Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | 30T12 |
Conductor: | \(1936\)\(\medspace = 2^{4} \cdot 11^{2} \) |
Artin stem field: | Galois closure of 30.10.14414591053629993500878399466353926864896.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | 30T12 |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.11.10t1.a.d |
Projective image: | $S_3$ |
Projective stem field: | Galois closure of 3.1.44.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{30} - 15 x^{28} + 104 x^{26} - 482 x^{24} + 1708 x^{22} - 4753 x^{20} + 10608 x^{18} - 18925 x^{16} + 26563 x^{14} - 28460 x^{12} + 22463 x^{10} - 12716 x^{8} + 5049 x^{6} + \cdots - 11 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 37 }$ to precision 9.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 37 }$: \( x^{15} + x^{7} + 31x^{6} + 28x^{5} + 27x^{4} + 13x^{3} + 34x^{2} + 33x + 35 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 13 a^{14} + 32 a^{13} + 35 a^{12} + 9 a^{11} + 3 a^{10} + 8 a^{9} + 22 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 2 + \left(13 a^{14} + 34 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 37 + \left(9 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 37^{2} + \left(2 a^{14} + 5 a^{13} + 34 a^{12} + 33 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 34 a^{8} + 29 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 37^{3} + \left(31 a^{14} + 36 a^{13} + 13 a^{12} + 9 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 2 a^{8} + 35 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 37^{4} + \left(3 a^{14} + 11 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 37^{5} + \left(22 a^{14} + 6 a^{13} + 26 a^{12} + 33 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 35 a^{8} + 23 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 37^{6} + \left(28 a^{14} + 25 a^{13} + 21 a^{12} + 7 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 35 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 33 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 37^{7} + \left(18 a^{14} + 13 a^{13} + 18 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
$r_{ 2 }$ |
$=$ |
\( 27 a^{14} + 19 a^{13} + 27 a^{12} + 30 a^{11} + 6 a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 32 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 24 + \left(18 a^{14} + 2 a^{13} + 20 a^{12} + 26 a^{11} + 8 a^{9} + 29 a^{8} + 14 a^{7} + 34 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 37 + \left(35 a^{14} + 12 a^{13} + 32 a^{12} + 29 a^{11} + 36 a^{10} + 35 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 35 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 37^{2} + \left(18 a^{14} + 14 a^{13} + 30 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(22 a^{14} + 4 a^{13} + 23 a^{12} + 35 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 32 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 35 a + 29\right)\cdot 37^{4} + \left(9 a^{14} + 25 a^{13} + 21 a^{12} + 29 a^{11} + 29 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 31 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 33 a + 36\right)\cdot 37^{5} + \left(10 a^{14} + 8 a^{13} + 14 a^{12} + 33 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 24 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 33 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 37^{6} + \left(32 a^{14} + 35 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 33 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 37^{7} + \left(25 a^{14} + 26 a^{13} + 3 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
\( 29 a^{14} + 21 a^{13} + 32 a^{12} + 5 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 34 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 15 a^{2} + 32 a + 21 + \left(a^{14} + 36 a^{13} + 17 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 6 a^{9} + 11 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{6} + 29 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 37 + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + 33 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 32 a^{6} + 34 a^{5} + 29 a^{4} + 16 a^{3} + 35 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 37^{2} + \left(2 a^{14} + 7 a^{13} + 32 a^{12} + 16 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{9} + 35 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(19 a^{14} + 27 a^{13} + 30 a^{12} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 35 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 37^{4} + \left(18 a^{14} + 30 a^{13} + 23 a^{12} + 34 a^{11} + 25 a^{10} + 29 a^{9} + 8 a^{8} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 31 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 37^{5} + \left(5 a^{14} + 8 a^{13} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 35 a^{8} + 35 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 37^{6} + \left(13 a^{14} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 28 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 30 a^{7} + 34 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 33 a^{3} + 31 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 37^{7} + \left(9 a^{13} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + 29 a^{10} + 9 a^{9} + 28 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 33 a^{3} + 5 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
\( 6 a^{14} + 8 a^{13} + 16 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 32 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 23 + \left(21 a^{14} + 11 a^{13} + 19 a^{12} + 9 a^{11} + 36 a^{10} + 12 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 33 a^{5} + 30 a^{4} + 34 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 37 + \left(14 a^{13} + 34 a^{12} + 36 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 35 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 34 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 37^{2} + \left(18 a^{14} + 12 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 37^{3} + \left(15 a^{14} + 31 a^{13} + 11 a^{12} + 26 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a + 31\right)\cdot 37^{4} + \left(4 a^{14} + 20 a^{13} + 29 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 34 a + 8\right)\cdot 37^{5} + \left(24 a^{14} + 3 a^{13} + 24 a^{12} + 8 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 37^{6} + \left(21 a^{14} + a^{13} + a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 35 a^{6} + 13 a^{5} + 31 a^{4} + 28 a^{3} + 31 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 37^{7} + \left(16 a^{14} + 30 a^{13} + 20 a^{12} + 21 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
\( 8 a^{14} + 8 a^{13} + 7 a^{12} + 7 a^{11} + 36 a^{10} + 14 a^{9} + 34 a^{8} + 12 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 25 + \left(23 a^{14} + 35 a^{13} + 2 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + 34 a^{5} + a^{4} + 20 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 37 + \left(29 a^{14} + 32 a^{13} + 36 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 35 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 37^{2} + \left(4 a^{14} + 17 a^{13} + 22 a^{12} + 34 a^{11} + 25 a^{10} + 15 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 36 a^{5} + 33 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 37^{3} + \left(2 a^{14} + 12 a^{13} + 35 a^{12} + 33 a^{11} + 4 a^{10} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 37^{4} + \left(14 a^{14} + 17 a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 37^{5} + \left(20 a^{14} + 20 a^{13} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 3 a^{10} + 33 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 36 a + 6\right)\cdot 37^{6} + \left(8 a^{14} + 22 a^{13} + 2 a^{12} + 34 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 31 a^{5} + 35 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 37^{7} + \left(13 a^{14} + 4 a^{13} + 32 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + 31 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 31 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
\( 33 a^{14} + 30 a^{13} + 24 a^{12} + 33 a^{11} + 28 a^{10} + 6 a^{9} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 32 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 5 + \left(30 a^{14} + 28 a^{13} + 30 a^{12} + 27 a^{11} + 19 a^{10} + 25 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 35 a^{5} + 18 a^{4} + 32 a^{3} + 32 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 37 + \left(13 a^{14} + 30 a^{13} + 29 a^{12} + 35 a^{11} + 20 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 32 a^{3} + 10 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{14} + 31 a^{13} + 30 a^{12} + 30 a^{11} + 16 a^{10} + 26 a^{9} + 24 a^{8} + 3 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 32 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 37^{3} + \left(30 a^{14} + 6 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 35 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a\right)\cdot 37^{4} + \left(5 a^{14} + 10 a^{13} + 32 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 36 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 37^{5} + \left(4 a^{14} + 8 a^{13} + 31 a^{12} + 25 a^{11} + 34 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{5} + 33 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 37^{6} + \left(32 a^{14} + 21 a^{13} + 7 a^{12} + 13 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 34 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{2} + 33 a + 20\right)\cdot 37^{7} + \left(29 a^{14} + 10 a^{13} + 27 a^{12} + 20 a^{11} + 26 a^{10} + 16 a^{9} + 32 a^{8} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + a + 9\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
\( 36 a^{14} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 28 a^{11} + 29 a^{10} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 24 + \left(23 a^{14} + 5 a^{13} + 30 a^{12} + 25 a^{11} + 36 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 27 a^{7} + 36 a^{6} + a^{5} + 31 a^{4} + 18 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 37 + \left(30 a^{14} + a^{13} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 36 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 31 a^{2} + 22 a\right)\cdot 37^{2} + \left(26 a^{14} + 29 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 37^{3} + \left(11 a^{14} + 3 a^{13} + 10 a^{12} + 31 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 35 a^{7} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 37^{4} + \left(27 a^{14} + 30 a^{13} + 29 a^{12} + 24 a^{11} + 32 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 37^{5} + \left(4 a^{14} + 24 a^{13} + 15 a^{12} + 32 a^{11} + 29 a^{10} + 29 a^{9} + 35 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 37^{6} + \left(3 a^{14} + 33 a^{13} + 36 a^{12} + 29 a^{11} + 6 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 37^{7} + \left(11 a^{14} + 20 a^{13} + 7 a^{12} + 19 a^{11} + 27 a^{10} + 31 a^{9} + 34 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 34 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
\( 17 a^{14} + 24 a^{13} + 24 a^{12} + 20 a^{11} + 26 a^{10} + 9 a^{9} + 13 a^{8} + 36 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 29 + \left(26 a^{14} + 18 a^{13} + 10 a^{12} + 20 a^{11} + 10 a^{10} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 37 + \left(34 a^{14} + 6 a^{13} + 23 a^{12} + 36 a^{11} + 31 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 33\right)\cdot 37^{2} + \left(25 a^{14} + 2 a^{13} + 17 a^{12} + 28 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 33 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 37^{3} + \left(7 a^{14} + 24 a^{13} + 9 a^{12} + 22 a^{11} + 9 a^{10} + 33 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 37^{4} + \left(30 a^{14} + 28 a^{13} + 18 a^{12} + 21 a^{11} + 36 a^{10} + 9 a^{9} + 33 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + 36 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 37^{5} + \left(8 a^{14} + 5 a^{13} + 13 a^{12} + 26 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 37^{6} + \left(25 a^{14} + 29 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 20 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 33 a^{6} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + a + 4\right)\cdot 37^{7} + \left(5 a^{14} + 29 a^{13} + 14 a^{12} + 25 a^{11} + 35 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
\( 23 a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 31 a^{2} + 8 a + 17 + \left(7 a^{14} + 25 a^{13} + a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 37 + \left(a^{14} + 12 a^{13} + 31 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 20 a^{9} + 12 a^{8} + 36 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 34 a + 13\right)\cdot 37^{2} + \left(13 a^{14} + 7 a^{12} + 13 a^{11} + 35 a^{10} + 15 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 37^{3} + \left(33 a^{14} + 34 a^{13} + 15 a^{12} + a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 33 a + 7\right)\cdot 37^{4} + \left(24 a^{14} + 33 a^{13} + 5 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 36 a^{6} + 35 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 37^{5} + \left(12 a^{14} + 10 a^{13} + 36 a^{12} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 27 a^{7} + 32 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 37^{6} + \left(16 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 37^{7} + \left(21 a^{14} + 5 a^{13} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
\( 34 a^{14} + 4 a^{13} + 35 a^{12} + 25 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 35 a^{6} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 8 + \left(9 a^{14} + 7 a^{13} + 19 a^{12} + a^{11} + 31 a^{10} + 24 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 31 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 37 + \left(15 a^{14} + 13 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 13 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 36 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 37^{2} + \left(14 a^{14} + 23 a^{13} + 27 a^{12} + 10 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 34 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(30 a^{14} + 36 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 34 a^{8} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 36 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 37^{4} + \left(22 a^{14} + 8 a^{13} + 14 a^{12} + 9 a^{11} + 30 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 5 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 37^{5} + \left(2 a^{14} + 27 a^{13} + 15 a^{12} + 8 a^{11} + 15 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{5} + 29 a^{4} + 31 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 37^{6} + \left(6 a^{14} + 28 a^{13} + 33 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + a^{7} + 30 a^{6} + 35 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 37^{7} + \left(26 a^{14} + 21 a^{13} + 15 a^{12} + 33 a^{11} + a^{10} + 24 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 11 }$ |
$=$ |
\( 25 a^{14} + 5 a^{13} + 29 a^{12} + 13 a^{11} + 36 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{2} + 13 a + 36 + \left(2 a^{14} + 6 a^{13} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 34 a^{3} + 13 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 37 + \left(11 a^{14} + 30 a^{13} + 36 a^{12} + 17 a^{11} + 19 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 19\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{14} + 28 a^{13} + 29 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 13 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a + 34\right)\cdot 37^{3} + \left(15 a^{14} + 4 a^{13} + 22 a^{12} + 35 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 30 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 31 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 37^{4} + \left(5 a^{14} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 32 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 37^{5} + \left(15 a^{14} + 14 a^{13} + 10 a^{12} + 12 a^{11} + 13 a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 37^{6} + \left(34 a^{14} + a^{13} + 15 a^{12} + 24 a^{11} + 34 a^{10} + 6 a^{9} + 31 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 37^{7} + \left(a^{14} + 28 a^{13} + 5 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 34 a^{6} + 32 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 12 }$ |
$=$ |
\( 23 a^{14} + 36 a^{13} + 20 a^{12} + 17 a^{11} + 9 a^{10} + 23 a^{9} + 30 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 36 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 14 + \left(23 a^{14} + 36 a^{13} + 33 a^{12} + 11 a^{11} + 13 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{4} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 37 + \left(34 a^{14} + 5 a^{13} + 31 a^{12} + 22 a^{11} + 27 a^{10} + 32 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 34 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 37^{2} + \left(4 a^{14} + 25 a^{13} + 27 a^{12} + 27 a^{11} + 10 a^{10} + 34 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 23 a^{4} + 35 a^{3} + 36 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 37^{3} + \left(23 a^{14} + 33 a^{13} + 17 a^{12} + 21 a^{11} + 31 a^{10} + 14 a^{9} + 33 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{6} + 32 a^{5} + 12 a^{4} + 34 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 37^{4} + \left(28 a^{14} + 21 a^{13} + 19 a^{12} + 35 a^{11} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 36 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 37^{5} + \left(18 a^{14} + 21 a^{13} + 35 a^{12} + 4 a^{11} + 25 a^{10} + 29 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 37^{6} + \left(5 a^{14} + a^{13} + 6 a^{12} + 16 a^{11} + 29 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 37^{7} + \left(31 a^{14} + 15 a^{13} + 18 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 30 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 35 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 35 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 13 }$ |
$=$ |
\( 16 a^{13} + 21 a^{12} + 7 a^{11} + 33 a^{10} + 29 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 25 + \left(2 a^{13} + 16 a^{12} + 4 a^{11} + 32 a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 34 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 25 a^{3} + 36 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 37 + \left(24 a^{14} + 16 a^{13} + 23 a^{12} + 32 a^{11} + 6 a^{10} + 36 a^{9} + 33 a^{8} + 33 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 35 a^{3} + 36 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{14} + 15 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 23 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 36 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 37^{4} + \left(33 a^{14} + 31 a^{13} + 15 a^{12} + 13 a^{11} + 10 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 35 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 37^{5} + \left(18 a^{14} + 21 a^{13} + 32 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 34 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 32 a^{5} + 36 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 37^{6} + \left(11 a^{14} + 25 a^{13} + 35 a^{12} + a^{11} + 18 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 29 a^{7} + 36 a^{6} + 2 a^{5} + 36 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 37^{7} + \left(30 a^{14} + 34 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 25 a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 33 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 14 }$ |
$=$ |
\( 17 a^{14} + 9 a^{13} + a^{12} + 8 a^{11} + 36 a^{10} + 36 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 31 + \left(31 a^{14} + 22 a^{13} + 22 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + a^{9} + 29 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 36 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a + 24\right)\cdot 37 + \left(a^{14} + 27 a^{13} + 3 a^{12} + 7 a^{11} + 35 a^{10} + 11 a^{9} + 36 a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 35 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{14} + 31 a^{13} + 35 a^{12} + 27 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 32 a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{14} + 36 a^{13} + 10 a^{12} + 3 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 37^{4} + \left(32 a^{14} + 7 a^{13} + 5 a^{12} + 6 a^{11} + 36 a^{10} + 19 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 25 a^{6} + 26 a^{5} + 35 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 37^{5} + \left(34 a^{14} + 17 a^{13} + 29 a^{12} + 18 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 31 a^{6} + 36 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 37^{6} + \left(25 a^{14} + 14 a^{13} + 27 a^{12} + 7 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 35 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 37^{7} + \left(34 a^{14} + 36 a^{13} + 10 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 15 }$ |
$=$ |
\( 2 a^{14} + 12 a^{13} + 35 a^{12} + 26 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 33 a^{4} + 35 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 32 + \left(36 a^{14} + 9 a^{13} + 7 a^{12} + 31 a^{11} + 24 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 35 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 37 + \left(34 a^{14} + 11 a^{13} + 19 a^{12} + 12 a^{11} + 9 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 37^{2} + \left(12 a^{14} + 12 a^{12} + 10 a^{11} + 26 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 37^{3} + \left(29 a^{14} + 35 a^{13} + 26 a^{12} + 7 a^{11} + 8 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 32 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{14} + 11 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a + 23\right)\cdot 37^{5} + \left(a^{14} + 18 a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 31 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 37^{6} + \left(36 a^{14} + 33 a^{13} + 22 a^{12} + 8 a^{11} + 17 a^{10} + 18 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 37^{7} + \left(3 a^{14} + 3 a^{13} + 27 a^{12} + 30 a^{11} + 32 a^{10} + 36 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 32 a^{4} + 35 a^{3} + 35 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 16 }$ |
$=$ |
\( 24 a^{14} + 5 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 34 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{5} + 32 a^{4} + 28 a^{3} + a^{2} + 10 a + 35 + \left(23 a^{14} + 2 a^{13} + 11 a^{12} + 16 a^{11} + 34 a^{10} + 35 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 36 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 37 + \left(36 a^{14} + 27 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 37^{2} + \left(34 a^{14} + 31 a^{13} + 2 a^{12} + 3 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 37^{3} + \left(5 a^{14} + 23 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 34 a^{8} + a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 32 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 37^{4} + \left(33 a^{14} + 25 a^{13} + 22 a^{12} + 34 a^{11} + 36 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 31 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 37^{5} + \left(14 a^{14} + 30 a^{13} + 10 a^{12} + 3 a^{11} + 27 a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 35 a^{6} + 34 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 37^{6} + \left(8 a^{14} + 11 a^{13} + 15 a^{12} + 29 a^{11} + 25 a^{10} + 7 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 35 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 37^{7} + \left(18 a^{14} + 23 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 34 a^{10} + 9 a^{9} + 15 a^{8} + 34 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 17 }$ |
$=$ |
\( 10 a^{14} + 18 a^{13} + 10 a^{12} + 7 a^{11} + 31 a^{10} + 15 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 13 + \left(18 a^{14} + 34 a^{13} + 16 a^{12} + 10 a^{11} + 36 a^{10} + 28 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 31 a^{4} + 30 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 37 + \left(a^{14} + 24 a^{13} + 4 a^{12} + 7 a^{11} + a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 37^{2} + \left(18 a^{14} + 22 a^{13} + 36 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 31 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 32 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 37^{3} + \left(14 a^{14} + 32 a^{13} + 13 a^{12} + a^{11} + 11 a^{10} + 35 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + a + 7\right)\cdot 37^{4} + \left(27 a^{14} + 11 a^{13} + 15 a^{12} + 7 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 8 a^{8} + 8 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a\right)\cdot 37^{5} + \left(26 a^{14} + 28 a^{13} + 22 a^{12} + 3 a^{11} + 31 a^{10} + 35 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 37^{6} + \left(4 a^{14} + a^{13} + 18 a^{12} + 31 a^{11} + 33 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 32 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 37^{7} + \left(11 a^{14} + 10 a^{13} + 33 a^{12} + 25 a^{11} + 28 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 18 }$ |
$=$ |
\( 8 a^{14} + 16 a^{13} + 5 a^{12} + 32 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 36 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 16 + \left(35 a^{14} + 19 a^{12} + 21 a^{11} + 33 a^{10} + 30 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 37 + \left(32 a^{14} + 34 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + 21 a^{10} + 3 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 37^{2} + \left(34 a^{14} + 29 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 37^{3} + \left(17 a^{14} + 9 a^{13} + 6 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 15 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 37^{4} + \left(18 a^{14} + 6 a^{13} + 13 a^{12} + 2 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{9} + 28 a^{8} + 34 a^{6} + 12 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 37^{5} + \left(31 a^{14} + 28 a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 30 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 36 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 37^{6} + \left(23 a^{14} + 19 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 8 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 33 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 37^{7} + \left(36 a^{14} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 13 a^{11} + 7 a^{10} + 27 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 31 a^{2} + 20\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 19 }$ |
$=$ |
\( 31 a^{14} + 29 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{11} + 28 a^{10} + 9 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 34 a^{3} + 33 a^{2} + 26 a + 14 + \left(15 a^{14} + 25 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{11} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 37 + \left(36 a^{14} + 22 a^{13} + 2 a^{12} + 31 a^{10} + 21 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 33 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 33\right)\cdot 37^{2} + \left(18 a^{14} + 24 a^{13} + 29 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{9} + 29 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 12 a^{3} + 35 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 37^{3} + \left(21 a^{14} + 5 a^{13} + 25 a^{12} + 10 a^{11} + 33 a^{10} + 27 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 31 a^{5} + 33 a^{4} + 20 a^{3} + 36 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 37^{4} + \left(32 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 26 a^{11} + 22 a^{10} + 29 a^{9} + 15 a^{8} + 29 a^{7} + 29 a^{6} + 34 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 32 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 37^{5} + \left(12 a^{14} + 33 a^{13} + 12 a^{12} + 28 a^{11} + 7 a^{10} + 8 a^{9} + 36 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 37^{6} + \left(15 a^{14} + 35 a^{13} + 35 a^{12} + 8 a^{11} + 20 a^{10} + 27 a^{9} + 20 a^{8} + 34 a^{7} + a^{6} + 23 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 37^{7} + \left(20 a^{14} + 6 a^{13} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 36 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 20 }$ |
$=$ |
\( 29 a^{14} + 29 a^{13} + 30 a^{12} + 30 a^{11} + a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 12 + \left(13 a^{14} + a^{13} + 34 a^{12} + 27 a^{11} + 27 a^{10} + 33 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{5} + 35 a^{4} + 36 a^{3} + 16 a^{2} + a + 3\right)\cdot 37 + \left(7 a^{14} + 4 a^{13} + 35 a^{11} + 28 a^{10} + 26 a^{9} + 34 a^{8} + 18 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{14} + 19 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{8} + 31 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 37^{3} + \left(34 a^{14} + 24 a^{13} + a^{12} + 3 a^{11} + 32 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 35 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 30\right)\cdot 37^{4} + \left(22 a^{14} + 19 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + 33 a^{10} + 29 a^{9} + 10 a^{8} + 21 a^{7} + 34 a^{6} + 12 a^{5} + 34 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 37^{5} + \left(16 a^{14} + 16 a^{13} + 16 a^{12} + 18 a^{11} + 33 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 31 a^{4} + 29 a^{3} + 18 a^{2} + 30\right)\cdot 37^{6} + \left(28 a^{14} + 14 a^{13} + 34 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 23 a^{9} + 30 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 37^{7} + \left(23 a^{14} + 32 a^{13} + 4 a^{12} + 14 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 33 a^{2} + 11 a + 35\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 21 }$ |
$=$ |
\( 4 a^{14} + 7 a^{13} + 13 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 31 a^{9} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 32 + \left(6 a^{14} + 8 a^{13} + 6 a^{12} + 9 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 24 a^{8} + 31 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 37 + \left(23 a^{14} + 6 a^{13} + 7 a^{12} + a^{11} + 36 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 35 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 37^{2} + \left(3 a^{14} + 5 a^{13} + 6 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 33 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 37^{3} + \left(6 a^{14} + 30 a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 36\right)\cdot 37^{4} + \left(31 a^{14} + 26 a^{13} + 4 a^{12} + 25 a^{11} + 9 a^{10} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 37^{5} + \left(32 a^{14} + 28 a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 25 a^{8} + 35 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 37^{6} + \left(4 a^{14} + 15 a^{13} + 29 a^{12} + 23 a^{11} + 28 a^{10} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 34 a^{6} + 2 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 37^{7} + \left(7 a^{14} + 26 a^{13} + 9 a^{12} + 16 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 4 a^{8} + 36 a^{7} + 16 a^{6} + 33 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 35 a + 27\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 22 }$ |
$=$ |
\( a^{14} + 20 a^{13} + 19 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 33 a^{6} + 25 a^{5} + 32 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 13 + \left(13 a^{14} + 31 a^{13} + 6 a^{12} + 11 a^{11} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 35 a^{5} + 5 a^{4} + 36 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 37 + \left(6 a^{14} + 35 a^{13} + 25 a^{12} + 28 a^{11} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 36 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 36\right)\cdot 37^{2} + \left(10 a^{14} + 7 a^{13} + 9 a^{12} + 9 a^{11} + 35 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 37^{3} + \left(25 a^{14} + 33 a^{13} + 26 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 29 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 36 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 37^{4} + \left(9 a^{14} + 6 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 4 a^{10} + 28 a^{9} + 33 a^{8} + 34 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 33 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 37^{5} + \left(32 a^{14} + 12 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 33 a^{7} + 35 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 34 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 37^{6} + \left(33 a^{14} + 3 a^{13} + 7 a^{11} + 30 a^{10} + 29 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 32 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 37^{7} + \left(25 a^{14} + 16 a^{13} + 29 a^{12} + 17 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 35 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 23 }$ |
$=$ |
\( 20 a^{14} + 13 a^{13} + 13 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 30 a^{6} + 29 a^{5} + 32 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 8 + \left(10 a^{14} + 18 a^{13} + 26 a^{12} + 16 a^{11} + 26 a^{10} + 36 a^{9} + 6 a^{8} + 33 a^{7} + 19 a^{6} + 33 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 37 + \left(2 a^{14} + 30 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 36 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{14} + 34 a^{13} + 19 a^{12} + 8 a^{11} + 15 a^{10} + 24 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 32 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 35 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 37^{3} + \left(29 a^{14} + 12 a^{13} + 27 a^{12} + 14 a^{11} + 27 a^{10} + 3 a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 28 a^{4} + 32 a^{3} + 14 a^{2} + 32 a + 11\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{14} + 8 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 37^{5} + \left(28 a^{14} + 31 a^{13} + 23 a^{12} + 10 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 35 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 31 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 37^{6} + \left(11 a^{14} + 7 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 32 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 34 a^{7} + 3 a^{6} + 36 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 36 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 37^{7} + \left(31 a^{14} + 7 a^{13} + 22 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 33 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 24 }$ |
$=$ |
\( 14 a^{14} + 20 a^{13} + 10 a^{12} + 24 a^{11} + 26 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 33 a^{7} + 10 a^{6} + 33 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{2} + 29 a + 20 + \left(29 a^{14} + 11 a^{13} + 35 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 6 a^{9} + 31 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 35 a^{5} + 26 a^{4} + 36 a^{3} + 22 a^{2} + 6\right)\cdot 37 + \left(35 a^{14} + 24 a^{13} + 5 a^{12} + 17 a^{11} + 6 a^{10} + 16 a^{9} + 24 a^{8} + 35 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 32 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 37^{2} + \left(23 a^{14} + 36 a^{13} + 29 a^{12} + 23 a^{11} + a^{10} + 21 a^{9} + 6 a^{8} + 35 a^{7} + 36 a^{6} + 8 a^{5} + 32 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 37^{3} + \left(3 a^{14} + 2 a^{13} + 21 a^{12} + 35 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 32 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 37^{4} + \left(12 a^{14} + 3 a^{13} + 31 a^{12} + 22 a^{11} + 35 a^{10} + 23 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + a^{5} + 29 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 23\right)\cdot 37^{5} + \left(24 a^{14} + 26 a^{13} + 25 a^{11} + 19 a^{10} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 33 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 37^{6} + \left(20 a^{14} + 24 a^{13} + 36 a^{12} + 30 a^{11} + 31 a^{10} + 14 a^{9} + 27 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 37^{7} + \left(15 a^{14} + 31 a^{13} + 36 a^{12} + 23 a^{11} + 8 a^{10} + 34 a^{9} + 32 a^{8} + 36 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 31 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 25 }$ |
$=$ |
\( 3 a^{14} + 33 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 29 a^{10} + 28 a^{9} + 34 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 29 + \left(27 a^{14} + 29 a^{13} + 17 a^{12} + 35 a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + 27 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 34 a + 11\right)\cdot 37 + \left(21 a^{14} + 23 a^{13} + 11 a^{12} + 24 a^{11} + 8 a^{10} + 23 a^{9} + 34 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 30 a^{5} + 30 a^{4} + a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 37^{2} + \left(22 a^{14} + 13 a^{13} + 9 a^{12} + 26 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 37^{3} + \left(6 a^{14} + 29 a^{12} + 13 a^{11} + 22 a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 37^{4} + \left(14 a^{14} + 28 a^{13} + 22 a^{12} + 27 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 33 a^{8} + 31 a^{7} + 32 a^{5} + 35 a^{4} + 31 a^{3} + 18 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 37^{5} + \left(34 a^{14} + 9 a^{13} + 21 a^{12} + 28 a^{11} + 21 a^{10} + 14 a^{9} + 31 a^{8} + 11 a^{7} + 36 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 37^{6} + \left(30 a^{14} + 8 a^{13} + 3 a^{12} + 32 a^{11} + 27 a^{10} + 12 a^{9} + 19 a^{8} + 35 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 31 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 37^{7} + \left(10 a^{14} + 15 a^{13} + 21 a^{12} + 3 a^{11} + 35 a^{10} + 36 a^{9} + 12 a^{8} + 33 a^{7} + 23 a^{6} + 33 a^{5} + 29 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 26 }$ |
$=$ |
\( 12 a^{14} + 32 a^{13} + 8 a^{12} + 24 a^{11} + a^{10} + 35 a^{9} + 28 a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{2} + 24 a + 1 + \left(34 a^{14} + 30 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 14 a^{10} + 13 a^{9} + 34 a^{8} + 24 a^{7} + 34 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 25\right)\cdot 37 + \left(25 a^{14} + 6 a^{13} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 14 a^{9} + 33 a^{8} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{14} + 8 a^{13} + 7 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 34 a^{6} + 31 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 36 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 37^{3} + \left(21 a^{14} + 32 a^{13} + 14 a^{12} + 36 a^{11} + a^{10} + 21 a^{9} + 33 a^{8} + 6 a^{7} + 35 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 37^{4} + \left(31 a^{14} + 36 a^{13} + 24 a^{12} + 17 a^{11} + 23 a^{10} + 4 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 37^{5} + \left(21 a^{14} + 22 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 24 a^{9} + 34 a^{8} + 25 a^{7} + 31 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 35 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 37^{6} + \left(2 a^{14} + 35 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 2 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 37^{7} + \left(35 a^{14} + 8 a^{13} + 31 a^{12} + 31 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 32 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 27 }$ |
$=$ |
\( 14 a^{14} + a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 14 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 34 a + 23 + \left(13 a^{14} + 3 a^{12} + 25 a^{11} + 23 a^{10} + 34 a^{9} + 27 a^{8} + 36 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 37 + \left(2 a^{14} + 31 a^{13} + 5 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{14} + 11 a^{13} + 9 a^{12} + 9 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 5 a + 20\right)\cdot 37^{3} + \left(13 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 15 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 37^{4} + \left(8 a^{14} + 15 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 31 a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 35 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 37^{5} + \left(18 a^{14} + 15 a^{13} + a^{12} + 32 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 36 a^{5} + 32 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 37^{6} + \left(31 a^{14} + 35 a^{13} + 30 a^{12} + 20 a^{11} + 7 a^{10} + 27 a^{9} + 35 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 36 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 18\right)\cdot 37^{7} + \left(5 a^{14} + 21 a^{13} + 18 a^{12} + 27 a^{11} + 29 a^{10} + 6 a^{9} + 29 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 28 }$ |
$=$ |
\( 21 a^{13} + 16 a^{12} + 30 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 36 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 12 + \left(34 a^{13} + 20 a^{12} + 32 a^{11} + 4 a^{10} + 14 a^{9} + 32 a^{8} + 34 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 34 a + 20\right)\cdot 37 + \left(13 a^{14} + 20 a^{13} + 13 a^{12} + 4 a^{11} + 30 a^{10} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 33 a^{6} + 29 a^{5} + 33 a^{4} + a^{3} + 31 a + 34\right)\cdot 37^{2} + \left(4 a^{14} + 21 a^{13} + 27 a^{12} + 31 a^{11} + 34 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{14} + 19 a^{13} + 12 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 34 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 37^{4} + \left(3 a^{14} + 5 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 31 a^{7} + 29 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 32 a^{3} + a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 37^{5} + \left(18 a^{14} + 15 a^{13} + 4 a^{12} + 15 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 37^{6} + \left(25 a^{14} + 11 a^{13} + a^{12} + 35 a^{11} + 18 a^{10} + 30 a^{9} + 32 a^{8} + 7 a^{7} + 34 a^{5} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 37^{7} + \left(6 a^{14} + 2 a^{13} + 31 a^{12} + 28 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 35 a^{8} + 19 a^{7} + 24 a^{6} + 34 a^{5} + 3 a^{4} + 34 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 29 }$ |
$=$ |
\( 20 a^{14} + 28 a^{13} + 36 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 6 + \left(5 a^{14} + 14 a^{13} + 14 a^{12} + 21 a^{11} + 9 a^{10} + 35 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 37 + \left(35 a^{14} + 9 a^{13} + 33 a^{12} + 29 a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 33 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 37^{2} + \left(12 a^{14} + 5 a^{13} + a^{12} + 9 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 19 a^{8} + 32 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 34 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{14} + 26 a^{12} + 33 a^{11} + 33 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 35 a^{4} + 11 a^{3} + 32 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 37^{4} + \left(4 a^{14} + 29 a^{13} + 31 a^{12} + 30 a^{11} + 17 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 37^{5} + \left(2 a^{14} + 19 a^{13} + 7 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 28 a^{9} + 35 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 35 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 37^{6} + \left(11 a^{14} + 22 a^{13} + 9 a^{12} + 29 a^{11} + 14 a^{10} + 34 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 35 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 37^{7} + \left(2 a^{14} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + 36 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a + 21\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| $r_{ 30 }$ |
$=$ |
\( 35 a^{14} + 25 a^{13} + 2 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{10} + 35 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 29 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 5 + \left(27 a^{13} + 29 a^{12} + 5 a^{11} + 12 a^{10} + 34 a^{9} + 31 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 33 a + 14\right)\cdot 37 + \left(2 a^{14} + 25 a^{13} + 17 a^{12} + 24 a^{11} + 27 a^{10} + 35 a^{9} + 24 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{14} + 36 a^{13} + 24 a^{12} + 26 a^{11} + 10 a^{10} + 14 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 36 a^{6} + 34 a^{5} + 29 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 37^{3} + \left(7 a^{14} + a^{13} + 10 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 22 a^{9} + 34 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 35\right)\cdot 37^{4} + \left(13 a^{14} + 25 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 35 a^{10} + 34 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 37^{5} + \left(35 a^{14} + 18 a^{13} + 28 a^{12} + 32 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 37^{6} + \left(3 a^{13} + 14 a^{12} + 28 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 33 a^{4} + 31 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 37^{7} + \left(33 a^{14} + 33 a^{13} + 9 a^{12} + 6 a^{11} + 4 a^{10} + 31 a^{8} + 14 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 37^{8} +O(37^{9})\)
| |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$1$ | $2$ | $(1,16)(2,17)(3,18)(4,19)(5,20)(6,21)(7,22)(8,23)(9,24)(10,25)(11,26)(12,27)(13,28)(14,29)(15,30)$ | $-2$ |
$3$ | $2$ | $(1,11)(3,27)(4,23)(6,22)(7,21)(8,19)(12,18)(14,15)(16,26)(29,30)$ | $0$ |
$3$ | $2$ | $(1,26)(2,17)(3,12)(4,8)(5,20)(6,7)(9,24)(10,25)(11,16)(13,28)(14,30)(15,29)(18,27)(19,23)(21,22)$ | $0$ |
$2$ | $3$ | $(1,2,11)(3,27,13)(4,20,23)(5,8,19)(6,22,9)(7,24,21)(10,15,14)(12,28,18)(16,17,26)(25,30,29)$ | $-1$ |
$1$ | $5$ | $(1,19,7,14,12)(2,5,24,10,28)(3,26,23,6,30)(4,22,29,27,16)(8,21,15,18,11)(9,25,13,17,20)$ | $2 \zeta_{5}^{3}$ |
$1$ | $5$ | $(1,7,12,19,14)(2,24,28,5,10)(3,23,30,26,6)(4,29,16,22,27)(8,15,11,21,18)(9,13,20,25,17)$ | $2 \zeta_{5}$ |
$1$ | $5$ | $(1,14,19,12,7)(2,10,5,28,24)(3,6,26,30,23)(4,27,22,16,29)(8,18,21,11,15)(9,17,25,20,13)$ | $-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$ |
$1$ | $5$ | $(1,12,14,7,19)(2,28,10,24,5)(3,30,6,23,26)(4,16,27,29,22)(8,11,18,15,21)(9,20,17,13,25)$ | $2 \zeta_{5}^{2}$ |
$2$ | $6$ | $(1,26,2,16,11,17)(3,28,27,18,13,12)(4,8,20,19,23,5)(6,24,22,21,9,7)(10,29,15,25,14,30)$ | $1$ |
$1$ | $10$ | $(1,4,7,29,12,16,19,22,14,27)(2,20,24,25,28,17,5,9,10,13)(3,11,23,21,30,18,26,8,6,15)$ | $-2 \zeta_{5}^{3}$ |
$1$ | $10$ | $(1,29,19,27,7,16,14,4,12,22)(2,25,5,13,24,17,10,20,28,9)(3,21,26,15,23,18,6,11,30,8)$ | $2 \zeta_{5}^{3} + 2 \zeta_{5}^{2} + 2 \zeta_{5} + 2$ |
$1$ | $10$ | $(1,22,12,4,14,16,7,27,19,29)(2,9,28,20,10,17,24,13,5,25)(3,8,30,11,6,18,23,15,26,21)$ | $-2 \zeta_{5}$ |
$1$ | $10$ | $(1,27,14,22,19,16,12,29,7,4)(2,13,10,9,5,17,28,25,24,20)(3,15,6,8,26,18,30,21,23,11)$ | $-2 \zeta_{5}^{2}$ |
$3$ | $10$ | $(1,30,19,3,7,26,14,23,12,6)(2,25,5,13,24,17,10,20,28,9)(4,18,22,11,29,8,27,21,16,15)$ | $0$ |
$3$ | $10$ | $(1,3,14,6,19,26,12,30,7,23)(2,13,10,9,5,17,28,25,24,20)(4,11,27,15,22,8,16,18,29,21)$ | $0$ |
$3$ | $10$ | $(1,23,7,30,12,26,19,6,14,3)(2,20,24,25,28,17,5,9,10,13)(4,21,29,18,16,8,22,15,27,11)$ | $0$ |
$3$ | $10$ | $(1,6,12,23,14,26,7,3,19,30)(2,9,28,20,10,17,24,13,5,25)(4,15,16,21,27,8,29,11,22,18)$ | $0$ |
$3$ | $10$ | $(1,15,19,18,7,11,14,8,12,21)(2,10,5,28,24)(3,22,26,29,23,27,6,16,30,4)(9,17,25,20,13)$ | $0$ |
$3$ | $10$ | $(1,18,14,21,19,11,12,15,7,8)(2,28,10,24,5)(3,29,6,4,26,27,30,22,23,16)(9,20,17,13,25)$ | $0$ |
$3$ | $10$ | $(1,8,7,15,12,11,19,21,14,18)(2,5,24,10,28)(3,16,23,22,30,27,26,4,6,29)(9,25,13,17,20)$ | $0$ |
$3$ | $10$ | $(1,21,12,8,14,11,7,18,19,15)(2,24,28,5,10)(3,4,30,16,6,27,23,29,26,22)(9,13,20,25,17)$ | $0$ |
$2$ | $15$ | $(1,8,24,14,18,2,19,21,10,12,11,5,7,15,28)(3,17,4,6,25,27,26,20,22,30,13,16,23,9,29)$ | $-\zeta_{5}^{3}$ |
$2$ | $15$ | $(1,24,18,19,10,11,7,28,8,14,2,21,12,5,15)(3,4,25,26,22,13,23,29,17,6,27,20,30,16,9)$ | $-\zeta_{5}$ |
$2$ | $15$ | $(1,18,10,7,8,2,12,15,24,19,11,28,14,21,5)(3,25,22,23,17,27,30,9,4,26,13,29,6,20,16)$ | $-\zeta_{5}^{2}$ |
$2$ | $15$ | $(1,10,8,12,24,11,14,5,18,7,2,15,19,28,21)(3,22,17,30,4,13,6,16,25,23,27,9,26,29,20)$ | $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5} + 1$ |
$2$ | $30$ | $(1,25,8,27,24,26,14,20,18,22,2,30,19,13,21,16,10,23,12,9,11,29,5,3,7,17,15,4,28,6)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - \zeta_{5} - 1$ |
$2$ | $30$ | $(1,20,21,29,28,26,19,9,15,27,2,23,7,25,18,16,5,6,14,13,11,4,24,30,12,17,8,22,10,3)$ | $\zeta_{5}^{3}$ |
$2$ | $30$ | $(1,13,15,22,5,26,12,25,21,4,2,3,14,9,8,16,28,30,7,20,11,27,10,6,19,17,18,29,24,23)$ | $\zeta_{5}^{2}$ |
$2$ | $30$ | $(1,9,18,4,10,26,7,13,8,29,2,6,12,20,15,16,24,3,19,25,11,22,28,23,14,17,21,27,5,30)$ | $\zeta_{5}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.