Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{4} + 2 x^{2} + 11 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 4 + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + a\right)\cdot 19 + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{3} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{3} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{3} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{3} + a^{2} + 7 + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19 + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{3} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{3} + 15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{3} + 18 a^{2} + a + 7 + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19 + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2}\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{3} + 18 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9 + \left(17 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19 + \left(5 a^{3} + a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{3} + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{3} + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{3} + 18 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 15 a^{3} + 16 a + 2 + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19 + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 13 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 5 + \left(17 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19 + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{3} + a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 4 + \left(13 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19 + \left(2 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{3} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{3} + a^{2} + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 8 + \left(4 a + 2\right)\cdot 19 + \left(17 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 5 + \left(6 a^{3} + 18 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19 + \left(11 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 13 + \left(12 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 19 + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ |
$=$ |
$ a^{3} + 5 a^{2} + a + 4 + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19 + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{3} + 14 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 9 + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 5\right)\cdot 19 + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O\left(19^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 12 }$
| Cycle notation |
| $(1,6,11,3,12,9)(2,4,5,7,8,10)$ |
| $(1,7,3,2)(4,9,8,11)(5,12,10,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 12 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,3)(2,7)(4,8)(5,10)(6,12)(9,11)$ | $-2$ |
| $2$ | $3$ | $(1,11,12)(2,5,8)(3,9,6)(4,7,10)$ | $-1$ |
| $3$ | $4$ | $(1,7,3,2)(4,9,8,11)(5,12,10,6)$ | $0$ |
| $3$ | $4$ | $(1,2,3,7)(4,11,8,9)(5,6,10,12)$ | $0$ |
| $2$ | $6$ | $(1,6,11,3,12,9)(2,4,5,7,8,10)$ | $1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
