LMFDB - Artin representation 2.215.14t3.a.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{14}$
Conductor:	$215$$\medspace = 5 \cdot 43 $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 14.2.493856488203125.1
Galois orbit size:	$3$
Smallest permutation container:	$D_{14}$
Parity:	odd
Determinant:	1.215.2t1.a.a
Projective image:	$D_7$
Projective stem field:	Galois closure of 7.1.9938375.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{14} - 2 x^{13} + 6 x^{11} - 3 x^{10} - 8 x^{9} + 13 x^{8} + 4 x^{7} - 16 x^{6} + 7 x^{5} + 13 x^{4} + \cdots - 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{7} + x + 28 $ x^7 + x + 28

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{2} + 22 a + 1 + \left(20 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31 + \left(13 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{6} + 20 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{6} + 2 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 29a^2 + 22a + 1 + (20a^6 + 12a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 14a + 26)31 + (13a^6 + 5a^5 + 23a^4 + 26a^3 + 19a^2 + 26a + 2)31^2 + (16a^6 + 13a^5 + 23a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 16a + 14)31^3 + (25a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 16a^2 + 17)31^4 + (12a^6 + 20a^5 + 28a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 25a + 6)31^5 + (17a^6 + 2a^5 + 26a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 4a + 28)31^6 + (18a^6 + 27a^5 + 4a^4 + a^3 + 19a^2 + 17a + 15)31^7 + (20a^6 + 9a^5 + 27a^4 + 24a^3 + 23a^2 + 20a + 26)31^8 + (15a^6 + 27a^5 + 2a^4 + 12a^3 + a^2 + 9a + 17)31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 5 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + \left(23 a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31 + \left(16 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 5a^6 + 27a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 20a^2 + 6a + (23a^6 + 20a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 23a + 11)31 + (16a^6 + 5a^5 + 9a^4 + a^3 + 21a^2 + 3a + 14)31^2 + (23a^6 + 28a^5 + 17a^4 + 23a^3 + 15a^2 + 17a + 2)31^3 + (4a^6 + 12a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 10a^2 + 27a + 4)31^4 + (13a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 16a^2 + 13a + 20)31^5 + (4a^6 + 9a^5 + 25a^3 + 8a^2 + 11a + 12)31^6 + (29a^6 + 12a^5 + a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 26a + 29)31^7 + (21a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 3a^2 + a + 9)31^8 + (11a^6 + 15a^5 + 30a^4 + 10a^3 + a^2 + 20a + 23)31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 6 a^{6} + 22 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 23 + \left(a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31 + \left(17 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{6} + 22 a^{5} + 30 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 6a^6 + 22a^5 + 30a^4 + 7a^3 + 27a^2 + 23 + (a^6 + 28a^5 + 23a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 18a + 18)31 + (17a^6 + 24a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 8a^2 + 10a + 14)31^2 + (26a^6 + 22a^5 + 30a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 30a + 9)31^3 + (12a^6 + 19a^5 + 4a^4 + 7a^2 + 22a + 24)31^4 + (18a^6 + 22a^5 + 25a^4 + 16a^3 + 23a^2 + 30a + 15)31^5 + (3a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 26a + 7)31^6 + (20a^6 + a^5 + 11a^4 + 27a^3 + 22a^2 + 4a + 17)31^7 + (19a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 2a + 3)31^8 + (28a^6 + 22a^5 + 25a^4 + 30a^3 + 10a^2 + 21a + 20)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 9 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 30 + \left(15 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31 + \left(28 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{6} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 9a^6 + 10a^5 + 9a^4 + 23a^3 + 7a^2 + 29a + 30 + (15a^6 + 20a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 12a + 21)31 + (28a^6 + 21a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 27a + 6)31^2 + (9a^6 + 9a^5 + 16a^4 + a^3 + 18a^2 + 28a + 26)31^3 + (20a^6 + 9a^5 + 21a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 23a + 21)31^4 + (17a^6 + 21a^5 + 30a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 4a + 10)31^5 + (6a^6 + 22a^5 + 6a^3 + 27a^2 + 14a + 23)31^6 + (10a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 29a^3 + 10a^2 + 9a + 8)31^7 + (15a^6 + 10a^5 + 2a^4 + a^3 + 6a^2 + 3a + 4)31^8 + (15a^6 + 11a^5 + 26a^4 + 29a^3 + 28a + 22)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 10 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 22 + \left(20 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31 + \left(22 a^{6} + 13 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(13 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 10a^6 + a^5 + 11a^4 + a^3 + 23a^2 + 9a + 22 + (20a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 27a^2 + 14a + 30)31 + (22a^6 + 13a^5 + 28a^4 + a^3 + 23a^2 + 10a + 14)31^2 + (25a^6 + 20a^5 + 2a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 30a + 26)31^3 + (14a^6 + 26a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 2a + 3)31^4 + (13a^6 + 14a^5 + 19a^4 + 30a^3 + 30a^2 + 16a + 7)31^5 + (2a^6 + 2a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 15a^2 + 22a + 24)31^6 + (7a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 2a + 23)31^7 + (6a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 29a^3 + 11a^2 + 16a + 9)31^8 + (14a^6 + 25a^5 + 22a^4 + 23a^3 + 16a^2 + 20a + 3)*31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 10 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 22 + \left(20 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31 + \left(17 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 10a^6 + 6a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 24a + 22 + (20a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 18a^3 + 23a^2 + a + 30)31 + (17a^6 + 28a^5 + 2a^4 + 20a^3 + 26a^2 + 18a + 23)31^2 + (24a^5 + 12a^4 + 17a^3 + 21a^2 + 9a + 13)31^3 + (a^6 + 26a^5 + 21a^4 + 12a^3 + 30a^2 + 15a + 27)31^4 + (11a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 16a + 13)31^5 + (9a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 6a^3 + 28a^2 + 30a + 12)31^6 + (29a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 24a + 7)31^7 + (2a^6 + 25a^5 + 19a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 12a + 20)31^8 + (22a^6 + 19a^5 + 26a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 27a + 5)31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 15 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 13 + \left(16 a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31 + \left(18 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(17 a^{6} + 29 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{6} + 2 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(5 a^{6} + 23 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 15a^6 + 9a^5 + 17a^4 + 6a^3 + 22a^2 + 29a + 13 + (16a^6 + 23a^5 + 21a^4 + 27a^3 + 7a^2 + 13a + 27)31 + (18a^6 + 2a^5 + 25a^4 + 7a^3 + 23a^2 + 23a + 15)31^2 + (3a^6 + 6a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 22a + 7)31^3 + (17a^6 + 29a^5 + 18a^4 + 23a^3 + 25a^2 + 28a + 10)31^4 + (7a^6 + 14a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 9a^2 + a + 15)31^5 + (9a^6 + 2a^5 + 28a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 12a + 3)31^6 + (7a^6 + 5a^5 + 19a^4 + 28a^3 + 17a^2 + 18a + 15)31^7 + (7a^6 + 23a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 27a^2 + 5a + 19)31^8 + (5a^6 + 23a^5 + 13a^4 + 26a^3 + 8a^2 + 30a + 26)31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 16 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 5 + \left(27 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31 + \left(11 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{6} + 25 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(5 a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{6} + 4 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 16a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 14a + 5 + (27a^6 + 12a^5 + 4a^3 + 10a^2 + 8a + 19)31 + (11a^6 + 4a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 14a + 14)31^2 + (12a^6 + 19a^5 + 19a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 29a + 19)31^3 + (11a^6 + 17a^5 + 22a^4 + 26a^2 + 4a + 18)31^4 + (12a^6 + 25a^5 + 30a^4 + 18a^3 + 30a^2 + 10)31^5 + (11a^6 + 14a^5 + a^4 + 29a^3 + 21a^2 + 24a + 5)31^6 + (9a^6 + 14a^5 + 26a^4 + 15a^3 + 25a^2 + 22a + 30)31^7 + (5a^6 + a^5 + 26a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 15a + 8)31^8 + (25a^6 + 4a^5 + 29a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 18a + 8)31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 16 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 5 + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31 + \left(26 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 16a^6 + 30a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 11a + 5 + (7a^6 + 7a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 26a^2 + 19a + 24)31 + (26a^6 + 15a^5 + 16a^4 + 30a^3 + 5a^2 + 21a + 4)31^2 + (17a^6 + 6a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 24a^2 + 21a + 24)31^3 + (22a^6 + 12a^5 + 28a^4 + 10a^3 + 21a^2 + 21a + 23)31^4 + (a^6 + 2a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 30a + 14)31^5 + (12a^6 + 3a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 17a + 1)31^6 + (24a^6 + 16a^5 + 11a^3 + 10a^2 + 17a + 12)31^7 + (a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 21a^2 + 24a + 18)31^8 + (a^6 + 5a^5 + 26a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 27a + 18)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 22 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 19 + \left(9 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 31 + \left(a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{6} + 30 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(18 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 22a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 10a^2 + 19a + 19 + (9a^6 + 8a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 28a + 21)31 + (a^6 + 19a^5 + 16a^4 + 8a^3 + 28a^2 + 27)31^2 + (16a^6 + 12a^5 + 8a^4 + a^3 + 18a^2 + 20a + 4)31^3 + (a^6 + 10a^5 + a^4 + 27a^3 + 6a^2 + 23a + 10)31^4 + (16a^6 + 30a^4 + 11a^3 + 29a^2 + 16a + 9)31^5 + (24a^6 + 21a^5 + 27a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 9a + 3)31^6 + (7a^6 + 25a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 11a + 11)31^7 + (30a^6 + 20a^5 + 25a^4 + 25a^3 + 2a^2 + 28a + 30)31^8 + (18a^6 + 28a^5 + 21a^3 + 15a^2 + 13a + 2)31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 24 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 3 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 31 + \left(22 a^{6} + 13 a^{5} + 30 a^{3} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 24a^6 + 15a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 25a^2 + 25a + 3 + (17a^6 + 14a^5 + 20a^4 + 26a^3 + 5a^2 + 10a + 24)31 + (22a^6 + 13a^5 + 30a^3 + 6a + 23)31^2 + (13a^6 + 24a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 20a + 11)31^3 + (18a^6 + 5a^5 + 27a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 28a + 11)31^4 + (11a^6 + 24a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 28a^2 + 5a + 14)31^5 + (15a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 26a + 26)31^6 + (29a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 30a^3 + 9a^2 + 21a + 20)31^7 + (30a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 3a^3 + a^2 + 22a + 17)31^8 + (7a^6 + 15a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 26a + 24)31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 26 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 18 + \left(24 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31 + \left(21 a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{6} + 20 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{6} + 25 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{6} + 30 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 26a^6 + 15a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 14a + 18 + (24a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 24a^2 + 13a + 3)31 + (21a^6 + 20a^5 + 27a^4 + 3a^3 + 26a^2 + 7a + 23)31^2 + (18a^6 + 20a^5 + 29a^4 + 16a^3 + 26a^2 + 23a + 2)31^3 + (14a^6 + 25a^3 + 26a^2 + 14a + 8)31^4 + (4a^6 + 2a^5 + 19a^3 + 20a^2 + 21a + 8)31^5 + (8a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 2a + 20)31^6 + (12a^6 + 23a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 16a^2 + 6a + 1)31^7 + (14a^6 + 30a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 30a^2 + 30a + 30)31^8 + (10a^6 + 16a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 23a^2 + 4a + 8)31^9+O(31^10)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 28 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 2 + \left(16 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 31 + \left(7 a^{6} + 13 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{6} + 29 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{6} + 3 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 28a^6 + 22a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 6a + 2 + (16a^6 + 21a^5 + 25a^4 + 9a^3 + 16a^2 + 22a + 10)31 + (7a^6 + 13a^5 + 29a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 10a + 15)31^2 + (a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 25a^3 + 10a^2 + 5a + 5)31^3 + (6a^6 + 4a^5 + 13a^4 + 30a^3 + 24a^2 + 24a + 5)31^4 + (5a^6 + 10a^5 + 17a^4 + 26a^3 + 11a^2 + 9a + 22)31^5 + (2a^6 + 27a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 8a^2 + 4a + 10)31^6 + (20a^6 + 29a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 28a^2 + 20a + 8)31^7 + (10a^6 + a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 27a^2 + 25a)31^8 + (27a^6 + 3a^5 + 27a^4 + 15a^3 + 7a^2 + a + 19)31^9+O(31^10)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 29 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 25 + \left(26 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31 + \left(21 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 29a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 25a^3 + 9a^2 + 9a + 25 + (26a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 20a^2 + 15a + 9)31 + (21a^6 + 28a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 4a + 14)31^2 + (30a^6 + a^5 + 28a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 3a + 17)31^3 + (14a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 8a + 30)31^4 + (9a^6 + 8a^5 + 7a^3 + 8a^2 + 23a + 16)31^5 + (28a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 9a + 6)31^6 + (22a^6 + 12a^5 + 29a^4 + 27a^3 + 4a^2 + 13a + 15)31^7 + (30a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 23a^3 + 29a^2 + 7a + 17)31^8 + (12a^6 + 29a^5 + 4a^4 + 25a^3 + 2a^2 + 28a + 15)*31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Cycle notation
$(2,4)(3,8)(6,7)(9,12)(10,13)(11,14)$
$(1,5)(2,10)(3,12)(4,13)(6,14)(7,11)(8,9)$
$(1,7)(2,8)(3,6)(5,11)(9,10)(12,14)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,5)(2,10)(3,12)(4,13)(6,14)(7,11)(8,9)$	$-2$
$7$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,6)(5,11)(9,10)(12,14)$	$0$
$7$	$2$	$(1,11)(2,9)(3,14)(4,13)(5,7)(6,12)(8,10)$	$0$
$2$	$7$	$(1,6,8,4,2,3,7)(5,14,9,13,10,12,11)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{2}$
$2$	$7$	$(1,8,2,7,6,4,3)(5,9,10,11,14,13,12)$	$\zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3}$
$2$	$7$	$(1,4,7,8,3,6,2)(5,13,11,9,12,14,10)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - 1$
$2$	$14$	$(1,14,8,13,2,12,7,5,6,9,4,10,3,11)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{2}$
$2$	$14$	$(1,13,7,9,3,14,2,5,4,11,8,12,6,10)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + 1$
$2$	$14$	$(1,12,4,14,7,10,8,5,3,13,6,11,2,9)$	$-\zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.215.14t3.a.a
Dimension	$2$
Group	$D_{14}$
Conductor	$215$
Root number	$1$
Indicator	$1$