Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | 24T576 |
Conductor: | \(1948\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 487 \) |
Artin stem field: | Galois closure of 24.4.49177850545349555386638457176064.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | 120 |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.487.2t1.a.a |
Projective image: | $A_5$ |
Projective stem field: | Galois closure of 5.1.948676.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{24} - 5 x^{23} + x^{22} + 40 x^{21} - 89 x^{20} + 10 x^{19} + 240 x^{18} - 427 x^{17} + 266 x^{16} + \cdots - 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$: \( x^{10} + x^{6} + x^{4} + 27x^{3} + 15x^{2} + 29x + 2 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 29 a^{9} + 50 a^{8} + 51 a^{7} + 22 a^{6} + 42 a^{5} + 51 a^{4} + 6 a^{3} + 31 a^{2} + 38 a + 26 + \left(49 a^{9} + 26 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 46 a^{3} + 28 a^{2} + 37 a + 52\right)\cdot 53 + \left(2 a^{9} + 35 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 46 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 53^{2} + \left(28 a^{9} + 45 a^{8} + 21 a^{7} + 42 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 33 a^{3} + 17 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 53^{3} + \left(40 a^{9} + 12 a^{8} + 41 a^{7} + 4 a^{6} + 37 a^{4} + 33 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 32\right)\cdot 53^{4} + \left(25 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + 38 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 53^{5} + \left(13 a^{9} + 35 a^{8} + 49 a^{7} + 13 a^{6} + 44 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 52 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 53^{6} + \left(25 a^{9} + 20 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 51 a^{2} + 48 a + 27\right)\cdot 53^{7} + \left(27 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 52 a^{6} + 18 a^{5} + 42 a^{4} + 47 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 53^{8} + \left(6 a^{9} + 38 a^{8} + 45 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 33 a^{4} + 44 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( 24 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 31 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 47 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + \left(3 a^{9} + 26 a^{8} + 45 a^{7} + 43 a^{6} + 23 a^{5} + 43 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 53 + \left(50 a^{9} + 17 a^{8} + 40 a^{7} + 32 a^{6} + 6 a^{5} + 45 a^{4} + 41 a^{3} + 36 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 53^{2} + \left(24 a^{9} + 7 a^{8} + 31 a^{7} + 10 a^{6} + 41 a^{5} + 49 a^{4} + 19 a^{3} + 35 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 53^{3} + \left(12 a^{9} + 40 a^{8} + 11 a^{7} + 48 a^{6} + 52 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 53^{4} + \left(27 a^{9} + 32 a^{8} + 33 a^{7} + 44 a^{6} + 36 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 53^{5} + \left(39 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 39 a^{6} + 8 a^{5} + 30 a^{4} + 51 a^{3} + 30 a + 41\right)\cdot 53^{6} + \left(27 a^{9} + 32 a^{8} + 50 a^{7} + 40 a^{6} + 35 a^{5} + 48 a^{4} + 25 a^{3} + a^{2} + 4 a + 40\right)\cdot 53^{7} + \left(25 a^{9} + 48 a^{8} + 33 a^{7} + 34 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 41 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 53^{8} + \left(46 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 44 a^{6} + 31 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 41 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 31 a^{9} + 37 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 32 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 31 + \left(18 a^{9} + 35 a^{8} + 41 a^{7} + 29 a^{6} + 10 a^{5} + 34 a^{4} + 2 a^{3} + 49 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 53 + \left(15 a^{9} + 17 a^{8} + 43 a^{7} + 32 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 53^{2} + \left(22 a^{9} + 5 a^{8} + 38 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 48 a + 7\right)\cdot 53^{3} + \left(7 a^{9} + 41 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 53^{4} + \left(25 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 52 a^{6} + 44 a^{5} + 25 a^{4} + 45 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 53^{5} + \left(8 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 44 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 36 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 53^{6} + \left(43 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 21 a^{5} + 47 a^{4} + 34 a^{3} + 38 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 53^{7} + \left(50 a^{9} + 47 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 42 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 53^{8} + \left(13 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 52 a^{6} + 45 a^{5} + 49 a^{4} + 13 a^{3} + 36 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( 22 a^{9} + 16 a^{8} + 46 a^{7} + 24 a^{6} + 41 a^{5} + 46 a^{4} + 21 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 16 + \left(34 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{7} + 23 a^{6} + 42 a^{5} + 18 a^{4} + 50 a^{3} + 3 a^{2} + 38 a + 22\right)\cdot 53 + \left(37 a^{9} + 35 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 34 a^{4} + 38 a^{3} + 41 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 53^{2} + \left(30 a^{9} + 47 a^{8} + 14 a^{7} + 40 a^{6} + 22 a^{5} + 34 a^{4} + 23 a^{3} + 52 a^{2} + 4 a\right)\cdot 53^{3} + \left(45 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 37 a^{6} + 35 a^{5} + 42 a^{4} + 45 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 53^{4} + \left(27 a^{9} + 38 a^{8} + 42 a^{7} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 53^{5} + \left(44 a^{9} + 27 a^{8} + 41 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 32 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a\right)\cdot 53^{6} + \left(9 a^{9} + 39 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{6} + 31 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 46 a + 35\right)\cdot 53^{7} + \left(2 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 51 a^{6} + 10 a^{5} + 38 a^{4} + 50 a^{3} + 21 a^{2} + 45 a + 15\right)\cdot 53^{8} + \left(39 a^{9} + 45 a^{8} + 37 a^{7} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 39 a^{3} + 16 a^{2} + 39 a + 37\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 21 a^{9} + 28 a^{8} + 10 a^{7} + 35 a^{6} + 47 a^{5} + 30 a^{4} + 43 a^{3} + 12 a^{2} + 38 a + 16 + \left(41 a^{9} + 32 a^{8} + 37 a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 42 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 53 + \left(4 a^{9} + 46 a^{8} + 5 a^{7} + 48 a^{6} + 42 a^{5} + 38 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 53^{2} + \left(51 a^{9} + 48 a^{8} + 6 a^{7} + 49 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 43 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 53^{3} + \left(51 a^{9} + 48 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 45 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 53^{4} + \left(8 a^{9} + 43 a^{8} + 38 a^{7} + 43 a^{6} + 24 a^{5} + 42 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 53^{5} + \left(51 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 52 a^{6} + 51 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 53^{6} + \left(18 a^{9} + 50 a^{8} + 8 a^{7} + 45 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 51 a^{3} + 46 a^{2} + 40 a + 50\right)\cdot 53^{7} + \left(49 a^{9} + 40 a^{8} + 14 a^{7} + 38 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 45 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 53^{8} + \left(a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 40 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 34 a^{3} + 41 a^{2} + 44 a + 36\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 21 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 46 a^{6} + 46 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 32 a^{2} + 43 a + 31 + \left(28 a^{9} + 47 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 47\right)\cdot 53 + \left(20 a^{9} + 42 a^{8} + 22 a^{7} + 31 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 39 a^{2} + 40 a + 20\right)\cdot 53^{2} + \left(8 a^{9} + 11 a^{8} + 41 a^{7} + 3 a^{6} + 41 a^{5} + 27 a^{4} + 44 a^{3} + 49 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 53^{3} + \left(13 a^{9} + 29 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 35 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 53^{4} + \left(23 a^{9} + 24 a^{8} + 43 a^{7} + 44 a^{6} + 29 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 49\right)\cdot 53^{5} + \left(34 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 24 a^{4} + 33 a^{3} + 33 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 53^{6} + \left(18 a^{9} + 51 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 36 a^{4} + 49 a^{3} + 27 a^{2} + 39 a + 48\right)\cdot 53^{7} + \left(40 a^{9} + 8 a^{8} + 51 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 42 a^{4} + 39 a^{3} + a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 53^{8} + \left(50 a^{9} + 26 a^{8} + 33 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 49 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 9 a^{8} + 41 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 51 a^{4} + 26 a^{3} + 38 a^{2} + 28 a + 44 + \left(50 a^{9} + 48 a^{8} + 4 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 52 a^{3} + 5 a^{2} + 33 a + 17\right)\cdot 53 + \left(48 a^{9} + 20 a^{8} + 39 a^{7} + 31 a^{6} + 25 a^{5} + 10 a^{4} + 28 a^{3} + 52 a^{2} + 15 a + 46\right)\cdot 53^{2} + \left(36 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 46 a^{6} + 30 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 53^{3} + \left(48 a^{9} + 25 a^{8} + 43 a^{7} + 7 a^{6} + 30 a^{5} + 34 a^{4} + 51 a^{3} + 33 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 53^{4} + \left(33 a^{9} + 29 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 46 a^{5} + 16 a^{4} + 45 a^{3} + 14 a^{2} + 33 a\right)\cdot 53^{5} + \left(28 a^{9} + 16 a^{8} + 44 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 48 a^{4} + 51 a^{3} + 39 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 53^{6} + \left(42 a^{9} + 31 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 36 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 34 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 53^{7} + \left(4 a^{9} + 9 a^{8} + 23 a^{7} + 46 a^{6} + 45 a^{5} + 47 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 53^{8} + \left(9 a^{9} + a^{8} + 38 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 49 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 33 a^{6} + 30 a^{5} + 25 a^{4} + 35 a^{3} + 28 a^{2} + 32 a + 13 + \left(7 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 31 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 33\right)\cdot 53 + \left(13 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 39 a^{2} + 18 a + 31\right)\cdot 53^{2} + \left(36 a^{9} + 48 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 36 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 53^{3} + \left(3 a^{9} + 47 a^{8} + 18 a^{7} + 38 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 35 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 44\right)\cdot 53^{4} + \left(3 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 34 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 53^{5} + \left(46 a^{9} + 22 a^{8} + 15 a^{7} + 51 a^{6} + 45 a^{5} + 7 a^{4} + 48 a^{3} + 51 a^{2} + 13 a + 46\right)\cdot 53^{6} + \left(21 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 9 a^{6} + 37 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 39 a + 46\right)\cdot 53^{7} + \left(9 a^{9} + 11 a^{8} + 46 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 34 a^{2} + 43 a + 24\right)\cdot 53^{8} + \left(21 a^{9} + 25 a^{8} + 38 a^{7} + 43 a^{6} + 46 a^{5} + 36 a^{4} + 40 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 4 a^{9} + 24 a^{8} + 52 a^{7} + 45 a^{6} + 40 a^{5} + 30 a^{4} + 50 a^{3} + 51 a + 44 + \left(27 a^{9} + 5 a^{8} + 41 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 31 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 53 + \left(18 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + 52 a^{6} + 5 a^{5} + 43 a^{4} + 34 a^{3} + 39 a^{2} + 4 a + 49\right)\cdot 53^{2} + \left(9 a^{9} + 13 a^{8} + 49 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{3} + 45 a^{2} + a + 18\right)\cdot 53^{3} + \left(44 a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 39 a^{3} + 26 a^{2} + 38 a + 16\right)\cdot 53^{4} + \left(24 a^{9} + 13 a^{8} + 48 a^{7} + 25 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + a + 28\right)\cdot 53^{5} + \left(30 a^{9} + 46 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 33 a^{4} + 31 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 53^{6} + \left(48 a^{9} + 16 a^{8} + 37 a^{7} + 46 a^{6} + 37 a^{5} + 39 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2}\right)\cdot 53^{7} + \left(a^{9} + 8 a^{8} + 2 a^{7} + 32 a^{6} + 41 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 46\right)\cdot 53^{8} + \left(27 a^{9} + 30 a^{8} + 33 a^{7} + 17 a^{6} + 38 a^{5} + 11 a^{4} + 31 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( 23 a^{9} + 31 a^{8} + 20 a^{7} + 52 a^{6} + 44 a^{5} + 29 a^{4} + 41 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 5 + \left(38 a^{9} + 32 a^{8} + 48 a^{7} + 38 a^{6} + 5 a^{5} + 52 a^{4} + 44 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 53 + \left(27 a^{9} + 18 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 36 a^{5} + 35 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 48 a + 16\right)\cdot 53^{2} + \left(19 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 35 a^{4} + 49 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 53^{3} + \left(12 a^{9} + 52 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + 30 a^{5} + 37 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a + 50\right)\cdot 53^{4} + \left(2 a^{8} + 45 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 35 a^{4} + 50 a^{3} + 15 a^{2} + 32 a + 9\right)\cdot 53^{5} + \left(5 a^{9} + 48 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 50 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 34 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 53^{6} + \left(24 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 36 a^{4} + 8 a^{2} + 47 a + 28\right)\cdot 53^{7} + \left(22 a^{9} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 45 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 53^{8} + \left(6 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 37 a^{4} + 36 a^{3} + 10 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 43 a^{9} + 21 a^{8} + 48 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 30 a^{2} + 39 a + 10 + \left(45 a^{9} + 50 a^{8} + 3 a^{7} + 51 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 52 a^{3} + 22 a + 44\right)\cdot 53 + \left(3 a^{9} + 10 a^{8} + 52 a^{7} + 44 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 33 a^{3} + 15 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 53^{2} + \left(34 a^{9} + 40 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 35 a^{5} + 39 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 53^{3} + \left(32 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 8 a^{5} + 48 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 49 a + 45\right)\cdot 53^{4} + \left(43 a^{9} + 34 a^{8} + 43 a^{7} + 28 a^{6} + 52 a^{5} + 51 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 53^{5} + \left(28 a^{9} + 49 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 48 a^{5} + 36 a^{4} + 43 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 53^{6} + \left(52 a^{9} + 37 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 40 a^{5} + 15 a^{4} + 44 a^{3} + 32 a^{2} + 42 a + 38\right)\cdot 53^{7} + \left(4 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 41 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 53^{8} + \left(13 a^{9} + 39 a^{8} + 38 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 46 a^{3} + 19 a^{2} + 41 a + 47\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 35 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 34 a^{5} + 30 a^{4} + a^{3} + 46 a^{2} + 18 a + 38 + \left(43 a^{9} + 37 a^{8} + 7 a^{7} + 35 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 44 a + 30\right)\cdot 53 + \left(15 a^{9} + 20 a^{8} + 46 a^{7} + 18 a^{6} + 47 a^{5} + 48 a^{4} + 36 a^{3} + 41 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 53^{2} + \left(31 a^{9} + 9 a^{8} + 39 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 53^{3} + \left(23 a^{9} + 18 a^{8} + 11 a^{7} + 42 a^{6} + 41 a^{5} + 29 a^{4} + 39 a^{3} + 6 a^{2} + 40\right)\cdot 53^{4} + \left(3 a^{9} + 40 a^{8} + 45 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 50 a + 28\right)\cdot 53^{5} + \left(12 a^{9} + 34 a^{8} + 48 a^{6} + 7 a^{5} + 51 a^{4} + 51 a^{3} + 13 a^{2} + 50 a + 23\right)\cdot 53^{6} + \left(6 a^{9} + 4 a^{8} + 34 a^{7} + 42 a^{6} + 42 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 49 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 53^{7} + \left(5 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 51 a^{6} + 36 a^{5} + 41 a^{4} + 34 a^{3} + 50 a^{2} + 49 a + 46\right)\cdot 53^{8} + \left(23 a^{9} + 8 a^{8} + 45 a^{7} + 11 a^{6} + 43 a^{5} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( 28 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 43 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 52 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 10 + \left(47 a^{8} + 27 a^{7} + 36 a^{6} + 50 a^{5} + 26 a^{4} + 32 a^{3} + 5 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 53 + \left(18 a^{9} + 52 a^{8} + 30 a^{7} + 40 a^{6} + 4 a^{5} + 44 a^{4} + 48 a^{3} + 7 a^{2} + 38 a + 23\right)\cdot 53^{2} + \left(13 a^{9} + 8 a^{7} + 35 a^{6} + 51 a^{5} + 14 a^{4} + 45 a^{3} + 6 a^{2} + 42 a + 44\right)\cdot 53^{3} + \left(37 a^{9} + 52 a^{8} + 31 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 37 a^{3} + 19 a^{2} + 46 a + 19\right)\cdot 53^{4} + \left(48 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 46 a^{6} + 28 a^{5} + 38 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 53^{5} + \left(4 a^{9} + 7 a^{8} + 49 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 39 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 39\right)\cdot 53^{6} + \left(36 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 45 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 53^{7} + \left(40 a^{9} + 25 a^{8} + 38 a^{7} + 27 a^{6} + 51 a^{5} + 49 a^{4} + 51 a^{3} + 47 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 53^{8} + \left(4 a^{9} + 50 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + a + 20\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 14 }$ | $=$ | \( 10 a^{9} + 19 a^{8} + 52 a^{7} + 50 a^{6} + 17 a^{5} + 31 a^{4} + 14 a^{3} + 33 a^{2} + 41 a + 9 + \left(4 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 39 a^{6} + 41 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 53 + \left(20 a^{9} + 33 a^{8} + 14 a^{7} + 43 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 50 a^{3} + 40 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 53^{2} + \left(40 a^{9} + 47 a^{8} + 24 a^{7} + 38 a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 53^{3} + \left(7 a^{9} + 43 a^{8} + 20 a^{7} + 31 a^{6} + 10 a^{5} + 34 a^{4} + 52 a^{3} + 47 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 53^{4} + \left(a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 34 a + 8\right)\cdot 53^{5} + \left(41 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 44 a^{6} + 29 a^{5} + 47 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 53^{6} + \left(34 a^{9} + 39 a^{8} + 52 a^{7} + 26 a^{6} + 38 a^{5} + 35 a^{4} + 2 a^{3} + 49 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 53^{7} + \left(34 a^{9} + 19 a^{8} + 47 a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 49 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 53^{8} + \left(14 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 42 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 15 }$ | $=$ | \( 40 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 48 a^{6} + 37 a^{5} + 41 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 49 a + 41 + \left(44 a^{9} + 23 a^{8} + 23 a^{7} + 47 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 46 a + 16\right)\cdot 53 + \left(52 a^{9} + 31 a^{8} + 47 a^{7} + 20 a^{6} + 41 a^{5} + 51 a^{4} + 32 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 35\right)\cdot 53^{2} + \left(44 a^{9} + 13 a^{8} + 36 a^{7} + 4 a^{6} + 38 a^{5} + 32 a^{4} + 52 a^{3} + 30 a^{2} + 43 a + 24\right)\cdot 53^{3} + \left(26 a^{9} + 20 a^{8} + 45 a^{7} + 9 a^{6} + 32 a^{5} + 41 a^{4} + 34 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 53^{4} + \left(39 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 41 a^{6} + 36 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 33 a + 12\right)\cdot 53^{5} + \left(10 a^{9} + 31 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 37 a^{3} + 46 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 53^{6} + \left(15 a^{9} + 35 a^{8} + 49 a^{7} + 22 a^{6} + 50 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 13 a\right)\cdot 53^{7} + \left(38 a^{9} + 43 a^{8} + 5 a^{7} + 49 a^{6} + 20 a^{5} + 32 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 53^{8} + \left(43 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 43 a^{3} + 5 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 16 }$ | $=$ | \( 36 a^{9} + 2 a^{8} + 47 a^{7} + 15 a^{6} + 35 a^{5} + 41 a^{4} + 51 a^{3} + 17 a^{2} + 26 a + 45 + \left(42 a^{9} + 17 a^{8} + 48 a^{7} + 3 a^{6} + 49 a^{5} + 50 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 48 a + 6\right)\cdot 53 + \left(38 a^{9} + 2 a^{8} + 50 a^{7} + 26 a^{6} + 46 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 53^{2} + \left(30 a^{9} + 30 a^{8} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 52 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 53^{3} + \left(a^{9} + 36 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 31 a^{5} + 45 a^{4} + 47 a^{3} + 36 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 53^{4} + \left(3 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 38 a^{6} + 3 a^{5} + 38 a^{4} + 49 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 53^{5} + \left(38 a^{9} + 39 a^{8} + 44 a^{7} + 43 a^{6} + 41 a^{5} + 12 a^{4} + 36 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 39\right)\cdot 53^{6} + \left(40 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + 37 a^{3} + 42 a^{2} + 16 a + 38\right)\cdot 53^{7} + \left(31 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 45 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 53^{8} + \left(46 a^{9} + 45 a^{8} + 39 a^{7} + 35 a^{6} + 33 a^{5} + 16 a^{4} + 40 a^{3} + 23 a^{2} + 47 a + 51\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 17 }$ | $=$ | \( 38 a^{9} + 20 a^{8} + 44 a^{7} + 31 a^{6} + 37 a^{5} + 25 a^{4} + 38 a^{3} + 47 a^{2} + 52 a + 45 + \left(43 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 49 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 53 + \left(2 a^{9} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 32 a^{4} + 48 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 53^{2} + \left(38 a^{9} + 52 a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 39 a^{2} + 49 a + 50\right)\cdot 53^{3} + \left(32 a^{9} + 48 a^{8} + 10 a^{7} + 47 a^{6} + 23 a^{5} + 35 a^{4} + 41 a^{3} + 34 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 53^{4} + \left(17 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 45 a^{5} + 38 a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 44 a + 36\right)\cdot 53^{5} + \left(5 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 32 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 52 a^{2} + 41 a + 26\right)\cdot 53^{6} + \left(3 a^{9} + 41 a^{8} + 41 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 37 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 13\right)\cdot 53^{7} + \left(36 a^{9} + 48 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 46 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 44\right)\cdot 53^{8} + \left(19 a^{9} + 15 a^{8} + 34 a^{7} + 37 a^{6} + 32 a^{5} + 34 a^{4} + 17 a^{3} + 46 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 18 }$ | $=$ | \( 33 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 48 a^{4} + 42 a^{3} + 43 a^{2} + 7 a + 18 + \left(13 a^{9} + 48 a^{8} + 26 a^{7} + 29 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 53 + \left(34 a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 34 a^{5} + 12 a^{4} + 48 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 40\right)\cdot 53^{2} + \left(31 a^{9} + 44 a^{8} + 40 a^{7} + 50 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 53^{3} + \left(5 a^{9} + 40 a^{8} + 6 a^{7} + 37 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 53^{4} + \left(39 a^{9} + 30 a^{8} + 37 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 39 a^{4} + 12 a^{3} + 52 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 53^{5} + \left(46 a^{9} + 47 a^{8} + 13 a^{7} + 49 a^{6} + 38 a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 48 a + 17\right)\cdot 53^{6} + \left(33 a^{9} + 35 a^{8} + 26 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 41 a^{4} + 45 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 53^{7} + \left(9 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 35 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 53^{8} + \left(11 a^{9} + 43 a^{8} + 26 a^{7} + 37 a^{6} + 41 a^{5} + 47 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 19 }$ | $=$ | \( 47 a^{9} + 46 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 46 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 50 + \left(51 a^{9} + 18 a^{8} + 30 a^{7} + 48 a^{6} + 11 a^{5} + 34 a^{4} + 49 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 53 + \left(32 a^{9} + 50 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 50 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 53^{2} + \left(34 a^{9} + 3 a^{8} + 39 a^{7} + 19 a^{6} + 38 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 53^{3} + \left(6 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + 52 a^{6} + 31 a^{5} + 41 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + a + 5\right)\cdot 53^{4} + \left(33 a^{9} + 44 a^{8} + 49 a^{7} + 44 a^{6} + 20 a^{5} + 42 a^{4} + 21 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 53^{5} + \left(14 a^{9} + 33 a^{8} + 31 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 44 a + 6\right)\cdot 53^{6} + \left(13 a^{9} + 16 a^{8} + 43 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 32 a + 7\right)\cdot 53^{7} + \left(4 a^{9} + 5 a^{8} + 44 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 36 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 53^{8} + \left(23 a^{9} + 10 a^{8} + 39 a^{7} + 38 a^{5} + 4 a^{4} + 52 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 20 }$ | $=$ | \( 14 a^{9} + 26 a^{8} + 42 a^{7} + 39 a^{6} + 33 a^{5} + 43 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 3 + \left(15 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 43 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 47\right)\cdot 53 + \left(52 a^{9} + 44 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 35 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 52 a^{2} + 37 a + 11\right)\cdot 53^{2} + \left(42 a^{9} + 43 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 33 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 53^{3} + \left(42 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 47 a^{5} + 40 a^{4} + 23 a^{3} + 46 a^{2} + 39 a + 40\right)\cdot 53^{4} + \left(27 a^{9} + 46 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 42 a^{3} + 26 a^{2} + 38 a + 6\right)\cdot 53^{5} + \left(37 a^{9} + 50 a^{8} + 35 a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 51 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 53^{6} + \left(45 a^{9} + 46 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 49 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 53^{7} + \left(46 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 32 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a + 24\right)\cdot 53^{8} + \left(48 a^{9} + 45 a^{8} + 48 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 29 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 21 }$ | $=$ | \( 42 a^{9} + 10 a^{8} + 23 a^{7} + 32 a^{6} + a^{5} + 51 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 45 + \left(32 a^{9} + 47 a^{8} + 20 a^{7} + 42 a^{6} + 21 a^{5} + 44 a^{4} + 33 a^{3} + 23 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 53 + \left(45 a^{9} + 10 a^{8} + 38 a^{7} + 40 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{2} + 28 a + 47\right)\cdot 53^{2} + \left(24 a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 45 a^{4} + 12 a^{3} + 39 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 53^{3} + \left(49 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 46 a^{5} + 29 a^{4} + 13 a^{3} + 33 a^{2} + 46 a + 42\right)\cdot 53^{4} + \left(8 a^{9} + 40 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 44 a^{5} + 13 a^{4} + 45 a^{3} + 45 a^{2} + 48 a + 2\right)\cdot 53^{5} + \left(12 a^{9} + 15 a^{8} + 42 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 51 a^{4} + 45 a^{3} + 51 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 53^{6} + \left(24 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 35 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 43 a + 3\right)\cdot 53^{7} + \left(13 a^{9} + 9 a^{8} + 40 a^{7} + 48 a^{6} + 39 a^{5} + 47 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 53^{8} + \left(23 a^{9} + 38 a^{8} + 42 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 48\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 22 }$ | $=$ | \( 43 a^{9} + 14 a^{8} + 45 a^{7} + 35 a^{6} + 39 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 52 a^{2} + 8 a + 42 + \left(11 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 46 a^{5} + 41 a^{4} + 22 a^{3} + 44 a^{2} + 16 a + 48\right)\cdot 53 + \left(13 a^{9} + 43 a^{8} + 49 a^{6} + 37 a^{5} + 50 a^{4} + 34 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 53^{2} + \left(46 a^{9} + 49 a^{7} + 47 a^{6} + a^{5} + 43 a^{4} + 43 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 53^{3} + \left(43 a^{9} + 47 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 51 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 53^{4} + \left(34 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 36 a^{3} + 20 a^{2} + 41 a + 23\right)\cdot 53^{5} + \left(21 a^{9} + 6 a^{8} + 29 a^{7} + 51 a^{6} + 23 a^{5} + 38 a^{4} + 45 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 33\right)\cdot 53^{6} + \left(52 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 48 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 48 a^{2} + 42 a + 43\right)\cdot 53^{7} + \left(19 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 49 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + a + 13\right)\cdot 53^{8} + \left(3 a^{9} + 47 a^{8} + 37 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 23 }$ | $=$ | \( 27 a^{9} + 12 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 45 a^{4} + 11 a^{3} + 46 a^{2} + 43 a + 37 + \left(24 a^{9} + 31 a^{8} + 30 a^{7} + 3 a^{6} + 52 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 45 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 53 + \left(13 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 39 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 37 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 53^{2} + \left(33 a^{9} + 35 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 33 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 53^{3} + \left(40 a^{9} + 34 a^{8} + 32 a^{7} + 48 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 50 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 53^{4} + \left(26 a^{9} + 49 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 48 a^{4} + 41 a^{3} + 41 a + 39\right)\cdot 53^{5} + \left(43 a^{9} + 19 a^{8} + 51 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 40 a^{3} + 43 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 53^{6} + \left(22 a^{9} + 13 a^{8} + 48 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 51 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 42 a + 49\right)\cdot 53^{7} + \left(52 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 45 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 45 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 53^{8} + \left(42 a^{9} + 41 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 31 a^{5} + 8 a^{4} + 49 a^{3} + 36 a^{2} + 44 a + 23\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
$r_{ 24 }$ | $=$ | \( 29 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 51 a^{4} + 24 a^{3} + 48 a^{2} + 37 a + 22 + \left(14 a^{9} + 32 a^{8} + 44 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 31 a + 52\right)\cdot 53 + \left(52 a^{9} + 29 a^{8} + 44 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 35 a^{4} + 40 a^{3} + 24 a^{2} + 10\right)\cdot 53^{2} + \left(27 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 45 a^{4} + 14 a^{3} + 42 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 53^{3} + \left(4 a^{9} + 3 a^{8} + 40 a^{7} + 51 a^{6} + 28 a^{5} + 47 a^{4} + 52 a^{3} + 31 a^{2} + 34 a + 50\right)\cdot 53^{4} + \left(2 a^{9} + 46 a^{8} + 33 a^{7} + 47 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 44 a^{3} + 43 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 53^{5} + \left(17 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 52 a^{6} + 45 a^{5} + 13 a^{4} + 47 a^{3} + 22 a^{2} + 34 a + 39\right)\cdot 53^{6} + \left(27 a^{9} + 49 a^{8} + 44 a^{7} + 6 a^{6} + 31 a^{5} + 32 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 53^{7} + \left(10 a^{9} + 4 a^{8} + 41 a^{7} + 30 a^{6} + 15 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 44 a\right)\cdot 53^{8} + \left(42 a^{9} + 32 a^{8} + 21 a^{7} + 40 a^{6} + 16 a^{5} + 36 a^{4} + 42 a^{3} + 36 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$1$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,18)(6,10)(7,17)(8,14)(9,22)(11,16)(12,19)(13,21)(15,24)(20,23)$ | $-2$ |
$30$ | $2$ | $(1,7)(2,17)(3,5)(4,18)(6,15)(10,24)(11,23)(12,19)(13,21)(16,20)$ | $0$ |
$20$ | $3$ | $(1,24,20)(2,15,23)(3,11,10)(4,16,6)(5,22,21)(7,8,12)(9,13,18)(14,19,17)$ | $-1$ |
$1$ | $4$ | $(1,4,2,3)(5,7,18,17)(6,23,10,20)(8,9,14,22)(11,24,16,15)(12,13,19,21)$ | $2 \zeta_{20}^{5}$ |
$1$ | $4$ | $(1,3,2,4)(5,17,18,7)(6,20,10,23)(8,22,14,9)(11,15,16,24)(12,21,19,13)$ | $-2 \zeta_{20}^{5}$ |
$30$ | $4$ | $(1,24,2,15)(3,11,4,16)(5,7,18,17)(6,19,10,12)(8,22,14,9)(13,23,21,20)$ | $0$ |
$12$ | $5$ | $(1,23,18,8,13)(2,20,5,14,21)(3,6,7,22,12)(4,10,17,9,19)$ | $-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4}$ |
$12$ | $5$ | $(1,8,23,13,18)(2,14,20,21,5)(3,22,6,12,7)(4,9,10,19,17)$ | $\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4} - 1$ |
$20$ | $6$ | $(1,23,24,2,20,15)(3,6,11,4,10,16)(5,13,22,18,21,9)(7,19,8,17,12,14)$ | $1$ |
$12$ | $10$ | $(1,14,23,21,18,2,8,20,13,5)(3,9,6,19,7,4,22,10,12,17)(11,16)(15,24)$ | $-\zeta_{20}^{6} + \zeta_{20}^{4} + 1$ |
$12$ | $10$ | $(1,21,8,5,23,2,13,14,18,20)(3,19,22,17,6,4,12,9,7,10)(11,16)(15,24)$ | $\zeta_{20}^{6} - \zeta_{20}^{4}$ |
$20$ | $12$ | $(1,10,15,4,20,11,2,6,24,3,23,16)(5,19,9,7,21,14,18,12,22,17,13,8)$ | $\zeta_{20}^{5}$ |
$20$ | $12$ | $(1,6,15,3,20,16,2,10,24,4,23,11)(5,12,9,17,21,8,18,19,22,7,13,14)$ | $-\zeta_{20}^{5}$ |
$12$ | $20$ | $(1,19,14,7,23,4,21,22,18,10,2,12,8,17,20,3,13,9,5,6)(11,24,16,15)$ | $\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{5} + \zeta_{20}^{3}$ |
$12$ | $20$ | $(1,7,21,10,8,3,5,19,23,22,2,17,13,6,14,4,18,12,20,9)(11,15,16,24)$ | $\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{3}$ |
$12$ | $20$ | $(1,12,14,17,23,3,21,9,18,6,2,19,8,7,20,4,13,22,5,10)(11,15,16,24)$ | $-\zeta_{20}^{7} + \zeta_{20}^{5} - \zeta_{20}^{3}$ |
$12$ | $20$ | $(1,22,17,11,10,4,8,5,24,20,2,9,7,16,6,3,14,18,15,23)(12,13,19,21)$ | $-\zeta_{20}^{7} - \zeta_{20}^{3}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.