Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{28}$ |
| Conductor: | \(1991\)\(\medspace = 11 \cdot 181 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 28.0.84980457635217037392318371738994676821454381.1 |
| Galois orbit size: | $6$ |
| Smallest permutation container: | $D_{28}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.1991.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{14}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 14.0.685204561282471377851.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{28} - 8 x^{27} + 39 x^{26} - 147 x^{25} + 484 x^{24} - 1461 x^{23} + 4001 x^{22} - 10052 x^{21} + \cdots + 6413 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$:
\( x^{14} + x^{8} + 33x^{7} + 51x^{6} + 11x^{5} + 13x^{4} + 25x^{3} + 32x^{2} + 26x + 2 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 47 a^{13} + 10 a^{12} + 30 a^{11} + 8 a^{10} + 41 a^{9} + 13 a^{8} + 33 a^{7} + 44 a^{6} + 53 a^{5} + 47 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 40 a + 22 + \left(43 a^{13} + 35 a^{12} + 32 a^{10} + 11 a^{9} + 32 a^{8} + 55 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 54 a^{4} + 22 a^{3} + 45 a^{2} + 52 a + 50\right)\cdot 59 + \left(53 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 42 a^{10} + 58 a^{8} + 42 a^{7} + 3 a^{5} + 31 a^{4} + 33 a^{3} + 58 a^{2} + 48 a + 45\right)\cdot 59^{2} + \left(39 a^{13} + 22 a^{12} + 24 a^{11} + 34 a^{10} + 20 a^{9} + 49 a^{8} + 55 a^{7} + 11 a^{6} + 47 a^{5} + 21 a^{4} + 58 a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 59^{3} + \left(29 a^{13} + 20 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 33 a^{9} + 39 a^{8} + 36 a^{7} + 55 a^{6} + 12 a^{4} + 57 a^{3} + 20 a^{2} + 24 a + 55\right)\cdot 59^{4} + \left(25 a^{13} + 24 a^{12} + 10 a^{11} + 29 a^{10} + 35 a^{9} + 39 a^{8} + 7 a^{7} + 53 a^{6} + 56 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 59^{5} + \left(47 a^{13} + 40 a^{12} + 20 a^{11} + 34 a^{10} + 53 a^{9} + 16 a^{8} + 49 a^{7} + 43 a^{6} + 8 a^{5} + 35 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 36\right)\cdot 59^{6} + \left(42 a^{13} + 26 a^{12} + 40 a^{11} + 17 a^{10} + 33 a^{9} + 2 a^{8} + 51 a^{6} + 15 a^{5} + 51 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 59^{7} + \left(6 a^{13} + 26 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 32 a^{8} + 42 a^{7} + 51 a^{6} + 37 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 49\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{13} + 40 a^{12} + 7 a^{11} + 52 a^{10} + 28 a^{9} + 40 a^{8} + 6 a^{7} + 54 a^{6} + 49 a^{5} + 48 a^{4} + 49 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 51 a^{13} + 55 a^{12} + 25 a^{11} + 47 a^{10} + 4 a^{9} + 9 a^{8} + 48 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 46 a^{4} + 7 a^{3} + 34 a^{2} + 47 a + 30 + \left(14 a^{13} + 30 a^{12} + 4 a^{11} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 58 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 51 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 59 + \left(16 a^{13} + 23 a^{12} + 33 a^{11} + 12 a^{10} + 32 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 37 a^{6} + 45 a^{5} + 19 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 59^{2} + \left(4 a^{13} + 21 a^{12} + 2 a^{11} + 55 a^{10} + 26 a^{9} + 7 a^{8} + 32 a^{7} + a^{6} + 35 a^{5} + 10 a^{4} + 57 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 59^{3} + \left(6 a^{13} + 6 a^{12} + 58 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 16 a^{8} + 32 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 53 a^{4} + 31 a^{3} + 37 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(55 a^{13} + 28 a^{12} + 36 a^{11} + 8 a^{10} + 20 a^{9} + 41 a^{8} + 51 a^{7} + 38 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 57 a^{3} + 13 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{13} + 4 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 29 a^{9} + 33 a^{8} + 54 a^{7} + 58 a^{6} + 30 a^{5} + 39 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 59^{6} + \left(39 a^{13} + 10 a^{12} + 48 a^{11} + 36 a^{10} + 48 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 46 a^{4} + 53 a^{3} + 37 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 59^{7} + \left(33 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 46 a^{10} + 38 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 32 a^{6} + 41 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 50\right)\cdot 59^{8} + \left(43 a^{13} + 30 a^{12} + 45 a^{11} + 5 a^{10} + 3 a^{9} + 30 a^{8} + 57 a^{7} + 55 a^{6} + a^{4} + 47 a^{3} + 31 a^{2} + 49 a + 57\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 31 a^{13} + 53 a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 44 a^{6} + 33 a^{5} + 58 a^{4} + 2 a^{3} + 54 a^{2} + 42 a + 40 + \left(48 a^{13} + 35 a^{12} + 22 a^{11} + 33 a^{10} + 13 a^{9} + 19 a^{8} + 57 a^{7} + 35 a^{6} + 58 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 39 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 59 + \left(17 a^{13} + 42 a^{12} + 46 a^{11} + 3 a^{10} + 5 a^{9} + 29 a^{8} + 35 a^{7} + 54 a^{6} + 9 a^{5} + 44 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 59^{2} + \left(56 a^{13} + 32 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 56 a^{9} + 26 a^{8} + 54 a^{7} + 45 a^{6} + 42 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 54 a^{2} + 17 a + 56\right)\cdot 59^{3} + \left(33 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 20 a^{10} + 16 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 32 a^{4} + 8 a^{3} + 45 a^{2} + 47 a + 57\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{13} + 24 a^{12} + 41 a^{11} + 57 a^{10} + 19 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 34 a^{6} + 38 a^{5} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 49\right)\cdot 59^{5} + \left(24 a^{13} + 24 a^{12} + 8 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + 41 a^{8} + 2 a^{7} + 57 a^{6} + 40 a^{5} + 24 a^{4} + 48 a^{3} + 51 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 59^{6} + \left(2 a^{13} + 15 a^{12} + 41 a^{11} + 20 a^{10} + 32 a^{9} + 41 a^{8} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 32 a^{5} + 12 a^{4} + 45 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 31\right)\cdot 59^{7} + \left(51 a^{13} + 58 a^{12} + 13 a^{11} + 51 a^{10} + 44 a^{9} + 8 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 56 a + 41\right)\cdot 59^{8} + \left(54 a^{13} + 35 a^{12} + 37 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 51 a^{7} + 55 a^{6} + 14 a^{5} + 56 a^{4} + 56 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 54\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 30 a^{13} + 19 a^{12} + 52 a^{11} + 54 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 36 a^{6} + 32 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 15 + \left(35 a^{13} + 5 a^{12} + 58 a^{11} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 56 a^{8} + 39 a^{7} + 42 a^{6} + 43 a^{5} + 10 a^{4} + 52 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 49\right)\cdot 59 + \left(2 a^{13} + 35 a^{12} + 50 a^{11} + 44 a^{10} + 46 a^{8} + 41 a^{7} + 51 a^{6} + 42 a^{5} + 7 a^{4} + 31 a^{3} + 39 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 59^{2} + \left(53 a^{13} + 5 a^{12} + 30 a^{11} + 10 a^{10} + 48 a^{9} + 34 a^{8} + 53 a^{7} + 28 a^{6} + 41 a^{5} + 43 a^{4} + 47 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 41\right)\cdot 59^{3} + \left(27 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 55 a^{10} + 53 a^{9} + 16 a^{8} + 31 a^{7} + 26 a^{6} + 50 a^{5} + 57 a^{4} + 3 a^{3} + 33 a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 59^{4} + \left(29 a^{13} + 53 a^{12} + 55 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{8} + 42 a^{7} + 37 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 54 a + 35\right)\cdot 59^{5} + \left(22 a^{13} + 42 a^{12} + 29 a^{11} + 18 a^{10} + 45 a^{9} + 19 a^{8} + 39 a^{7} + 53 a^{6} + 57 a^{5} + 43 a^{4} + 52 a^{3} + 6 a^{2} + 56 a + 45\right)\cdot 59^{6} + \left(5 a^{13} + 26 a^{12} + 38 a^{11} + 2 a^{10} + 55 a^{9} + 35 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 54 a^{5} + 29 a^{4} + 33 a^{3} + 39 a^{2} + 58 a + 34\right)\cdot 59^{7} + \left(44 a^{13} + 18 a^{12} + 14 a^{11} + 49 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 46 a^{7} + 38 a^{6} + 31 a^{5} + 41 a^{4} + 30 a^{3} + 43 a^{2} + a + 27\right)\cdot 59^{8} + \left(29 a^{13} + 57 a^{12} + 51 a^{11} + 53 a^{10} + 8 a^{9} + 32 a^{8} + 49 a^{7} + 47 a^{6} + 9 a^{5} + 54 a^{4} + 41 a^{3} + 10 a^{2} + 50 a + 19\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 9 a^{13} + a^{12} + 50 a^{11} + 45 a^{10} + 24 a^{9} + 31 a^{8} + 42 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 50 a^{4} + 3 a^{3} + 31 a^{2} + 46 a + 1 + \left(57 a^{13} + 17 a^{12} + 22 a^{11} + 15 a^{10} + 57 a^{9} + 54 a^{8} + 42 a^{7} + 5 a^{6} + 45 a^{5} + 55 a^{4} + 38 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 59 + \left(10 a^{13} + 52 a^{12} + 54 a^{11} + 5 a^{10} + 58 a^{9} + 23 a^{8} + 7 a^{7} + 47 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 40 a^{3} + 53 a^{2} + 36 a + 57\right)\cdot 59^{2} + \left(54 a^{13} + 21 a^{12} + 6 a^{11} + 39 a^{10} + 58 a^{9} + 16 a^{8} + 35 a^{7} + 33 a^{6} + 24 a^{5} + 45 a^{4} + 48 a^{3} + 9 a^{2} + 14\right)\cdot 59^{3} + \left(15 a^{13} + 20 a^{12} + 38 a^{11} + 13 a^{10} + 32 a^{9} + 53 a^{8} + 39 a^{7} + 47 a^{6} + 30 a^{5} + 35 a^{4} + 38 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 59^{4} + \left(39 a^{13} + 24 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 42 a^{7} + 35 a^{6} + 50 a^{5} + 58 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 59^{5} + \left(7 a^{13} + 4 a^{12} + 15 a^{11} + 23 a^{10} + 57 a^{9} + 33 a^{8} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 37 a^{5} + 2 a^{4} + 45 a^{3} + 31 a^{2} + 54 a + 22\right)\cdot 59^{6} + \left(20 a^{13} + 13 a^{12} + 30 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 30 a^{8} + 57 a^{7} + 56 a^{6} + 21 a^{5} + 38 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 43 a + 34\right)\cdot 59^{7} + \left(37 a^{13} + 28 a^{12} + 32 a^{11} + 36 a^{10} + 51 a^{9} + 37 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 56 a^{3} + 5 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 59^{8} + \left(31 a^{13} + 6 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{10} + 22 a^{9} + 43 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 37 a^{4} + 38 a^{3} + 45 a^{2} + a + 11\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 15 a^{13} + 38 a^{12} + 13 a^{11} + 42 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 45 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 54 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 11 + \left(22 a^{13} + 10 a^{12} + 11 a^{11} + 29 a^{10} + 6 a^{8} + 47 a^{7} + 3 a^{6} + 50 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 59 + \left(14 a^{13} + 34 a^{12} + 24 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 51 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 49 a^{3} + 26 a^{2} + 45 a + 50\right)\cdot 59^{2} + \left(12 a^{13} + 27 a^{12} + 39 a^{11} + 58 a^{10} + 4 a^{8} + 42 a^{7} + 32 a^{6} + 12 a^{5} + 45 a^{4} + 33 a^{3} + 47 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(10 a^{13} + 27 a^{12} + 38 a^{11} + 51 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 55 a^{7} + 41 a^{6} + 33 a^{5} + 53 a^{4} + 58 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 44\right)\cdot 59^{4} + \left(18 a^{13} + 16 a^{12} + 34 a^{11} + 24 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 32 a^{6} + 51 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 57 a + 40\right)\cdot 59^{5} + \left(33 a^{13} + 38 a^{12} + 23 a^{11} + 56 a^{10} + 49 a^{9} + 23 a^{8} + 49 a^{7} + 32 a^{6} + 40 a^{5} + 8 a^{4} + 31 a^{2} + 32 a + 50\right)\cdot 59^{6} + \left(18 a^{13} + 26 a^{12} + 47 a^{11} + 56 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 35 a^{7} + 36 a^{6} + 31 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 56 a^{2} + 6 a + 40\right)\cdot 59^{7} + \left(58 a^{13} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 41 a^{10} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 28 a^{6} + 55 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 53 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 59^{8} + \left(24 a^{13} + 46 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{10} + 53 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 56 a^{5} + 45 a^{4} + 3 a^{3} + 50 a^{2} + 44 a + 5\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 49 a^{13} + 17 a^{12} + 45 a^{11} + 33 a^{10} + 46 a^{8} + 11 a^{7} + 34 a^{6} + 33 a^{5} + 51 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a^{2} + 40 a + 20 + \left(54 a^{13} + 49 a^{12} + 21 a^{11} + 33 a^{10} + 45 a^{9} + 40 a^{8} + 49 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 54 a^{4} + 49 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 52\right)\cdot 59 + \left(41 a^{13} + 52 a^{12} + 44 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 26 a^{7} + 53 a^{6} + 48 a^{5} + 42 a^{4} + 35 a^{3} + 39 a^{2} + 33 a + 6\right)\cdot 59^{2} + \left(8 a^{13} + 48 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 29 a^{9} + 50 a^{8} + 46 a^{7} + 37 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(17 a^{13} + 10 a^{12} + 11 a^{11} + 26 a^{10} + 43 a^{9} + 7 a^{8} + 49 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 31 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 52 a + 25\right)\cdot 59^{4} + \left(53 a^{13} + 5 a^{12} + 29 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 30 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 50 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 3\right)\cdot 59^{5} + \left(32 a^{13} + 21 a^{12} + 2 a^{11} + 29 a^{10} + 33 a^{9} + 57 a^{8} + 30 a^{7} + 33 a^{6} + 56 a^{5} + 50 a^{4} + 20 a^{3} + 37 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 59^{6} + \left(30 a^{13} + 17 a^{12} + 14 a^{11} + 45 a^{10} + 24 a^{9} + 48 a^{8} + 52 a^{7} + 52 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 55 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 59^{7} + \left(20 a^{13} + 10 a^{12} + 35 a^{11} + 33 a^{10} + 28 a^{9} + a^{8} + 54 a^{7} + 32 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 41 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 59^{8} + \left(3 a^{13} + 43 a^{12} + 10 a^{11} + 43 a^{10} + 52 a^{9} + 53 a^{8} + 43 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 39 a^{4} + 23 a^{3} + 58 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 23 a^{13} + 32 a^{12} + 49 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 37 a^{8} + 38 a^{7} + 7 a^{5} + 54 a^{4} + 31 a^{3} + 33 a^{2} + a + 34 + \left(21 a^{13} + 25 a^{12} + 8 a^{11} + 52 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 23 a^{3} + 57 a^{2} + 52 a + 43\right)\cdot 59 + \left(42 a^{13} + a^{12} + 41 a^{11} + 55 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 55 a^{5} + 31 a^{4} + 25 a^{3} + 52 a^{2} + 16 a + 56\right)\cdot 59^{2} + \left(51 a^{13} + 45 a^{12} + 52 a^{11} + 25 a^{9} + 27 a^{8} + 50 a^{7} + 45 a^{6} + 13 a^{5} + 36 a^{4} + 18 a^{3} + 40 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 59^{3} + \left(5 a^{13} + 46 a^{12} + 21 a^{11} + 30 a^{10} + 19 a^{9} + 50 a^{8} + 48 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 59^{4} + \left(12 a^{13} + 27 a^{12} + 51 a^{11} + 9 a^{10} + 49 a^{9} + 54 a^{8} + 41 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 39 a + 13\right)\cdot 59^{5} + \left(32 a^{13} + 54 a^{12} + 9 a^{11} + a^{10} + 18 a^{9} + 40 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 52 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 45\right)\cdot 59^{6} + \left(16 a^{13} + 51 a^{12} + 28 a^{11} + 34 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 49 a^{6} + 3 a^{5} + 39 a^{4} + 49 a^{3} + 15 a^{2} + 50 a + 36\right)\cdot 59^{7} + \left(36 a^{13} + 20 a^{12} + 51 a^{11} + 2 a^{10} + 36 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 49 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 59^{8} + \left(36 a^{13} + 34 a^{12} + 17 a^{11} + 4 a^{10} + 56 a^{9} + 2 a^{8} + 37 a^{7} + 33 a^{6} + 14 a^{5} + 33 a^{4} + 29 a^{3} + 43 a^{2} + 28 a + 44\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 33 a^{13} + 37 a^{12} + 51 a^{11} + 56 a^{10} + 23 a^{9} + 4 a^{8} + 37 a^{7} + 49 a^{6} + 34 a^{5} + 56 a^{4} + 9 a^{3} + 44 a^{2} + 48 a + 45 + \left(41 a^{13} + 27 a^{12} + 41 a^{11} + a^{10} + 33 a^{9} + 30 a^{8} + 38 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 59 + \left(20 a^{13} + 43 a^{12} + 21 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 48 a^{8} + 42 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 38 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 59^{2} + \left(32 a^{13} + 52 a^{12} + 43 a^{11} + 7 a^{10} + 49 a^{9} + 32 a^{8} + 40 a^{7} + 54 a^{6} + 9 a^{5} + 47 a^{4} + 5 a^{3} + 57 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{13} + 54 a^{12} + 13 a^{11} + 32 a^{10} + 14 a^{9} + 44 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 48 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 59^{4} + \left(8 a^{13} + 7 a^{12} + 33 a^{11} + 37 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 27 a^{5} + 45 a^{4} + 26 a^{3} + 47 a^{2} + 44 a + 14\right)\cdot 59^{5} + \left(6 a^{12} + 2 a^{11} + 10 a^{10} + 38 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 59^{6} + \left(45 a^{13} + 9 a^{12} + 58 a^{11} + 14 a^{10} + 54 a^{9} + 54 a^{8} + 30 a^{7} + 19 a^{6} + 39 a^{5} + 46 a^{4} + 2 a^{3} + 43 a^{2} + 3 a + 48\right)\cdot 59^{7} + \left(20 a^{13} + 25 a^{12} + 42 a^{11} + 13 a^{10} + 55 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 42 a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 49 a^{2} + 56 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(18 a^{13} + 39 a^{12} + 29 a^{11} + 2 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 38 a^{7} + 49 a^{6} + 51 a^{5} + 21 a^{4} + 37 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 3 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{10} + 48 a^{9} + 30 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{6} + 44 a^{5} + 32 a^{4} + 11 a^{3} + 31 a^{2} + 50 a + \left(21 a^{13} + 32 a^{12} + 42 a^{11} + 23 a^{10} + 25 a^{9} + 50 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{4} + 53 a^{3} + 9 a^{2} + 44 a + 43\right)\cdot 59 + \left(46 a^{13} + 58 a^{12} + 52 a^{11} + 28 a^{10} + 8 a^{9} + 37 a^{8} + 7 a^{7} + 35 a^{6} + 39 a^{5} + 53 a^{4} + 50 a^{3} + 14 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 59^{2} + \left(50 a^{13} + 23 a^{12} + 52 a^{11} + a^{10} + 47 a^{9} + a^{8} + 52 a^{7} + 52 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 38 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 59^{3} + \left(11 a^{13} + 40 a^{12} + 55 a^{11} + 53 a^{10} + 36 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 58 a^{4} + 19 a^{3} + 56 a^{2} + 27 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(47 a^{13} + 55 a^{12} + 32 a^{11} + 50 a^{10} + 36 a^{9} + 41 a^{8} + 47 a^{7} + 23 a^{6} + 52 a^{5} + 46 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 53 a + 24\right)\cdot 59^{5} + \left(47 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 37 a^{10} + 55 a^{9} + 23 a^{8} + 56 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 59^{6} + \left(16 a^{13} + 40 a^{12} + 44 a^{11} + 46 a^{10} + 17 a^{9} + 56 a^{8} + 21 a^{7} + 35 a^{6} + 35 a^{5} + 42 a^{4} + 38 a^{3} + 37 a^{2} + 9 a + 48\right)\cdot 59^{7} + \left(14 a^{13} + 7 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 41 a^{9} + 8 a^{8} + 45 a^{7} + 29 a^{6} + 33 a^{5} + 3 a^{4} + 50 a^{3} + 53 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 59^{8} + \left(17 a^{13} + 58 a^{12} + 51 a^{11} + 9 a^{9} + 30 a^{8} + 34 a^{7} + 56 a^{6} + 13 a^{5} + 39 a^{4} + 48 a^{3} + 56 a^{2} + 52 a + 51\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 10 a^{13} + 10 a^{12} + 55 a^{11} + 40 a^{10} + 29 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 50 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 40 a^{3} + 58 a^{2} + 20 a + 32 + \left(36 a^{13} + 37 a^{12} + 4 a^{11} + 50 a^{10} + 53 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 58 a^{6} + 4 a^{5} + 46 a^{4} + 57 a^{3} + 12 a^{2} + 34 a + 42\right)\cdot 59 + \left(56 a^{13} + 27 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 52 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 57 a^{3} + 48 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 59^{2} + \left(13 a^{13} + 3 a^{12} + 36 a^{11} + 53 a^{10} + 36 a^{9} + 52 a^{8} + 26 a^{7} + 17 a^{6} + 57 a^{5} + 4 a^{4} + 34 a^{3} + 43 a + 37\right)\cdot 59^{3} + \left(47 a^{11} + 38 a^{10} + 8 a^{9} + 40 a^{8} + 41 a^{7} + 18 a^{6} + 34 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 59^{4} + \left(51 a^{13} + 17 a^{12} + 51 a^{11} + 52 a^{10} + 56 a^{9} + 48 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 24 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + a + 2\right)\cdot 59^{5} + \left(2 a^{13} + 8 a^{12} + 38 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 31 a^{8} + 40 a^{7} + 34 a^{6} + 34 a^{5} + 44 a^{4} + 9 a^{3} + 45 a^{2} + 54 a + 57\right)\cdot 59^{6} + \left(20 a^{13} + 15 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 20 a^{8} + 55 a^{7} + 57 a^{6} + 49 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 59^{7} + \left(50 a^{13} + 43 a^{12} + 33 a^{11} + 50 a^{10} + 20 a^{9} + 17 a^{8} + 37 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 36 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 59^{8} + \left(5 a^{13} + 12 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 36 a^{4} + 58 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 51\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 15 a^{13} + 16 a^{12} + 36 a^{11} + 39 a^{10} + 37 a^{9} + 12 a^{8} + 15 a^{7} + 48 a^{6} + 42 a^{5} + 18 a^{4} + 41 a^{3} + 11 a^{2} + 51 a + 32 + \left(6 a^{13} + 15 a^{12} + 45 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 38 a^{8} + 40 a^{7} + 31 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 21 a^{2} + 45 a + 34\right)\cdot 59 + \left(43 a^{13} + 46 a^{12} + 28 a^{11} + 42 a^{10} + a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 47 a^{6} + 20 a^{5} + 42 a^{4} + 44 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 57\right)\cdot 59^{2} + \left(22 a^{13} + 51 a^{12} + 45 a^{11} + 38 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 47 a^{5} + 32 a^{4} + 52 a^{3} + 55 a^{2} + 47 a + 18\right)\cdot 59^{3} + \left(40 a^{13} + 36 a^{12} + 15 a^{11} + 53 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 53 a^{7} + 35 a^{6} + 41 a^{5} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 30 a^{2} + 46 a + 41\right)\cdot 59^{4} + \left(45 a^{13} + 15 a^{12} + 7 a^{11} + 34 a^{10} + 46 a^{9} + 49 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 32 a^{2} + 55 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(41 a^{13} + 48 a^{12} + 39 a^{11} + 39 a^{10} + 18 a^{9} + 26 a^{8} + 37 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 38 a^{4} + 54 a^{3} + 49 a^{2} + 44 a + 14\right)\cdot 59^{6} + \left(53 a^{13} + 39 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 43 a^{9} + 58 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 34 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 33 a^{2} + 38 a + 55\right)\cdot 59^{7} + \left(49 a^{13} + 44 a^{12} + 33 a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{9} + 32 a^{8} + 16 a^{7} + 42 a^{6} + 3 a^{5} + 44 a^{4} + 18 a^{3} + 40 a^{2} + 56 a + 33\right)\cdot 59^{8} + \left(32 a^{13} + 49 a^{12} + 57 a^{11} + 51 a^{10} + 25 a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 56\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 21 a^{13} + 18 a^{12} + 43 a^{11} + 37 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 16 a^{7} + 44 a^{6} + 3 a^{5} + 33 a^{4} + 31 a^{3} + 47 a^{2} + 4 a + 8 + \left(53 a^{13} + 39 a^{12} + 40 a^{11} + 52 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 2 a^{7} + 43 a^{6} + 25 a^{5} + 33 a^{4} + 38 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 59 + \left(58 a^{13} + 30 a^{12} + 21 a^{11} + 31 a^{10} + 45 a^{9} + 43 a^{8} + 29 a^{7} + 44 a^{6} + 43 a^{5} + 56 a^{4} + 55 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 59^{2} + \left(30 a^{13} + 2 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 36 a^{9} + 48 a^{8} + 39 a^{7} + 40 a^{6} + 42 a^{5} + 3 a^{4} + 49 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 59^{3} + \left(56 a^{13} + a^{12} + 36 a^{11} + 53 a^{10} + 55 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 47 a + 13\right)\cdot 59^{4} + \left(25 a^{13} + 54 a^{12} + 43 a^{11} + 24 a^{10} + 53 a^{9} + 30 a^{8} + 31 a^{7} + 52 a^{6} + 30 a^{5} + 18 a^{4} + 36 a^{3} + 25 a^{2} + 49 a + 36\right)\cdot 59^{5} + \left(33 a^{13} + 27 a^{12} + 56 a^{11} + 24 a^{10} + 33 a^{9} + 52 a^{8} + 33 a^{7} + 14 a^{5} + 42 a^{4} + 45 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 59^{6} + \left(10 a^{13} + 14 a^{12} + 50 a^{11} + 56 a^{10} + 50 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a\right)\cdot 59^{7} + \left(7 a^{13} + 17 a^{12} + 12 a^{11} + 47 a^{10} + 20 a^{9} + 48 a^{8} + 12 a^{7} + 32 a^{6} + 24 a^{5} + 52 a^{4} + 32 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 59^{8} + \left(58 a^{13} + 10 a^{12} + 11 a^{11} + 34 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 42 a^{7} + 54 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 5\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 50 a^{13} + 3 a^{12} + 39 a^{11} + 46 a^{10} + 52 a^{9} + 47 a^{8} + 38 a^{7} + 25 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 33 a + 47 + \left(4 a^{13} + 53 a^{12} + 2 a^{11} + 36 a^{10} + 34 a^{9} + 10 a^{8} + 39 a^{7} + 47 a^{6} + 14 a^{5} + 39 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 58\right)\cdot 59 + \left(25 a^{13} + 44 a^{12} + 9 a^{11} + 56 a^{10} + 52 a^{9} + 27 a^{8} + 41 a^{7} + 40 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 32 a + 47\right)\cdot 59^{2} + \left(45 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 53 a^{10} + 7 a^{9} + 37 a^{8} + 37 a^{7} + 47 a^{6} + 27 a^{5} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(17 a^{13} + 50 a^{12} + 18 a^{11} + 23 a^{10} + 47 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 35 a^{6} + 20 a^{5} + 58 a^{4} + 45 a^{3} + 35 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 59^{4} + \left(20 a^{13} + 48 a^{12} + 41 a^{11} + 54 a^{10} + 44 a^{9} + 23 a^{8} + 32 a^{7} + 36 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 51 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 59^{5} + \left(53 a^{13} + 33 a^{12} + 20 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 48 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 48 a^{3} + 36 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 59^{6} + \left(47 a^{13} + 36 a^{12} + 15 a^{11} + 51 a^{10} + 26 a^{9} + 31 a^{8} + 50 a^{7} + 33 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 56 a^{3} + 36 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 59^{7} + \left(45 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 39 a^{10} + 43 a^{9} + 31 a^{8} + 23 a^{7} + 50 a^{6} + 48 a^{5} + 18 a^{4} + 46 a^{3} + 35 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{13} + 51 a^{12} + 43 a^{11} + 58 a^{10} + 4 a^{9} + 51 a^{8} + 57 a^{7} + 4 a^{6} + 30 a^{5} + 52 a^{4} + 37 a^{3} + 33 a^{2} + 11 a + 51\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 8 a^{13} + 50 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 45 a^{8} + 57 a^{7} + 15 a^{6} + 57 a^{5} + 40 a^{4} + 58 a^{3} + 43 a^{2} + 10 a + 48 + \left(55 a^{13} + 52 a^{12} + 51 a^{10} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{5} + 36 a^{4} + 55 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 45\right)\cdot 59 + \left(43 a^{13} + 19 a^{12} + 10 a^{11} + 32 a^{10} + 54 a^{9} + 46 a^{8} + 43 a^{7} + 46 a^{6} + 39 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 59^{2} + \left(10 a^{13} + 7 a^{12} + 22 a^{11} + 24 a^{10} + 41 a^{9} + 17 a^{8} + 54 a^{7} + 52 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 40 a^{2} + 21 a + 54\right)\cdot 59^{3} + \left(48 a^{13} + 31 a^{12} + 13 a^{11} + 25 a^{10} + 15 a^{9} + 54 a^{8} + a^{7} + 58 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 36 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 59^{4} + \left(31 a^{13} + 46 a^{12} + 50 a^{11} + a^{10} + 26 a^{9} + 39 a^{8} + 8 a^{7} + 38 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 39 a^{3} + 54 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 59^{5} + \left(52 a^{13} + 6 a^{12} + 25 a^{11} + 9 a^{9} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 54 a^{6} + 55 a^{5} + 15 a^{4} + 53 a^{3} + 36 a^{2} + a + 37\right)\cdot 59^{6} + \left(16 a^{13} + 42 a^{12} + 9 a^{11} + 37 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 39 a^{7} + 20 a^{6} + 32 a^{5} + 26 a^{4} + 40 a^{3} + 33 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 59^{7} + \left(42 a^{13} + 6 a^{12} + 33 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 35 a^{5} + 55 a^{4} + 24 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 33\right)\cdot 59^{8} + \left(31 a^{13} + 11 a^{12} + 46 a^{11} + 36 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 51 a^{7} + 36 a^{6} + 36 a^{5} + 43 a^{4} + 58 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 56 a^{13} + 23 a^{12} + 24 a^{11} + 37 a^{10} + 46 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 52 a^{6} + 33 a^{5} + 47 a^{4} + 41 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 35 + \left(24 a^{13} + 14 a^{12} + 32 a^{11} + 29 a^{10} + 32 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 32 a^{6} + 52 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 40 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 59 + \left(54 a^{13} + 48 a^{12} + 4 a^{11} + 45 a^{10} + 37 a^{9} + 26 a^{8} + 50 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 59^{2} + \left(19 a^{13} + 39 a^{12} + 51 a^{11} + 31 a^{10} + 55 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 33 a^{5} + 21 a^{4} + 45 a^{3} + 6 a^{2} + 58 a\right)\cdot 59^{3} + \left(15 a^{13} + a^{12} + 29 a^{11} + 6 a^{10} + 48 a^{9} + 17 a^{7} + 50 a^{6} + 29 a^{5} + 39 a^{4} + 41 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 59^{4} + \left(33 a^{13} + 48 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + 4 a^{9} + 32 a^{8} + 22 a^{7} + 46 a^{6} + 49 a^{5} + 19 a^{4} + 36 a^{3} + 46 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 59^{5} + \left(35 a^{13} + a^{12} + 28 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 13 a^{8} + 39 a^{7} + 21 a^{6} + 43 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 59^{6} + \left(32 a^{13} + 26 a^{11} + 40 a^{10} + 41 a^{9} + 22 a^{8} + 35 a^{7} + 2 a^{6} + 41 a^{5} + 32 a^{4} + 53 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 38\right)\cdot 59^{7} + \left(34 a^{13} + 24 a^{12} + 17 a^{11} + 55 a^{10} + 49 a^{9} + 37 a^{8} + 22 a^{7} + 31 a^{6} + 6 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 34 a^{2} + 54 a + 19\right)\cdot 59^{8} + \left(24 a^{13} + 29 a^{12} + 56 a^{11} + 19 a^{10} + 51 a^{9} + 4 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 56 a^{5} + 54 a^{4} + 46 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 50 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 47 a^{8} + 34 a^{7} + 35 a^{6} + 18 a^{5} + 53 a^{4} + 41 a^{3} + 43 a^{2} + 7 a + 49 + \left(47 a^{13} + 37 a^{12} + 25 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{9} + 48 a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a + 39\right)\cdot 59 + \left(8 a^{13} + 53 a^{12} + 42 a^{11} + 25 a^{10} + 33 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 35 a^{3} + 32 a^{2} + 7 a + 56\right)\cdot 59^{2} + \left(40 a^{13} + 22 a^{12} + 33 a^{11} + 9 a^{10} + 48 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 55 a^{5} + 38 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 53 a + 10\right)\cdot 59^{3} + \left(47 a^{13} + 56 a^{12} + 10 a^{11} + 49 a^{10} + 12 a^{9} + 57 a^{8} + 38 a^{7} + 50 a^{6} + 58 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 49 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(17 a^{13} + 31 a^{12} + 41 a^{11} + 58 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 48 a^{6} + 58 a^{5} + 25 a^{4} + 31 a^{3} + 38 a^{2} + 33 a + 42\right)\cdot 59^{5} + \left(53 a^{13} + 31 a^{12} + 55 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 39 a^{8} + 25 a^{7} + 35 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 50 a^{3} + 49 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 59^{6} + \left(19 a^{13} + 52 a^{12} + 54 a^{11} + 41 a^{10} + 53 a^{9} + 35 a^{8} + 42 a^{7} + 29 a^{6} + 37 a^{5} + 22 a^{4} + 52 a^{3} + 56 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 59^{7} + \left(33 a^{13} + 50 a^{12} + 25 a^{11} + a^{10} + 41 a^{9} + 16 a^{8} + 49 a^{7} + 6 a^{6} + 28 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 43 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 59^{8} + \left(4 a^{13} + 11 a^{12} + 38 a^{11} + 9 a^{10} + 44 a^{9} + 43 a^{8} + 31 a^{7} + 36 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 39 a^{3} + 13 a^{2} + 54 a + 4\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 28 a^{13} + 14 a^{12} + 23 a^{11} + 38 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 31 a^{5} + 52 a^{4} + 51 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 50 + \left(53 a^{13} + 26 a^{12} + 39 a^{11} + 29 a^{10} + 52 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 58 a^{6} + 57 a^{5} + 25 a^{4} + 51 a^{3} + 49 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 59 + \left(9 a^{13} + 46 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 5 a^{9} + 45 a^{8} + 39 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 44 a^{3} + 50 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 59^{2} + \left(5 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 20 a^{10} + 22 a^{9} + 46 a^{8} + 38 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 44 a^{4} + 44 a^{3} + 41 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 59^{3} + \left(17 a^{13} + 58 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 49 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 47 a^{6} + 33 a^{5} + 58 a^{4} + a^{3} + 49 a^{2} + 18\right)\cdot 59^{4} + \left(2 a^{13} + 10 a^{12} + 18 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 37 a^{7} + 25 a^{6} + 44 a^{5} + 31 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 34\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{13} + 28 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 9 a^{6} + 47 a^{5} + 53 a^{4} + 27 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 59^{6} + \left(21 a^{13} + 6 a^{12} + 33 a^{11} + 43 a^{10} + 58 a^{9} + 56 a^{8} + 27 a^{7} + 35 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 59^{7} + \left(25 a^{13} + 34 a^{12} + 33 a^{11} + 4 a^{10} + 42 a^{9} + 24 a^{8} + 57 a^{7} + 24 a^{6} + 50 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 42 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 59^{8} + \left(23 a^{13} + 21 a^{12} + a^{11} + 45 a^{10} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 49 a^{6} + 34 a^{5} + 42 a^{4} + 35 a^{3} + 23 a^{2} + 47 a + 4\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 30 a^{13} + 21 a^{12} + 53 a^{11} + 15 a^{10} + 24 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 39 a^{4} + 55 a^{3} + 54 a^{2} + 44 a + 5 + \left(8 a^{13} + 42 a^{12} + 17 a^{11} + 36 a^{10} + 41 a^{9} + 21 a^{8} + 46 a^{7} + 50 a^{6} + 4 a^{5} + 46 a^{4} + 9 a^{3} + 54 a^{2} + 45 a + 23\right)\cdot 59 + \left(54 a^{13} + 40 a^{12} + 31 a^{11} + 54 a^{10} + 38 a^{9} + 46 a^{8} + 9 a^{7} + 39 a^{6} + 10 a^{5} + 32 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 59^{2} + \left(8 a^{13} + 24 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{9} + 45 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 34 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 50 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 46 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 31 a^{6} + 23 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 50 a^{2} + 29 a + 54\right)\cdot 59^{4} + \left(a^{13} + 11 a^{12} + 57 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 11 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 53 a^{5} + 34 a^{4} + 22 a^{3} + 53 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 59^{5} + \left(4 a^{13} + 57 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 58 a^{9} + 23 a^{8} + 31 a^{7} + 38 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 53 a^{2} + 13 a\right)\cdot 59^{6} + \left(14 a^{13} + 17 a^{12} + 43 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 29 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 43 a^{4} + 44 a^{3} + 41 a^{2} + 4 a + 40\right)\cdot 59^{7} + \left(21 a^{13} + 22 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 36 a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 33 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a + 30\right)\cdot 59^{8} + \left(9 a^{13} + 31 a^{12} + 14 a^{11} + 3 a^{10} + 23 a^{9} + 12 a^{8} + 42 a^{7} + 20 a^{6} + 57 a^{5} + 43 a^{4} + 4 a^{3} + 42 a^{2} + 58 a + 54\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 40 a^{13} + 28 a^{12} + 50 a^{11} + 42 a^{10} + 33 a^{9} + 9 a^{8} + 54 a^{7} + 33 a^{6} + 55 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 57 a + 40 + \left(8 a^{13} + 38 a^{12} + 38 a^{11} + 38 a^{10} + 40 a^{9} + 45 a^{8} + a^{7} + 36 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 54 a^{3} + 44 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 59 + \left(4 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 10 a^{10} + 51 a^{9} + 30 a^{7} + 31 a^{6} + 52 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 59^{2} + \left(4 a^{13} + 37 a^{12} + 19 a^{11} + 8 a^{10} + 51 a^{9} + 44 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 59^{3} + \left(12 a^{13} + 48 a^{12} + 11 a^{11} + 40 a^{10} + 55 a^{9} + 49 a^{8} + 30 a^{7} + 47 a^{6} + 41 a^{5} + 50 a^{4} + 33 a^{3} + 6 a^{2} + 34 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(40 a^{13} + 10 a^{12} + 17 a^{11} + 9 a^{10} + 46 a^{9} + 41 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 33 a^{5} + 46 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 5\right)\cdot 59^{5} + \left(20 a^{13} + 13 a^{12} + 28 a^{11} + 54 a^{10} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 34 a^{7} + 52 a^{6} + 55 a^{5} + 29 a^{4} + 31 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 59^{6} + \left(30 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 23 a^{10} + 48 a^{8} + 41 a^{7} + 43 a^{5} + 47 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 39 a + 37\right)\cdot 59^{7} + \left(37 a^{13} + 2 a^{12} + 46 a^{11} + 33 a^{9} + 38 a^{8} + 12 a^{7} + 43 a^{6} + 50 a^{5} + 34 a^{4} + 40 a^{3} + 2 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 59^{8} + \left(41 a^{13} + 20 a^{12} + 45 a^{11} + 13 a^{10} + 54 a^{9} + 26 a^{8} + 58 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 31 a^{4} + 48 a^{3} + 52 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 39 a^{13} + 6 a^{12} + 24 a^{10} + 32 a^{9} + 4 a^{8} + 27 a^{7} + 37 a^{6} + a^{5} + 35 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 14 + \left(44 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 45 a^{10} + 24 a^{9} + 51 a^{8} + 16 a^{7} + 49 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 50 a^{2} + 8 a + 50\right)\cdot 59 + \left(44 a^{13} + 36 a^{12} + 43 a^{11} + 54 a^{9} + 44 a^{8} + 56 a^{7} + 34 a^{6} + 24 a^{5} + 56 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 59^{2} + \left(6 a^{13} + 53 a^{12} + 48 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 7 a^{4} + 37 a^{3} + 33 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 59^{3} + \left(a^{13} + 58 a^{12} + 7 a^{11} + 5 a^{10} + 35 a^{9} + 44 a^{8} + 46 a^{7} + 35 a^{6} + 23 a^{5} + 41 a^{4} + 48 a^{3} + 40 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 59^{4} + \left(40 a^{13} + 42 a^{12} + 46 a^{11} + 20 a^{10} + 35 a^{9} + 27 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 59^{5} + \left(51 a^{13} + 44 a^{12} + 55 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{9} + 53 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 44 a^{5} + 57 a^{4} + 36 a^{3} + 52 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 59^{6} + \left(56 a^{13} + 45 a^{12} + 13 a^{11} + 47 a^{10} + 17 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 53 a^{5} + 51 a^{4} + 49 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 56\right)\cdot 59^{7} + \left(56 a^{13} + 7 a^{12} + 46 a^{11} + 38 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 33 a^{7} + 51 a^{6} + 2 a^{5} + 52 a^{4} + 57 a^{3} + 50 a^{2} + 3 a + 45\right)\cdot 59^{8} + \left(13 a^{13} + 23 a^{12} + 43 a^{11} + 31 a^{10} + 38 a^{9} + 51 a^{8} + 36 a^{7} + 33 a^{6} + 58 a^{5} + 6 a^{4} + 54 a^{3} + 13 a^{2} + 53 a + 16\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 27 a^{13} + 26 a^{12} + 37 a^{11} + 55 a^{10} + 50 a^{9} + 33 a^{8} + 55 a^{6} + 35 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 43 a^{2} + 29 a + 13 + \left(42 a^{13} + 12 a^{12} + 50 a^{11} + 19 a^{10} + 15 a^{9} + 56 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 31 a^{5} + 51 a^{4} + 32 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 59 + \left(23 a^{13} + 30 a^{12} + 3 a^{11} + 27 a^{10} + a^{9} + 17 a^{8} + 57 a^{7} + 34 a^{6} + 47 a^{5} + 33 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 59^{2} + \left(23 a^{13} + 29 a^{12} + 23 a^{11} + 48 a^{10} + 42 a^{9} + 4 a^{8} + 52 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{4} + 51 a^{3} + 53 a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(57 a^{13} + 52 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 57 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 58 a + 39\right)\cdot 59^{4} + \left(6 a^{13} + 34 a^{12} + 40 a^{11} + 50 a^{10} + 29 a^{9} + 45 a^{8} + 50 a^{7} + 57 a^{6} + 53 a^{5} + 58 a^{4} + 49 a^{3} + 35 a^{2} + 9 a + 55\right)\cdot 59^{5} + \left(52 a^{13} + 32 a^{12} + 20 a^{11} + 48 a^{10} + 27 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 46 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 36 a + 49\right)\cdot 59^{6} + \left(47 a^{13} + 17 a^{12} + 15 a^{11} + 22 a^{10} + 27 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 40 a^{5} + 54 a^{4} + 6 a^{3} + 57 a^{2} + 25 a + 37\right)\cdot 59^{7} + \left(7 a^{13} + 56 a^{12} + 4 a^{11} + 51 a^{10} + 44 a^{9} + 30 a^{8} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 43 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 59^{8} + \left(23 a^{13} + 53 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 22 a^{7} + 31 a^{6} + 53 a^{5} + 34 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 51 a + 35\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 28 a^{13} + 42 a^{12} + 28 a^{11} + 36 a^{10} + 33 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 43 a^{6} + 30 a^{5} + 57 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 47 a + 5 + \left(13 a^{13} + 23 a^{12} + 52 a^{11} + 39 a^{10} + 42 a^{9} + 53 a^{8} + 9 a^{7} + 33 a^{6} + 37 a^{5} + 46 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 42 a + 55\right)\cdot 59 + \left(12 a^{13} + 16 a^{12} + 51 a^{11} + 8 a^{10} + 50 a^{9} + 37 a^{8} + 21 a^{6} + 50 a^{5} + 50 a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 41 a + 25\right)\cdot 59^{2} + \left(11 a^{13} + 33 a^{12} + 54 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 46 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{2} + 50 a + 49\right)\cdot 59^{3} + \left(49 a^{13} + 3 a^{12} + 51 a^{11} + 50 a^{10} + 12 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 55 a^{4} + 8 a^{3} + 33 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 59^{4} + \left(8 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 25 a^{9} + 14 a^{8} + 50 a^{7} + 38 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 59^{5} + \left(11 a^{13} + 9 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 32 a^{7} + 41 a^{6} + 30 a^{5} + 27 a^{4} + 44 a^{3} + 2 a^{2} + 50 a + 1\right)\cdot 59^{6} + \left(22 a^{13} + 32 a^{12} + 40 a^{11} + 51 a^{10} + 2 a^{9} + 37 a^{8} + 44 a^{7} + 27 a^{6} + 48 a^{5} + 16 a^{4} + 41 a^{3} + 27 a^{2} + 58 a + 46\right)\cdot 59^{7} + \left(57 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 33 a^{7} + 57 a^{6} + 20 a^{5} + 37 a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 44 a + 19\right)\cdot 59^{8} + \left(19 a^{13} + 44 a^{12} + 13 a^{11} + 24 a^{10} + 30 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 55 a^{4} + 58 a^{3} + 10 a + 23\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 24 a^{13} + 10 a^{12} + 25 a^{11} + 25 a^{10} + 15 a^{9} + 34 a^{8} + 44 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 41 a^{3} + 35 a^{2} + 40 a + 47 + \left(48 a^{13} + 38 a^{12} + 39 a^{11} + 43 a^{10} + 33 a^{9} + 55 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 25 a^{5} + 40 a^{4} + 39 a^{3} + 36 a^{2} + 58 a + 22\right)\cdot 59 + \left(16 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 33 a^{10} + 12 a^{9} + 35 a^{8} + 51 a^{7} + 24 a^{6} + 33 a^{5} + 32 a^{4} + 37 a^{3} + 45 a^{2} + 25 a + 41\right)\cdot 59^{2} + \left(29 a^{13} + 50 a^{12} + 5 a^{11} + 34 a^{10} + 36 a^{9} + 13 a^{8} + 49 a^{7} + 46 a^{6} + 39 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 44 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 59^{3} + \left(12 a^{13} + 16 a^{12} + 57 a^{11} + 40 a^{10} + 20 a^{9} + 58 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 33 a^{5} + 44 a^{4} + 39 a^{3} + 19 a^{2} + 54 a + 5\right)\cdot 59^{4} + \left(54 a^{13} + 24 a^{12} + 18 a^{11} + 51 a^{10} + 16 a^{9} + 56 a^{8} + 26 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 53 a^{3} + 42 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 59^{5} + \left(5 a^{13} + 39 a^{12} + 57 a^{11} + 3 a^{10} + 39 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 59^{6} + \left(9 a^{13} + 39 a^{12} + 52 a^{11} + 22 a^{10} + 41 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 46 a^{6} + 24 a^{5} + 57 a^{4} + 34 a^{3} + 32 a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 59^{7} + \left(43 a^{13} + 11 a^{12} + 10 a^{11} + 30 a^{10} + 38 a^{9} + 58 a^{8} + 41 a^{7} + 57 a^{5} + 57 a^{4} + 51 a^{3} + 31 a^{2} + 23 a + 51\right)\cdot 59^{8} + \left(15 a^{13} + 25 a^{12} + 3 a^{11} + 19 a^{10} + 55 a^{9} + 8 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 47 a^{2} + 56 a + 22\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 33 a^{13} + 8 a^{12} + 46 a^{11} + 47 a^{10} + 37 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 39 a^{6} + 47 a^{5} + 54 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 45 a + 38 + \left(10 a^{13} + 3 a^{12} + 35 a^{11} + 31 a^{10} + 5 a^{9} + 23 a^{8} + 35 a^{7} + 44 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 44 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 59 + \left(36 a^{13} + 46 a^{12} + 39 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 53 a^{8} + 28 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 55 a^{3} + 54 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 59^{2} + \left(47 a^{13} + 37 a^{12} + 51 a^{11} + 47 a^{10} + 3 a^{9} + 42 a^{8} + 49 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 47\right)\cdot 59^{3} + \left(56 a^{13} + 12 a^{12} + 6 a^{11} + 43 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 42 a^{7} + 52 a^{6} + 37 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 9 a^{2} + 43 a + 50\right)\cdot 59^{4} + \left(19 a^{13} + 51 a^{12} + 33 a^{11} + 55 a^{10} + 12 a^{9} + 43 a^{8} + 37 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 39 a^{4} + 4 a^{3} + 50 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 59^{5} + \left(22 a^{13} + 23 a^{12} + 39 a^{11} + 54 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 47 a^{7} + 28 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 35 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 59^{6} + \left(49 a^{13} + 29 a^{12} + 57 a^{11} + 44 a^{10} + 36 a^{9} + 52 a^{8} + 35 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 51 a^{4} + 40 a^{3} + 50 a^{2} + 2 a + 45\right)\cdot 59^{7} + \left(3 a^{13} + 2 a^{12} + 44 a^{11} + 41 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 45 a^{4} + 10 a^{3} + 34 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 59^{8} + \left(12 a^{13} + 44 a^{12} + 24 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{9} + 49 a^{8} + 44 a^{7} + 56 a^{6} + 43 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 36 a + 4\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 13 a^{13} + 35 a^{12} + 7 a^{11} + 33 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 56 a^{7} + 53 a^{6} + 27 a^{5} + 50 a^{4} + 34 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 9 + \left(39 a^{13} + 15 a^{12} + 34 a^{11} + 6 a^{10} + 37 a^{9} + 30 a^{8} + 7 a^{7} + 56 a^{6} + 55 a^{5} + 51 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 54 a + 3\right)\cdot 59 + \left(55 a^{13} + 10 a^{12} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 40 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 37 a^{5} + 40 a^{4} + 38 a^{3} + 32 a^{2} + 16 a + 57\right)\cdot 59^{2} + \left(26 a^{13} + 39 a^{12} + 32 a^{11} + 4 a^{10} + 34 a^{9} + 44 a^{8} + 40 a^{7} + 54 a^{6} + 42 a^{5} + 48 a^{4} + 33 a^{3} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 59^{3} + \left(11 a^{13} + 23 a^{12} + 24 a^{11} + 54 a^{10} + 22 a^{9} + 49 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 33 a^{5} + 46 a^{4} + 36 a^{3} + 39 a^{2} + 12 a + 52\right)\cdot 59^{4} + \left(37 a^{13} + 13 a^{12} + 6 a^{11} + 3 a^{10} + 16 a^{9} + 35 a^{8} + 55 a^{7} + 43 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 43 a + 42\right)\cdot 59^{5} + \left(41 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + a^{9} + 31 a^{8} + 40 a^{7} + 13 a^{6} + 34 a^{5} + 21 a^{4} + 48 a^{3} + 40 a^{2} + 54\right)\cdot 59^{6} + \left(24 a^{13} + 34 a^{12} + 27 a^{11} + 52 a^{10} + 16 a^{9} + 49 a^{8} + 6 a^{7} + 48 a^{6} + 27 a^{5} + 57 a^{4} + 58 a^{3} + 37 a^{2} + 31 a + 57\right)\cdot 59^{7} + \left(34 a^{13} + 28 a^{12} + 37 a^{11} + 9 a^{10} + 32 a^{9} + 3 a^{8} + 39 a^{7} + 5 a^{6} + 51 a^{5} + 51 a^{4} + 42 a^{3} + 21 a^{2} + 54 a + 14\right)\cdot 59^{8} + \left(14 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 44 a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 33 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 27 a^{13} + 55 a^{12} + 56 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 55 a^{8} + 9 a^{7} + 31 a^{6} + 15 a^{5} + 49 a^{4} + 47 a^{3} + 16 a^{2} + 38 a + 42 + \left(39 a^{13} + 30 a^{12} + 43 a^{11} + 52 a^{10} + 31 a^{9} + 40 a^{8} + 24 a^{7} + 33 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 43 a^{2} + 42 a + 52\right)\cdot 59 + \left(7 a^{13} + 12 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 38 a^{9} + 38 a^{8} + 56 a^{7} + 12 a^{6} + 39 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 42 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 59^{2} + \left(49 a^{13} + 58 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 21 a^{7} + 45 a^{6} + 4 a^{5} + 47 a^{4} + 3 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{13} + 43 a^{12} + 39 a^{11} + 18 a^{10} + 36 a^{9} + 19 a^{8} + 42 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 36 a^{4} + 45 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 54\right)\cdot 59^{4} + \left(35 a^{13} + 44 a^{12} + 22 a^{11} + 51 a^{10} + 35 a^{9} + 51 a^{8} + 22 a^{7} + 21 a^{6} + 41 a^{5} + 14 a^{4} + 57 a^{3} + 52 a^{2} + 56\right)\cdot 59^{5} + \left(17 a^{13} + 42 a^{12} + 41 a^{11} + 48 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 43 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 50\right)\cdot 59^{6} + \left(34 a^{13} + 4 a^{12} + 21 a^{11} + 55 a^{10} + 45 a^{9} + 29 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 40 a^{5} + 5 a^{4} + 57 a^{3} + 41 a^{2} + 44 a + 58\right)\cdot 59^{7} + \left(51 a^{13} + 27 a^{12} + 48 a^{11} + 12 a^{10} + 45 a^{9} + 46 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 43 a + 26\right)\cdot 59^{8} + \left(a^{13} + 43 a^{12} + 5 a^{11} + 45 a^{10} + 6 a^{9} + 31 a^{8} + 40 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 49 a^{3} + 42 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 36 a^{13} + 3 a^{12} + 50 a^{11} + 3 a^{10} + 19 a^{9} + 49 a^{8} + 57 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 43 + \left(45 a^{13} + 52 a^{12} + 26 a^{11} + 8 a^{10} + 39 a^{9} + 56 a^{8} + 54 a^{7} + 26 a^{6} + 41 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 54 a + 15\right)\cdot 59 + \left(2 a^{13} + 43 a^{12} + 47 a^{11} + 24 a^{10} + 57 a^{9} + 22 a^{8} + 39 a^{7} + 46 a^{6} + 4 a^{5} + 40 a^{4} + 55 a^{3} + 37 a^{2} + 3 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(7 a^{13} + 4 a^{12} + 45 a^{11} + 42 a^{10} + 54 a^{9} + 23 a^{8} + 45 a^{7} + 13 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 51 a + 10\right)\cdot 59^{3} + \left(38 a^{13} + 52 a^{12} + 51 a^{11} + 58 a^{10} + 36 a^{9} + 45 a^{8} + 18 a^{7} + 56 a^{6} + 54 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 49 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{13} + 23 a^{12} + 23 a^{11} + 46 a^{10} + 28 a^{9} + 30 a^{8} + 4 a^{7} + 50 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 41 a^{2} + 33 a + 48\right)\cdot 59^{5} + \left(16 a^{13} + 31 a^{12} + 54 a^{11} + 28 a^{10} + 28 a^{9} + 52 a^{8} + 23 a^{7} + 58 a^{6} + 42 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 40 a^{2} + 43 a\right)\cdot 59^{6} + \left(18 a^{13} + 39 a^{12} + 52 a^{11} + 33 a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 36 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 43 a^{4} + 42 a^{3} + 55 a^{2} + 30 a + 51\right)\cdot 59^{7} + \left(18 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 46 a^{10} + 20 a^{9} + 30 a^{8} + 38 a^{7} + 51 a^{6} + 10 a^{5} + 56 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 59^{8} + \left(4 a^{13} + 15 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 50 a^{7} + 35 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 34 a^{2} + 6 a + 48\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 28 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 28 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,27)(2,16)(3,5)(4,7)(6,22)(8,15)(9,13)(10,21)(11,18)(12,24)(14,25)(17,20)(19,28)(23,26)$ | $-2$ |
| $14$ | $2$ | $(1,15)(2,23)(3,22)(4,25)(5,6)(7,14)(8,27)(9,10)(11,24)(12,18)(13,21)(16,26)(19,28)$ | $0$ |
| $14$ | $2$ | $(1,10)(2,6)(3,23)(4,11)(5,26)(7,18)(8,9)(12,25)(13,15)(14,24)(16,22)(17,19)(20,28)(21,27)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,9,27,13)(2,5,16,3)(4,24,7,12)(6,23,22,26)(8,10,15,21)(11,25,18,14)(17,28,20,19)$ | $0$ |
| $2$ | $7$ | $(1,6,17,5,15,24,11)(2,10,4,14,13,26,19)(3,8,12,18,27,22,20)(7,25,9,23,28,16,21)$ | $\zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6}$ |
| $2$ | $7$ | $(1,5,11,17,24,6,15)(2,14,19,4,26,10,13)(3,18,20,12,22,8,27)(7,23,21,9,16,25,28)$ | $-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{4}$ |
| $2$ | $7$ | $(1,24,5,6,11,15,17)(2,26,14,10,19,13,4)(3,22,18,8,20,27,12)(7,16,23,25,21,28,9)$ | $\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6} - \zeta_{28}^{4} - 1$ |
| $2$ | $14$ | $(1,8,6,12,17,18,5,27,15,22,24,20,11,3)(2,9,10,23,4,28,14,16,13,21,26,7,19,25)$ | $\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{4}$ |
| $2$ | $14$ | $(1,12,5,22,11,8,17,27,24,3,6,18,15,20)(2,23,14,21,19,9,4,16,26,25,10,28,13,7)$ | $-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6} + \zeta_{28}^{4} + 1$ |
| $2$ | $14$ | $(1,18,24,8,5,20,6,27,11,12,15,3,17,22)(2,28,26,9,14,7,10,16,19,23,13,25,4,21)$ | $-\zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,10,22,7,17,14,3,9,15,26,12,28,11,2,27,21,6,4,20,25,5,13,8,23,24,19,18,16)$ | $-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{3}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,7,3,26,11,21,20,13,24,16,22,14,15,28,27,4,5,23,18,10,17,9,12,2,6,25,8,19)$ | $\zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{5}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,14,12,21,5,19,22,9,11,4,8,16,17,26,27,25,24,10,3,28,6,13,18,7,15,2,20,23)$ | $\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{7} - \zeta_{28}^{5} + \zeta_{28}^{3} - 2 \zeta_{28}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,26,20,16,15,4,18,9,6,19,3,21,24,14,27,23,17,2,8,7,11,13,22,28,5,10,12,25)$ | $-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{7} + \zeta_{28}^{5} - \zeta_{28}^{3} + 2 \zeta_{28}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,28,8,14,6,16,12,13,17,21,18,26,5,7,27,19,15,25,22,2,24,9,20,10,11,23,3,4)$ | $-\zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{5}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,2,18,28,24,26,8,9,5,14,20,7,6,10,27,16,11,19,12,23,15,13,3,25,17,4,22,21)$ | $\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{3}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.