Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{29}$ |
| Conductor: | \(2231\)\(\medspace = 23 \cdot 97 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 29.1.75682241113219898520171301845005641468074963121.1 |
| Galois orbit size: | $14$ |
| Smallest permutation container: | $D_{29}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.2231.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{29}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 29.1.75682241113219898520171301845005641468074963121.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{29} - 9 x^{28} + 56 x^{27} - 308 x^{26} + 1574 x^{25} - 7243 x^{24} + 28966 x^{23} - 99448 x^{22} + \cdots - 1 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$:
\( x^{29} + 11x + 28 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( a^{28} + 15 a^{27} + 5 a^{26} + 12 a^{25} + 24 a^{24} + 16 a^{23} + 17 a^{22} + 30 a^{21} + 11 a^{20} + a^{19} + 18 a^{18} + 27 a^{17} + 16 a^{16} + 20 a^{15} + 14 a^{14} + 29 a^{13} + 22 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 12 + \left(21 a^{28} + 17 a^{27} + 30 a^{26} + 19 a^{25} + 24 a^{24} + 21 a^{23} + 24 a^{22} + 30 a^{21} + 19 a^{20} + 29 a^{19} + 3 a^{18} + 21 a^{17} + 19 a^{16} + 13 a^{15} + 2 a^{14} + 14 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31 + \left(12 a^{28} + 25 a^{27} + 26 a^{26} + 18 a^{25} + 16 a^{24} + 3 a^{23} + 10 a^{22} + 5 a^{21} + 16 a^{20} + 27 a^{19} + 15 a^{18} + 16 a^{17} + 4 a^{16} + 5 a^{15} + 19 a^{14} + 7 a^{13} + 11 a^{12} + 7 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{28} + 4 a^{27} + 10 a^{26} + 19 a^{25} + 28 a^{24} + 20 a^{23} + 6 a^{22} + a^{21} + 18 a^{20} + a^{19} + 11 a^{18} + 8 a^{17} + 14 a^{16} + 14 a^{15} + 29 a^{14} + 17 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{11} + 16 a^{10} + 30 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{28} + 10 a^{27} + 19 a^{26} + 15 a^{25} + 26 a^{24} + 6 a^{23} + a^{22} + 5 a^{21} + 23 a^{20} + 6 a^{19} + 24 a^{18} + 18 a^{17} + 23 a^{16} + a^{15} + 5 a^{14} + 20 a^{13} + 6 a^{12} + a^{10} + 30 a^{9} + 14 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 3 a^{28} + 7 a^{27} + 12 a^{26} + 29 a^{25} + 7 a^{24} + 27 a^{23} + 5 a^{22} + 3 a^{21} + 11 a^{20} + 20 a^{19} + 16 a^{18} + 27 a^{17} + 20 a^{16} + 2 a^{15} + 12 a^{14} + 20 a^{13} + 29 a^{12} + 23 a^{11} + 9 a^{10} + 27 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 14 + \left(11 a^{28} + 13 a^{27} + 27 a^{26} + 20 a^{25} + 7 a^{24} + 24 a^{23} + 4 a^{22} + 26 a^{21} + 4 a^{20} + 16 a^{19} + 4 a^{18} + 21 a^{17} + 17 a^{16} + 7 a^{15} + 4 a^{14} + 27 a^{13} + 8 a^{12} + 15 a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 19 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31 + \left(8 a^{28} + 12 a^{27} + 30 a^{26} + 27 a^{25} + 14 a^{24} + 17 a^{23} + a^{22} + 26 a^{21} + 20 a^{19} + 27 a^{18} + 11 a^{17} + 22 a^{16} + 20 a^{15} + 8 a^{14} + 27 a^{13} + 20 a^{12} + 7 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{28} + 6 a^{27} + 24 a^{26} + 26 a^{25} + 17 a^{24} + a^{22} + 26 a^{21} + a^{20} + 8 a^{19} + 25 a^{18} + 16 a^{17} + 29 a^{16} + 6 a^{15} + 4 a^{14} + 18 a^{13} + 27 a^{11} + 27 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{28} + 12 a^{27} + 16 a^{26} + 7 a^{25} + 13 a^{24} + 12 a^{23} + 17 a^{22} + a^{21} + 16 a^{20} + 18 a^{19} + 25 a^{18} + 12 a^{17} + 12 a^{16} + 6 a^{15} + 29 a^{14} + 18 a^{13} + 28 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 3 a^{28} + 15 a^{27} + 6 a^{26} + 16 a^{25} + 9 a^{24} + 19 a^{23} + 2 a^{22} + 7 a^{21} + 12 a^{20} + 11 a^{18} + 17 a^{17} + 3 a^{16} + 13 a^{15} + 28 a^{14} + 23 a^{13} + 5 a^{12} + 3 a^{11} + 25 a^{10} + 3 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 14 + \left(19 a^{28} + 8 a^{27} + 4 a^{26} + 25 a^{25} + 20 a^{24} + 26 a^{23} + 21 a^{22} + 17 a^{21} + 22 a^{20} + 29 a^{19} + 29 a^{18} + 13 a^{17} + 19 a^{16} + 14 a^{15} + 5 a^{14} + 23 a^{13} + 3 a^{12} + 27 a^{11} + 27 a^{10} + 26 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31 + \left(8 a^{28} + 15 a^{27} + 19 a^{26} + 18 a^{25} + 20 a^{24} + 4 a^{23} + 5 a^{22} + 2 a^{21} + 9 a^{20} + 13 a^{19} + 28 a^{18} + 12 a^{17} + 29 a^{16} + 6 a^{15} + 11 a^{14} + 17 a^{12} + 6 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{28} + 4 a^{27} + 6 a^{26} + 6 a^{25} + 25 a^{24} + 30 a^{23} + 15 a^{22} + 23 a^{21} + 21 a^{20} + 3 a^{19} + 27 a^{18} + 19 a^{17} + a^{16} + 2 a^{15} + 4 a^{14} + 2 a^{13} + 14 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{28} + 6 a^{27} + 10 a^{26} + 15 a^{25} + 13 a^{24} + 5 a^{23} + 8 a^{22} + 10 a^{21} + 10 a^{20} + 28 a^{19} + 3 a^{18} + 17 a^{17} + 15 a^{16} + 17 a^{14} + 2 a^{13} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 4 a^{28} + 17 a^{27} + 5 a^{26} + 28 a^{25} + 14 a^{24} + 2 a^{23} + 28 a^{22} + 27 a^{21} + 25 a^{20} + 9 a^{19} + 11 a^{18} + 6 a^{17} + 24 a^{16} + 23 a^{15} + 23 a^{14} + 17 a^{13} + 22 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 24 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 15 + \left(17 a^{28} + 3 a^{26} + 8 a^{25} + 3 a^{24} + 10 a^{23} + a^{22} + 6 a^{21} + 22 a^{20} + 25 a^{19} + 11 a^{18} + 15 a^{17} + 13 a^{16} + 15 a^{15} + 11 a^{14} + 30 a^{13} + 18 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31 + \left(23 a^{28} + 20 a^{27} + 17 a^{26} + 20 a^{25} + 8 a^{24} + 29 a^{23} + 13 a^{22} + 13 a^{21} + 20 a^{20} + 13 a^{19} + 2 a^{18} + 15 a^{17} + 3 a^{16} + 28 a^{15} + 2 a^{14} + 3 a^{13} + 18 a^{12} + 24 a^{11} + 5 a^{10} + 18 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{28} + 23 a^{27} + 20 a^{26} + 19 a^{25} + 4 a^{24} + 12 a^{23} + 26 a^{22} + 19 a^{21} + 6 a^{20} + 17 a^{19} + 27 a^{18} + 12 a^{17} + 11 a^{16} + 27 a^{15} + 21 a^{14} + 29 a^{13} + 26 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{28} + 8 a^{27} + 21 a^{26} + 19 a^{25} + 10 a^{24} + 4 a^{23} + 3 a^{22} + 10 a^{21} + a^{20} + 28 a^{19} + 13 a^{17} + 16 a^{16} + 3 a^{15} + 2 a^{14} + 20 a^{13} + 7 a^{12} + 30 a^{11} + 7 a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 4 a^{28} + 28 a^{27} + 27 a^{26} + 20 a^{25} + 26 a^{24} + 19 a^{23} + 27 a^{22} + 9 a^{21} + 23 a^{20} + 7 a^{19} + a^{18} + 27 a^{17} + a^{16} + 19 a^{15} + a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 15 + \left(2 a^{28} + 24 a^{27} + a^{26} + 6 a^{25} + 12 a^{24} + 24 a^{23} + 7 a^{22} + 29 a^{21} + 15 a^{20} + 15 a^{19} + 7 a^{18} + 17 a^{17} + 3 a^{16} + 28 a^{15} + 26 a^{14} + 5 a^{13} + 21 a^{12} + 19 a^{11} + 28 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31 + \left(27 a^{28} + 21 a^{27} + 4 a^{26} + 18 a^{25} + 17 a^{24} + 11 a^{23} + 21 a^{22} + 27 a^{21} + 24 a^{20} + 19 a^{19} + 14 a^{18} + 23 a^{17} + 5 a^{16} + 22 a^{15} + 27 a^{14} + 29 a^{13} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{28} + 17 a^{27} + 28 a^{26} + a^{25} + 30 a^{24} + 9 a^{23} + a^{22} + 7 a^{21} + 4 a^{19} + 25 a^{18} + 27 a^{16} + 15 a^{15} + 10 a^{14} + 8 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{28} + 20 a^{27} + 6 a^{26} + 13 a^{25} + 23 a^{24} + 8 a^{23} + 9 a^{22} + 11 a^{21} + 7 a^{20} + 21 a^{19} + 15 a^{18} + 3 a^{17} + 3 a^{16} + 17 a^{15} + 6 a^{14} + 19 a^{13} + 29 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 6 a^{28} + 7 a^{27} + 8 a^{26} + 17 a^{25} + 22 a^{24} + 10 a^{23} + 16 a^{21} + 29 a^{20} + 7 a^{19} + 10 a^{18} + 25 a^{17} + 2 a^{16} + 25 a^{15} + 22 a^{14} + 4 a^{13} + 24 a^{12} + 28 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 17 + \left(11 a^{28} + 5 a^{27} + 4 a^{26} + 28 a^{25} + 26 a^{23} + 29 a^{22} + 29 a^{21} + 19 a^{20} + 25 a^{19} + 24 a^{18} + 28 a^{17} + 6 a^{16} + 27 a^{15} + 30 a^{14} + 29 a^{13} + 30 a^{12} + 15 a^{11} + 7 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 31 + \left(10 a^{28} + 16 a^{27} + 3 a^{26} + 18 a^{25} + 28 a^{24} + 13 a^{23} + 25 a^{22} + 18 a^{21} + 16 a^{20} + 25 a^{19} + 6 a^{18} + 12 a^{17} + 19 a^{16} + 6 a^{15} + 7 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{28} + 20 a^{27} + 20 a^{26} + 26 a^{25} + 3 a^{24} + 15 a^{22} + 16 a^{21} + 4 a^{20} + 22 a^{19} + 16 a^{18} + 13 a^{16} + 24 a^{15} + 8 a^{14} + 28 a^{13} + 23 a^{12} + 11 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{28} + 22 a^{27} + 10 a^{26} + 13 a^{25} + 20 a^{24} + 27 a^{23} + 17 a^{22} + 16 a^{21} + 28 a^{20} + 27 a^{19} + 22 a^{18} + 8 a^{17} + 4 a^{16} + 28 a^{15} + 5 a^{14} + 14 a^{13} + 14 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 30 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 6 a^{28} + 10 a^{27} + 13 a^{26} + 10 a^{25} + 29 a^{24} + 25 a^{23} + 4 a^{22} + 25 a^{21} + 20 a^{20} + 2 a^{19} + 26 a^{18} + 10 a^{17} + 17 a^{16} + 22 a^{15} + 14 a^{14} + 30 a^{13} + 10 a^{12} + 5 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 17 + \left(28 a^{28} + 30 a^{27} + 19 a^{26} + 5 a^{25} + 9 a^{24} + 13 a^{23} + 5 a^{22} + 27 a^{21} + 12 a^{20} + 28 a^{19} + 26 a^{18} + 5 a^{17} + 4 a^{16} + 20 a^{15} + 28 a^{14} + 26 a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 29 a^{6} + 23 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31 + \left(29 a^{28} + 6 a^{27} + 19 a^{26} + 21 a^{25} + 20 a^{24} + 8 a^{23} + 25 a^{22} + a^{21} + 30 a^{20} + 14 a^{19} + 2 a^{18} + 10 a^{17} + 27 a^{16} + 11 a^{15} + 20 a^{14} + 5 a^{13} + 18 a^{12} + 27 a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 22 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{28} + 4 a^{26} + 29 a^{25} + 29 a^{24} + 13 a^{23} + 21 a^{22} + 14 a^{21} + 27 a^{20} + 28 a^{19} + 12 a^{18} + 28 a^{17} + 13 a^{16} + 4 a^{15} + 26 a^{14} + 4 a^{13} + 30 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{28} + 5 a^{27} + a^{26} + a^{25} + 18 a^{24} + 28 a^{23} + 19 a^{22} + 28 a^{21} + 28 a^{20} + 11 a^{19} + 20 a^{18} + 27 a^{17} + 16 a^{16} + 21 a^{15} + 28 a^{14} + 5 a^{13} + 20 a^{12} + 23 a^{11} + 3 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 7 a^{28} + 14 a^{27} + 22 a^{26} + 26 a^{25} + 22 a^{24} + 19 a^{23} + 21 a^{22} + 27 a^{21} + 2 a^{20} + 22 a^{19} + 19 a^{18} + 21 a^{17} + 18 a^{16} + 26 a^{15} + 11 a^{14} + 10 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{2} + 16 a + 18 + \left(25 a^{28} + 27 a^{27} + 19 a^{26} + 25 a^{25} + 12 a^{24} + 16 a^{23} + 13 a^{22} + 4 a^{21} + 14 a^{20} + 30 a^{19} + 20 a^{18} + 5 a^{17} + 11 a^{16} + 21 a^{15} + 24 a^{14} + 6 a^{13} + 12 a^{12} + 24 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 31 + \left(15 a^{28} + 11 a^{27} + 15 a^{26} + 3 a^{25} + 10 a^{24} + 22 a^{23} + 22 a^{22} + 11 a^{21} + 2 a^{20} + 16 a^{19} + 4 a^{18} + 25 a^{17} + 22 a^{16} + 6 a^{15} + 20 a^{14} + a^{13} + 23 a^{12} + 26 a^{11} + 23 a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{28} + 6 a^{27} + 8 a^{26} + 26 a^{25} + 27 a^{24} + 17 a^{23} + 18 a^{22} + 17 a^{21} + 28 a^{20} + 12 a^{19} + 13 a^{18} + 15 a^{17} + 2 a^{16} + 7 a^{15} + 27 a^{14} + 24 a^{13} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 30 a^{8} + 27 a^{7} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{28} + 3 a^{27} + 18 a^{26} + 5 a^{25} + 24 a^{24} + 8 a^{23} + 20 a^{22} + 22 a^{21} + 29 a^{20} + 14 a^{18} + 21 a^{17} + 26 a^{16} + 11 a^{15} + 12 a^{14} + 27 a^{13} + 19 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 7 a^{28} + 17 a^{27} + 18 a^{26} + 21 a^{25} + 26 a^{24} + 25 a^{23} + 30 a^{22} + 2 a^{21} + 28 a^{20} + 19 a^{19} + 27 a^{18} + 19 a^{17} + 6 a^{16} + 11 a^{15} + 15 a^{14} + 26 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 18 + \left(2 a^{28} + 2 a^{27} + 12 a^{26} + 23 a^{25} + 7 a^{24} + 21 a^{23} + 12 a^{22} + 25 a^{21} + 20 a^{20} + 25 a^{19} + 19 a^{18} + 7 a^{17} + 9 a^{16} + 6 a^{15} + 29 a^{13} + 3 a^{12} + 26 a^{11} + 16 a^{10} + 26 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31 + \left(20 a^{28} + 17 a^{27} + 20 a^{26} + 28 a^{25} + 26 a^{24} + 18 a^{23} + 2 a^{22} + 25 a^{21} + 21 a^{20} + 18 a^{19} + 10 a^{18} + 17 a^{17} + a^{16} + 24 a^{15} + 29 a^{14} + 14 a^{13} + 5 a^{12} + 4 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{28} + 2 a^{27} + 22 a^{26} + 23 a^{25} + 16 a^{24} + a^{23} + 18 a^{22} + 8 a^{21} + 26 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 6 a^{17} + 9 a^{16} + 29 a^{15} + 11 a^{14} + 4 a^{13} + 30 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 28 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{28} + 21 a^{27} + 5 a^{26} + 12 a^{24} + 11 a^{23} + 7 a^{22} + 4 a^{21} + 29 a^{20} + 7 a^{19} + 24 a^{18} + 21 a^{17} + 8 a^{16} + 14 a^{15} + 6 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 23 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 12 a^{28} + 6 a^{27} + 3 a^{26} + 26 a^{25} + 22 a^{24} + 18 a^{23} + 9 a^{21} + 16 a^{20} + 28 a^{19} + 24 a^{18} + 27 a^{17} + 8 a^{15} + 2 a^{14} + 4 a^{13} + 26 a^{12} + 5 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 11 a + 23 + \left(27 a^{28} + 28 a^{27} + a^{26} + 4 a^{25} + 13 a^{24} + 8 a^{23} + 25 a^{22} + 16 a^{21} + 17 a^{20} + 24 a^{19} + 10 a^{18} + 28 a^{17} + 8 a^{16} + 18 a^{15} + 30 a^{14} + 20 a^{13} + 19 a^{12} + 22 a^{11} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31 + \left(a^{28} + 21 a^{27} + 4 a^{26} + 16 a^{25} + a^{24} + 13 a^{23} + 6 a^{22} + 5 a^{21} + 15 a^{20} + 9 a^{19} + 11 a^{18} + 27 a^{17} + 16 a^{16} + 5 a^{15} + 2 a^{14} + 15 a^{13} + 5 a^{12} + 12 a^{11} + 25 a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 30 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{28} + 25 a^{27} + 12 a^{26} + 9 a^{25} + 24 a^{24} + 18 a^{23} + 10 a^{22} + 26 a^{21} + 22 a^{20} + 5 a^{19} + 10 a^{18} + 8 a^{16} + 16 a^{15} + 17 a^{14} + a^{13} + 6 a^{12} + 12 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{28} + 21 a^{27} + 18 a^{26} + 4 a^{25} + 16 a^{24} + 7 a^{23} + 14 a^{22} + 30 a^{21} + 15 a^{20} + a^{19} + 3 a^{18} + 24 a^{17} + 3 a^{16} + 9 a^{15} + 14 a^{14} + 3 a^{13} + 5 a^{12} + 3 a^{11} + 25 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 14 a^{28} + 21 a^{27} + 7 a^{26} + 30 a^{25} + 4 a^{24} + 5 a^{23} + 8 a^{22} + 25 a^{21} + 15 a^{20} + 17 a^{19} + 12 a^{18} + 5 a^{17} + 9 a^{16} + 29 a^{15} + 17 a^{14} + 15 a^{13} + 26 a^{12} + 14 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 25 + \left(28 a^{28} + 4 a^{27} + 13 a^{26} + 10 a^{25} + 7 a^{24} + 7 a^{23} + 22 a^{22} + 16 a^{21} + 17 a^{20} + 30 a^{19} + 2 a^{18} + 20 a^{17} + 15 a^{16} + 30 a^{15} + 19 a^{14} + 11 a^{13} + 13 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31 + \left(24 a^{28} + 15 a^{27} + 12 a^{26} + 19 a^{25} + 26 a^{24} + 21 a^{23} + 20 a^{22} + 26 a^{21} + 6 a^{20} + 3 a^{19} + 23 a^{18} + 20 a^{17} + 22 a^{16} + 26 a^{15} + 12 a^{14} + 20 a^{13} + a^{12} + 27 a^{11} + 30 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{28} + 29 a^{27} + 7 a^{26} + 23 a^{25} + 26 a^{23} + 26 a^{21} + 3 a^{20} + 2 a^{19} + a^{18} + 9 a^{17} + 16 a^{16} + 22 a^{15} + 26 a^{14} + 16 a^{13} + 4 a^{12} + 26 a^{11} + 30 a^{10} + 8 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{28} + 29 a^{27} + 27 a^{26} + 18 a^{25} + 18 a^{24} + 27 a^{23} + 17 a^{22} + 2 a^{21} + 9 a^{20} + 11 a^{19} + 9 a^{18} + 15 a^{17} + 29 a^{16} + 25 a^{15} + 10 a^{14} + 24 a^{13} + 17 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 16 a^{28} + 2 a^{27} + 29 a^{26} + 3 a^{25} + 12 a^{24} + 25 a^{23} + 21 a^{22} + 28 a^{21} + 8 a^{20} + 25 a^{19} + 4 a^{18} + 15 a^{16} + 10 a^{15} + 17 a^{14} + 29 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 27 + \left(a^{28} + 15 a^{27} + 18 a^{26} + 12 a^{25} + 27 a^{24} + 30 a^{23} + 20 a^{22} + 14 a^{21} + 29 a^{20} + 3 a^{19} + 28 a^{18} + 21 a^{17} + 12 a^{16} + 30 a^{15} + 20 a^{14} + 19 a^{13} + 6 a^{12} + a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31 + \left(7 a^{27} + 28 a^{26} + 16 a^{25} + 2 a^{24} + 4 a^{22} + 19 a^{21} + 28 a^{20} + 22 a^{19} + 3 a^{18} + a^{16} + 30 a^{15} + 13 a^{14} + 26 a^{13} + 21 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{28} + 10 a^{27} + 8 a^{26} + 6 a^{25} + 7 a^{24} + a^{23} + 10 a^{21} + 14 a^{20} + 29 a^{19} + 27 a^{18} + 22 a^{17} + 21 a^{16} + 12 a^{15} + 7 a^{14} + 25 a^{13} + 19 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 27 a^{9} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{28} + 2 a^{27} + 3 a^{26} + a^{25} + a^{24} + 8 a^{23} + 11 a^{22} + 28 a^{21} + 16 a^{20} + 4 a^{19} + 4 a^{18} + 17 a^{17} + 3 a^{16} + 8 a^{15} + 4 a^{14} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 17 a^{28} + 5 a^{27} + 29 a^{26} + 11 a^{25} + 15 a^{24} + 16 a^{23} + 16 a^{22} + 15 a^{21} + 7 a^{20} + 4 a^{19} + 29 a^{18} + 9 a^{17} + 29 a^{16} + 3 a^{15} + 21 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 23 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 28 + \left(6 a^{28} + 23 a^{27} + 27 a^{26} + 26 a^{25} + 21 a^{24} + 19 a^{23} + 21 a^{22} + 27 a^{21} + 24 a^{20} + 26 a^{19} + 5 a^{18} + 19 a^{17} + 29 a^{16} + 6 a^{15} + 14 a^{14} + 11 a^{13} + 29 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31 + \left(a^{28} + 29 a^{27} + 4 a^{26} + 9 a^{25} + 7 a^{24} + 26 a^{23} + 30 a^{22} + 28 a^{21} + 6 a^{20} + 5 a^{19} + 10 a^{18} + 18 a^{17} + 19 a^{15} + 20 a^{13} + 30 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{28} + 19 a^{27} + 8 a^{26} + 24 a^{25} + 5 a^{24} + 7 a^{23} + 18 a^{22} + 24 a^{21} + 28 a^{20} + 25 a^{19} + 23 a^{18} + 16 a^{17} + a^{16} + 17 a^{15} + 3 a^{14} + 5 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 24 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{28} + 23 a^{27} + 29 a^{25} + 12 a^{24} + 28 a^{23} + 7 a^{22} + a^{21} + 16 a^{20} + a^{19} + 3 a^{18} + 17 a^{17} + 6 a^{16} + 12 a^{15} + 28 a^{14} + 16 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + 3 a^{10} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 18 a^{28} + 7 a^{27} + 21 a^{26} + 7 a^{25} + 23 a^{24} + a^{23} + 28 a^{22} + a^{21} + 16 a^{20} + 6 a^{19} + 19 a^{18} + 17 a^{17} + a^{16} + 14 a^{15} + 11 a^{14} + 24 a^{13} + 28 a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 29 + \left(7 a^{28} + 22 a^{27} + 16 a^{26} + 14 a^{25} + 26 a^{24} + 7 a^{23} + 20 a^{22} + 8 a^{21} + 9 a^{20} + 20 a^{19} + 14 a^{18} + 20 a^{17} + 25 a^{16} + 14 a^{15} + 22 a^{14} + a^{13} + 16 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31 + \left(19 a^{28} + 18 a^{27} + 23 a^{26} + 25 a^{25} + 22 a^{24} + 2 a^{23} + 15 a^{22} + 22 a^{21} + 29 a^{20} + 15 a^{19} + 13 a^{18} + 7 a^{17} + 28 a^{16} + 15 a^{15} + 20 a^{14} + 24 a^{13} + 30 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{28} + 13 a^{27} + 15 a^{26} + 10 a^{25} + 25 a^{24} + 7 a^{23} + 19 a^{22} + 30 a^{21} + 8 a^{20} + 17 a^{19} + a^{18} + 24 a^{17} + 16 a^{16} + 19 a^{15} + 16 a^{14} + 14 a^{13} + a^{12} + 2 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{28} + 15 a^{27} + 18 a^{26} + 12 a^{24} + 26 a^{22} + 20 a^{21} + 29 a^{20} + 25 a^{19} + 18 a^{18} + 25 a^{17} + 7 a^{16} + 21 a^{14} + 26 a^{13} + 23 a^{12} + 24 a^{11} + 26 a^{10} + 7 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 25 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 18 a^{28} + 21 a^{27} + 30 a^{26} + 14 a^{25} + 2 a^{24} + 13 a^{23} + 7 a^{22} + 9 a^{21} + 19 a^{20} + 13 a^{19} + 19 a^{18} + 23 a^{17} + 6 a^{16} + 7 a^{15} + 19 a^{14} + 23 a^{13} + 25 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 29 + \left(28 a^{28} + 3 a^{27} + 18 a^{26} + 15 a^{25} + 22 a^{24} + 18 a^{23} + 10 a^{22} + a^{21} + 5 a^{20} + 24 a^{19} + 7 a^{18} + 14 a^{17} + 10 a^{16} + 7 a^{15} + 21 a^{14} + 24 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 31 + \left(11 a^{28} + 25 a^{27} + 7 a^{26} + 28 a^{25} + 28 a^{24} + 9 a^{23} + 27 a^{22} + 29 a^{21} + 19 a^{20} + 22 a^{19} + 2 a^{18} + 6 a^{17} + 27 a^{16} + 21 a^{15} + 12 a^{14} + 4 a^{13} + 22 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + a\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{28} + 27 a^{27} + 10 a^{26} + 21 a^{25} + 7 a^{24} + 20 a^{23} + 28 a^{22} + 14 a^{21} + a^{20} + 28 a^{18} + 15 a^{16} + 23 a^{15} + a^{14} + 30 a^{13} + 26 a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 24 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{28} + 19 a^{27} + 3 a^{26} + 28 a^{25} + 12 a^{24} + 20 a^{23} + 6 a^{22} + 16 a^{21} + 9 a^{20} + 26 a^{19} + 12 a^{18} + 16 a^{17} + 27 a^{16} + 30 a^{15} + 17 a^{14} + 4 a^{13} + 6 a^{12} + 20 a^{11} + 29 a^{10} + 15 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 20 a^{28} + 8 a^{27} + 26 a^{26} + a^{25} + 12 a^{24} + 19 a^{23} + 18 a^{22} + a^{21} + 30 a^{20} + 21 a^{19} + 23 a^{18} + 18 a^{17} + 4 a^{16} + 23 a^{15} + 29 a^{14} + 7 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 29 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + \left(13 a^{28} + 16 a^{27} + 14 a^{26} + 25 a^{25} + 29 a^{24} + 14 a^{23} + 15 a^{22} + 14 a^{20} + 28 a^{19} + 20 a^{18} + 21 a^{17} + 11 a^{16} + 20 a^{15} + 7 a^{14} + 6 a^{13} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 8 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31 + \left(12 a^{28} + 12 a^{27} + 4 a^{24} + 19 a^{23} + 21 a^{22} + 11 a^{21} + 30 a^{20} + 15 a^{19} + 9 a^{17} + 10 a^{16} + 30 a^{15} + 6 a^{14} + 5 a^{13} + 22 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 29 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{28} + 28 a^{27} + 7 a^{26} + 19 a^{25} + 19 a^{24} + 16 a^{23} + 3 a^{22} + 18 a^{21} + 3 a^{20} + 22 a^{19} + 19 a^{18} + 10 a^{17} + 22 a^{16} + 28 a^{15} + 3 a^{14} + 23 a^{13} + 2 a^{11} + 30 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{28} + 8 a^{27} + 23 a^{26} + 25 a^{25} + 4 a^{24} + 6 a^{23} + 9 a^{22} + 29 a^{21} + 19 a^{20} + 7 a^{19} + 23 a^{18} + 19 a^{17} + 18 a^{16} + 27 a^{15} + 15 a^{14} + 5 a^{13} + 19 a^{12} + 24 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 20 a^{28} + 10 a^{27} + 18 a^{26} + 16 a^{25} + 27 a^{24} + 13 a^{23} + 4 a^{22} + 8 a^{21} + 15 a^{20} + 27 a^{19} + 25 a^{18} + a^{17} + 19 a^{16} + 10 a^{15} + 16 a^{14} + 23 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 23 a^{9} + 4 a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{2} + 24 a + \left(4 a^{28} + 7 a^{27} + 17 a^{26} + 19 a^{25} + 12 a^{24} + 10 a^{23} + 26 a^{22} + 16 a^{21} + 17 a^{20} + 4 a^{19} + 12 a^{18} + 14 a^{17} + 2 a^{16} + 29 a^{15} + 27 a^{14} + 28 a^{13} + 29 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 13 a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 31 + \left(20 a^{27} + 28 a^{26} + 2 a^{25} + 12 a^{24} + 29 a^{23} + 15 a^{22} + 11 a^{21} + 21 a^{20} + 17 a^{19} + 20 a^{18} + 26 a^{16} + 7 a^{15} + 13 a^{14} + 14 a^{13} + 4 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{28} + 24 a^{27} + 25 a^{26} + 21 a^{25} + 29 a^{24} + 29 a^{23} + 16 a^{22} + 23 a^{21} + 7 a^{20} + 27 a^{19} + 18 a^{18} + 4 a^{17} + 30 a^{16} + 25 a^{15} + 24 a^{14} + 28 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{28} + 16 a^{27} + 9 a^{26} + 13 a^{25} + 29 a^{24} + a^{23} + 14 a^{22} + 22 a^{21} + 20 a^{20} + 27 a^{19} + 14 a^{18} + 16 a^{17} + a^{16} + 26 a^{15} + 13 a^{13} + 22 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 20 a^{28} + 17 a^{27} + 20 a^{25} + 20 a^{24} + 2 a^{23} + 14 a^{22} + 2 a^{21} + 7 a^{20} + 6 a^{19} + 27 a^{18} + 11 a^{17} + 27 a^{16} + 4 a^{15} + 10 a^{14} + 8 a^{13} + 18 a^{11} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + \left(27 a^{28} + 23 a^{27} + 14 a^{26} + 16 a^{25} + 12 a^{24} + 21 a^{23} + 5 a^{22} + 23 a^{21} + 16 a^{20} + 2 a^{19} + 4 a^{18} + 8 a^{17} + 14 a^{16} + 6 a^{15} + 19 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31 + \left(12 a^{28} + 24 a^{27} + 3 a^{26} + 3 a^{25} + 24 a^{24} + 14 a^{23} + 17 a^{22} + 6 a^{21} + 6 a^{20} + 23 a^{19} + 17 a^{18} + 26 a^{17} + 6 a^{16} + 6 a^{15} + 20 a^{14} + 7 a^{13} + 7 a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{28} + 11 a^{27} + 7 a^{26} + 24 a^{25} + 17 a^{24} + 17 a^{23} + 9 a^{22} + a^{21} + 10 a^{19} + a^{18} + 27 a^{17} + 29 a^{15} + 3 a^{14} + 7 a^{13} + 15 a^{12} + 12 a^{11} + 4 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{28} + 16 a^{27} + 17 a^{26} + 22 a^{25} + 11 a^{24} + 7 a^{23} + 19 a^{22} + 16 a^{21} + 8 a^{20} + 4 a^{19} + a^{18} + 13 a^{17} + 12 a^{16} + 24 a^{15} + 20 a^{14} + 15 a^{13} + 23 a^{12} + 10 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 21 a^{28} + 11 a^{27} + 21 a^{26} + 10 a^{25} + 16 a^{24} + 2 a^{23} + 29 a^{22} + 18 a^{21} + 21 a^{20} + 10 a^{19} + 10 a^{18} + 6 a^{17} + 6 a^{16} + 20 a^{15} + a^{14} + 17 a^{13} + 29 a^{12} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + a + 1 + \left(20 a^{28} + 12 a^{27} + 9 a^{26} + 28 a^{25} + 14 a^{24} + 27 a^{23} + 2 a^{22} + 2 a^{21} + 20 a^{20} + 25 a^{19} + 5 a^{18} + 11 a^{17} + 11 a^{16} + 19 a^{15} + 7 a^{14} + 23 a^{13} + 12 a^{12} + 24 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31 + \left(17 a^{28} + 5 a^{27} + 16 a^{26} + 25 a^{25} + 11 a^{24} + 8 a^{23} + 21 a^{22} + 30 a^{20} + a^{19} + 21 a^{18} + 28 a^{17} + 20 a^{16} + 16 a^{15} + 18 a^{14} + 3 a^{13} + 21 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 23 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{28} + 27 a^{27} + a^{26} + 5 a^{25} + 26 a^{24} + 21 a^{23} + 23 a^{22} + 4 a^{21} + 11 a^{20} + 24 a^{19} + 15 a^{17} + a^{16} + 11 a^{15} + 14 a^{14} + 22 a^{13} + 23 a^{12} + 5 a^{11} + 4 a^{10} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{28} + 30 a^{27} + 4 a^{26} + 24 a^{25} + 6 a^{24} + 21 a^{23} + 27 a^{22} + 26 a^{21} + 8 a^{20} + 15 a^{19} + 17 a^{18} + 22 a^{16} + 28 a^{15} + a^{14} + 9 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 22 a^{28} + 3 a^{27} + 12 a^{26} + 16 a^{25} + a^{24} + 17 a^{23} + 8 a^{22} + 19 a^{21} + 19 a^{20} + 16 a^{19} + 10 a^{18} + 25 a^{17} + 6 a^{16} + 29 a^{15} + 4 a^{14} + 11 a^{13} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 2 + \left(13 a^{28} + 19 a^{27} + 23 a^{26} + 29 a^{25} + 19 a^{24} + 16 a^{23} + 23 a^{22} + 14 a^{21} + 14 a^{20} + 30 a^{19} + 11 a^{18} + 16 a^{17} + a^{16} + 18 a^{15} + 16 a^{14} + 14 a^{13} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31 + \left(20 a^{28} + 15 a^{27} + 5 a^{26} + 15 a^{25} + 15 a^{24} + 25 a^{23} + 7 a^{22} + 19 a^{21} + 28 a^{20} + 8 a^{19} + 22 a^{18} + 28 a^{17} + 10 a^{16} + 7 a^{15} + 14 a^{14} + 30 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{28} + a^{27} + 28 a^{26} + 28 a^{25} + 14 a^{24} + a^{23} + a^{22} + 5 a^{21} + 14 a^{20} + 27 a^{19} + 5 a^{18} + a^{17} + 2 a^{16} + 6 a^{15} + 22 a^{14} + 3 a^{13} + 14 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{28} + 7 a^{27} + 11 a^{26} + 6 a^{25} + 19 a^{24} + 10 a^{23} + 21 a^{22} + 4 a^{21} + 19 a^{20} + 16 a^{19} + 5 a^{18} + 5 a^{17} + 15 a^{16} + 17 a^{15} + 10 a^{14} + 26 a^{13} + 20 a^{12} + 17 a^{11} + 22 a^{10} + 25 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 22 a^{28} + 23 a^{27} + 18 a^{26} + 29 a^{25} + 6 a^{24} + 28 a^{23} + 4 a^{22} + 21 a^{21} + 30 a^{20} + 8 a^{19} + 12 a^{18} + 13 a^{17} + 10 a^{16} + 8 a^{15} + 19 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 2 a^{8} + 26 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 2 + \left(20 a^{28} + 30 a^{26} + 2 a^{25} + 9 a^{24} + 21 a^{23} + 30 a^{22} + 25 a^{21} + 16 a^{20} + 14 a^{19} + 23 a^{18} + 4 a^{17} + 4 a^{16} + 13 a^{15} + 7 a^{14} + 24 a^{13} + 2 a^{12} + 8 a^{11} + 25 a^{10} + 15 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31 + \left(29 a^{28} + 26 a^{27} + 5 a^{26} + 25 a^{25} + 24 a^{24} + 15 a^{23} + 30 a^{22} + 16 a^{20} + 2 a^{19} + 24 a^{18} + 21 a^{17} + 24 a^{16} + 10 a^{15} + 19 a^{14} + a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + 11 a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 30 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{28} + 16 a^{27} + 7 a^{26} + 18 a^{25} + 6 a^{24} + 7 a^{23} + 4 a^{22} + 17 a^{21} + 13 a^{20} + 11 a^{19} + 26 a^{18} + 16 a^{17} + 23 a^{16} + 10 a^{15} + 21 a^{14} + 12 a^{13} + 25 a^{12} + 30 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{28} + 9 a^{27} + 18 a^{26} + 25 a^{25} + 5 a^{24} + 10 a^{23} + 20 a^{21} + 5 a^{20} + 30 a^{19} + 29 a^{18} + 25 a^{17} + 9 a^{16} + 10 a^{15} + 20 a^{14} + 4 a^{13} + 8 a^{12} + 25 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + a + 24\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 23 a^{28} + 15 a^{27} + 27 a^{26} + 26 a^{25} + 27 a^{24} + 12 a^{23} + 23 a^{22} + 12 a^{21} + 9 a^{20} + 18 a^{19} + 14 a^{18} + 23 a^{17} + 26 a^{16} + 30 a^{15} + 27 a^{14} + 29 a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{2} + 13 a + 3 + \left(15 a^{28} + 26 a^{27} + 11 a^{26} + 20 a^{25} + 29 a^{24} + 12 a^{23} + 5 a^{22} + 6 a^{21} + 22 a^{20} + 18 a^{19} + 16 a^{18} + 15 a^{17} + 7 a^{16} + 12 a^{15} + 21 a^{14} + 24 a^{13} + a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 23 a^{8} + 27 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 31 + \left(19 a^{28} + 14 a^{27} + 26 a^{26} + 12 a^{25} + 28 a^{24} + 14 a^{23} + 15 a^{22} + 5 a^{21} + 11 a^{20} + 24 a^{19} + 23 a^{18} + 21 a^{17} + 5 a^{16} + 13 a^{15} + 30 a^{14} + 21 a^{13} + 28 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{28} + 30 a^{27} + 7 a^{26} + 23 a^{25} + 30 a^{24} + 19 a^{23} + 16 a^{22} + 26 a^{21} + 16 a^{20} + 27 a^{19} + 24 a^{18} + 5 a^{17} + 29 a^{16} + 5 a^{15} + 27 a^{14} + 16 a^{13} + 23 a^{12} + 24 a^{11} + 27 a^{10} + 19 a^{9} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{28} + 10 a^{27} + 11 a^{26} + 13 a^{25} + 6 a^{24} + 14 a^{23} + 20 a^{22} + 25 a^{21} + 15 a^{20} + 7 a^{19} + 16 a^{18} + 10 a^{17} + 25 a^{16} + 23 a^{15} + 17 a^{14} + 29 a^{13} + 20 a^{12} + 23 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 23 a^{28} + 23 a^{27} + 25 a^{26} + 8 a^{25} + 19 a^{24} + 3 a^{23} + 17 a^{22} + 8 a^{21} + 15 a^{20} + 22 a^{19} + 21 a^{18} + 2 a^{17} + 10 a^{14} + 26 a^{13} + 10 a^{12} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 3 + \left(24 a^{28} + 16 a^{27} + 18 a^{26} + 21 a^{25} + 24 a^{24} + 14 a^{23} + 25 a^{22} + 22 a^{21} + 12 a^{20} + 30 a^{19} + 16 a^{18} + 29 a^{17} + 27 a^{16} + 17 a^{15} + 24 a^{14} + 9 a^{13} + 16 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31 + \left(3 a^{28} + 8 a^{27} + 19 a^{26} + 16 a^{25} + 12 a^{24} + 27 a^{23} + 25 a^{22} + 21 a^{21} + 25 a^{20} + 16 a^{19} + 21 a^{18} + 13 a^{17} + 8 a^{16} + 20 a^{15} + 7 a^{14} + 22 a^{13} + a^{12} + 3 a^{11} + 27 a^{10} + 14 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{27} + 12 a^{26} + 4 a^{25} + 19 a^{24} + 26 a^{23} + 19 a^{22} + 10 a^{21} + 5 a^{20} + 21 a^{19} + 4 a^{18} + 5 a^{17} + 9 a^{16} + 19 a^{15} + 11 a^{14} + 15 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{27} + 6 a^{26} + 9 a^{25} + 3 a^{24} + 14 a^{23} + 17 a^{22} + 27 a^{20} + 22 a^{19} + 12 a^{18} + 20 a^{17} + 14 a^{16} + 19 a^{15} + 18 a^{14} + 14 a^{13} + 4 a^{12} + 26 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 23 a^{28} + 27 a^{27} + 8 a^{26} + 6 a^{25} + 28 a^{24} + 15 a^{23} + 10 a^{22} + 15 a^{21} + 10 a^{20} + 8 a^{19} + 8 a^{18} + 13 a^{17} + 20 a^{16} + 21 a^{15} + 14 a^{14} + 7 a^{13} + 3 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 3 + \left(27 a^{28} + 9 a^{27} + 17 a^{26} + a^{25} + 17 a^{24} + 9 a^{23} + 3 a^{22} + 10 a^{21} + 10 a^{20} + 28 a^{19} + 27 a^{18} + 29 a^{17} + 17 a^{16} + 2 a^{15} + 27 a^{14} + 16 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31 + \left(3 a^{28} + 2 a^{27} + 2 a^{26} + 27 a^{25} + 24 a^{24} + 30 a^{23} + 6 a^{22} + 25 a^{21} + 29 a^{20} + 2 a^{19} + 12 a^{18} + 4 a^{17} + 20 a^{16} + 9 a^{15} + 24 a^{14} + 18 a^{13} + 27 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 19 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{28} + a^{27} + 8 a^{26} + 11 a^{25} + 9 a^{24} + 6 a^{23} + 19 a^{22} + 17 a^{21} + 30 a^{20} + 15 a^{19} + 14 a^{18} + 15 a^{17} + 27 a^{16} + 18 a^{15} + 7 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{12} + 3 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{28} + a^{27} + 6 a^{26} + 9 a^{25} + 21 a^{24} + 22 a^{23} + 8 a^{22} + 6 a^{21} + 3 a^{20} + 3 a^{19} + 17 a^{18} + 5 a^{17} + 17 a^{16} + 25 a^{15} + 13 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 24 a^{28} + 3 a^{27} + 27 a^{26} + 26 a^{25} + 22 a^{24} + 19 a^{23} + 30 a^{22} + 5 a^{21} + 9 a^{20} + 14 a^{19} + 7 a^{18} + 2 a^{17} + 22 a^{16} + 6 a^{15} + 13 a^{13} + 9 a^{12} + 23 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + a + 4 + \left(22 a^{28} + 14 a^{27} + 21 a^{26} + 21 a^{25} + 11 a^{24} + 25 a^{23} + 2 a^{22} + 27 a^{21} + 27 a^{20} + a^{19} + 23 a^{18} + 16 a^{17} + 28 a^{16} + 23 a^{15} + 23 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 30 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 31 + \left(15 a^{28} + 7 a^{27} + 2 a^{26} + 15 a^{24} + 4 a^{23} + 14 a^{22} + 20 a^{21} + 28 a^{20} + 5 a^{19} + a^{18} + 8 a^{17} + 30 a^{16} + 22 a^{15} + 27 a^{14} + 26 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 30 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{27} + 24 a^{26} + 18 a^{25} + 16 a^{24} + 11 a^{23} + 24 a^{22} + 3 a^{21} + 27 a^{20} + 16 a^{19} + 23 a^{18} + 11 a^{17} + 12 a^{16} + 17 a^{15} + 25 a^{14} + a^{13} + 17 a^{12} + 24 a^{11} + 22 a^{10} + 26 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{28} + 3 a^{27} + 9 a^{26} + 14 a^{25} + 15 a^{24} + 23 a^{23} + 20 a^{22} + 15 a^{21} + 10 a^{20} + 15 a^{19} + 17 a^{18} + 22 a^{17} + 12 a^{16} + 17 a^{15} + 7 a^{14} + 22 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 26 a^{28} + 20 a^{27} + 18 a^{26} + 28 a^{25} + 4 a^{24} + 11 a^{23} + 6 a^{22} + 26 a^{20} + 18 a^{19} + 8 a^{18} + 29 a^{17} + 5 a^{16} + 21 a^{15} + 9 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + 26 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + a + 6 + \left(24 a^{28} + 9 a^{27} + 22 a^{26} + 11 a^{25} + 6 a^{24} + 16 a^{23} + 29 a^{22} + 14 a^{21} + 18 a^{20} + 12 a^{19} + 14 a^{18} + 16 a^{17} + 20 a^{16} + 15 a^{15} + 13 a^{14} + 15 a^{13} + 7 a^{12} + 28 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31 + \left(5 a^{28} + 24 a^{27} + 23 a^{26} + 11 a^{25} + 27 a^{24} + 22 a^{23} + 8 a^{22} + 26 a^{21} + 8 a^{20} + 29 a^{19} + 23 a^{18} + 5 a^{17} + 3 a^{16} + 3 a^{15} + 29 a^{14} + 7 a^{13} + 22 a^{12} + 18 a^{11} + 30 a^{10} + 26 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{28} + 15 a^{27} + 9 a^{26} + 15 a^{25} + 17 a^{24} + 18 a^{23} + 11 a^{22} + 2 a^{21} + 27 a^{20} + 21 a^{19} + 29 a^{18} + 7 a^{17} + 21 a^{16} + 27 a^{15} + 13 a^{14} + 28 a^{13} + 29 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 29 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{28} + 16 a^{27} + 2 a^{26} + 26 a^{24} + 27 a^{23} + 6 a^{22} + 20 a^{21} + 15 a^{20} + 17 a^{19} + 26 a^{18} + a^{17} + 11 a^{16} + 25 a^{15} + 10 a^{14} + 25 a^{13} + 9 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 27 a^{28} + 17 a^{27} + 21 a^{26} + 2 a^{25} + 15 a^{24} + 11 a^{23} + 18 a^{22} + 30 a^{21} + 6 a^{20} + 3 a^{19} + 16 a^{18} + 28 a^{17} + 14 a^{16} + 7 a^{15} + 13 a^{14} + 3 a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 27 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 7 + \left(15 a^{28} + 23 a^{27} + 3 a^{26} + 5 a^{25} + 21 a^{24} + 2 a^{23} + 10 a^{22} + 25 a^{21} + 25 a^{20} + 8 a^{19} + 25 a^{18} + 9 a^{17} + 23 a^{16} + 28 a^{15} + 23 a^{14} + 27 a^{13} + 22 a^{12} + 6 a^{10} + 22 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31 + \left(18 a^{28} + 12 a^{27} + 5 a^{26} + 25 a^{25} + 13 a^{24} + 25 a^{23} + 19 a^{22} + 13 a^{21} + a^{20} + 11 a^{18} + 24 a^{17} + 4 a^{16} + 17 a^{15} + 6 a^{14} + 20 a^{13} + 30 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 15 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{28} + 13 a^{27} + 13 a^{26} + 30 a^{25} + 25 a^{24} + 29 a^{23} + 22 a^{22} + 4 a^{21} + 14 a^{20} + 20 a^{19} + 15 a^{18} + 20 a^{17} + 28 a^{16} + 23 a^{15} + 19 a^{14} + 21 a^{13} + 22 a^{12} + 10 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 15 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{28} + 11 a^{27} + 4 a^{26} + 17 a^{25} + 27 a^{24} + 29 a^{23} + 27 a^{22} + 8 a^{21} + 11 a^{20} + 29 a^{19} + 5 a^{18} + 24 a^{16} + 30 a^{15} + 19 a^{14} + 28 a^{13} + 13 a^{12} + 16 a^{11} + 19 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 29 a^{28} + a^{27} + 25 a^{26} + 12 a^{25} + 23 a^{24} + 15 a^{23} + 16 a^{22} + 2 a^{21} + 12 a^{20} + 20 a^{19} + 15 a^{18} + 10 a^{17} + 3 a^{16} + 11 a^{15} + 6 a^{14} + 17 a^{13} + 8 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 8 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 9 + \left(26 a^{28} + 6 a^{27} + 11 a^{25} + 12 a^{24} + 11 a^{23} + 6 a^{22} + 26 a^{21} + 28 a^{20} + a^{19} + 2 a^{18} + 21 a^{17} + 7 a^{16} + 23 a^{15} + 29 a^{14} + 19 a^{13} + 24 a^{12} + 6 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 10\right)\cdot 31 + \left(8 a^{28} + 29 a^{27} + 13 a^{26} + 17 a^{25} + 20 a^{24} + 8 a^{23} + 22 a^{22} + 23 a^{21} + 2 a^{20} + 9 a^{19} + 17 a^{18} + 27 a^{17} + 28 a^{16} + 16 a^{15} + 24 a^{14} + 18 a^{13} + 30 a^{12} + 27 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{28} + 7 a^{27} + 12 a^{26} + 26 a^{25} + 16 a^{24} + 25 a^{23} + 9 a^{21} + a^{20} + 28 a^{19} + 24 a^{18} + 24 a^{17} + 6 a^{16} + 10 a^{15} + 4 a^{14} + 27 a^{13} + 21 a^{12} + 30 a^{11} + 8 a^{10} + 15 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{28} + 27 a^{27} + a^{26} + 18 a^{25} + 14 a^{24} + 29 a^{23} + 5 a^{22} + 5 a^{21} + 9 a^{20} + 25 a^{19} + 16 a^{18} + 21 a^{17} + 11 a^{16} + a^{15} + 16 a^{14} + 16 a^{13} + 20 a^{12} + 4 a^{11} + 26 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
| $r_{ 29 }$ | $=$ |
\( 29 a^{28} + 2 a^{27} + 15 a^{26} + 26 a^{25} + 19 a^{24} + 27 a^{23} + 23 a^{22} + 29 a^{21} + 14 a^{20} + a^{19} + 23 a^{18} + 24 a^{17} + 12 a^{16} + 12 a^{15} + 18 a^{14} + 26 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 30 a + 9 + \left(29 a^{28} + 21 a^{27} + 7 a^{26} + 24 a^{24} + 14 a^{23} + 5 a^{22} + 29 a^{21} + 25 a^{20} + 27 a^{19} + 12 a^{18} + 18 a^{17} + 20 a^{16} + a^{15} + 15 a^{14} + 29 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 9 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 31 + \left(17 a^{28} + 26 a^{27} + 11 a^{26} + 19 a^{25} + 7 a^{24} + 13 a^{23} + 5 a^{22} + 11 a^{21} + 3 a^{20} + 23 a^{19} + 7 a^{18} + 16 a^{17} + a^{16} + 29 a^{15} + 9 a^{14} + 12 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{28} + 17 a^{27} + 28 a^{26} + a^{25} + 21 a^{24} + 13 a^{23} + 25 a^{22} + 19 a^{21} + 12 a^{20} + 9 a^{18} + 22 a^{17} + 14 a^{16} + 16 a^{15} + 16 a^{14} + 19 a^{13} + 30 a^{12} + 8 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 13 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{28} + 17 a^{27} + a^{26} + 23 a^{25} + a^{24} + 8 a^{23} + 15 a^{22} + 20 a^{21} + 18 a^{20} + 19 a^{19} + 24 a^{18} + 11 a^{17} + 23 a^{15} + a^{14} + 27 a^{13} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 5 a^{9} + 24 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 29 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 29 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $29$ | $2$ | $(1,29)(2,14)(3,8)(4,9)(5,19)(6,15)(7,25)(10,24)(11,12)(13,26)(17,23)(18,20)(21,28)(22,27)$ | $0$ |
| $2$ | $29$ | $(1,19,26,18,9,10,8,28,23,25,7,17,21,3,24,4,20,13,5,29,14,12,22,6,16,15,27,11,2)$ | $\zeta_{29}^{21} + \zeta_{29}^{8}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,26,9,8,23,7,21,24,20,5,14,22,16,27,2,19,18,10,28,25,17,3,4,13,29,12,6,15,11)$ | $\zeta_{29}^{16} + \zeta_{29}^{13}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,18,8,25,21,4,5,12,16,11,19,9,28,7,3,20,29,22,15,2,26,10,23,17,24,13,14,6,27)$ | $\zeta_{29}^{24} + \zeta_{29}^{5}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,9,23,21,20,14,16,2,18,28,17,4,29,6,11,26,8,7,24,5,22,27,19,10,25,3,13,12,15)$ | $\zeta_{29}^{26} + \zeta_{29}^{3}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,10,7,4,14,15,19,8,17,20,12,27,26,28,21,13,22,11,18,23,3,5,6,2,9,25,24,29,16)$ | $\zeta_{29}^{18} + \zeta_{29}^{11}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,8,21,5,16,19,28,3,29,15,26,23,24,14,27,18,25,4,12,11,9,7,20,22,2,10,17,13,6)$ | $\zeta_{29}^{19} + \zeta_{29}^{10}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,28,24,12,2,8,3,14,11,10,21,29,27,9,17,5,15,18,7,13,16,26,25,20,6,19,23,4,22)$ | $\zeta_{29}^{27} + \zeta_{29}^{2}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,23,20,16,18,17,29,11,8,24,22,19,25,13,15,9,21,14,2,28,4,6,26,7,5,27,10,3,12)$ | $\zeta_{29}^{23} + \zeta_{29}^{6}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,25,5,11,28,20,15,10,24,6,18,21,12,19,7,29,2,23,13,27,8,4,16,9,3,22,26,17,14)$ | $\zeta_{29}^{15} + \zeta_{29}^{14}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,7,14,19,17,12,26,21,22,18,3,6,9,24,16,10,4,15,8,20,27,28,13,11,23,5,2,25,29)$ | $\zeta_{29}^{22} + \zeta_{29}^{7}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,17,22,9,4,27,23,29,19,21,6,10,20,11,25,14,26,3,16,8,13,2,7,12,18,24,15,28,5)$ | $-\zeta_{29}^{27} - \zeta_{29}^{26} - \zeta_{29}^{25} - \zeta_{29}^{24} - \zeta_{29}^{23} - \zeta_{29}^{22} - \zeta_{29}^{21} - \zeta_{29}^{20} - \zeta_{29}^{19} - \zeta_{29}^{18} - \zeta_{29}^{17} - \zeta_{29}^{16} - \zeta_{29}^{15} - \zeta_{29}^{14} - \zeta_{29}^{13} - \zeta_{29}^{12} - \zeta_{29}^{11} - \zeta_{29}^{10} - \zeta_{29}^{9} - \zeta_{29}^{8} - \zeta_{29}^{7} - \zeta_{29}^{6} - \zeta_{29}^{5} - \zeta_{29}^{4} - \zeta_{29}^{3} - \zeta_{29}^{2} - 1$ |
| $2$ | $29$ | $(1,21,16,28,29,26,24,27,25,12,9,20,2,17,6,8,5,19,3,15,23,14,18,4,11,7,22,10,13)$ | $\zeta_{29}^{20} + \zeta_{29}^{9}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,3,27,7,6,28,14,9,13,19,24,11,17,16,23,12,10,5,26,4,2,21,15,25,22,8,29,18,20)$ | $\zeta_{29}^{17} + \zeta_{29}^{12}$ |
| $2$ | $29$ | $(1,24,2,3,11,21,27,17,15,7,16,25,6,23,22,28,12,8,14,10,29,9,5,18,13,26,20,19,4)$ | $\zeta_{29}^{25} + \zeta_{29}^{4}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.