LMFDB - Artin representation 2.2025.12t18.b.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$2025$$\medspace = 3^{4} \cdot 5^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 12.0.3783403212890625.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.9.6t1.a.b
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.675.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} + 5x^{6} + 25 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{6} + 10x^{3} + 11x^{2} + 11x + 2 $ x^6 + 10*x^3 + 11*x^2 + 11*x + 2

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 9 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 2 + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13 + \left(8 a^{5} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{4} + 9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 9a^5 + a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 11a + 2 + (7a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 6a + 6)13 + (8a^5 + 4a^3 + 8a^2 + 11a + 11)13^2 + (10a^4 + 9a^2 + 6a + 11)13^3 + (6a^5 + 12a^4 + 4a^3 + a^2 + 2a + 8)13^4 + (4a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 10a + 10)13^5 + (5a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 11a + 7)13^6 + (4a^5 + 5a^4 + 11a^2 + 7a + 10)13^7 + (5a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 4)13^8 + (8a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 4a + 12)*13^9+O(13^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 7 + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13 + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 8a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 7 + (12a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 6a + 7)13 + (11a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 4a + 3)13^2 + (5a^5 + 11a^4 + a^3 + 8a^2 + 3a + 8)13^3 + (8a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 12a)13^4 + (9a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 6a + 12)13^5 + (5a^5 + 12a^4 + 11a^2 + a + 4)13^6 + (6a^5 + 3a^4 + a^3 + 5a^2 + 7a + 2)13^7 + (8a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 2a + 12)13^8 + (2a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 10a + 7)13^9+O(13^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13 + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{5} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 10a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 5a + 8 + (12a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 5a + 7)13 + (3a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 5a + 8)13^2 + (3a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 8a + 7)13^3 + (7a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 7a + 5)13^4 + (3a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 10a + 11)13^5 + (3a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 10a + 6)13^6 + (12a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 10a + 8)13^7 + (10a^5 + 10a^3 + 8a^2 + 2a + 9)13^8 + (3a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 12a^2 + a + 6)*13^9+O(13^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 6 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 2 + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13 + \left(12 a^{4} + 3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{5} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 6a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 2 + (8a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 11a + 3)13 + (12a^4 + 3a^2 + 5a + 9)13^2 + (4a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 7a + 11)13^3 + (2a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 10a + 10)13^4 + (2a^5 + 10a^3 + 3a^2 + 4a + 8)13^5 + (10a^5 + 5a^4 + 8a + 12)13^6 + (6a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 6a + 4)13^7 + (4a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 8a + 9)13^8 + (8a^5 + 3a^4 + 12a^3 + a^2 + 4a + 5)13^9+O(13^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 6 + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13 + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2}\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 7a + 6 + (5a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 11a + 1)13 + (8a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 6a + 10)13^2 + (2a^5 + a^4 + 6a^3 + 6a^2 + a + 8)13^3 + (a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 5a + 9)13^4 + (12a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 5a^2)13^5 + (10a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 12a + 12)13^6 + (7a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 2a + 10)13^7 + (5a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 2a + 4)13^8 + (8a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 10a + 7)13^9+O(13^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 11 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 8 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13 + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 11a^5 + 9a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 8 + (8a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 5a + 8)13 + (a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 4a^2 + a + 5)13^2 + (11a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 4a + 3)13^3 + (6a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 11a + 10)13^4 + (5a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 10a + 9)13^5 + (4a^5 + 5a^4 + a^2 + 6a + 7)13^6 + (a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 12a + 2)13^7 + (9a^5 + 12a^4 + 11a^2 + 5a + 10)13^8 + (5a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 7a + 10)*13^9+O(13^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 2 a + 11 + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 4a^5 + 12a^4 + 5a^3 + a^2 + 2a + 11 + (5a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 6a + 6)13 + (4a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 4a^2 + a + 1)13^2 + (12a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 6a + 1)13^3 + (6a^5 + 8a^3 + 11a^2 + 10a + 4)13^4 + (8a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 2a + 2)13^5 + (7a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 12a^2 + a + 5)13^6 + (8a^5 + 7a^4 + 12a^3 + a^2 + 5a + 2)13^7 + (7a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 12a + 8)13^8 + (4a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 8a)*13^9+O(13^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 + \left(2 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13 + \left(a^{5} + 2 a^{3} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{5} + 12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{5} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 5a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 6 + (2a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 7a + 5)13 + (a^5 + 2a^3 + 8a + 9)13^2 + (7a^5 + a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 9a + 4)13^3 + (4a^5 + 5a^4 + a^3 + 9a^2 + 12)13^4 + (3a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 6a)13^5 + (7a^5 + 12a^3 + a^2 + 11a + 8)13^6 + (6a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 5a + 10)13^7 + (4a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 10a)13^8 + (10a^5 + 5a^3 + 6a^2 + 2a + 5)*13^9+O(13^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5 + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13 + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 3a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 8a + 5 + (6a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 7a + 5)13 + (9a^5 + 9a^4 + 4a^3 + a^2 + 7a + 4)13^2 + (9a^5 + a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 4a + 5)13^3 + (5a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 5a + 7)13^4 + (9a^5 + 3a^4 + 2a^3 + a^2 + 2a + 1)13^5 + (9a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 2a + 6)13^6 + (4a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 2a + 4)13^7 + (2a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 10a + 3)13^8 + (9a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 11a + 6)*13^9+O(13^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 7 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 11 + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13 + \left(12 a^{5} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 7a^5 + a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 11 + (4a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 2a + 9)13 + (12a^5 + 12a^3 + 9a^2 + 7a + 3)13^2 + (8a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 5a + 1)13^3 + (10a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 2a + 2)13^4 + (10a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 8a + 4)13^5 + (2a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 4a)13^6 + (6a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 6a + 8)13^7 + (8a^5 + 9a^4 + 9a^3 + a^2 + 4a + 3)13^8 + (4a^5 + 9a^4 + 11a^2 + 8a + 7)*13^9+O(13^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 7 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + a + 11\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2}\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 12a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 6a + 7 + (7a^5 + 8a^4 + 9a^3 + a + 11)13 + (4a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 6a + 2)13^2 + (10a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 11a + 4)13^3 + (11a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 7a + 3)13^4 + (6a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 12a + 12)13^5 + (2a^5 + 9a^4 + a^3 + 8a^2)13^6 + (5a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 10a + 2)13^7 + (7a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 10a + 8)13^8 + (4a^5 + 7a^4 + 4a^2 + 2a + 5)*13^9+O(13^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 5 + \left(4 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13 + \left(11 a^{5} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{5} + 12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$ 2a^5 + 4a^4 + a^3 + a^2 + 5 + (4a^5 + a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 8a + 4)13 + (11a^5 + 10a^3 + 8a^2 + 11a + 7)13^2 + (a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 8a + 9)13^3 + (6a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 9a^2 + a + 2)13^4 + (7a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 2a + 3)13^5 + (8a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 6a + 5)13^6 + (12a^5 + 11a^4 + 9a^3 + a^2 + 10)13^7 + (3a^5 + 12a^3 + a^2 + 7a + 2)13^8 + (7a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 5a + 2)13^9+O(13^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,6,5,2,9,10)(3,4,7,12,11,8)$
$(2,6,10)(4,8,12)$
$(1,5,9)(2,6,10)(3,7,11)(4,8,12)$
$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,2)(3,12)(4,11)(5,10)(6,9)(7,8)$	$0$
$3$	$2$	$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)(9,12)(10,11)$	$0$
$1$	$3$	$(1,5,9)(2,10,6)(3,7,11)(4,12,8)$	$2 \zeta_{3}$
$1$	$3$	$(1,9,5)(2,6,10)(3,11,7)(4,8,12)$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$2$	$3$	$(1,5,9)(2,6,10)(3,7,11)(4,8,12)$	$-1$
$2$	$3$	$(2,6,10)(4,8,12)$	$-\zeta_{3}$
$2$	$3$	$(2,10,6)(4,12,8)$	$\zeta_{3} + 1$
$1$	$6$	$(1,11,9,7,5,3)(2,4,6,8,10,12)$	$-2 \zeta_{3}$
$1$	$6$	$(1,3,5,7,9,11)(2,12,10,8,6,4)$	$2 \zeta_{3} + 2$
$2$	$6$	$(1,11,9,7,5,3)(2,12,10,8,6,4)$	$1$
$2$	$6$	$(1,7)(2,12,10,8,6,4)(3,9)(5,11)$	$\zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,7)(2,4,6,8,10,12)(3,9)(5,11)$	$-\zeta_{3} - 1$
$3$	$6$	$(1,6,5,2,9,10)(3,4,7,12,11,8)$	$0$
$3$	$6$	$(1,10,9,2,5,6)(3,8,11,12,7,4)$	$0$
$3$	$6$	$(1,12,5,8,9,4)(2,3,10,7,6,11)$	$0$
$3$	$6$	$(1,4,9,8,5,12)(2,11,6,7,10,3)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.2025.12t18.b.a
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$2025$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 9 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 2 + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13 + \left(8 a^{5} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{4} + 9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 9a^5 + a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 11a + 2 + (7a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 6a + 6)13 + (8a^5 + 4a^3 + 8a^2 + 11a + 11)13^2 + (10a^4 + 9a^2 + 6a + 11)13^3 + (6a^5 + 12a^4 + 4a^3 + a^2 + 2a + 8)13^4 + (4a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 10a + 10)13^5 + (5a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 11a + 7)13^6 + (4a^5 + 5a^4 + 11a^2 + 7a + 10)13^7 + (5a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 4)13^8 + (8a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 4a + 12)*13^9+O(13^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 7 + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13 + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 8a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 7 + (12a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 6a + 7)13 + (11a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 4a + 3)13^2 + (5a^5 + 11a^4 + a^3 + 8a^2 + 3a + 8)13^3 + (8a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 12a)13^4 + (9a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 6a + 12)13^5 + (5a^5 + 12a^4 + 11a^2 + a + 4)13^6 + (6a^5 + 3a^4 + a^3 + 5a^2 + 7a + 2)13^7 + (8a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 2a + 12)13^8 + (2a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 10a + 7)13^9+O(13^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8 + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13 + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{5} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 10a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 5a + 8 + (12a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 5a + 7)13 + (3a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 5a + 8)13^2 + (3a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 8a + 7)13^3 + (7a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 7a + 5)13^4 + (3a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 10a + 11)13^5 + (3a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 10a + 6)13^6 + (12a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 10a + 8)13^7 + (10a^5 + 10a^3 + 8a^2 + 2a + 9)13^8 + (3a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 12a^2 + a + 6)*13^9+O(13^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 6 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 2 + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13 + \left(12 a^{4} + 3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{5} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 6a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 2 + (8a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 11a + 3)13 + (12a^4 + 3a^2 + 5a + 9)13^2 + (4a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 12a^2 + 7a + 11)13^3 + (2a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 10a + 10)13^4 + (2a^5 + 10a^3 + 3a^2 + 4a + 8)13^5 + (10a^5 + 5a^4 + 8a + 12)13^6 + (6a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 6a + 4)13^7 + (4a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 8a + 9)13^8 + (8a^5 + 3a^4 + 12a^3 + a^2 + 4a + 5)13^9+O(13^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 6 + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13 + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2}\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 7a + 6 + (5a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 11a + 1)13 + (8a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 6a + 10)13^2 + (2a^5 + a^4 + 6a^3 + 6a^2 + a + 8)13^3 + (a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 5a + 9)13^4 + (12a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 5a^2)13^5 + (10a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 12a + 12)13^6 + (7a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 2a + 10)13^7 + (5a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 2a + 4)13^8 + (8a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 10a + 7)13^9+O(13^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 11 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 8 + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13 + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 11a^5 + 9a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 8 + (8a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 5a + 8)13 + (a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 4a^2 + a + 5)13^2 + (11a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 4a + 3)13^3 + (6a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 11a + 10)13^4 + (5a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 10a + 9)13^5 + (4a^5 + 5a^4 + a^2 + 6a + 7)13^6 + (a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 12a + 2)13^7 + (9a^5 + 12a^4 + 11a^2 + 5a + 10)13^8 + (5a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 7a + 10)*13^9+O(13^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 2 a + 11 + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{5} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 4a^5 + 12a^4 + 5a^3 + a^2 + 2a + 11 + (5a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 6a + 6)13 + (4a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 4a^2 + a + 1)13^2 + (12a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 6a + 1)13^3 + (6a^5 + 8a^3 + 11a^2 + 10a + 4)13^4 + (8a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 2a + 2)13^5 + (7a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 12a^2 + a + 5)13^6 + (8a^5 + 7a^4 + 12a^3 + a^2 + 5a + 2)13^7 + (7a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 12a + 8)13^8 + (4a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 8a)*13^9+O(13^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 + \left(2 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13 + \left(a^{5} + 2 a^{3} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{5} + 12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{5} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 5a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 6 + (2a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 7a + 5)13 + (a^5 + 2a^3 + 8a + 9)13^2 + (7a^5 + a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 9a + 4)13^3 + (4a^5 + 5a^4 + a^3 + 9a^2 + 12)13^4 + (3a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 6a)13^5 + (7a^5 + 12a^3 + a^2 + 11a + 8)13^6 + (6a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 7a^2 + 5a + 10)13^7 + (4a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 10a)13^8 + (10a^5 + 5a^3 + 6a^2 + 2a + 5)*13^9+O(13^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 5 + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13 + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 3a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 8a + 5 + (6a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 7a + 5)13 + (9a^5 + 9a^4 + 4a^3 + a^2 + 7a + 4)13^2 + (9a^5 + a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 4a + 5)13^3 + (5a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 5a + 7)13^4 + (9a^5 + 3a^4 + 2a^3 + a^2 + 2a + 1)13^5 + (9a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 2a + 6)13^6 + (4a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 2a + 4)13^7 + (2a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 10a + 3)13^8 + (9a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 11a + 6)*13^9+O(13^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 7 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 11 + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13 + \left(12 a^{5} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 7a^5 + a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 11 + (4a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 2a + 9)13 + (12a^5 + 12a^3 + 9a^2 + 7a + 3)13^2 + (8a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 5a + 1)13^3 + (10a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 2a + 2)13^4 + (10a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 8a + 4)13^5 + (2a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 4a)13^6 + (6a^5 + 7a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 6a + 8)13^7 + (8a^5 + 9a^4 + 9a^3 + a^2 + 4a + 3)13^8 + (4a^5 + 9a^4 + 11a^2 + 8a + 7)*13^9+O(13^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 7 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + a + 11\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2}\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 12a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 6a + 7 + (7a^5 + 8a^4 + 9a^3 + a + 11)13 + (4a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 6a + 2)13^2 + (10a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 11a + 4)13^3 + (11a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 7a + 3)13^4 + (6a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 12a + 12)13^5 + (2a^5 + 9a^4 + a^3 + 8a^2)13^6 + (5a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 10a + 2)13^7 + (7a^5 + 6a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 10a + 8)13^8 + (4a^5 + 7a^4 + 4a^2 + 2a + 5)*13^9+O(13^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 5 + \left(4 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13 + \left(11 a^{5} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{5} + 12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})\) 2a^5 + 4a^4 + a^3 + a^2 + 5 + (4a^5 + a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 8a + 4)13 + (11a^5 + 10a^3 + 8a^2 + 11a + 7)13^2 + (a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 8a + 9)13^3 + (6a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 9a^2 + a + 2)13^4 + (7a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 2a + 3)13^5 + (8a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 6a + 5)13^6 + (12a^5 + 11a^4 + 9a^3 + a^2 + 10)13^7 + (3a^5 + 12a^3 + a^2 + 7a + 2)13^8 + (7a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 5a + 2)13^9+O(13^10)