a^{17} + 7 a^{16} + 28 a^{15} + 27 a^{14} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 9 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 13 + \left(4 a^{26} + 19 a^{25} + 27 a^{24} + 13 a^{23} + a^{22} + 23 a^{21} + 17 a^{20} + a^{19} + 12 a^{18} + 19 a^{16} + 27 a^{15} + 20 a^{14} + 27 a^{13} + 16 a^{12} + 5 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + a + 14\right)\cdot 29 + \left(16 a^{26} + 23 a^{25} + 17 a^{24} + 10 a^{23} + 16 a^{22} + 4 a^{21} + 21 a^{20} + 28 a^{19} + 12 a^{18} + 11 a^{17} + 2 a^{16} + 19 a^{15} + 9 a^{14} + 7 a^{13} + 17 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 11 a^{9} + 26 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{26} + 10 a^{25} + 26 a^{24} + 17 a^{23} + 16 a^{22} + 18 a^{21} + 11 a^{20} + 3 a^{19} + 28 a^{18} + 11 a^{17} + 2 a^{16} + 12 a^{15} + 18 a^{14} + 14 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{26} + 5 a^{25} + 22 a^{24} + 11 a^{23} + a^{22} + 15 a^{21} + 3 a^{20} + 2 a^{19} + 15 a^{17} + 24 a^{16} + 22 a^{15} + 22 a^{14} + 25 a^{13} + 17 a^{12} + 3 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 22 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
\( 22 a^{26} + 6 a^{25} + 20 a^{24} + 4 a^{23} + 13 a^{22} + 21 a^{21} + 21 a^{20} + 27 a^{19} + 25 a^{18} + 25 a^{17} + 25 a^{16} + 7 a^{15} + 9 a^{14} + 26 a^{13} + 19 a^{12} + 21 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 26 a + 4 + \left(5 a^{26} + 27 a^{25} + 25 a^{24} + 2 a^{23} + 15 a^{21} + 4 a^{20} + 20 a^{19} + 3 a^{18} + 12 a^{17} + 12 a^{16} + 16 a^{15} + 11 a^{14} + 12 a^{13} + 28 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 23 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 29 + \left(26 a^{26} + 13 a^{25} + 19 a^{24} + 13 a^{23} + 24 a^{22} + 27 a^{21} + 9 a^{20} + 22 a^{19} + 19 a^{18} + 6 a^{17} + 11 a^{16} + 27 a^{15} + 7 a^{14} + 12 a^{13} + 16 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{26} + 22 a^{25} + 13 a^{23} + 2 a^{22} + 16 a^{20} + 6 a^{19} + 25 a^{18} + 4 a^{17} + 13 a^{16} + 10 a^{15} + 22 a^{14} + 27 a^{13} + 4 a^{12} + 14 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{26} + 19 a^{25} + 2 a^{24} + 9 a^{23} + 18 a^{22} + 5 a^{21} + 25 a^{20} + 4 a^{19} + 27 a^{18} + 20 a^{17} + 15 a^{16} + 19 a^{15} + 13 a^{14} + 12 a^{13} + 12 a^{12} + 13 a^{11} + 10 a^{10} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
\( 8 a^{26} + 25 a^{25} + 16 a^{24} + 8 a^{23} + 17 a^{22} + 2 a^{21} + 18 a^{20} + 25 a^{19} + 5 a^{18} + 26 a^{17} + 3 a^{16} + 22 a^{15} + 27 a^{14} + 5 a^{13} + 4 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 12 + \left(14 a^{26} + 25 a^{25} + 9 a^{23} + 19 a^{22} + 10 a^{21} + 14 a^{20} + 22 a^{19} + 8 a^{18} + 15 a^{17} + 20 a^{16} + a^{15} + 9 a^{14} + 14 a^{13} + 19 a^{12} + 3 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{9} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 29 + \left(10 a^{26} + 9 a^{25} + 23 a^{24} + 2 a^{23} + 23 a^{22} + 13 a^{21} + 10 a^{20} + 17 a^{19} + 28 a^{18} + 16 a^{17} + 21 a^{15} + 5 a^{14} + 24 a^{13} + 17 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{26} + 15 a^{25} + 22 a^{24} + 6 a^{23} + 25 a^{22} + 20 a^{21} + 27 a^{20} + 10 a^{19} + 26 a^{18} + 17 a^{17} + 2 a^{15} + 10 a^{14} + 26 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 21 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{26} + 13 a^{25} + 5 a^{24} + 22 a^{23} + 22 a^{22} + 17 a^{21} + 11 a^{20} + 13 a^{19} + a^{18} + 2 a^{16} + 27 a^{15} + 27 a^{14} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
\( 2 a^{26} + 4 a^{25} + 8 a^{24} + 21 a^{23} + 20 a^{22} + 25 a^{21} + 27 a^{20} + 9 a^{19} + 13 a^{18} + 17 a^{17} + 2 a^{16} + 14 a^{15} + 4 a^{14} + 6 a^{13} + 10 a^{12} + 7 a^{11} + 20 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 3 + \left(23 a^{26} + 21 a^{25} + 3 a^{24} + 25 a^{23} + 25 a^{22} + 3 a^{21} + 20 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 17 a^{17} + 28 a^{16} + 15 a^{15} + 25 a^{14} + 8 a^{13} + 8 a^{12} + 26 a^{11} + 3 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 29 + \left(28 a^{26} + 9 a^{25} + 2 a^{24} + 21 a^{23} + 4 a^{22} + 5 a^{21} + 21 a^{20} + 15 a^{19} + 13 a^{18} + 3 a^{17} + 26 a^{16} + 13 a^{15} + 18 a^{14} + 6 a^{13} + 2 a^{12} + 26 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{26} + 15 a^{25} + 3 a^{24} + 4 a^{23} + a^{22} + 25 a^{21} + 5 a^{20} + 21 a^{19} + 6 a^{18} + 28 a^{17} + 18 a^{16} + 8 a^{15} + 27 a^{13} + 13 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{26} + 12 a^{25} + 2 a^{24} + a^{23} + 23 a^{22} + 9 a^{21} + 8 a^{19} + 4 a^{18} + 9 a^{17} + 19 a^{16} + 16 a^{15} + 26 a^{13} + 10 a^{12} + 26 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
\( 27 a^{26} + 14 a^{25} + 12 a^{24} + 18 a^{23} + 14 a^{22} + 18 a^{21} + 7 a^{20} + 19 a^{18} + 10 a^{17} + 26 a^{16} + 25 a^{15} + 5 a^{14} + 6 a^{13} + 21 a^{12} + 22 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 26 + \left(22 a^{26} + 11 a^{24} + 27 a^{23} + 17 a^{22} + a^{21} + 21 a^{20} + 5 a^{19} + 19 a^{18} + 27 a^{17} + 28 a^{16} + 11 a^{15} + 20 a^{14} + 19 a^{13} + 7 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 29 + \left(19 a^{26} + 4 a^{25} + 6 a^{24} + 10 a^{23} + 2 a^{21} + 26 a^{20} + 14 a^{19} + 18 a^{18} + 20 a^{17} + 2 a^{16} + 14 a^{15} + 10 a^{14} + 13 a^{13} + 26 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{26} + 11 a^{25} + 20 a^{24} + a^{23} + 25 a^{22} + 11 a^{21} + 15 a^{20} + 9 a^{19} + 23 a^{18} + 18 a^{17} + a^{16} + 24 a^{15} + 25 a^{14} + 19 a^{13} + 26 a^{12} + 9 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(19 a^{26} + 23 a^{25} + 17 a^{24} + 6 a^{23} + 18 a^{22} + 4 a^{21} + 13 a^{20} + 10 a^{19} + 14 a^{18} + 9 a^{17} + 10 a^{16} + 2 a^{15} + 19 a^{14} + 3 a^{13} + a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 11 }$ |
$=$ |
\( 14 a^{26} + 9 a^{25} + 22 a^{24} + 27 a^{23} + 11 a^{22} + 14 a^{21} + 4 a^{20} + 11 a^{19} + 28 a^{18} + a^{17} + 9 a^{16} + 11 a^{15} + 28 a^{14} + 10 a^{13} + 20 a^{12} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 21 + \left(19 a^{26} + 20 a^{25} + 17 a^{24} + 2 a^{23} + 19 a^{22} + 17 a^{21} + 16 a^{20} + 27 a^{19} + 10 a^{18} + 3 a^{17} + a^{16} + 20 a^{15} + 12 a^{14} + 5 a^{13} + 26 a^{12} + 21 a^{11} + 3 a^{10} + 22 a^{9} + 27 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 29 + \left(21 a^{26} + 23 a^{25} + 11 a^{24} + 13 a^{23} + 2 a^{22} + 16 a^{21} + 27 a^{20} + 22 a^{19} + 6 a^{18} + 15 a^{17} + 14 a^{16} + a^{15} + 13 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 27 a^{11} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{26} + 9 a^{25} + 13 a^{23} + 7 a^{22} + 28 a^{21} + 8 a^{20} + 21 a^{19} + 4 a^{18} + 26 a^{17} + 11 a^{16} + 7 a^{15} + 23 a^{14} + 5 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{11} + 3 a^{10} + 26 a^{9} + 25 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{26} + 4 a^{25} + 14 a^{24} + 12 a^{23} + 25 a^{22} + 17 a^{20} + 6 a^{19} + 10 a^{18} + 15 a^{17} + 17 a^{16} + 21 a^{15} + 27 a^{14} + 17 a^{13} + 15 a^{12} + 2 a^{11} + 11 a^{10} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 12 }$ |
$=$ |
\( 4 a^{26} + 5 a^{25} + 28 a^{24} + 3 a^{23} + 26 a^{21} + 11 a^{20} + 23 a^{19} + 2 a^{18} + 24 a^{17} + 13 a^{16} + 15 a^{15} + 27 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 28 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 6 + \left(22 a^{26} + a^{25} + 9 a^{24} + 12 a^{23} + 18 a^{22} + 9 a^{21} + 15 a^{20} + 9 a^{19} + 3 a^{18} + 27 a^{17} + 28 a^{16} + 3 a^{15} + 9 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{12} + 23 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 29 + \left(15 a^{26} + 2 a^{25} + 27 a^{24} + 26 a^{23} + 25 a^{22} + 28 a^{21} + 4 a^{20} + 9 a^{19} + 6 a^{18} + 23 a^{17} + a^{16} + 22 a^{15} + 3 a^{14} + 14 a^{13} + 6 a^{12} + a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 2 a^{8} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(4 a^{26} + 19 a^{25} + 20 a^{24} + 23 a^{23} + 16 a^{22} + 12 a^{21} + 7 a^{20} + 23 a^{19} + 6 a^{18} + 9 a^{17} + 14 a^{16} + 14 a^{15} + 19 a^{14} + 23 a^{13} + 5 a^{12} + 20 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{26} + 11 a^{25} + 3 a^{24} + 3 a^{23} + 20 a^{22} + 4 a^{21} + 4 a^{20} + a^{19} + a^{18} + 10 a^{17} + 15 a^{16} + 24 a^{15} + 6 a^{14} + 7 a^{13} + 2 a^{12} + 6 a^{11} + 6 a^{10} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 13 }$ |
$=$ |
\( 25 a^{26} + a^{25} + 17 a^{23} + 27 a^{22} + 18 a^{21} + 20 a^{20} + 5 a^{19} + 14 a^{18} + a^{17} + 10 a^{16} + a^{15} + 28 a^{14} + 23 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 23 + \left(5 a^{26} + 8 a^{25} + a^{24} + 10 a^{23} + 28 a^{22} + 9 a^{21} + 26 a^{20} + 4 a^{19} + a^{17} + 15 a^{16} + 3 a^{15} + 21 a^{14} + 22 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 29 + \left(12 a^{26} + 6 a^{25} + 25 a^{24} + 27 a^{23} + 12 a^{22} + 26 a^{21} + 17 a^{20} + 22 a^{19} + 19 a^{18} + 12 a^{17} + 10 a^{16} + 16 a^{15} + 9 a^{14} + 5 a^{13} + 13 a^{12} + 18 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{26} + a^{25} + 7 a^{24} + 12 a^{23} + 9 a^{22} + 25 a^{21} + 27 a^{20} + 5 a^{19} + 24 a^{18} + 11 a^{17} + 11 a^{16} + 18 a^{15} + 18 a^{14} + 4 a^{13} + 20 a^{12} + 23 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{26} + 14 a^{25} + 11 a^{24} + 10 a^{22} + 26 a^{21} + 10 a^{20} + 19 a^{19} + 28 a^{17} + 22 a^{16} + 13 a^{15} + 21 a^{14} + 24 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 24 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 14 }$ |
$=$ |
\( 23 a^{26} + 17 a^{25} + a^{24} + 23 a^{22} + 27 a^{21} + 27 a^{20} + 11 a^{19} + 19 a^{18} + 8 a^{17} + 20 a^{16} + 22 a^{15} + 2 a^{14} + 16 a^{13} + 2 a^{12} + 3 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 20 + \left(16 a^{26} + 21 a^{25} + 20 a^{24} + 27 a^{23} + 13 a^{22} + 16 a^{21} + 3 a^{20} + 28 a^{19} + a^{18} + 11 a^{17} + 14 a^{16} + 17 a^{15} + 4 a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 10 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 29 + \left(8 a^{26} + 18 a^{25} + 22 a^{24} + 10 a^{23} + 20 a^{22} + 8 a^{21} + 13 a^{20} + 10 a^{19} + 7 a^{18} + 16 a^{17} + 23 a^{16} + 22 a^{15} + 12 a^{14} + 15 a^{13} + 27 a^{12} + 19 a^{11} + 4 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{26} + 13 a^{25} + 25 a^{24} + 22 a^{23} + 22 a^{22} + 3 a^{21} + 17 a^{20} + 9 a^{19} + 19 a^{18} + 24 a^{17} + 15 a^{16} + 24 a^{15} + 4 a^{14} + 26 a^{13} + 15 a^{12} + 10 a^{11} + 26 a^{10} + 23 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{26} + 23 a^{25} + 12 a^{24} + 18 a^{23} + 13 a^{21} + 15 a^{20} + 17 a^{19} + 24 a^{18} + 23 a^{17} + 3 a^{16} + 28 a^{15} + 13 a^{14} + 3 a^{13} + 28 a^{12} + 23 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 15 }$ |
$=$ |
\( 11 a^{26} + 22 a^{25} + 9 a^{24} + 8 a^{23} + 18 a^{22} + 19 a^{21} + 17 a^{20} + 26 a^{19} + 19 a^{18} + 3 a^{17} + 23 a^{16} + 21 a^{15} + 21 a^{14} + 9 a^{13} + 17 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 2 + \left(17 a^{26} + 22 a^{25} + 2 a^{24} + 16 a^{23} + 28 a^{22} + 3 a^{21} + 26 a^{20} + 3 a^{19} + 24 a^{18} + 15 a^{17} + 9 a^{15} + 24 a^{14} + 22 a^{13} + 20 a^{12} + 20 a^{11} + 26 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 29 + \left(19 a^{26} + 8 a^{25} + 13 a^{24} + 17 a^{23} + 20 a^{22} + 4 a^{21} + a^{20} + 13 a^{19} + 19 a^{18} + 10 a^{17} + 7 a^{16} + 14 a^{15} + 11 a^{14} + 10 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 14 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{26} + 5 a^{25} + 20 a^{24} + 2 a^{23} + 16 a^{22} + 2 a^{21} + 14 a^{20} + 16 a^{19} + 7 a^{18} + 13 a^{17} + 4 a^{16} + 28 a^{15} + 17 a^{14} + 26 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 13 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(19 a^{26} + 24 a^{25} + 15 a^{24} + 19 a^{23} + 26 a^{21} + 21 a^{20} + 5 a^{19} + 9 a^{17} + 20 a^{16} + 24 a^{15} + 22 a^{14} + 20 a^{13} + 14 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 16 }$ |
$=$ |
\( 7 a^{26} + 14 a^{25} + 4 a^{24} + 17 a^{23} + 14 a^{22} + 28 a^{21} + 22 a^{20} + 18 a^{19} + a^{18} + 28 a^{17} + 14 a^{16} + 2 a^{15} + 24 a^{14} + 18 a^{13} + 21 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 25 + \left(8 a^{26} + 26 a^{25} + 14 a^{24} + 23 a^{21} + 9 a^{20} + 21 a^{19} + 25 a^{18} + 19 a^{17} + 23 a^{16} + 4 a^{15} + 23 a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 29 + \left(25 a^{26} + 15 a^{25} + 19 a^{24} + 2 a^{23} + 26 a^{22} + 12 a^{21} + 24 a^{20} + 22 a^{19} + 22 a^{18} + 14 a^{17} + 16 a^{16} + 8 a^{14} + 3 a^{13} + 20 a^{12} + 6 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{26} + a^{25} + 8 a^{24} + 28 a^{23} + 3 a^{22} + 15 a^{21} + 9 a^{20} + 14 a^{19} + 5 a^{18} + 12 a^{16} + 12 a^{15} + 22 a^{14} + 15 a^{13} + a^{12} + 3 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{26} + 15 a^{25} + 24 a^{24} + 15 a^{23} + 12 a^{22} + 19 a^{21} + 23 a^{20} + 24 a^{19} + 20 a^{18} + 15 a^{17} + 9 a^{16} + 9 a^{15} + 14 a^{14} + 18 a^{13} + 13 a^{12} + 27 a^{11} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 17 }$ |
$=$ |
\( 6 a^{26} + 24 a^{25} + 6 a^{23} + 12 a^{22} + 18 a^{21} + 5 a^{20} + 16 a^{19} + 19 a^{18} + 19 a^{17} + 9 a^{16} + 21 a^{15} + 18 a^{14} + 26 a^{13} + 9 a^{12} + a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 9 + \left(14 a^{26} + 15 a^{25} + 28 a^{24} + 26 a^{23} + 19 a^{22} + 3 a^{21} + 11 a^{20} + 14 a^{19} + 15 a^{18} + 20 a^{17} + 10 a^{16} + 21 a^{15} + a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 18 a^{10} + 27 a^{9} + 12 a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 19 a + 8\right)\cdot 29 + \left(6 a^{26} + 24 a^{25} + 21 a^{24} + 28 a^{23} + 6 a^{22} + 7 a^{21} + 8 a^{20} + 8 a^{19} + 7 a^{18} + 10 a^{17} + 9 a^{16} + 12 a^{15} + 20 a^{14} + 7 a^{13} + 23 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{26} + 7 a^{25} + 9 a^{24} + 10 a^{23} + 20 a^{22} + 7 a^{21} + 10 a^{20} + 6 a^{19} + 27 a^{18} + a^{17} + 12 a^{16} + 10 a^{15} + 18 a^{14} + 22 a^{13} + 13 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{26} + 27 a^{25} + 23 a^{24} + 7 a^{23} + 3 a^{22} + 23 a^{21} + 16 a^{20} + a^{19} + 27 a^{18} + 19 a^{17} + 5 a^{16} + 6 a^{15} + 18 a^{14} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 27 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 2\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 18 }$ |
$=$ |
\( 28 a^{26} + 20 a^{25} + 23 a^{24} + 23 a^{23} + 25 a^{22} + 20 a^{21} + 5 a^{19} + 17 a^{18} + 6 a^{17} + 3 a^{15} + 15 a^{14} + 26 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 13 + \left(2 a^{26} + 4 a^{25} + 12 a^{24} + 28 a^{23} + 23 a^{22} + 3 a^{21} + 28 a^{20} + 15 a^{19} + 21 a^{18} + 25 a^{17} + 25 a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 21 a^{13} + 20 a^{12} + 12 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 22 a^{8} + 23 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 29 + \left(7 a^{26} + 25 a^{25} + 18 a^{24} + 21 a^{23} + 2 a^{22} + 21 a^{21} + 12 a^{20} + 4 a^{18} + 19 a^{17} + 19 a^{16} + 6 a^{15} + 10 a^{14} + 27 a^{13} + 8 a^{12} + 17 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{26} + 11 a^{25} + 9 a^{24} + 2 a^{23} + 15 a^{22} + 13 a^{21} + 15 a^{20} + 28 a^{19} + 4 a^{18} + 11 a^{17} + 14 a^{16} + 2 a^{15} + 20 a^{14} + 25 a^{13} + 24 a^{12} + 18 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{26} + 28 a^{25} + 18 a^{24} + 22 a^{23} + 24 a^{22} + 5 a^{21} + 14 a^{20} + 9 a^{19} + 23 a^{18} + 4 a^{17} + 5 a^{16} + 7 a^{15} + 6 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{10} + 6 a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 19 }$ |
$=$ |
\( a^{26} + 12 a^{25} + 26 a^{24} + 6 a^{22} + 6 a^{21} + 3 a^{20} + 24 a^{19} + 21 a^{18} + 26 a^{17} + 7 a^{16} + 21 a^{15} + 21 a^{14} + 26 a^{13} + 27 a^{12} + 4 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 16 + \left(7 a^{26} + 4 a^{25} + 9 a^{24} + 7 a^{23} + 24 a^{22} + 26 a^{21} + 16 a^{20} + 25 a^{19} + 8 a^{18} + 27 a^{17} + 28 a^{16} + 12 a^{15} + 12 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 29 + \left(27 a^{26} + 16 a^{25} + 23 a^{24} + 12 a^{23} + 25 a^{22} + 21 a^{21} + 12 a^{20} + 18 a^{19} + 21 a^{18} + 13 a^{17} + 27 a^{16} + 27 a^{15} + 26 a^{14} + 28 a^{13} + 17 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{26} + 5 a^{25} + 8 a^{24} + 27 a^{23} + 2 a^{22} + 20 a^{21} + a^{19} + 10 a^{18} + 25 a^{17} + 8 a^{14} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 15 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 23 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{26} + 10 a^{25} + 27 a^{24} + 5 a^{23} + 22 a^{22} + 27 a^{21} + 2 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 11 a^{17} + 5 a^{16} + a^{15} + 12 a^{14} + 2 a^{13} + 11 a^{12} + 24 a^{11} + 15 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 20 }$ |
$=$ |
\( 23 a^{26} + 8 a^{25} + 2 a^{24} + 4 a^{23} + 17 a^{22} + 25 a^{21} + 4 a^{19} + 14 a^{18} + 14 a^{17} + 8 a^{16} + 28 a^{15} + 7 a^{14} + 11 a^{13} + 17 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 20 + \left(15 a^{26} + 12 a^{25} + 16 a^{24} + 15 a^{23} + 26 a^{22} + 10 a^{21} + 2 a^{20} + 6 a^{19} + 20 a^{18} + 8 a^{17} + 15 a^{16} + 25 a^{15} + 13 a^{14} + 23 a^{13} + 12 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 29 + \left(16 a^{26} + 18 a^{25} + 20 a^{24} + 16 a^{23} + 15 a^{22} + 11 a^{21} + 12 a^{20} + 7 a^{19} + 22 a^{18} + 3 a^{17} + 9 a^{16} + 8 a^{15} + 10 a^{14} + 17 a^{13} + 19 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 28 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{25} + 22 a^{24} + 12 a^{23} + 8 a^{22} + 24 a^{21} + 7 a^{20} + 10 a^{19} + 23 a^{18} + 17 a^{17} + 14 a^{16} + 4 a^{15} + 17 a^{14} + 28 a^{13} + 22 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{26} + 8 a^{25} + 10 a^{24} + a^{23} + 15 a^{22} + 22 a^{21} + 2 a^{20} + 2 a^{19} + 7 a^{18} + 27 a^{17} + 24 a^{16} + 26 a^{15} + 20 a^{14} + 13 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 4 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 21 }$ |
$=$ |
\( 5 a^{26} + 8 a^{25} + 27 a^{24} + 11 a^{23} + 23 a^{22} + 14 a^{21} + 5 a^{20} + 23 a^{19} + 19 a^{18} + 17 a^{17} + 28 a^{16} + 22 a^{15} + 16 a^{14} + 23 a^{13} + 18 a^{12} + 24 a^{11} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 22 + \left(25 a^{26} + 8 a^{25} + 5 a^{24} + 14 a^{23} + 18 a^{21} + 24 a^{19} + 24 a^{18} + 16 a^{17} + 7 a^{16} + 21 a^{15} + 25 a^{14} + 13 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 29 + \left(18 a^{26} + 6 a^{25} + 10 a^{24} + 25 a^{23} + 23 a^{22} + 26 a^{21} + 25 a^{20} + 14 a^{19} + 2 a^{18} + 21 a^{17} + 15 a^{16} + 2 a^{15} + 9 a^{14} + 24 a^{13} + 15 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 26 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{26} + 12 a^{25} + 21 a^{24} + 3 a^{23} + 27 a^{22} + 11 a^{21} + 5 a^{20} + 11 a^{19} + a^{18} + 3 a^{17} + 5 a^{16} + 4 a^{15} + 8 a^{14} + 6 a^{13} + 17 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{26} + 4 a^{25} + 26 a^{24} + 23 a^{23} + 9 a^{21} + 22 a^{20} + 28 a^{19} + 3 a^{18} + 3 a^{17} + 17 a^{16} + 25 a^{15} + 4 a^{14} + 17 a^{13} + 12 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 23 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 22 }$ |
$=$ |
\( 2 a^{26} + 14 a^{25} + 6 a^{24} + 11 a^{23} + 3 a^{22} + 25 a^{21} + 3 a^{20} + 14 a^{19} + 5 a^{18} + 8 a^{16} + 28 a^{15} + 10 a^{14} + 28 a^{13} + a^{12} + 11 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 3 + \left(11 a^{26} + 21 a^{25} + 28 a^{24} + 15 a^{23} + 27 a^{22} + 24 a^{21} + 22 a^{20} + 7 a^{19} + 12 a^{18} + 7 a^{17} + 12 a^{16} + 24 a^{15} + 17 a^{14} + 14 a^{13} + 5 a^{12} + 16 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{9} + 17 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29 + \left(a^{25} + 23 a^{24} + 10 a^{23} + 7 a^{22} + 2 a^{21} + 10 a^{20} + 17 a^{19} + 6 a^{18} + 6 a^{17} + 5 a^{16} + 3 a^{15} + 8 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 3 a^{8} + 24 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{26} + 13 a^{25} + 21 a^{24} + 2 a^{23} + 5 a^{22} + 3 a^{21} + 2 a^{20} + 16 a^{19} + 27 a^{18} + a^{17} + 11 a^{16} + 15 a^{15} + 14 a^{14} + 26 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 18 a^{10} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{26} + 11 a^{25} + 23 a^{24} + 22 a^{23} + 12 a^{22} + 6 a^{20} + 27 a^{19} + 5 a^{18} + 18 a^{17} + 18 a^{16} + 18 a^{14} + 27 a^{13} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + a + 13\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 23 }$ |
$=$ |
\( 25 a^{26} + 11 a^{25} + 15 a^{24} + 26 a^{23} + 6 a^{22} + 8 a^{21} + 28 a^{20} + 6 a^{19} + 11 a^{18} + 12 a^{17} + 19 a^{16} + 16 a^{15} + 15 a^{14} + 24 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + 25 a^{10} + 21 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 23 + \left(23 a^{26} + 15 a^{25} + 26 a^{24} + 16 a^{23} + 5 a^{22} + 14 a^{20} + 12 a^{19} + 19 a^{18} + 4 a^{17} + 17 a^{16} + 17 a^{15} + 15 a^{14} + 5 a^{13} + 15 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 12 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 29 + \left(28 a^{26} + 17 a^{25} + 2 a^{24} + 25 a^{23} + 16 a^{22} + 21 a^{21} + 25 a^{20} + 25 a^{19} + 8 a^{18} + 19 a^{17} + 25 a^{16} + 11 a^{15} + a^{14} + 24 a^{13} + 14 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(5 a^{26} + 4 a^{24} + 21 a^{23} + 22 a^{22} + 20 a^{20} + 19 a^{19} + 24 a^{18} + 28 a^{17} + 27 a^{16} + 5 a^{15} + 14 a^{14} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{26} + 5 a^{25} + 3 a^{24} + 5 a^{23} + 22 a^{22} + 19 a^{21} + 22 a^{20} + 21 a^{19} + 18 a^{18} + 19 a^{16} + 12 a^{15} + 10 a^{14} + 3 a^{13} + 18 a^{12} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 24 }$ |
$=$ |
\( 3 a^{26} + 24 a^{25} + 23 a^{24} + 17 a^{23} + 19 a^{22} + 20 a^{21} + 22 a^{20} + 24 a^{19} + 22 a^{18} + 13 a^{17} + 3 a^{16} + a^{15} + 9 a^{14} + 23 a^{13} + 11 a^{12} + 26 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 19 + \left(3 a^{26} + 23 a^{25} + 4 a^{24} + a^{23} + 16 a^{22} + 23 a^{21} + 8 a^{20} + 8 a^{19} + 16 a^{18} + 5 a^{17} + 4 a^{16} + 26 a^{15} + 20 a^{14} + 17 a^{13} + 2 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 29 + \left(2 a^{26} + 28 a^{25} + 4 a^{24} + 25 a^{23} + 25 a^{22} + 5 a^{21} + 18 a^{20} + 14 a^{19} + 5 a^{18} + 17 a^{17} + 6 a^{16} + 7 a^{15} + 7 a^{14} + 16 a^{13} + 23 a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 13 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{26} + 5 a^{25} + 28 a^{24} + 24 a^{23} + 17 a^{22} + 4 a^{21} + 26 a^{20} + 20 a^{19} + a^{18} + 27 a^{17} + 13 a^{16} + 2 a^{15} + 12 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 15 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{26} + 6 a^{25} + 21 a^{24} + 14 a^{22} + 19 a^{21} + 8 a^{19} + 20 a^{18} + 14 a^{17} + 13 a^{16} + 19 a^{15} + 2 a^{14} + 11 a^{13} + 18 a^{12} + a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 25 }$ |
$=$ |
\( 23 a^{26} + 7 a^{25} + 2 a^{23} + 12 a^{22} + 5 a^{21} + 5 a^{20} + 7 a^{19} + 16 a^{18} + 20 a^{17} + 3 a^{16} + 17 a^{15} + 23 a^{14} + 23 a^{13} + 28 a^{12} + 22 a^{11} + 17 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 20 + \left(15 a^{26} + 3 a^{25} + 27 a^{24} + 12 a^{23} + 21 a^{22} + 3 a^{21} + 28 a^{20} + 21 a^{19} + 12 a^{18} + a^{17} + 2 a^{16} + 4 a^{15} + 23 a^{14} + 8 a^{13} + 25 a^{11} + 24 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 29 + \left(20 a^{26} + 27 a^{25} + 4 a^{23} + 9 a^{22} + 16 a^{21} + 15 a^{20} + 4 a^{19} + 6 a^{18} + 19 a^{17} + 21 a^{16} + 27 a^{15} + 15 a^{14} + 2 a^{13} + 5 a^{12} + 27 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{26} + 12 a^{24} + 3 a^{23} + 9 a^{22} + a^{21} + 17 a^{20} + 2 a^{19} + 18 a^{18} + 3 a^{17} + 4 a^{16} + 10 a^{15} + 2 a^{14} + 3 a^{13} + 22 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{26} + 28 a^{25} + 26 a^{24} + a^{23} + 5 a^{22} + 19 a^{21} + 19 a^{20} + 8 a^{19} + 22 a^{18} + 16 a^{17} + 4 a^{16} + 27 a^{15} + 21 a^{14} + 27 a^{13} + 18 a^{12} + 8 a^{11} + 7 a^{10} + 23 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 26 }$ |
$=$ |
\( 5 a^{25} + 8 a^{24} + 23 a^{23} + 5 a^{22} + 8 a^{21} + 23 a^{20} + 22 a^{19} + 17 a^{18} + 25 a^{17} + 11 a^{16} + 26 a^{15} + 24 a^{14} + 15 a^{13} + 19 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + \left(14 a^{26} + a^{25} + 6 a^{24} + 15 a^{23} + 24 a^{22} + 27 a^{21} + 7 a^{20} + 18 a^{19} + 22 a^{17} + 10 a^{16} + 18 a^{15} + 20 a^{14} + 13 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 23 a^{10} + 10 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 29 + \left(4 a^{26} + 22 a^{25} + 6 a^{24} + 21 a^{23} + 26 a^{22} + 2 a^{21} + 24 a^{20} + 28 a^{19} + 18 a^{18} + 3 a^{17} + 2 a^{16} + 12 a^{15} + 22 a^{14} + 28 a^{13} + 14 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 29^{2} + \left(a^{26} + 19 a^{25} + 20 a^{24} + 15 a^{23} + 23 a^{22} + 8 a^{21} + 24 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 12 a^{17} + 8 a^{16} + 10 a^{15} + 28 a^{14} + 27 a^{13} + 26 a^{12} + 6 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{26} + 21 a^{25} + 21 a^{24} + 11 a^{23} + 19 a^{22} + 5 a^{21} + 19 a^{20} + 15 a^{19} + 24 a^{18} + 25 a^{17} + 25 a^{16} + 10 a^{15} + 26 a^{14} + 27 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| $r_{ 27 }$ |
$=$ |
\( 2 a^{26} + 7 a^{25} + 26 a^{23} + 6 a^{22} + 5 a^{21} + 20 a^{20} + 24 a^{19} + 8 a^{18} + 26 a^{17} + 25 a^{16} + 21 a^{15} + 25 a^{13} + 23 a^{12} + 27 a^{11} + 23 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 3 + \left(19 a^{26} + 6 a^{25} + 28 a^{24} + 18 a^{23} + 26 a^{22} + 2 a^{21} + 9 a^{20} + 19 a^{19} + 24 a^{18} + 18 a^{17} + 14 a^{16} + 7 a^{15} + 15 a^{14} + 28 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 21 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a\right)\cdot 29 + \left(4 a^{26} + 8 a^{25} + 7 a^{24} + 20 a^{23} + 11 a^{22} + 21 a^{21} + 11 a^{20} + 8 a^{19} + 15 a^{18} + 17 a^{17} + 3 a^{16} + 13 a^{15} + 13 a^{14} + 27 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{26} + 25 a^{25} + 11 a^{24} + 11 a^{23} + 18 a^{22} + 12 a^{21} + 4 a^{20} + 25 a^{19} + 3 a^{18} + 23 a^{17} + 28 a^{16} + 18 a^{15} + 5 a^{14} + 7 a^{13} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 16\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{26} + 22 a^{25} + 12 a^{24} + 6 a^{23} + 7 a^{22} + 11 a^{21} + 9 a^{20} + 9 a^{19} + 3 a^{18} + 23 a^{17} + 9 a^{16} + 4 a^{15} + 9 a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)
| |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 27 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 27 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$27$ | $2$ | $(1,25)(2,26)(3,17)(4,16)(5,11)(6,19)(7,12)(9,24)(10,22)(13,14)(15,27)(18,23)(20,21)$ | $0$ |
$2$ | $3$ | $(1,25,8)(2,17,5)(3,26,11)(4,21,19)(6,20,16)(7,15,13)(9,23,22)(10,18,24)(12,14,27)$ | $-1$ |
$2$ | $9$ | $(1,9,24,25,23,10,8,22,18)(2,19,7,17,4,15,5,21,13)(3,12,6,26,14,20,11,27,16)$ | $-\zeta_{27}^{12} + \zeta_{27}^{6} - \zeta_{27}^{3}$ |
$2$ | $9$ | $(1,24,23,8,18,9,25,10,22)(2,7,4,5,13,19,17,15,21)(3,6,14,11,16,12,26,20,27)$ | $\zeta_{27}^{15} + \zeta_{27}^{12}$ |
$2$ | $9$ | $(1,23,18,25,22,24,8,9,10)(2,4,13,17,21,7,5,19,15)(3,14,16,26,27,6,11,12,20)$ | $-\zeta_{27}^{15} - \zeta_{27}^{6} + \zeta_{27}^{3}$ |
$2$ | $27$ | $(1,16,7,9,3,17,24,12,4,25,6,15,23,26,5,10,14,21,8,20,13,22,11,2,18,27,19)$ | $\zeta_{27}^{16} + \zeta_{27}^{11}$ |
$2$ | $27$ | $(1,7,3,24,4,6,23,5,14,8,13,11,18,19,16,9,17,12,25,15,26,10,21,20,22,2,27)$ | $-\zeta_{27}^{13} + \zeta_{27}^{5} - \zeta_{27}^{4}$ |
$2$ | $27$ | $(1,3,4,23,14,13,18,16,17,25,26,21,22,27,7,24,6,5,8,11,19,9,12,15,10,20,2)$ | $\zeta_{27}^{17} + \zeta_{27}^{10}$ |
$2$ | $27$ | $(1,17,6,10,13,27,9,4,26,8,2,16,24,15,14,22,19,3,25,5,20,18,7,12,23,21,11)$ | $-\zeta_{27}^{17} - \zeta_{27}^{8} + \zeta_{27}$ |
$2$ | $27$ | $(1,12,5,22,16,4,10,11,7,25,14,2,9,6,21,18,3,15,8,27,17,23,20,19,24,26,13)$ | $-\zeta_{27}^{14} - \zeta_{27}^{5} + \zeta_{27}^{4}$ |
$2$ | $27$ | $(1,4,14,18,17,26,22,7,6,8,19,12,10,2,3,23,13,16,25,21,27,24,5,11,9,15,20)$ | $-\zeta_{27}^{11} + \zeta_{27}^{7} - \zeta_{27}^{2}$ |
$2$ | $27$ | $(1,6,13,9,26,2,24,14,19,25,20,7,23,11,17,10,27,4,8,16,15,22,3,5,18,12,21)$ | $-\zeta_{27}^{16} - \zeta_{27}^{7} + \zeta_{27}^{2}$ |
$2$ | $27$ | $(1,15,11,24,21,16,23,2,12,8,7,26,18,4,20,9,5,27,25,13,3,10,19,6,22,17,14)$ | $\zeta_{27}^{14} + \zeta_{27}^{13}$ |
$2$ | $27$ | $(1,26,19,23,27,15,18,6,2,25,11,4,22,12,13,24,20,17,8,3,21,9,14,7,10,16,5)$ | $-\zeta_{27}^{10} + \zeta_{27}^{8} - \zeta_{27}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.