Properties

Label 2.1999.27t8.a.d
Dimension $2$
Group $D_{27}$
Conductor $1999$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: $D_{27}$
Conductor: \(1999\)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: 27.1.8138911451501750747538217172562287688025999.1
Galois orbit size: $9$
Smallest permutation container: $D_{27}$
Parity: odd
Determinant: 1.1999.2t1.a.a
Projective image: $D_{27}$
Projective stem field: 27.1.8138911451501750747538217172562287688025999.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$\(x^{27} - 11 x^{26} + 70 x^{25} - 273 x^{24} + 723 x^{23} - 1456 x^{22} + 2649 x^{21} - 4775 x^{20} + 8022 x^{19} - 11719 x^{18} + 15552 x^{17} - 20687 x^{16} + 27099 x^{15} - 31222 x^{14} + 31020 x^{13} - 30638 x^{12} + 32802 x^{11} - 31588 x^{10} + 22446 x^{9} - 12521 x^{8} + 9384 x^{7} - 8740 x^{6} + 4644 x^{5} - 254 x^{4} - 460 x^{3} - 287 x^{2} + 245 x + 1\)  Toggle raw display.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 5.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: \(x^{27} + 3\)  Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 9 a^{26} + 15 a^{25} + 27 a^{24} + 8 a^{23} + a^{22} + 20 a^{21} + 3 a^{20} + 12 a^{19} + 30 a^{18} + 3 a^{17} + 26 a^{16} + 21 a^{15} + 16 a^{14} + 23 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 29 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 5 + \left(17 a^{26} + 6 a^{25} + 23 a^{24} + 4 a^{23} + 4 a^{22} + 24 a^{21} + 16 a^{20} + a^{19} + 27 a^{18} + 8 a^{17} + 24 a^{16} + 13 a^{15} + 25 a^{14} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + 27 a^{11} + 27 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31 + \left(6 a^{26} + 30 a^{25} + 23 a^{24} + 18 a^{23} + 5 a^{22} + 3 a^{21} + 4 a^{20} + 7 a^{19} + a^{18} + 14 a^{17} + 6 a^{16} + 24 a^{15} + 28 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 23 a^{11} + 30 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{26} + 9 a^{25} + 6 a^{24} + 9 a^{23} + 11 a^{22} + 29 a^{21} + 15 a^{20} + 10 a^{19} + 28 a^{18} + 6 a^{17} + 16 a^{16} + 6 a^{15} + 9 a^{14} + 19 a^{13} + 14 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{26} + 24 a^{24} + 23 a^{23} + 3 a^{22} + 7 a^{21} + 13 a^{20} + 21 a^{18} + 6 a^{17} + 16 a^{16} + 17 a^{15} + 15 a^{14} + 5 a^{13} + 28 a^{12} + 23 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 16 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 12 a^{26} + 7 a^{25} + 17 a^{24} + 22 a^{23} + 30 a^{22} + 14 a^{21} + 27 a^{20} + 21 a^{19} + 6 a^{18} + a^{17} + 17 a^{16} + 16 a^{15} + a^{14} + 29 a^{13} + 5 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 5 + \left(10 a^{26} + 7 a^{25} + 3 a^{24} + 29 a^{23} + a^{22} + 20 a^{21} + 13 a^{20} + 25 a^{19} + a^{18} + 8 a^{17} + 15 a^{16} + 27 a^{15} + 5 a^{14} + 5 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31 + \left(19 a^{26} + 30 a^{25} + 26 a^{24} + 13 a^{23} + 30 a^{22} + 29 a^{21} + 2 a^{20} + 30 a^{19} + 24 a^{18} + 15 a^{17} + 7 a^{16} + 2 a^{15} + 20 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 17 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{26} + 22 a^{25} + 6 a^{24} + 29 a^{23} + 24 a^{22} + 5 a^{21} + 9 a^{20} + 29 a^{19} + 9 a^{18} + 11 a^{17} + 7 a^{16} + 24 a^{15} + 21 a^{14} + 22 a^{13} + 11 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 23 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{26} + a^{25} + 26 a^{24} + 21 a^{23} + 3 a^{22} + 19 a^{21} + 3 a^{20} + 9 a^{19} + 30 a^{18} + 28 a^{17} + 29 a^{16} + 7 a^{15} + 23 a^{14} + 22 a^{13} + 28 a^{12} + 30 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 7 a^{6} + 30 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 19 a^{26} + 20 a^{25} + 10 a^{24} + 29 a^{23} + 9 a^{22} + 3 a^{21} + 4 a^{20} + 15 a^{19} + 26 a^{18} + 6 a^{17} + 7 a^{16} + 26 a^{15} + 20 a^{14} + 15 a^{13} + 19 a^{12} + 21 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 5 + \left(7 a^{26} + 18 a^{25} + 21 a^{24} + 28 a^{23} + 2 a^{22} + 28 a^{21} + 19 a^{20} + 12 a^{19} + a^{18} + 5 a^{17} + a^{16} + 9 a^{14} + 21 a^{13} + 15 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31 + \left(12 a^{26} + a^{25} + 17 a^{24} + 28 a^{23} + 26 a^{22} + 8 a^{21} + 4 a^{20} + 16 a^{19} + 5 a^{18} + 6 a^{17} + 21 a^{16} + 13 a^{15} + 27 a^{14} + 17 a^{13} + 12 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{26} + 8 a^{24} + 5 a^{23} + 10 a^{22} + 7 a^{21} + 27 a^{20} + 23 a^{19} + 24 a^{18} + 22 a^{17} + 24 a^{16} + 7 a^{15} + 2 a^{14} + 11 a^{13} + 26 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{26} + 18 a^{25} + a^{24} + 26 a^{23} + 9 a^{22} + 19 a^{21} + 18 a^{20} + 20 a^{19} + 9 a^{18} + 28 a^{17} + 19 a^{16} + 3 a^{15} + 28 a^{14} + 2 a^{13} + 9 a^{12} + 26 a^{11} + 30 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 29 a^{26} + 24 a^{25} + 24 a^{24} + 2 a^{23} + 8 a^{22} + 7 a^{21} + 9 a^{20} + 27 a^{19} + 30 a^{18} + 22 a^{17} + 11 a^{16} + 29 a^{15} + 30 a^{14} + 8 a^{13} + 24 a^{12} + 10 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 5 a + 5 + \left(25 a^{26} + 5 a^{25} + 5 a^{24} + 3 a^{23} + 17 a^{22} + 13 a^{20} + 15 a^{19} + 27 a^{18} + 20 a^{17} + 8 a^{16} + 26 a^{15} + 2 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 2 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31 + \left(21 a^{26} + 17 a^{25} + 22 a^{24} + 10 a^{23} + 3 a^{22} + 7 a^{21} + 17 a^{20} + 27 a^{19} + a^{18} + 11 a^{17} + 23 a^{16} + 25 a^{15} + 16 a^{14} + 8 a^{13} + 12 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{26} + 8 a^{25} + 15 a^{24} + 14 a^{23} + 20 a^{21} + 8 a^{20} + 22 a^{19} + 28 a^{18} + 5 a^{17} + 6 a^{16} + 19 a^{15} + 13 a^{14} + 28 a^{13} + 17 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{26} + 4 a^{25} + 26 a^{23} + 24 a^{22} + 10 a^{21} + 21 a^{20} + 15 a^{19} + 21 a^{18} + 24 a^{17} + 29 a^{16} + 29 a^{15} + 23 a^{14} + 15 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 25 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 20 a^{26} + 13 a^{25} + 22 a^{24} + 4 a^{23} + 17 a^{22} + 8 a^{21} + 5 a^{20} + 10 a^{19} + 6 a^{18} + 8 a^{17} + a^{16} + 28 a^{15} + 25 a^{14} + 23 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 15 a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 5 + \left(a^{26} + 26 a^{25} + 19 a^{24} + 8 a^{23} + 12 a^{22} + 19 a^{21} + 24 a^{20} + 23 a^{19} + a^{18} + 2 a^{17} + 21 a^{16} + 13 a^{15} + 12 a^{14} + 30 a^{13} + 20 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31 + \left(10 a^{26} + 2 a^{25} + 5 a^{24} + 19 a^{23} + 2 a^{22} + 26 a^{21} + 7 a^{20} + 27 a^{19} + 24 a^{18} + 16 a^{17} + 5 a^{16} + 19 a^{15} + 23 a^{14} + 27 a^{13} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{26} + 25 a^{25} + 23 a^{24} + 4 a^{23} + 5 a^{22} + 24 a^{21} + 6 a^{20} + 9 a^{18} + 21 a^{17} + 10 a^{16} + 18 a^{15} + 8 a^{14} + 24 a^{13} + 4 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{26} + 10 a^{25} + 25 a^{24} + 15 a^{23} + 12 a^{22} + 4 a^{21} + 20 a^{20} + 24 a^{19} + 30 a^{18} + 25 a^{17} + 19 a^{16} + 30 a^{15} + a^{14} + 26 a^{13} + 25 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 27 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 27 a^{26} + 3 a^{25} + 2 a^{24} + 18 a^{23} + 30 a^{22} + 15 a^{21} + 23 a^{20} + 29 a^{19} + 26 a^{18} + 18 a^{17} + 25 a^{16} + 30 a^{15} + 30 a^{14} + 10 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 5 + \left(17 a^{26} + 24 a^{25} + 11 a^{24} + 15 a^{23} + 20 a^{22} + 27 a^{21} + 21 a^{20} + 12 a^{19} + a^{18} + 7 a^{17} + 28 a^{16} + 2 a^{15} + 29 a^{14} + 7 a^{13} + 3 a^{12} + 27 a^{11} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31 + \left(12 a^{26} + 12 a^{25} + 6 a^{24} + 4 a^{23} + 20 a^{22} + 13 a^{21} + 6 a^{20} + 5 a^{19} + 5 a^{18} + 30 a^{15} + 15 a^{14} + 23 a^{13} + 24 a^{12} + 5 a^{10} + 26 a^{9} + 25 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{26} + 15 a^{25} + 8 a^{24} + 29 a^{23} + 24 a^{22} + 22 a^{21} + 18 a^{20} + 19 a^{19} + 24 a^{18} + 27 a^{17} + 12 a^{16} + 9 a^{15} + 5 a^{14} + 2 a^{13} + 27 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 29 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{26} + 29 a^{25} + 27 a^{24} + 15 a^{23} + 17 a^{22} + 8 a^{21} + 25 a^{20} + 9 a^{18} + 12 a^{17} + 23 a^{16} + 19 a^{15} + 22 a^{14} + 26 a^{13} + 7 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 6 a^{26} + 11 a^{25} + 11 a^{24} + 27 a^{23} + 26 a^{22} + 4 a^{21} + 8 a^{20} + 18 a^{19} + 30 a^{18} + 19 a^{17} + 30 a^{16} + 12 a^{15} + 19 a^{14} + 2 a^{13} + 27 a^{12} + 24 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 5 + \left(16 a^{26} + 4 a^{25} + a^{24} + 23 a^{23} + 5 a^{22} + 6 a^{21} + 28 a^{20} + 16 a^{19} + 27 a^{18} + a^{17} + 2 a^{16} + 21 a^{15} + 22 a^{14} + 18 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31 + \left(6 a^{26} + 13 a^{25} + 16 a^{24} + 29 a^{23} + 10 a^{22} + 20 a^{21} + 4 a^{20} + 23 a^{19} + a^{18} + 16 a^{17} + 16 a^{16} + 11 a^{15} + 5 a^{14} + 24 a^{13} + 25 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 8 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 2 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{26} + a^{25} + 8 a^{24} + 2 a^{23} + 12 a^{21} + 12 a^{20} + 11 a^{19} + 28 a^{18} + 23 a^{17} + 3 a^{16} + 4 a^{15} + 3 a^{14} + 26 a^{13} + 29 a^{12} + 27 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{26} + 14 a^{25} + 6 a^{24} + 12 a^{23} + 12 a^{21} + 28 a^{20} + 17 a^{19} + 21 a^{18} + 23 a^{17} + 8 a^{16} + 15 a^{15} + 12 a^{14} + 18 a^{13} + 12 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 5 a^{26} + 6 a^{25} + 23 a^{24} + 7 a^{23} + 22 a^{22} + 9 a^{21} + 23 a^{20} + 18 a^{19} + 6 a^{18} + 15 a^{17} + 24 a^{16} + 18 a^{15} + 29 a^{14} + 12 a^{13} + a^{12} + 30 a^{11} + 16 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 5 + \left(13 a^{26} + 13 a^{25} + 7 a^{24} + 30 a^{23} + 2 a^{22} + 22 a^{21} + 20 a^{20} + 5 a^{19} + a^{18} + 22 a^{17} + 18 a^{16} + 20 a^{15} + 11 a^{14} + 20 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 2 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31 + \left(6 a^{26} + 12 a^{25} + 30 a^{24} + 7 a^{23} + 22 a^{22} + 5 a^{21} + 28 a^{20} + 9 a^{19} + 24 a^{18} + 17 a^{17} + 11 a^{16} + 8 a^{15} + 26 a^{14} + 28 a^{13} + 26 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + 27 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{26} + 22 a^{23} + 6 a^{22} + 30 a^{20} + 7 a^{19} + 9 a^{18} + 8 a^{17} + 19 a^{16} + 19 a^{15} + 19 a^{14} + 8 a^{13} + 15 a^{12} + 6 a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{26} + 10 a^{24} + 3 a^{23} + 17 a^{22} + 7 a^{21} + 20 a^{20} + 30 a^{19} + 30 a^{18} + 5 a^{17} + 2 a^{16} + 23 a^{15} + 27 a^{14} + 4 a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 19 a^{26} + 28 a^{25} + 19 a^{24} + 27 a^{23} + 21 a^{22} + 13 a^{21} + 28 a^{20} + 3 a^{19} + 26 a^{18} + 16 a^{17} + 27 a^{16} + 6 a^{15} + 3 a^{14} + 23 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 23 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 5 + \left(17 a^{26} + 13 a^{25} + 29 a^{24} + 7 a^{23} + 28 a^{22} + 6 a^{21} + a^{20} + 27 a^{19} + a^{18} + 15 a^{17} + 20 a^{16} + 27 a^{15} + 19 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 31 + \left(14 a^{26} + 6 a^{24} + 15 a^{23} + 11 a^{22} + 8 a^{21} + 12 a^{20} + 24 a^{19} + 5 a^{18} + 20 a^{17} + a^{16} + 18 a^{15} + 10 a^{14} + 8 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 3 a^{10} + 26 a^{9} + 23 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{26} + 8 a^{25} + 14 a^{24} + 7 a^{23} + 11 a^{22} + a^{21} + 7 a^{20} + 24 a^{18} + 30 a^{17} + 10 a^{16} + 13 a^{15} + 28 a^{14} + 13 a^{13} + 7 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{26} + 18 a^{25} + 2 a^{24} + a^{23} + a^{22} + 3 a^{21} + 25 a^{20} + 30 a^{19} + 9 a^{18} + 30 a^{17} + 24 a^{16} + 8 a^{15} + 16 a^{14} + 21 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 8 a^{26} + 13 a^{25} + 27 a^{24} + 14 a^{23} + 5 a^{22} + 20 a^{21} + 13 a^{20} + 29 a^{19} + 30 a^{18} + 13 a^{17} + 6 a^{16} + 21 a^{15} + 28 a^{14} + 22 a^{13} + 11 a^{12} + 10 a^{11} + 4 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 5 + \left(18 a^{26} + 25 a^{25} + 23 a^{24} + 17 a^{23} + 3 a^{22} + 24 a^{21} + 16 a^{20} + 19 a^{19} + 27 a^{18} + 2 a^{17} + 23 a^{16} + 13 a^{15} + 25 a^{14} + 28 a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 30 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31 + \left(29 a^{26} + 12 a^{25} + 23 a^{24} + 11 a^{23} + 13 a^{22} + 3 a^{21} + 16 a^{20} + a^{19} + a^{18} + 8 a^{17} + 13 a^{16} + 24 a^{15} + 15 a^{14} + 8 a^{13} + 23 a^{12} + 6 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{26} + 4 a^{25} + 6 a^{24} + 18 a^{23} + 15 a^{22} + 29 a^{21} + 24 a^{20} + 28 a^{18} + 8 a^{17} + 19 a^{16} + 6 a^{15} + 5 a^{14} + 2 a^{13} + 14 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{26} + 10 a^{25} + 24 a^{24} + 11 a^{23} + 5 a^{22} + 7 a^{21} + 4 a^{20} + 14 a^{19} + 21 a^{18} + 23 a^{16} + 17 a^{15} + 11 a^{14} + 19 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 22 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 21 a^{26} + 4 a^{25} + 17 a^{24} + 23 a^{23} + 26 a^{22} + 14 a^{21} + 24 a^{20} + 12 a^{19} + 6 a^{18} + 25 a^{17} + 23 a^{16} + 16 a^{15} + 25 a^{14} + 21 a^{13} + 5 a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 5 + \left(17 a^{26} + 10 a^{25} + 3 a^{24} + 9 a^{23} + 26 a^{22} + 20 a^{21} + 3 a^{20} + 19 a^{19} + a^{18} + 30 a^{17} + 5 a^{16} + 27 a^{15} + 17 a^{14} + a^{13} + 21 a^{12} + 25 a^{11} + 18 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 31 + \left(8 a^{26} + 17 a^{25} + 26 a^{24} + 26 a^{23} + 29 a^{22} + 29 a^{21} + 11 a^{20} + 25 a^{19} + 24 a^{18} + 19 a^{17} + 12 a^{16} + 2 a^{15} + a^{14} + 8 a^{13} + 3 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 27 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{26} + 23 a^{25} + 6 a^{24} + 9 a^{23} + 26 a^{22} + 5 a^{21} + 13 a^{20} + a^{19} + 9 a^{18} + 12 a^{17} + 30 a^{16} + 24 a^{15} + 17 a^{14} + 20 a^{13} + 11 a^{12} + 11 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{26} + 30 a^{25} + 26 a^{24} + 6 a^{23} + 2 a^{22} + 19 a^{21} + 3 a^{20} + 26 a^{19} + 30 a^{18} + 26 a^{17} + 20 a^{16} + 7 a^{15} + 4 a^{14} + 11 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 30 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 29 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 10 a^{26} + 7 a^{25} + 10 a^{24} + 12 a^{23} + 14 a^{22} + 3 a^{21} + 7 a^{20} + 13 a^{19} + 26 a^{18} + 26 a^{17} + 4 a^{16} + 26 a^{15} + 4 a^{14} + 13 a^{13} + 19 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 26 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 11 a + 5 + \left(29 a^{26} + a^{25} + 21 a^{24} + 9 a^{23} + 13 a^{22} + 28 a^{21} + 15 a^{20} + 24 a^{19} + a^{18} + 8 a^{17} + 11 a^{16} + 3 a^{14} + 7 a^{13} + 15 a^{12} + 14 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31 + \left(14 a^{26} + 5 a^{25} + 17 a^{24} + 27 a^{23} + 6 a^{22} + 8 a^{21} + 11 a^{20} + 27 a^{19} + 5 a^{18} + 25 a^{17} + 11 a^{16} + 13 a^{15} + 27 a^{14} + 5 a^{13} + 12 a^{12} + 30 a^{11} + 22 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{26} + 10 a^{25} + 8 a^{24} + 27 a^{23} + 19 a^{22} + 7 a^{21} + 25 a^{20} + 22 a^{19} + 24 a^{18} + 10 a^{17} + 7 a^{16} + 7 a^{15} + 14 a^{14} + 11 a^{13} + 26 a^{12} + 3 a^{11} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{26} + 18 a^{25} + a^{24} + 16 a^{23} + 12 a^{22} + 19 a^{21} + 7 a^{20} + 18 a^{19} + 9 a^{18} + 25 a^{17} + 3 a^{15} + 17 a^{13} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 6 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 12 a^{26} + 27 a^{25} + 24 a^{24} + 19 a^{23} + 9 a^{22} + 7 a^{21} + 8 a^{20} + 11 a^{19} + 30 a^{18} + 23 a^{17} + 24 a^{16} + 29 a^{15} + 6 a^{14} + 9 a^{13} + 24 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 5 + \left(27 a^{26} + 23 a^{25} + 5 a^{24} + 15 a^{23} + 12 a^{22} + 11 a^{20} + 23 a^{19} + 27 a^{18} + a^{17} + 9 a^{16} + 26 a^{15} + 27 a^{14} + 12 a^{13} + 24 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a + 1\right)\cdot 31 + \left(18 a^{26} + 29 a^{25} + 22 a^{24} + 3 a^{23} + 17 a^{22} + 7 a^{21} + 20 a^{20} + 15 a^{19} + a^{18} + 11 a^{17} + a^{16} + 25 a^{15} + 9 a^{14} + 11 a^{13} + 12 a^{12} + 25 a^{11} + 30 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{25} + 15 a^{24} + 24 a^{23} + a^{22} + 20 a^{21} + 26 a^{20} + 11 a^{19} + 28 a^{18} + 30 a^{17} + 28 a^{16} + 19 a^{15} + 2 a^{14} + 26 a^{13} + 17 a^{12} + 7 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{26} + 8 a^{25} + 19 a^{23} + 24 a^{22} + 10 a^{21} + 26 a^{20} + 29 a^{19} + 21 a^{18} + 22 a^{17} + 9 a^{16} + 29 a^{15} + 22 a^{14} + a^{13} + 20 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 4 a^{26} + 3 a^{25} + 22 a^{24} + 7 a^{23} + 23 a^{22} + 8 a^{21} + a^{20} + 19 a^{19} + 6 a^{18} + 14 a^{17} + 5 a^{16} + 28 a^{15} + 5 a^{14} + 22 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 5 + \left(20 a^{26} + 4 a^{25} + 19 a^{24} + 19 a^{23} + 21 a^{22} + 19 a^{21} + 2 a^{20} + 8 a^{19} + a^{18} + 29 a^{17} + 26 a^{16} + 13 a^{15} + 7 a^{14} + 10 a^{13} + 20 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31 + \left(25 a^{26} + 14 a^{25} + 5 a^{24} + 15 a^{23} + 6 a^{22} + 26 a^{21} + 22 a^{20} + 23 a^{19} + 24 a^{18} + 20 a^{17} + 5 a^{16} + 19 a^{15} + 10 a^{14} + 6 a^{13} + 4 a^{11} + 15 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{26} + 4 a^{25} + 23 a^{24} + 2 a^{23} + 24 a^{21} + 8 a^{20} + 9 a^{19} + 9 a^{18} + 23 a^{17} + 23 a^{16} + 18 a^{15} + 11 a^{14} + 12 a^{13} + 4 a^{12} + 27 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{26} + 20 a^{25} + 25 a^{24} + 20 a^{23} + 7 a^{22} + 4 a^{21} + 3 a^{20} + 18 a^{19} + 30 a^{18} + 19 a^{17} + 3 a^{16} + 30 a^{15} + 26 a^{14} + 16 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + 11 a^{9} + 23 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 24 a^{26} + 15 a^{25} + 2 a^{24} + 16 a^{23} + 26 a^{22} + 15 a^{21} + 17 a^{20} + 21 a^{19} + 26 a^{18} + 16 a^{17} + a^{16} + 30 a^{15} + 6 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 7 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 30 a + 5 + \left(10 a^{26} + 7 a^{25} + 11 a^{24} + 26 a^{23} + 28 a^{22} + 27 a^{21} + 12 a^{20} + 5 a^{19} + a^{18} + 12 a^{17} + 29 a^{16} + 2 a^{15} + 20 a^{14} + 21 a^{13} + 3 a^{12} + 29 a^{11} + 29 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31 + \left(18 a^{26} + 8 a^{25} + 6 a^{24} + 4 a^{23} + 13 a^{21} + 2 a^{20} + 5 a^{19} + 5 a^{18} + 18 a^{17} + 15 a^{16} + 30 a^{15} + 4 a^{14} + 24 a^{13} + 24 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 26 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{26} + 21 a^{25} + 8 a^{24} + 19 a^{23} + 9 a^{22} + 22 a^{21} + 21 a^{20} + a^{19} + 24 a^{18} + 4 a^{17} + 3 a^{16} + 9 a^{15} + 24 a^{14} + 5 a^{13} + 27 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{26} + 17 a^{25} + 27 a^{24} + 24 a^{23} + 26 a^{22} + 8 a^{21} + 20 a^{20} + 4 a^{19} + 9 a^{18} + 22 a^{17} + 27 a^{16} + 19 a^{15} + 21 a^{14} + 4 a^{13} + 7 a^{12} + 24 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 26 a^{26} + 24 a^{25} + 11 a^{24} + 24 a^{23} + 6 a^{22} + 4 a^{21} + 14 a^{20} + 28 a^{19} + 30 a^{18} + 10 a^{17} + 26 a^{16} + 12 a^{15} + 10 a^{14} + 10 a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{11} + 30 a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 5 + \left(4 a^{26} + 20 a^{25} + a^{24} + 5 a^{23} + 21 a^{22} + 6 a^{21} + 28 a^{20} + 24 a^{19} + 27 a^{18} + 3 a^{17} + 21 a^{15} + a^{14} + 25 a^{13} + 25 a^{12} + 29 a^{11} + 21 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 18 a^{6} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 31 + \left(24 a^{26} + 18 a^{25} + 16 a^{24} + 17 a^{23} + 12 a^{22} + 20 a^{21} + 2 a^{20} + 6 a^{19} + a^{18} + 14 a^{17} + 5 a^{16} + 11 a^{15} + 30 a^{14} + 20 a^{13} + 25 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{26} + 11 a^{25} + 8 a^{24} + 16 a^{23} + 27 a^{22} + 12 a^{21} + 15 a^{20} + 28 a^{18} + a^{17} + 27 a^{16} + 4 a^{15} + 11 a^{14} + 28 a^{13} + 29 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{26} + 18 a^{25} + 6 a^{24} + 13 a^{23} + 19 a^{22} + 12 a^{21} + 8 a^{20} + 2 a^{19} + 21 a^{18} + 28 a^{17} + 16 a^{16} + 15 a^{15} + 28 a^{14} + 30 a^{13} + 12 a^{12} + 10 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( a^{26} + 30 a^{25} + 23 a^{24} + 20 a^{23} + 17 a^{22} + 9 a^{21} + 17 a^{20} + 28 a^{19} + 6 a^{18} + 3 a^{17} + 27 a^{16} + 18 a^{15} + 12 a^{14} + 29 a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + 18 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 5 + \left(6 a^{26} + 25 a^{25} + 7 a^{24} + 30 a^{23} + 11 a^{22} + 22 a^{21} + 18 a^{20} + a^{18} + 27 a^{17} + 26 a^{16} + 20 a^{15} + 18 a^{14} + 14 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31 + \left(29 a^{26} + 18 a^{25} + 30 a^{24} + 11 a^{23} + 25 a^{22} + 5 a^{21} + 8 a^{20} + 29 a^{19} + 24 a^{18} + 24 a^{17} + 28 a^{16} + 8 a^{15} + a^{14} + 30 a^{13} + 26 a^{12} + 22 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{9} + 29 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{26} + 13 a^{25} + 27 a^{23} + 25 a^{22} + 2 a^{20} + 8 a^{19} + 9 a^{18} + a^{17} + 2 a^{16} + 19 a^{15} + 16 a^{14} + 14 a^{13} + 15 a^{12} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{26} + 21 a^{25} + 10 a^{24} + 5 a^{23} + 11 a^{22} + 7 a^{21} + 2 a^{20} + 5 a^{19} + 30 a^{18} + 27 a^{17} + 29 a^{16} + 23 a^{15} + 10 a^{14} + 14 a^{13} + 8 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 10 a^{26} + 16 a^{25} + 19 a^{24} + 24 a^{23} + 12 a^{22} + 13 a^{21} + 18 a^{20} + 15 a^{19} + 26 a^{18} + 28 a^{17} + 11 a^{16} + 6 a^{15} + 13 a^{14} + 22 a^{13} + 10 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 5 + \left(27 a^{25} + 29 a^{24} + 8 a^{23} + 3 a^{22} + 6 a^{21} + 30 a^{20} + 22 a^{19} + a^{18} + 23 a^{17} + 17 a^{16} + 27 a^{15} + 29 a^{14} + 26 a^{13} + 12 a^{12} + 16 a^{11} + 9 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31 + \left(16 a^{26} + 6 a^{24} + 18 a^{23} + 4 a^{22} + 8 a^{21} + 3 a^{20} + 17 a^{19} + 5 a^{18} + 19 a^{17} + 18 a^{16} + 18 a^{15} + 30 a^{14} + 23 a^{13} + 25 a^{12} + 28 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{26} + 15 a^{25} + 14 a^{24} + 18 a^{23} + 26 a^{22} + a^{21} + 13 a^{20} + 3 a^{19} + 24 a^{18} + 20 a^{17} + 15 a^{16} + 13 a^{15} + 4 a^{14} + 17 a^{13} + 7 a^{12} + 25 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{26} + 23 a^{25} + 2 a^{24} + 26 a^{23} + 5 a^{22} + 3 a^{21} + 21 a^{20} + 6 a^{19} + 9 a^{18} + 30 a^{17} + 25 a^{16} + 8 a^{15} + a^{14} + 26 a^{13} + 13 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 14 a^{26} + 3 a^{25} + 27 a^{24} + 9 a^{23} + 25 a^{22} + 20 a^{21} + 15 a^{20} + 21 a^{19} + 30 a^{18} + 15 a^{17} + 30 a^{16} + 21 a^{15} + 18 a^{14} + 17 a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 20 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 5 + \left(26 a^{26} + 30 a^{25} + 23 a^{24} + 9 a^{23} + 23 a^{22} + 24 a^{21} + 29 a^{20} + 9 a^{19} + 27 a^{18} + 20 a^{17} + 13 a^{16} + 13 a^{15} + 10 a^{14} + 17 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31 + \left(25 a^{26} + 18 a^{25} + 23 a^{24} + a^{23} + 12 a^{22} + 3 a^{21} + 9 a^{20} + 22 a^{19} + a^{18} + 8 a^{17} + 10 a^{16} + 24 a^{15} + 17 a^{14} + 13 a^{13} + 23 a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{26} + 16 a^{25} + 6 a^{24} + 3 a^{23} + 4 a^{22} + 29 a^{21} + 22 a^{20} + 20 a^{19} + 28 a^{18} + 16 a^{17} + 26 a^{16} + 6 a^{15} + 15 a^{14} + 9 a^{13} + 14 a^{12} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{26} + 20 a^{25} + 24 a^{24} + 27 a^{23} + 22 a^{22} + 7 a^{21} + 12 a^{20} + 16 a^{19} + 21 a^{18} + 24 a^{17} + 21 a^{16} + 17 a^{15} + 4 a^{14} + 6 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 23 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( 29 a^{26} + 20 a^{25} + 17 a^{24} + 17 a^{23} + 6 a^{22} + 14 a^{21} + 11 a^{20} + 29 a^{19} + 6 a^{18} + 5 a^{17} + 22 a^{16} + 16 a^{15} + 5 a^{14} + 12 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 20 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 5 + \left(2 a^{26} + 13 a^{25} + 3 a^{24} + 22 a^{23} + 2 a^{22} + 20 a^{21} + 13 a^{20} + 16 a^{19} + a^{18} + 23 a^{17} + 9 a^{16} + 27 a^{15} + 8 a^{14} + 23 a^{13} + 21 a^{12} + a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31 + \left(3 a^{26} + 14 a^{25} + 26 a^{24} + 21 a^{23} + 2 a^{22} + 29 a^{21} + 17 a^{20} + 5 a^{19} + 24 a^{18} + 26 a^{17} + 11 a^{16} + 2 a^{15} + 9 a^{14} + 9 a^{13} + 3 a^{12} + 19 a^{11} + 28 a^{10} + 27 a^{9} + 8 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{26} + 15 a^{25} + 6 a^{24} + 22 a^{23} + 10 a^{22} + 5 a^{21} + 8 a^{20} + 30 a^{19} + 9 a^{18} + 6 a^{17} + 24 a^{16} + 24 a^{15} + 23 a^{14} + 19 a^{13} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 5 a^{7} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{26} + 29 a^{25} + 26 a^{24} + 2 a^{23} + 24 a^{22} + 19 a^{21} + 24 a^{20} + 25 a^{19} + 30 a^{18} + 7 a^{17} + 11 a^{16} + 7 a^{15} + 2 a^{14} + 27 a^{13} + 28 a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 28 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 2 a^{26} + 4 a^{25} + 10 a^{24} + 21 a^{23} + 8 a^{22} + 3 a^{21} + 20 a^{20} + 3 a^{19} + 26 a^{18} + 30 a^{17} + 20 a^{16} + 26 a^{15} + 7 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 5 + \left(25 a^{26} + 11 a^{25} + 21 a^{24} + 23 a^{23} + 15 a^{22} + 28 a^{21} + 27 a^{20} + 25 a^{19} + a^{18} + 16 a^{17} + 18 a^{16} + 18 a^{14} + 2 a^{13} + 15 a^{12} + 16 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31 + \left(3 a^{26} + 24 a^{25} + 17 a^{24} + 5 a^{23} + 29 a^{22} + 8 a^{21} + 14 a^{20} + 17 a^{19} + 5 a^{18} + 30 a^{17} + 29 a^{16} + 13 a^{15} + 7 a^{14} + 8 a^{13} + 12 a^{12} + 28 a^{11} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + 29 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{26} + 20 a^{25} + 8 a^{24} + 28 a^{23} + 7 a^{21} + 9 a^{20} + 15 a^{19} + 24 a^{18} + 28 a^{17} + 29 a^{16} + 7 a^{15} + 13 a^{14} + 8 a^{13} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{26} + 25 a^{25} + a^{24} + 18 a^{23} + 9 a^{22} + 19 a^{21} + 4 a^{20} + 22 a^{19} + 9 a^{18} + 7 a^{17} + 10 a^{16} + 3 a^{15} + 2 a^{14} + 11 a^{13} + 9 a^{12} + 18 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 21 a^{26} + 11 a^{25} + 24 a^{24} + 10 a^{23} + 14 a^{22} + 7 a^{21} + 14 a^{20} + 24 a^{19} + 30 a^{18} + 17 a^{17} + 27 a^{16} + 29 a^{15} + 26 a^{14} + 14 a^{13} + 24 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 26 a^{2} + a + 5 + \left(8 a^{26} + a^{25} + 5 a^{24} + 12 a^{23} + a^{22} + 6 a^{20} + 22 a^{19} + 27 a^{18} + 8 a^{17} + 12 a^{16} + 26 a^{15} + a^{13} + 24 a^{12} + 17 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31 + \left(21 a^{26} + 15 a^{25} + 22 a^{24} + 17 a^{23} + 10 a^{22} + 7 a^{21} + 24 a^{20} + 18 a^{19} + a^{18} + 8 a^{17} + 6 a^{16} + 25 a^{15} + 5 a^{14} + 11 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 8 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{26} + 28 a^{25} + 15 a^{24} + 23 a^{23} + 29 a^{22} + 20 a^{21} + 26 a^{20} + 27 a^{19} + 28 a^{18} + 26 a^{17} + 27 a^{16} + 19 a^{15} + 15 a^{14} + 7 a^{13} + 17 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{26} + 17 a^{25} + 15 a^{23} + 13 a^{22} + 10 a^{21} + 13 a^{20} + 16 a^{19} + 21 a^{18} + 14 a^{17} + 22 a^{16} + 29 a^{15} + 16 a^{14} + 13 a^{13} + 20 a^{12} + 29 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 25 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 7 a^{26} + 15 a^{25} + 22 a^{24} + 20 a^{23} + 22 a^{22} + 8 a^{21} + 25 a^{20} + 2 a^{19} + 6 a^{18} + 9 a^{17} + 25 a^{16} + 28 a^{15} + a^{14} + 17 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + a + 5 + \left(9 a^{26} + 19 a^{24} + 3 a^{23} + 27 a^{22} + 19 a^{21} + 4 a^{20} + 30 a^{19} + a^{18} + 30 a^{17} + 14 a^{16} + 13 a^{15} + 11 a^{14} + 20 a^{13} + 20 a^{12} + 17 a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 31 + \left(26 a^{26} + 14 a^{25} + 5 a^{24} + 27 a^{23} + 21 a^{22} + 26 a^{21} + a^{20} + 10 a^{19} + 24 a^{18} + 24 a^{17} + 19 a^{16} + 19 a^{15} + 28 a^{14} + 27 a^{13} + 18 a^{11} + 2 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(29 a^{26} + a^{25} + 23 a^{24} + 23 a^{23} + 25 a^{22} + 24 a^{21} + 16 a^{20} + 20 a^{19} + 9 a^{18} + 16 a^{17} + 28 a^{16} + 18 a^{15} + 10 a^{14} + 24 a^{13} + 4 a^{12} + 30 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{26} + 25 a^{24} + 26 a^{23} + 11 a^{22} + 4 a^{21} + 7 a^{20} + 19 a^{19} + 30 a^{18} + 16 a^{17} + 7 a^{16} + 30 a^{15} + 3 a^{14} + 18 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 11 a^{26} + 13 a^{25} + 2 a^{24} + 28 a^{23} + 6 a^{22} + 15 a^{21} + 22 a^{20} + 12 a^{19} + 26 a^{18} + 28 a^{17} + 5 a^{16} + 30 a^{15} + 26 a^{14} + 2 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 5 + \left(2 a^{26} + 30 a^{25} + 11 a^{24} + 19 a^{23} + 12 a^{22} + 27 a^{21} + 27 a^{20} + 12 a^{19} + a^{18} + 10 a^{17} + 4 a^{16} + 2 a^{15} + 11 a^{14} + 2 a^{13} + 3 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 31 + \left(9 a^{25} + 6 a^{24} + 21 a^{23} + 9 a^{22} + 13 a^{21} + 21 a^{20} + 20 a^{19} + 5 a^{18} + 12 a^{17} + 14 a^{16} + 30 a^{15} + 10 a^{14} + 14 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 26 a^{9} + 7 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{26} + 25 a^{25} + 8 a^{24} + 13 a^{23} + 28 a^{22} + 22 a^{21} + 22 a^{20} + 10 a^{19} + 24 a^{18} + 30 a^{17} + 15 a^{16} + 9 a^{15} + a^{14} + 22 a^{13} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + 29 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{26} + 14 a^{25} + 27 a^{24} + 21 a^{23} + 17 a^{22} + 8 a^{21} + 15 a^{20} + 26 a^{19} + 9 a^{18} + 26 a^{17} + 11 a^{16} + 19 a^{15} + 18 a^{14} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 26 a^{10} + 9 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 25 }$ $=$ \( 30 a^{26} + 27 a^{25} + 11 a^{24} + 11 a^{23} + 30 a^{22} + 4 a^{21} + 9 a^{20} + 16 a^{19} + 30 a^{18} + 2 a^{17} + 6 a^{16} + 12 a^{15} + 2 a^{14} + 19 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 26 a^{10} + 19 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 5 + \left(9 a^{26} + 5 a^{25} + a^{24} + a^{23} + 3 a^{22} + 6 a^{21} + 5 a^{20} + 20 a^{19} + 27 a^{18} + 26 a^{17} + 27 a^{16} + 21 a^{15} + 7 a^{14} + 18 a^{13} + 25 a^{12} + 10 a^{11} + 21 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31 + \left(30 a^{25} + 16 a^{24} + 15 a^{23} + 8 a^{22} + 20 a^{21} + 23 a^{20} + a^{18} + 9 a^{16} + 11 a^{15} + 26 a^{14} + 16 a^{13} + 25 a^{12} + 26 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{25} + 8 a^{24} + 11 a^{23} + 3 a^{22} + 12 a^{21} + 3 a^{20} + 19 a^{19} + 28 a^{18} + 6 a^{17} + 4 a^{15} + 15 a^{14} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 19 a^{11} + 5 a^{9} + 22 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{26} + 29 a^{25} + 6 a^{24} + 5 a^{23} + 11 a^{22} + 12 a^{21} + 25 a^{20} + 11 a^{19} + 21 a^{18} + 10 a^{17} + 6 a^{16} + 15 a^{15} + 21 a^{14} + 12 a^{13} + 12 a^{12} + 21 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 26 }$ $=$ \( 25 a^{26} + 26 a^{25} + 23 a^{24} + 4 a^{23} + 23 a^{22} + 9 a^{21} + 22 a^{20} + 16 a^{19} + 6 a^{18} + 13 a^{17} + 11 a^{16} + 18 a^{15} + 21 a^{14} + 21 a^{13} + a^{12} + 26 a^{11} + 28 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 5 + \left(11 a^{26} + 22 a^{25} + 7 a^{24} + a^{23} + 16 a^{22} + 22 a^{21} + 22 a^{20} + 24 a^{19} + a^{18} + 12 a^{17} + 16 a^{16} + 20 a^{15} + 15 a^{13} + 20 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + 29 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31 + \left(26 a^{26} + 30 a^{25} + 30 a^{24} + 11 a^{23} + 14 a^{22} + 5 a^{21} + 24 a^{20} + 23 a^{19} + 24 a^{18} + 19 a^{17} + 21 a^{16} + 8 a^{15} + 3 a^{14} + 3 a^{13} + 26 a^{12} + 30 a^{11} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{26} + 16 a^{25} + 12 a^{23} + 29 a^{22} + 28 a^{20} + 14 a^{19} + 9 a^{18} + 20 a^{17} + 8 a^{16} + 19 a^{15} + 26 a^{14} + 7 a^{13} + 15 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{26} + 9 a^{25} + 10 a^{24} + 21 a^{23} + a^{22} + 7 a^{21} + 7 a^{20} + 26 a^{19} + 30 a^{18} + 29 a^{17} + 30 a^{16} + 23 a^{15} + 23 a^{14} + 12 a^{13} + 8 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 27 }$ $=$ \( 2 a^{26} + 18 a^{25} + 19 a^{24} + 11 a^{23} + 29 a^{22} + 13 a^{21} + 16 a^{20} + 13 a^{19} + 26 a^{18} + 18 a^{17} + 24 a^{16} + 6 a^{15} + 15 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 5 a^{11} + 13 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 5 + \left(13 a^{26} + 20 a^{25} + 29 a^{24} + 14 a^{23} + 29 a^{22} + 6 a^{21} + 29 a^{20} + 12 a^{19} + a^{18} + 22 a^{17} + 23 a^{16} + 27 a^{15} + 13 a^{14} + 7 a^{13} + 12 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 7 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31 + \left(29 a^{25} + 6 a^{24} + 28 a^{23} + 14 a^{22} + 8 a^{21} + 14 a^{20} + 19 a^{19} + 5 a^{18} + 21 a^{17} + 10 a^{16} + 18 a^{15} + 20 a^{14} + 29 a^{13} + 25 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 26 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{26} + 7 a^{25} + 14 a^{24} + 4 a^{23} + 24 a^{22} + a^{21} + 10 a^{20} + 26 a^{19} + 24 a^{18} + 10 a^{17} + 5 a^{16} + 13 a^{15} + 28 a^{14} + 30 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{26} + 20 a^{25} + 2 a^{24} + 3 a^{23} + 23 a^{22} + 3 a^{21} + 15 a^{20} + 25 a^{19} + 9 a^{18} + 12 a^{16} + 8 a^{15} + 12 a^{14} + 13 a^{13} + 13 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{4} +O(31^{5})\)  Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 27 }$

Cycle notation
$(1,7,13,19,25,4,10,16,22)(2,8,14,20,26,5,11,17,23)(3,9,15,21,27,6,12,18,24)$
$(1,18,8,7,24,14,13,3,20,19,9,26,25,15,5,4,21,11,10,27,17,16,6,23,22,12,2)$
$(1,19)(2,9)(3,8)(4,16)(5,6)(7,13)(11,27)(12,26)(14,24)(15,23)(17,21)(18,20)(22,25)$
$(1,19,10)(2,20,11)(3,21,12)(4,22,13)(5,23,14)(6,24,15)(7,25,16)(8,26,17)(9,27,18)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 27 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$27$$2$$(1,19)(2,9)(3,8)(4,16)(5,6)(7,13)(11,27)(12,26)(14,24)(15,23)(17,21)(18,20)(22,25)$$0$
$2$$3$$(1,19,10)(2,20,11)(3,21,12)(4,22,13)(5,23,14)(6,24,15)(7,25,16)(8,26,17)(9,27,18)$$-1$
$2$$9$$(1,7,13,19,25,4,10,16,22)(2,8,14,20,26,5,11,17,23)(3,9,15,21,27,6,12,18,24)$$-\zeta_{27}^{12} + \zeta_{27}^{6} - \zeta_{27}^{3}$
$2$$9$$(1,13,25,10,22,7,19,4,16)(2,14,26,11,23,8,20,5,17)(3,15,27,12,24,9,21,6,18)$$\zeta_{27}^{15} + \zeta_{27}^{12}$
$2$$9$$(1,25,22,19,16,13,10,7,4)(2,26,23,20,17,14,11,8,5)(3,27,24,21,18,15,12,9,6)$$-\zeta_{27}^{15} - \zeta_{27}^{6} + \zeta_{27}^{3}$
$2$$27$$(1,18,8,7,24,14,13,3,20,19,9,26,25,15,5,4,21,11,10,27,17,16,6,23,22,12,2)$$\zeta_{27}^{16} + \zeta_{27}^{11}$
$2$$27$$(1,8,24,13,20,9,25,5,21,10,17,6,22,2,18,7,14,3,19,26,15,4,11,27,16,23,12)$$-\zeta_{27}^{13} + \zeta_{27}^{5} - \zeta_{27}^{4}$
$2$$27$$(1,24,20,25,21,17,22,18,14,19,15,11,16,12,8,13,9,5,10,6,2,7,3,26,4,27,23)$$\zeta_{27}^{17} + \zeta_{27}^{10}$
$2$$27$$(1,14,9,4,17,12,7,20,15,10,23,18,13,26,21,16,2,24,19,5,27,22,8,3,25,11,6)$$-\zeta_{27}^{17} - \zeta_{27}^{8} + \zeta_{27}$
$2$$27$$(1,3,5,16,18,20,4,6,8,19,21,23,7,9,11,22,24,26,10,12,14,25,27,2,13,15,17)$$-\zeta_{27}^{14} - \zeta_{27}^{5} + \zeta_{27}^{4}$
$2$$27$$(1,20,21,22,14,15,16,8,9,10,2,3,4,23,24,25,17,18,19,11,12,13,5,6,7,26,27)$$-\zeta_{27}^{11} + \zeta_{27}^{7} - \zeta_{27}^{2}$
$2$$27$$(1,9,17,7,15,23,13,21,2,19,27,8,25,6,14,4,12,20,10,18,26,16,24,5,22,3,11)$$-\zeta_{27}^{16} - \zeta_{27}^{7} + \zeta_{27}^{2}$
$2$$27$$(1,26,6,13,11,18,25,23,3,10,8,15,22,20,27,7,5,12,19,17,24,4,2,9,16,14,21)$$\zeta_{27}^{14} + \zeta_{27}^{13}$
$2$$27$$(1,15,2,25,12,26,22,9,23,19,6,20,16,3,17,13,27,14,10,24,11,7,21,8,4,18,5)$$-\zeta_{27}^{10} + \zeta_{27}^{8} - \zeta_{27}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.