Properties

Label 2.2275.24t65.a.d
Dimension $2$
Group $C_{12}\times S_3$
Conductor $2275$
Root number not computed
Indicator $0$

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: 24T65
Conductor: \(2275\)\(\medspace = 5^{2} \cdot 7 \cdot 13 \)
Artin stem field: 24.0.43070843460234840091705322265625.1
Galois orbit size: $4$
Smallest permutation container: 24T65
Parity: odd
Determinant: 1.91.6t1.g.b
Projective image: $S_3$
Projective stem field: 3.1.5915.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$\(x^{24} - x^{23} + 3 x^{22} + x^{21} + 7 x^{20} + 20 x^{19} + 16 x^{18} - 5 x^{17} + 80 x^{16} + 120 x^{15} - 277 x^{14} + 191 x^{13} + 511 x^{12} - 356 x^{11} - 47 x^{10} + 255 x^{9} - 75 x^{8} - 130 x^{7} + 96 x^{6} + 20 x^{5} - 43 x^{4} + 14 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 1\)  Toggle raw display.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 37 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 37 }$: \(x^{12} + 4 x^{7} + 31 x^{6} + 10 x^{5} + 23 x^{4} + 23 x^{3} + 18 x^{2} + 33 x + 2\)  Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 26 a^{11} + 18 a^{10} + 34 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 36 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 10 + \left(29 a^{11} + 3 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 34 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 37 + \left(28 a^{11} + 28 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + a + 7\right)\cdot 37^{2} + \left(29 a^{11} + 12 a^{10} + 26 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 36 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 37^{3} + \left(7 a^{11} + 13 a^{10} + 33 a^{9} + 24 a^{8} + 33 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 37^{4} + \left(12 a^{11} + 21 a^{10} + 22 a^{8} + 32 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + a + 2\right)\cdot 37^{5} + \left(14 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 33\right)\cdot 37^{6} + \left(9 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 34 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 37^{7} + \left(2 a^{11} + 36 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 32 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 24 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 8 + \left(26 a^{11} + 36 a^{10} + 27 a^{9} + 31 a^{7} + 7 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 34 a\right)\cdot 37 + \left(9 a^{11} + 11 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 32 a^{7} + 14 a^{6} + 33 a^{5} + 2 a^{4} + a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{11} + 23 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 17 a^{5} + 34 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 37^{4} + \left(28 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 36\right)\cdot 37^{5} + \left(36 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 36 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 37^{6} + \left(9 a^{11} + 35 a^{9} + 13 a^{8} + 27 a^{7} + 34 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 37^{7} + \left(18 a^{11} + 9 a^{10} + 29 a^{9} + 6 a^{8} + 33 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 8 a^{11} + 7 a^{10} + 34 a^{9} + 7 a^{8} + 36 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 34 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 14 + \left(30 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{6} + 35 a^{5} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 37 + \left(26 a^{11} + 31 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 33 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 37^{2} + \left(16 a^{11} + 25 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 35 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 37^{3} + \left(35 a^{11} + 25 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{7} + 31 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 34 a + 5\right)\cdot 37^{4} + \left(14 a^{11} + 33 a^{10} + 7 a^{9} + 31 a^{7} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 34 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 37^{5} + \left(24 a^{11} + 22 a^{10} + 7 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 32 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 37^{6} + \left(29 a^{11} + 15 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 36 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 32 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 37^{7} + \left(15 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 33 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 30 + \left(11 a^{11} + 18 a^{10} + 24 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 35 a^{5} + 32 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 36\right)\cdot 37 + \left(21 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 30 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 33 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a + 1\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 37^{3} + \left(4 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 32 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 36 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 37^{4} + \left(30 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 8 a^{8} + 32 a^{7} + 5 a^{6} + 30 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 37^{5} + \left(a^{11} + 31 a^{10} + 4 a^{9} + 35 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{5} + 34 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 37^{6} + \left(7 a^{11} + 32 a^{10} + 24 a^{9} + 35 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 37^{7} + \left(6 a^{11} + 8 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 33 a^{6} + 19 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 34\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 29 a^{11} + 33 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 34 + \left(28 a^{11} + 4 a^{10} + 31 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 33 a^{4} + 18 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 37 + \left(25 a^{11} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 32 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 37^{2} + \left(19 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 31 a^{8} + 10 a^{7} + 36 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 37^{3} + \left(36 a^{11} + 11 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 37^{4} + \left(4 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 32 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 37^{5} + \left(10 a^{11} + 30 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 22 a^{5} + 33 a^{4} + 33 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 37^{6} + \left(21 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 37^{7} + \left(a^{11} + 34 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 36 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 32 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 8 a^{11} + 5 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 32 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a + 9 + \left(30 a^{11} + 7 a^{10} + 15 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 26 a^{6} + 34 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 31 a + 17\right)\cdot 37 + \left(7 a^{11} + 32 a^{10} + 25 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 37^{2} + \left(26 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 37^{3} + \left(26 a^{11} + 3 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 37^{4} + \left(31 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 25 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 37^{5} + \left(33 a^{11} + 33 a^{10} + 12 a^{9} + 31 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 33 a^{4} + 23 a^{3} + 36 a^{2} + a + 18\right)\cdot 37^{6} + \left(32 a^{11} + 13 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 29 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 37^{7} + \left(22 a^{11} + 2 a^{10} + 25 a^{9} + 32 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 19 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 2 a^{8} + 31 a^{7} + 13 a^{6} + 36 a^{5} + 33 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 20 + \left(24 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 32 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 37 + \left(7 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 31 a^{7} + 31 a^{6} + 32 a^{5} + 35 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 37^{2} + \left(30 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 34 a^{6} + 2 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 37^{3} + \left(13 a^{11} + 31 a^{10} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 37^{4} + \left(21 a^{11} + 29 a^{10} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 37^{5} + \left(34 a^{11} + 9 a^{10} + 31 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 31 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 37^{6} + \left(a^{11} + 10 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 37^{7} + \left(29 a^{11} + 18 a^{10} + 20 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 35 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 8 + \left(a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + a + 7\right)\cdot 37 + \left(a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{11} + 13 a^{10} + 35 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 34 a^{6} + 25 a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 37^{3} + \left(34 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 33 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 37^{4} + \left(27 a^{11} + 32 a^{10} + 15 a^{9} + 33 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 34 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 37^{5} + \left(2 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{8} + 31 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 37^{6} + \left(25 a^{10} + 22 a^{9} + 35 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 32 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 37^{7} + \left(14 a^{11} + 8 a^{10} + 10 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 9 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 18 a + 29 + \left(19 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 33 a^{3} + 11 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 37 + \left(15 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 35 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 37^{2} + \left(2 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 37^{3} + \left(9 a^{10} + 25 a^{9} + 14 a^{8} + 35 a^{7} + 31 a^{6} + 8 a^{5} + 36 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 37^{4} + \left(16 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 35 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 37^{5} + \left(21 a^{11} + 27 a^{10} + 34 a^{9} + 20 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 37^{6} + \left(2 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 35 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 37^{7} + \left(31 a^{11} + 30 a^{10} + 26 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 32 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 25 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 36 a^{2} + 29 a + 21 + \left(27 a^{11} + 5 a^{10} + 18 a^{9} + 26 a^{8} + 34 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 37 + \left(20 a^{11} + 17 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 37^{2} + \left(23 a^{11} + 7 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 8 a^{8} + 35 a^{7} + 28 a^{6} + 32 a^{5} + 23 a^{4} + 35 a^{3} + 32 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 37^{4} + \left(33 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 31 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 32\right)\cdot 37^{5} + \left(19 a^{11} + 35 a^{10} + 20 a^{9} + 29 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 37^{6} + \left(20 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 31 a^{8} + 34 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 37^{7} + \left(3 a^{11} + 14 a^{10} + 34 a^{9} + 35 a^{8} + 31 a^{7} + 35 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 4 a^{11} + 4 a^{10} + 29 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a + 3 + \left(a^{11} + 5 a^{10} + 19 a^{9} + 31 a^{8} + 36 a^{7} + 27 a^{6} + 32 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 35 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 37 + \left(13 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 34 a^{6} + 29 a^{5} + 31 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{11} + 30 a^{10} + 19 a^{9} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 36 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 37^{3} + \left(27 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 33 a + 11\right)\cdot 37^{4} + \left(20 a^{11} + 12 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 33 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 37^{5} + \left(17 a^{11} + 13 a^{10} + 17 a^{9} + 28 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 33 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + a + 16\right)\cdot 37^{6} + \left(23 a^{11} + 33 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 33 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{4} + 21 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 37^{7} + \left(11 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 35 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 19 a^{11} + 33 a^{10} + 25 a^{9} + 31 a^{8} + 13 a^{7} + 36 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + 21 a + 11 + \left(18 a^{11} + 22 a^{10} + 31 a^{9} + 15 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 21 a^{4} + 9 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 37 + \left(35 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{4} + 35 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 37^{2} + \left(3 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 37^{3} + \left(7 a^{11} + 34 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 37^{5} + \left(32 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 37^{6} + \left(16 a^{11} + 8 a^{10} + 20 a^{9} + 3 a^{8} + 32 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 37^{7} + \left(7 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 16 a^{8} + 36 a^{7} + 33 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 23 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 31 a + 19 + \left(4 a^{11} + 15 a^{10} + 22 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 21\right)\cdot 37 + \left(11 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 31 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 37^{2} + \left(36 a^{11} + 21 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 31 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 37^{3} + \left(27 a^{11} + 16 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 37^{4} + \left(22 a^{11} + 29 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 32 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 31 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 36\right)\cdot 37^{5} + \left(26 a^{11} + 10 a^{10} + 34 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 36 a^{4} + 28 a^{3} + 34 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 37^{6} + \left(28 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 16 a^{8} + 11 a^{7} + 35 a^{6} + 34 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 37^{7} + \left(6 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 26 a^{8} + 32 a^{7} + 36 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 22 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 21 + \left(32 a^{11} + 22 a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a\right)\cdot 37 + \left(14 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{5} + 36 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 37^{2} + \left(2 a^{11} + 12 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 36 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 37^{3} + \left(8 a^{11} + 21 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 37^{4} + \left(29 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 31 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 37^{5} + \left(26 a^{11} + 28 a^{10} + 32 a^{9} + 29 a^{8} + 33 a^{7} + 21 a^{6} + 36 a^{5} + 27 a^{4} + 32 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 37^{6} + \left(22 a^{11} + 19 a^{10} + 36 a^{9} + a^{8} + 34 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 33 a^{3} + 8 a^{2} + 19\right)\cdot 37^{7} + \left(6 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 35 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 36 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 18 a^{4} + 36 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 29 + \left(32 a^{11} + 20 a^{10} + 27 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 37 + \left(15 a^{11} + 13 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 36 a^{6} + 32 a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 37^{2} + \left(30 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 35 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 37^{3} + \left(5 a^{11} + 13 a^{10} + 34 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 37^{4} + \left(4 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 32 a^{8} + 19 a^{6} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 37^{5} + \left(8 a^{11} + 24 a^{10} + 30 a^{9} + 31 a^{8} + 32 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 37^{6} + \left(17 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 33 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 37^{7} + \left(29 a^{11} + 15 a^{10} + 32 a^{9} + 9 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 14 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 36 a + 3 + \left(16 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 33 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 32 a + 11\right)\cdot 37 + \left(24 a^{11} + 33 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{3} + 32 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 37^{2} + \left(6 a^{11} + 20 a^{10} + 2 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 31 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{11} + 4 a^{10} + 28 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 35 a^{2} + 33 a + 26\right)\cdot 37^{4} + \left(13 a^{11} + 4 a^{10} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 35 a^{6} + 36 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 34 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 37^{5} + \left(27 a^{11} + 24 a^{10} + 36 a^{9} + 30 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 33 a^{5} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 37^{6} + \left(25 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 31 a^{8} + 7 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 37^{7} + \left(6 a^{11} + 33 a^{10} + 23 a^{9} + 31 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 33 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 10 a^{11} + 6 a^{10} + 36 a^{9} + 36 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 29 + \left(25 a^{11} + 33 a^{10} + 35 a^{9} + 35 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 35 a^{2} + 35 a + 19\right)\cdot 37 + \left(7 a^{11} + 15 a^{10} + 25 a^{9} + 31 a^{8} + 36 a^{7} + 35 a^{6} + 35 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 37^{2} + \left(12 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 31 a^{7} + 34 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 37^{3} + \left(3 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{9} + 17 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 37^{4} + \left(11 a^{11} + 22 a^{10} + 35 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 36 a^{6} + 20 a^{5} + 34 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 37^{5} + \left(7 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 35 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 31 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 37^{6} + \left(15 a^{11} + 35 a^{10} + 25 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 37^{7} + \left(17 a^{11} + 15 a^{10} + 15 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 36 a^{6} + 35 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 6 a^{11} + 26 a^{10} + a^{9} + 22 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 29 + \left(18 a^{11} + 26 a^{10} + 17 a^{9} + 36 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 30 a^{5} + 31 a^{4} + 25 a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 36\right)\cdot 37 + \left(27 a^{11} + 23 a^{10} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 35 a^{3} + 23 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 37^{2} + \left(30 a^{11} + 25 a^{10} + 20 a^{9} + 34 a^{8} + 20 a^{7} + 32 a^{6} + 36 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 37^{3} + \left(22 a^{11} + a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 37^{4} + \left(22 a^{11} + 6 a^{10} + 20 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 33 a^{6} + 34 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 37^{5} + \left(4 a^{11} + 33 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 31 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 37^{6} + \left(21 a^{11} + 15 a^{10} + 35 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 32 a^{5} + 18 a^{4} + 32 a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 37^{7} + \left(21 a^{11} + 15 a^{10} + 30 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 31 a^{5} + 18 a^{4} + 34 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 27 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{9} + 32 a^{8} + 22 a^{7} + 33 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 14 + \left(15 a^{11} + 29 a^{10} + 2 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 37 + \left(23 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{11} + 24 a^{10} + 18 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 37^{3} + \left(27 a^{11} + 24 a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 37^{4} + \left(31 a^{11} + 7 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{8} + 31 a^{7} + 4 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 32 a + 15\right)\cdot 37^{5} + \left(33 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 33 a^{7} + 36 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 37^{6} + \left(7 a^{11} + 8 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 33 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 37^{7} + \left(18 a^{11} + 15 a^{10} + 34 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( 10 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 31 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a + 20 + \left(20 a^{11} + 19 a^{10} + 34 a^{9} + 25 a^{8} + 21 a^{7} + 36 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 33 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 37 + \left(22 a^{11} + 34 a^{10} + 28 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 32 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{11} + 19 a^{10} + 31 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 35 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 10\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 32 a^{6} + 13 a^{5} + 34 a^{4} + 4 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 37^{4} + \left(25 a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 35 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 37^{5} + \left(23 a^{11} + 27 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 21 a^{5} + 34 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 37^{6} + \left(15 a^{11} + 30 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 32 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 37^{7} + \left(28 a^{11} + 6 a^{10} + 5 a^{9} + 26 a^{8} + 14 a^{7} + 35 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 11 a^{11} + 29 a^{10} + 23 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 31 a^{3} + 25 a^{2} + 34 a + 20 + \left(2 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 37 + \left(36 a^{11} + 36 a^{10} + 15 a^{9} + 34 a^{6} + 33 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{11} + 5 a^{10} + 3 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{5} + 35 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a\right)\cdot 37^{3} + \left(4 a^{11} + 25 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 33 a^{5} + 32 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 37^{4} + \left(34 a^{11} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 18 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 31 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 37^{5} + \left(9 a^{11} + 23 a^{10} + 25 a^{9} + 29 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 37^{6} + \left(8 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 36 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 37^{7} + \left(33 a^{11} + 31 a^{10} + 19 a^{9} + 29 a^{8} + 36 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 5 a^{3} + 33 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 11 a^{11} + 27 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 35 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 36 a^{2} + 29 a + 8 + \left(19 a^{11} + 16 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 37 + \left(31 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 8 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 34 a^{4} + 35 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 31 a^{7} + 28 a^{6} + 36 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 37^{3} + \left(8 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + 32 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 37^{4} + \left(16 a^{11} + 21 a^{10} + 33 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 37^{5} + \left(30 a^{11} + 28 a^{10} + 3 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 13\right)\cdot 37^{6} + \left(35 a^{11} + 7 a^{10} + 14 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 33\right)\cdot 37^{7} + \left(15 a^{11} + 13 a^{10} + 18 a^{9} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 36 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 20 a^{11} + a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{5} + 36 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 27 + \left(36 a^{11} + 8 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 37 + \left(33 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 32 a^{8} + 26 a^{7} + 31 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{11} + 31 a^{10} + 32 a^{9} + 19 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 34 a^{5} + 12 a^{4} + 33 a^{3} + 33 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 37^{3} + \left(34 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 34 a^{2} + 32 a + 30\right)\cdot 37^{4} + \left(35 a^{11} + 6 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 35 a^{7} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 37^{5} + \left(21 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 37^{6} + \left(22 a^{11} + 10 a^{10} + 31 a^{9} + 36 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 37^{7} + \left(32 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 34 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 33 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 15 a^{11} + 32 a^{10} + 20 a^{9} + 30 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 29 + \left(7 a^{11} + a^{10} + 13 a^{9} + 35 a^{8} + 34 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 32 a^{2} + 12 a\right)\cdot 37 + \left(18 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 32 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 37^{2} + \left(19 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 31 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(25 a^{11} + 27 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 35 a^{6} + 17 a^{5} + 32 a^{4} + 32 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 37^{4} + \left(32 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 35 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 37^{5} + \left(10 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 35 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 37^{6} + \left(10 a^{11} + 12 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 36 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 31 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 37^{7} + \left(26 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 31 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)  Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,23,18,17,9,6)(2,22,13,4,8,20)(3,15,7,14,19,21)(5,12,10,16,11,24)$
$(1,17)(2,4)(3,14)(5,16)(6,18)(7,21)(8,22)(9,23)(10,24)(11,12)(13,20)(15,19)$
$(1,2,17,4)(3,5,14,16)(6,20,18,13)(7,10,21,24)(8,23,22,9)(11,15,12,19)$
$(1,10,6,12,9,5,17,24,18,11,23,16)(2,21,20,19,8,14,4,7,13,15,22,3)$
$(3,7,19)(5,10,11)(12,16,24)(14,21,15)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$1$$2$$(1,17)(2,4)(3,14)(5,16)(6,18)(7,21)(8,22)(9,23)(10,24)(11,12)(13,20)(15,19)$$-2$
$3$$2$$(1,15)(2,12)(3,6)(4,11)(5,20)(7,23)(8,24)(9,21)(10,22)(13,16)(14,18)(17,19)$$0$
$3$$2$$(1,19)(2,11)(3,18)(4,12)(5,13)(6,14)(7,9)(8,10)(15,17)(16,20)(21,23)(22,24)$$0$
$1$$3$$(1,18,9)(2,13,8)(3,7,19)(4,20,22)(5,10,11)(6,23,17)(12,16,24)(14,21,15)$$2 \zeta_{12}^{2} - 2$
$1$$3$$(1,9,18)(2,8,13)(3,19,7)(4,22,20)(5,11,10)(6,17,23)(12,24,16)(14,15,21)$$-2 \zeta_{12}^{2}$
$2$$3$$(3,7,19)(5,10,11)(12,16,24)(14,21,15)$$\zeta_{12}^{2}$
$2$$3$$(3,19,7)(5,11,10)(12,24,16)(14,15,21)$$-\zeta_{12}^{2} + 1$
$2$$3$$(1,9,18)(2,8,13)(3,7,19)(4,22,20)(5,10,11)(6,17,23)(12,16,24)(14,21,15)$$-1$
$1$$4$$(1,2,17,4)(3,5,14,16)(6,20,18,13)(7,10,21,24)(8,23,22,9)(11,15,12,19)$$-2 \zeta_{12}^{3}$
$1$$4$$(1,4,17,2)(3,16,14,5)(6,13,18,20)(7,24,21,10)(8,9,22,23)(11,19,12,15)$$2 \zeta_{12}^{3}$
$3$$4$$(1,12,17,11)(2,19,4,15)(3,20,14,13)(5,18,16,6)(7,22,21,8)(9,24,23,10)$$0$
$3$$4$$(1,11,17,12)(2,15,4,19)(3,13,14,20)(5,6,16,18)(7,8,21,22)(9,10,23,24)$$0$
$1$$6$$(1,23,18,17,9,6)(2,22,13,4,8,20)(3,15,7,14,19,21)(5,12,10,16,11,24)$$2 \zeta_{12}^{2}$
$1$$6$$(1,6,9,17,18,23)(2,20,8,4,13,22)(3,21,19,14,7,15)(5,24,11,16,10,12)$$-2 \zeta_{12}^{2} + 2$
$2$$6$$(1,23,18,17,9,6)(2,22,13,4,8,20)(3,14)(5,16)(7,21)(10,24)(11,12)(15,19)$$\zeta_{12}^{2} - 1$
$2$$6$$(1,6,9,17,18,23)(2,20,8,4,13,22)(3,14)(5,16)(7,21)(10,24)(11,12)(15,19)$$-\zeta_{12}^{2}$
$2$$6$$(1,6,9,17,18,23)(2,20,8,4,13,22)(3,15,7,14,19,21)(5,12,10,16,11,24)$$1$
$3$$6$$(1,21,18,15,9,14)(2,24,13,12,8,16)(3,17,7,6,19,23)(4,10,20,11,22,5)$$0$
$3$$6$$(1,14,9,15,18,21)(2,16,8,12,13,24)(3,23,19,6,7,17)(4,5,22,11,20,10)$$0$
$3$$6$$(1,3,9,19,18,7)(2,5,8,11,13,10)(4,16,22,12,20,24)(6,21,17,14,23,15)$$0$
$3$$6$$(1,7,18,19,9,3)(2,10,13,11,8,5)(4,24,20,12,22,16)(6,15,23,14,17,21)$$0$
$1$$12$$(1,22,6,2,9,20,17,8,18,4,23,13)(3,12,21,5,19,24,14,11,7,16,15,10)$$-2 \zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$
$1$$12$$(1,20,23,2,18,22,17,13,9,4,6,8)(3,24,15,5,7,12,14,10,19,16,21,11)$$-2 \zeta_{12}$
$1$$12$$(1,8,6,4,9,13,17,22,18,2,23,20)(3,11,21,16,19,10,14,12,7,5,15,24)$$2 \zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$
$1$$12$$(1,13,23,4,18,8,17,20,9,2,6,22)(3,10,15,16,7,11,14,24,19,5,21,12)$$2 \zeta_{12}$
$2$$12$$(1,2,17,4)(3,10,15,16,7,11,14,24,19,5,21,12)(6,20,18,13)(8,23,22,9)$$-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$
$2$$12$$(1,2,17,4)(3,11,21,16,19,10,14,12,7,5,15,24)(6,20,18,13)(8,23,22,9)$$-\zeta_{12}$
$2$$12$$(1,4,17,2)(3,24,15,5,7,12,14,10,19,16,21,11)(6,13,18,20)(8,9,22,23)$$\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$
$2$$12$$(1,4,17,2)(3,12,21,5,19,24,14,11,7,16,15,10)(6,13,18,20)(8,9,22,23)$$\zeta_{12}$
$2$$12$$(1,20,23,2,18,22,17,13,9,4,6,8)(3,12,21,5,19,24,14,11,7,16,15,10)$$-\zeta_{12}^{3}$
$2$$12$$(1,13,23,4,18,8,17,20,9,2,6,22)(3,11,21,16,19,10,14,12,7,5,15,24)$$\zeta_{12}^{3}$
$3$$12$$(1,10,6,12,9,5,17,24,18,11,23,16)(2,21,20,19,8,14,4,7,13,15,22,3)$$0$
$3$$12$$(1,5,23,12,18,10,17,16,9,11,6,24)(2,14,22,19,13,21,4,3,8,15,20,7)$$0$
$3$$12$$(1,24,6,11,9,16,17,10,18,12,23,5)(2,7,20,15,8,3,4,21,13,19,22,14)$$0$
$3$$12$$(1,16,23,11,18,24,17,5,9,12,6,10)(2,3,22,15,13,7,4,14,8,19,20,21)$$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.