LMFDB - Galois orbit of Artin representations 2.1932.12t18.c

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$1932$$\medspace = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 23 $
Artin number field:	Galois closure of 12.0.1061320743147442176.2
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Projective image:	$S_3$
Projective field:	Galois closure of 3.1.13524.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17x^{3} + 17x^{2} + 6x + 2 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 3 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 13 + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 6 a^{2}\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 3a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 9a + 13 + (11a^5 + 7a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 9a + 12)19 + (12a^5 + 6a^2)19^2 + (12a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 2a + 18)19^3 + (15a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 3a + 2)19^4 + (12a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 6a^2 + a + 14)19^5 + (10a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 7a + 7)19^6 + (2a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 11)19^7 + (2a^5 + a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 15a + 9)19^8+O(19^9)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 4 + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 8a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 2a + 4 + (4a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 4a^2 + a + 7)19 + (12a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 4a + 15)19^2 + (6a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 13)19^3 + (16a^4 + a^3 + 13a^2 + 8a + 6)19^4 + (a^5 + 14a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 10a + 2)19^5 + (8a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 14a + 6)19^6 + (a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 17a + 16)19^7 + (13a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 12a + 4)19^8+O(19^9)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2 + \left(18 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 7a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 8a + 2 + (18a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 18a + 17)19 + (17a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 7a + 11)19^2 + (12a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 15a + 17)19^3 + (18a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 3a + 11)19^4 + (2a^5 + 2a^4 + a^3 + 4a^2 + 5a + 17)19^5 + (16a^5 + 5a^3 + 8a^2 + 13a + 1)19^6 + (13a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 14a + 10)19^7 + (10a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 4a + 4)19^8+O(19^9)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 6 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 13 + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 6a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 13a + 13 + (7a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 18a)19 + (9a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 12a + 13)19^2 + (14a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 9a + 17)19^3 + (9a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 12a + 14)19^4 + (8a^5 + 5a^4 + a^3 + 5a^2 + 6a + 14)19^5 + (5a^5 + a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 9a + 9)19^6 + (2a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 17a^2 + 5a + 10)19^7 + (7a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 9a + 7)19^8+O(19^9)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1 + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 5a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 11a + 1 + (13a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 7a + 8)19 + (14a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 17a + 9)19^2 + (2a^5 + 16a^3 + 17a^2 + 14a + 12)19^3 + (15a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 3a + 17)19^4 + (a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 10a + 1)19^5 + (14a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 5a + 12)19^6 + (18a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 18a + 11)19^7 + (3a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 5a)19^8+O(19^9)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 2 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 1 + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19 + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 2a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 3a + 1 + (11a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 15a + 5)19 + (10a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 8a + 12)19^2 + (4a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 3a + 12)19^3 + (9a^5 + 13a^4 + 10a^2 + 12a + 1)19^4 + (2a^5 + 7a^3 + 10a^2 + 6a + 14)19^5 + (17a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 2a + 17)19^6 + (15a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 11a)19^7 + (14a^5 + a^4 + 15a^3 + a^2 + 18a + 12)*19^8+O(19^9)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 15 + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 4a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 10a + 15 + (7a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 11a^2 + 9a + 18)19 + (4a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 13a + 18)19^2 + (7a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 5a + 17)19^3 + (16a^5 + 11a^4 + 8a^2 + 15a + 12)19^4 + (3a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 13a + 5)19^5 + (7a^5 + 16a^4 + 12a^3 + a^2 + 3a + 18)19^6 + (5a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 16a + 12)19^7 + (8a^5 + 12a^3 + 12a^2 + 16a + 16)19^8+O(19^9)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 5 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 11 + \left(8 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 5a^5 + a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 7a + 11 + (8a^4 + a^3 + 9a^2 + 6a)19 + (a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 17a + 7)19^2 + (10a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 10a + 10)19^3 + (6a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 16a + 5)19^4 + (8a^5 + 16a^4 + 12a^2 + a + 11)19^5 + (10a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 17a + 16)19^6 + (6a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 15a + 1)19^7 + (11a^5 + 18a^4 + a^3 + 3a^2 + 12a + 6)19^8+O(19^9)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 18 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 16 + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 18a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 13a + 16 + (3a^5 + 12a^4 + a^3 + 2a^2 + 3a + 11)19 + (3a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 15a^2 + 7a + 10)19^2 + (a^5 + a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 4a + 18)19^3 + (10a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 18a + 4)19^4 + (12a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 6a + 15)19^5 + (8a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 11a + 17)19^6 + (9a^5 + a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 4a + 17)19^7 + (10a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 17a + 4)*19^8+O(19^9)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 15 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 8 + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 15a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 8a + 8 + (2a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 17a + 13)19 + (3a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 10a + 17)19^2 + (10a^5 + a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 16a + 2)19^3 + (18a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 10a + 2)19^4 + (5a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 7a + 4)19^5 + (6a^4 + 5a^3 + 6a + 16)19^6 + (17a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 5a + 4)19^7 + (2a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 11a + 9)19^8+O(19^9)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 11 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 8 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 11a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 6a + 8 + (15a^5 + 12a^4 + 13a^3 + a^2 + 13a + 3)19 + (12a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 5a^2 + a + 16)19^2 + (9a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 8a + 6)19^3 + (4a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 11a + 6)19^4 + (5a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 17a + 16)19^5 + (10a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 5a + 11)19^6 + (11a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 11a + 5)19^7 + (13a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 17a + 13)19^8+O(19^9)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 17 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 5 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 4 a^{3} + a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})$ 17a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 5a + 5 + (18a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 12a + 15)19 + (11a^5 + 7a^3 + 17a^2 + 11a + 18)19^2 + (2a^5 + 12a^4 + a^3 + 6a^2 + 3a + 2)19^3 + (12a^5 + 17a^3 + 3a^2 + 17a + 7)19^4 + (10a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 6a + 15)19^5 + (15a^5 + 4a^3 + a^2 + 17a + 15)19^6 + (9a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 11a + 9)19^7 + (15a^5 + 14a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 9a + 5)19^8+O(19^9)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(1,11,10,7,5,4)(2,6,3,8,12,9)$
$(2,3,12)(6,8,9)$
$(1,3,10,2,5,12)(4,8,11,6,7,9)$
$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character values
			$c1$	$c2$
$1$	$1$	$()$	$2$	$2$
$1$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$	$-2$	$-2$
$3$	$2$	$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)(9,11)(10,12)$	$0$	$0$
$3$	$2$	$(1,9)(2,4)(3,7)(5,6)(8,10)(11,12)$	$0$	$0$
$1$	$3$	$(1,10,5)(2,12,3)(4,11,7)(6,9,8)$	$2 \zeta_{3}$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$1$	$3$	$(1,5,10)(2,3,12)(4,7,11)(6,8,9)$	$-2 \zeta_{3} - 2$	$2 \zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,10,5)(2,3,12)(4,11,7)(6,8,9)$	$-1$	$-1$
$2$	$3$	$(2,3,12)(6,8,9)$	$-\zeta_{3}$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(2,12,3)(6,9,8)$	$\zeta_{3} + 1$	$-\zeta_{3}$
$1$	$6$	$(1,4,5,7,10,11)(2,6,3,8,12,9)$	$-2 \zeta_{3}$	$2 \zeta_{3} + 2$
$1$	$6$	$(1,11,10,7,5,4)(2,9,12,8,3,6)$	$2 \zeta_{3} + 2$	$-2 \zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,11,10,7,5,4)(2,6,3,8,12,9)$	$1$	$1$
$2$	$6$	$(1,11,10,7,5,4)(2,8)(3,9)(6,12)$	$\zeta_{3}$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,4,5,7,10,11)(2,8)(3,9)(6,12)$	$-\zeta_{3} - 1$	$\zeta_{3}$
$3$	$6$	$(1,3,10,2,5,12)(4,8,11,6,7,9)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,12,5,2,10,3)(4,9,7,6,11,8)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,6,10,9,5,8)(2,7,12,4,3,11)$	$0$	$0$
$3$	$6$	$(1,8,5,9,10,6)(2,11,3,4,12,7)$	$0$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1932.12t18.c
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$1932$
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 3 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 13 + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 6 a^{2}\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 3a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 9a + 13 + (11a^5 + 7a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 9a + 12)19 + (12a^5 + 6a^2)19^2 + (12a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 2a + 18)19^3 + (15a^5 + 18a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 3a + 2)19^4 + (12a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 6a^2 + a + 14)19^5 + (10a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 7a + 7)19^6 + (2a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 11)19^7 + (2a^5 + a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 15a + 9)19^8+O(19^9)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 4 + \left(4 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 8a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 2a + 4 + (4a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 4a^2 + a + 7)19 + (12a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 4a + 15)19^2 + (6a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 13)19^3 + (16a^4 + a^3 + 13a^2 + 8a + 6)19^4 + (a^5 + 14a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 10a + 2)19^5 + (8a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 14a + 6)19^6 + (a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 17a + 16)19^7 + (13a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 12a + 4)19^8+O(19^9)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 2 + \left(18 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19 + \left(17 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{5} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 7a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 8a + 2 + (18a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 18a + 17)19 + (17a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 7a + 11)19^2 + (12a^5 + 16a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 15a + 17)19^3 + (18a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 3a + 11)19^4 + (2a^5 + 2a^4 + a^3 + 4a^2 + 5a + 17)19^5 + (16a^5 + 5a^3 + 8a^2 + 13a + 1)19^6 + (13a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 14a + 10)19^7 + (10a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 4a + 4)19^8+O(19^9)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 6 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 13 + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 6a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 13a + 13 + (7a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 18a)19 + (9a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 12a + 13)19^2 + (14a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 9a + 17)19^3 + (9a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 12a + 14)19^4 + (8a^5 + 5a^4 + a^3 + 5a^2 + 6a + 14)19^5 + (5a^5 + a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 9a + 9)19^6 + (2a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 17a^2 + 5a + 10)19^7 + (7a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 9a + 7)19^8+O(19^9)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1 + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19 + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 5a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 11a + 1 + (13a^5 + 12a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 7a + 8)19 + (14a^5 + 13a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 17a + 9)19^2 + (2a^5 + 16a^3 + 17a^2 + 14a + 12)19^3 + (15a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 3a + 17)19^4 + (a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 12a^2 + 10a + 1)19^5 + (14a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 5a + 12)19^6 + (18a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 18a + 11)19^7 + (3a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 5a)19^8+O(19^9)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 2 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 1 + \left(11 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19 + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 2a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 3a + 1 + (11a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 15a + 5)19 + (10a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 8a + 12)19^2 + (4a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 3a + 12)19^3 + (9a^5 + 13a^4 + 10a^2 + 12a + 1)19^4 + (2a^5 + 7a^3 + 10a^2 + 6a + 14)19^5 + (17a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 2a + 17)19^6 + (15a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 11a)19^7 + (14a^5 + a^4 + 15a^3 + a^2 + 18a + 12)*19^8+O(19^9)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 15 + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19 + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{5} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 4a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 10a + 15 + (7a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 11a^2 + 9a + 18)19 + (4a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 13a + 18)19^2 + (7a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 5a + 17)19^3 + (16a^5 + 11a^4 + 8a^2 + 15a + 12)19^4 + (3a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 4a^2 + 13a + 5)19^5 + (7a^5 + 16a^4 + 12a^3 + a^2 + 3a + 18)19^6 + (5a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 16a + 12)19^7 + (8a^5 + 12a^3 + 12a^2 + 16a + 16)19^8+O(19^9)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 5 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 11 + \left(8 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19 + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 5a^5 + a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 7a + 11 + (8a^4 + a^3 + 9a^2 + 6a)19 + (a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 17a + 7)19^2 + (10a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 10a + 10)19^3 + (6a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 16a + 5)19^4 + (8a^5 + 16a^4 + 12a^2 + a + 11)19^5 + (10a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 17a + 16)19^6 + (6a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 15a + 1)19^7 + (11a^5 + 18a^4 + a^3 + 3a^2 + 12a + 6)19^8+O(19^9)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 18 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 16 + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 18a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 13a + 16 + (3a^5 + 12a^4 + a^3 + 2a^2 + 3a + 11)19 + (3a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 15a^2 + 7a + 10)19^2 + (a^5 + a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 4a + 18)19^3 + (10a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 18a + 4)19^4 + (12a^5 + 18a^4 + 3a^3 + 9a^2 + 6a + 15)19^5 + (8a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 11a + 17)19^6 + (9a^5 + a^4 + 6a^3 + 6a^2 + 4a + 17)19^7 + (10a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 17a + 4)*19^8+O(19^9)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 15 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 8 + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 15a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 8a + 8 + (2a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 17a + 13)19 + (3a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 10a + 17)19^2 + (10a^5 + a^4 + 16a^3 + 2a^2 + 16a + 2)19^3 + (18a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 10a + 2)19^4 + (5a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 7a + 4)19^5 + (6a^4 + 5a^3 + 6a + 16)19^6 + (17a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 5a + 4)19^7 + (2a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 11a + 9)19^8+O(19^9)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 11 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 8 + \left(15 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 11a^5 + 5a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 6a + 8 + (15a^5 + 12a^4 + 13a^3 + a^2 + 13a + 3)19 + (12a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 5a^2 + a + 16)19^2 + (9a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 8a + 6)19^3 + (4a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 11a + 6)19^4 + (5a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 17a + 16)19^5 + (10a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 5a + 11)19^6 + (11a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 11a + 5)19^7 + (13a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 17a + 13)19^8+O(19^9)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 17 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 5 + \left(18 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19 + \left(11 a^{5} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{5} + 4 a^{3} + a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{8} +O(19^{9})\) 17a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 5a + 5 + (18a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 12a + 15)19 + (11a^5 + 7a^3 + 17a^2 + 11a + 18)19^2 + (2a^5 + 12a^4 + a^3 + 6a^2 + 3a + 2)19^3 + (12a^5 + 17a^3 + 3a^2 + 17a + 7)19^4 + (10a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 6a + 15)19^5 + (15a^5 + 4a^3 + a^2 + 17a + 15)19^6 + (9a^5 + 8a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 11a + 9)19^7 + (15a^5 + 14a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 9a + 5)19^8+O(19^9)