Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | 24T65 |
Conductor: | \(2325\)\(\medspace = 3 \cdot 5^{2} \cdot 31 \) |
Artin stem field: | Galois closure of 24.0.1729054511370401309967041015625.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | 24T65 |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.93.6t1.a.b |
Projective image: | $S_3$ |
Projective stem field: | Galois closure of 3.1.14415.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{24} - 8 x^{23} + 35 x^{22} - 105 x^{21} + 233 x^{20} - 377 x^{19} + 373 x^{18} + 86 x^{17} - 1310 x^{16} + \cdots + 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 37 }$ to precision 6.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 37 }$: \( x^{12} + 4x^{7} + 31x^{6} + 10x^{5} + 23x^{4} + 23x^{3} + 18x^{2} + 33x + 2 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 35 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 32 a^{2} + 36 a + 12 + \left(20 a^{11} + 31 a^{10} + 27 a^{9} + 31 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 37 + \left(13 a^{11} + 24 a^{10} + 24 a^{9} + 11 a^{8} + 11 a^{7} + 32 a^{6} + 36 a^{5} + 4 a^{4} + 34 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{11} + 17 a^{10} + 25 a^{9} + 36 a^{8} + 5 a^{7} + 31 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 32 a^{3} + 34 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 37^{3} + \left(a^{11} + 35 a^{10} + 21 a^{9} + 35 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 31 a^{4} + 19 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 37^{4} + \left(26 a^{11} + 10 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( 36 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 32 a^{8} + 7 a^{7} + 25 a^{6} + 32 a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 3 + \left(23 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 8 a^{7} + 35 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 37 + \left(5 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 32 a^{7} + 20 a^{6} + 32 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{11} + 11 a^{10} + 31 a^{9} + 30 a^{8} + 32 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 32 a^{4} + 34 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 37^{3} + \left(30 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 34 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 3 a^{2} + 35 a + 29\right)\cdot 37^{4} + \left(20 a^{10} + 34 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 36 a^{11} + 5 a^{10} + 28 a^{9} + 9 a^{8} + 31 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{2} + 24 a + 20 + \left(34 a^{11} + 25 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 31 a + 27\right)\cdot 37 + \left(19 a^{11} + 14 a^{10} + 34 a^{9} + 19 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 37^{2} + \left(12 a^{11} + 4 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 2 a^{7} + 36 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 37^{3} + \left(6 a^{11} + 4 a^{10} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 37^{4} + \left(9 a^{11} + a^{10} + 13 a^{9} + 33 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( 30 a^{11} + 18 a^{10} + 33 a^{9} + 34 a^{8} + 7 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 17 + \left(28 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 34 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 37 + \left(4 a^{11} + 26 a^{10} + 31 a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 36 a^{4} + 9 a^{3} + 26 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 37^{2} + \left(15 a^{11} + 36 a^{10} + 31 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 37^{3} + \left(28 a^{11} + 34 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 32 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 37^{4} + \left(17 a^{11} + 27 a^{10} + 35 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 36\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 25 a^{11} + 19 a^{10} + 36 a^{9} + 31 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 31 a^{2} + 11 a + 31 + \left(24 a^{11} + 6 a^{10} + 23 a^{9} + 33 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 32 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 37 + \left(14 a^{11} + 7 a^{10} + 3 a^{9} + 33 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 34 a^{5} + 17 a^{4} + 25 a^{3} + 34 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{11} + 36 a^{10} + 15 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 34 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 37^{3} + \left(31 a^{11} + 6 a^{10} + 20 a^{9} + 36 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 37^{4} + \left(19 a^{11} + 4 a^{10} + 33 a^{9} + 10 a^{8} + 36 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 32 a^{3} + 7 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 21 a^{11} + 10 a^{10} + 29 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 35 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 6 a + 12 + \left(30 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + a + 32\right)\cdot 37 + \left(a^{11} + 12 a^{10} + 36 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 35 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 37^{2} + \left(5 a^{11} + 12 a^{10} + 35 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 33 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{11} + 27 a^{10} + 27 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 29 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 29 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 37^{4} + \left(4 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 33 a^{8} + 33 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 3 a^{11} + 6 a^{10} + 21 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 31 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 36 + \left(27 a^{11} + 15 a^{10} + 17 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 36 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 37 + \left(4 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{11} + 5 a^{10} + 19 a^{9} + 35 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 31 a^{5} + 19 a^{4} + 35 a^{3} + 17 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 37^{3} + \left(29 a^{11} + 23 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 36 a^{6} + 22 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 37^{4} + \left(5 a^{11} + 23 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 25 a^{3} + 31 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 15 a^{10} + 4 a^{9} + 23 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 21 + \left(18 a^{11} + 18 a^{10} + 5 a^{9} + 34 a^{8} + 3 a^{6} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 31 a\right)\cdot 37 + \left(24 a^{11} + 10 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 37^{2} + \left(13 a^{11} + 29 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 31 a^{4} + 20 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{11} + 19 a^{10} + 25 a^{9} + 30 a^{8} + 4 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 32 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 37^{4} + \left(14 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 33 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 15 a^{11} + 26 a^{10} + 36 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 33 a^{6} + 36 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 5 + \left(28 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 36 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 37 + \left(21 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 37^{2} + \left(31 a^{11} + a^{10} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 36 a^{2} + 34\right)\cdot 37^{3} + \left(26 a^{11} + 32 a^{10} + 7 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 37^{4} + \left(35 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 31 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( 18 a^{11} + 25 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 25 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 34 a + 17 + \left(32 a^{11} + 2 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 37 + \left(5 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 25 a^{6} + 34 a^{5} + 23 a^{4} + 33 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 37^{2} + \left(30 a^{11} + 31 a^{10} + 27 a^{9} + 36 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{11} + 35 a^{10} + 5 a^{9} + 29 a^{8} + 32 a^{7} + 36 a^{6} + 36 a^{5} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 35 a^{8} + 34 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{4} + 36 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 33 a^{11} + 16 a^{10} + 31 a^{9} + 26 a^{8} + 32 a^{7} + 35 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 28 + \left(11 a^{11} + a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 31 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 37 + \left(15 a^{11} + 26 a^{10} + 34 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 36 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 37^{2} + \left(13 a^{11} + 19 a^{10} + 20 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 31 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 37^{3} + \left(14 a^{11} + 11 a^{10} + 27 a^{9} + 19 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 37^{4} + \left(21 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 8 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 31 a^{6} + 33 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + a + \left(9 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 36 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 37 + \left(14 a^{10} + 26 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 37^{2} + \left(9 a^{11} + 32 a^{10} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 34 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 37^{3} + \left(a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 36 a^{8} + 36 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 17 a\right)\cdot 37^{4} + \left(30 a^{11} + 34 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 32 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 31 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( 34 a^{11} + 17 a^{10} + 36 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 32 a^{2} + 18 a + 18 + \left(29 a^{10} + 31 a^{9} + 11 a^{8} + 35 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{3} + 33 a^{2} + 31 a + 34\right)\cdot 37 + \left(27 a^{11} + 4 a^{10} + 34 a^{9} + 35 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 37^{2} + \left(26 a^{11} + 29 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 33 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 37^{4} + \left(16 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 7 a^{8} + 36 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 14 }$ | $=$ | \( 19 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 33 a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{2} + 4 a + 5 + \left(27 a^{11} + 4 a^{10} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 29 a^{4} + 24 a^{3} + 33 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 37 + \left(4 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 34 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 37^{2} + \left(20 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 37^{3} + \left(5 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 37^{4} + \left(17 a^{11} + 21 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 31\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 15 }$ | $=$ | \( 31 a^{11} + 31 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 31 a^{7} + 23 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 31 a + 21 + \left(32 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 33 a^{8} + 3 a^{7} + 34 a^{6} + 31 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 37 + \left(35 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 37^{2} + \left(31 a^{11} + 36 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 36 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 37^{3} + \left(34 a^{11} + 3 a^{10} + 31 a^{9} + 2 a^{8} + 33 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 37^{4} + \left(8 a^{11} + 23 a^{10} + 9 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 33 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 36 a^{2} + 34 a + 8\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 16 }$ | $=$ | \( 25 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 32 a^{8} + 26 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 32 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 1 + \left(9 a^{11} + 21 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 35 a^{6} + 20 a^{5} + 34 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 37 + \left(14 a^{11} + 18 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 33 a^{7} + 33 a^{6} + 5 a^{5} + 34 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 37^{2} + \left(7 a^{11} + 30 a^{9} + 25 a^{8} + 19 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 36 a^{3} + 5 a^{2} + a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(14 a^{11} + 5 a^{10} + 34 a^{9} + 20 a^{8} + 35 a^{7} + 34 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 37^{4} + \left(27 a^{11} + 32 a^{10} + 8 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 17 }$ | $=$ | \( 10 a^{11} + 17 a^{10} + 2 a^{9} + 36 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 36 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 21 + \left(11 a^{11} + 14 a^{10} + 20 a^{9} + 35 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 37 + \left(11 a^{11} + 3 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 31 a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 37^{2} + \left(29 a^{10} + 14 a^{9} + 28 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 32 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 37^{3} + \left(2 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{8} + 26 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 37^{4} + \left(34 a^{11} + 9 a^{10} + 18 a^{9} + 36 a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 18 }$ | $=$ | \( 15 a^{11} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 32 a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + 32 a^{5} + 31 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 1 + \left(28 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 31 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 37 + \left(35 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 34 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 28\right)\cdot 37^{2} + \left(29 a^{11} + 16 a^{10} + 30 a^{9} + 13 a^{8} + 31 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 35 a^{3} + 4 a^{2} + a + 23\right)\cdot 37^{3} + \left(4 a^{11} + 26 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 34 a^{7} + 34 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 37^{4} + \left(35 a^{11} + 31 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 19 }$ | $=$ | \( 32 a^{11} + 14 a^{10} + 31 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 1 + \left(16 a^{11} + 15 a^{10} + 27 a^{9} + 31 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 31 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 37 + \left(20 a^{11} + 23 a^{10} + 20 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 33 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 37^{3} + \left(22 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 33 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 37^{4} + \left(3 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 20 }$ | $=$ | \( 27 a^{11} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 4 + \left(29 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 4 a^{8} + 36 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 37 + \left(17 a^{11} + 20 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + 32 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 37^{2} + \left(10 a^{11} + 15 a^{10} + 35 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 33 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 37^{3} + \left(20 a^{11} + 11 a^{10} + 32 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 35 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 37^{4} + \left(13 a^{11} + 23 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 21 }$ | $=$ | \( 29 a^{11} + 6 a^{10} + 7 a^{9} + 33 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 31 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 31 a + 4 + \left(19 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 34 a^{8} + 35 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 35 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 37 + \left(7 a^{11} + 13 a^{10} + 23 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 31 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 37^{2} + \left(34 a^{11} + 8 a^{10} + 33 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 37^{3} + \left(6 a^{11} + 11 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 35\right)\cdot 37^{4} + \left(18 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 22 }$ | $=$ | \( 2 a^{11} + 4 a^{10} + 13 a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 31 a + \left(27 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 5 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{6} + 36 a^{5} + 33 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 37 + \left(19 a^{11} + 30 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 37^{2} + \left(15 a^{11} + 32 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 37^{3} + \left(26 a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 25 a^{8} + 34 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 32 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 37^{4} + \left(10 a^{11} + 25 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 34 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 23 }$ | $=$ | \( 21 a^{11} + 5 a^{10} + 30 a^{9} + 33 a^{8} + 28 a^{7} + 35 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 7 + \left(35 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 37 + \left(a^{11} + 4 a^{10} + 3 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 34 a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 33\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{11} + 24 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 34\right)\cdot 37^{3} + \left(22 a^{11} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 31 a^{6} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 33 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 37^{4} + \left(25 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 32 a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
$r_{ 24 }$ | $=$ | \( 13 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 31 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 32 a + 19 + \left(24 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 14 a^{8} + a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{3} + 36 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 37 + \left(3 a^{11} + 32 a^{10} + 29 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 37^{2} + \left(23 a^{11} + 32 a^{10} + 18 a^{9} + 30 a^{8} + 20 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 35 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{11} + 10 a^{10} + 31 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 36 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 37^{4} + \left(22 a^{11} + 5 a^{10} + 31 a^{9} + 25 a^{8} + 31 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 37^{5} +O(37^{6})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$1$ | $2$ | $(1,8)(2,20)(3,16)(4,7)(5,23)(6,11)(9,21)(10,14)(12,24)(13,15)(17,19)(18,22)$ | $-2$ |
$3$ | $2$ | $(1,3)(2,6)(4,22)(5,12)(7,18)(8,16)(9,17)(10,15)(11,20)(13,14)(19,21)(23,24)$ | $0$ |
$3$ | $2$ | $(1,16)(2,11)(3,8)(4,18)(5,24)(6,20)(7,22)(9,19)(10,13)(12,23)(14,15)(17,21)$ | $0$ |
$1$ | $3$ | $(1,11,17)(2,21,16)(3,20,9)(4,10,24)(5,18,13)(6,19,8)(7,14,12)(15,23,22)$ | $2 \zeta_{12}^{2} - 2$ |
$1$ | $3$ | $(1,17,11)(2,16,21)(3,9,20)(4,24,10)(5,13,18)(6,8,19)(7,12,14)(15,22,23)$ | $-2 \zeta_{12}^{2}$ |
$2$ | $3$ | $(1,11,17)(2,16,21)(3,9,20)(4,10,24)(5,13,18)(6,19,8)(7,14,12)(15,22,23)$ | $-1$ |
$2$ | $3$ | $(2,21,16)(3,20,9)(5,18,13)(15,23,22)$ | $\zeta_{12}^{2}$ |
$2$ | $3$ | $(2,16,21)(3,9,20)(5,13,18)(15,22,23)$ | $-\zeta_{12}^{2} + 1$ |
$1$ | $4$ | $(1,12,8,24)(2,22,20,18)(3,5,16,23)(4,11,7,6)(9,13,21,15)(10,17,14,19)$ | $2 \zeta_{12}^{3}$ |
$1$ | $4$ | $(1,24,8,12)(2,18,20,22)(3,23,16,5)(4,6,7,11)(9,15,21,13)(10,19,14,17)$ | $-2 \zeta_{12}^{3}$ |
$3$ | $4$ | $(1,15,8,13)(2,14,20,10)(3,4,16,7)(5,11,23,6)(9,24,21,12)(17,22,19,18)$ | $0$ |
$3$ | $4$ | $(1,13,8,15)(2,10,20,14)(3,7,16,4)(5,6,23,11)(9,12,21,24)(17,18,19,22)$ | $0$ |
$1$ | $6$ | $(1,6,17,8,11,19)(2,9,16,20,21,3)(4,14,24,7,10,12)(5,22,13,23,18,15)$ | $-2 \zeta_{12}^{2} + 2$ |
$1$ | $6$ | $(1,19,11,8,17,6)(2,3,21,20,16,9)(4,12,10,7,24,14)(5,15,18,23,13,22)$ | $2 \zeta_{12}^{2}$ |
$2$ | $6$ | $(1,19,11,8,17,6)(2,9,16,20,21,3)(4,12,10,7,24,14)(5,22,13,23,18,15)$ | $1$ |
$2$ | $6$ | $(1,19,11,8,17,6)(2,20)(3,16)(4,12,10,7,24,14)(5,23)(9,21)(13,15)(18,22)$ | $\zeta_{12}^{2} - 1$ |
$2$ | $6$ | $(1,6,17,8,11,19)(2,20)(3,16)(4,14,24,7,10,12)(5,23)(9,21)(13,15)(18,22)$ | $-\zeta_{12}^{2}$ |
$3$ | $6$ | $(1,20,11,9,17,3)(2,6,21,19,16,8)(4,15,10,23,24,22)(5,12,18,7,13,14)$ | $0$ |
$3$ | $6$ | $(1,3,17,9,11,20)(2,8,16,19,21,6)(4,22,24,23,10,15)(5,14,13,7,18,12)$ | $0$ |
$3$ | $6$ | $(1,16,11,2,17,21)(3,6,20,19,9,8)(4,18,10,13,24,5)(7,22,14,15,12,23)$ | $0$ |
$3$ | $6$ | $(1,21,17,2,11,16)(3,8,9,19,20,6)(4,5,24,13,10,18)(7,23,12,15,14,22)$ | $0$ |
$1$ | $12$ | $(1,14,6,24,17,7,8,10,11,12,19,4)(2,23,9,18,16,15,20,5,21,22,3,13)$ | $-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ |
$1$ | $12$ | $(1,7,19,24,11,14,8,4,17,12,6,10)(2,15,3,18,21,23,20,13,16,22,9,5)$ | $-2 \zeta_{12}$ |
$1$ | $12$ | $(1,10,6,12,17,4,8,14,11,24,19,7)(2,5,9,22,16,13,20,23,21,18,3,15)$ | $2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ |
$1$ | $12$ | $(1,4,19,12,11,10,8,7,17,24,6,14)(2,13,3,22,21,5,20,15,16,18,9,23)$ | $2 \zeta_{12}$ |
$2$ | $12$ | $(1,4,19,12,11,10,8,7,17,24,6,14)(2,5,9,22,16,13,20,23,21,18,3,15)$ | $\zeta_{12}^{3}$ |
$2$ | $12$ | $(1,7,19,24,11,14,8,4,17,12,6,10)(2,23,9,18,16,15,20,5,21,22,3,13)$ | $-\zeta_{12}^{3}$ |
$2$ | $12$ | $(1,4,19,12,11,10,8,7,17,24,6,14)(2,18,20,22)(3,23,16,5)(9,15,21,13)$ | $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ |
$2$ | $12$ | $(1,10,6,12,17,4,8,14,11,24,19,7)(2,18,20,22)(3,23,16,5)(9,15,21,13)$ | $-\zeta_{12}$ |
$2$ | $12$ | $(1,7,19,24,11,14,8,4,17,12,6,10)(2,22,20,18)(3,5,16,23)(9,13,21,15)$ | $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ |
$2$ | $12$ | $(1,14,6,24,17,7,8,10,11,12,19,4)(2,22,20,18)(3,5,16,23)(9,13,21,15)$ | $\zeta_{12}$ |
$3$ | $12$ | $(1,15,6,5,17,22,8,13,11,23,19,18)(2,12,9,4,16,14,20,24,21,7,3,10)$ | $0$ |
$3$ | $12$ | $(1,22,19,5,11,15,8,18,17,23,6,13)(2,14,3,4,21,12,20,10,16,7,9,24)$ | $0$ |
$3$ | $12$ | $(1,13,6,23,17,18,8,15,11,5,19,22)(2,24,9,7,16,10,20,12,21,4,3,14)$ | $0$ |
$3$ | $12$ | $(1,18,19,23,11,13,8,22,17,5,6,15)(2,10,3,7,21,24,20,14,16,4,9,12)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.