# Properties

 Label 2.191.13t2.a Dimension $2$ Group $D_{13}$ Conductor $191$ Indicator $1$

# Learn more

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: $D_{13}$ Conductor: $$191$$ Frobenius-Schur indicator: $1$ Root number: $1$ Artin number field: Galois closure of 13.1.48551226272641.1 Galois orbit size: $6$ Smallest permutation container: $D_{13}$ Parity: odd Projective image: $D_{13}$ Projective field: 13.1.48551226272641.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $$x^{13} + 15 x + 14$$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$a^{12} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{4} + 5 a^{2} + 4 a + 14 + \left(7 a^{12} + 2 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17 + \left(4 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{12} + 3 a^{11} + 15 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{12} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$a^{12} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 14 + \left(6 a^{12} + 6 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 17 + \left(7 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$2 a^{12} + 15 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3 + \left(5 a^{12} + 2 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17 + \left(4 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{12} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$3 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 14 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 9 + \left(12 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17 + \left(7 a^{11} + 5 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$4 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 15 + \left(14 a^{12} + 2 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17 + \left(5 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{12} + 11 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(13 a^{12} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$6 a^{12} + 6 a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 10 + \left(15 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17 + \left(9 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{12} + 5 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$9 a^{12} + 3 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 5 a + 11 + \left(12 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 15 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17 + \left(10 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 12 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{12} + 2 a^{11} + 13 a^{10} + 6 a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(4 a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$11 a^{12} + 11 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + a + 6 + \left(16 a^{11} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17 + \left(15 a^{12} + 7 a^{11} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{12} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 8 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$12 a^{12} + 5 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{2} + 10 a + 12 + \left(14 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 17 + \left(10 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{12} + 10 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$12 a^{12} + 6 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 12 + \left(7 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 4\right)\cdot 17 + \left(6 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{12} + 16 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{12} + 16 a^{11} + 8 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$13 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 1 + \left(4 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17 + \left(9 a^{12} + 5 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{12} + 9 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$13 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1 + \left(5 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17 + \left(15 a^{12} + 6 a^{11} + 15 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 6 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{11} + 3 a^{10} + 16 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$15 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 13 + \left(16 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17 + \left(a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 16 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 13 }$

 Cycle notation $(1,5)(2,6)(3,8)(4,7)(9,13)(10,11)$ $(1,10)(2,13)(3,6)(4,8)(7,11)(9,12)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 13 }$ Character values $c1$ $c2$ $c3$ $c4$ $c5$ $c6$ $1$ $1$ $()$ $2$ $2$ $2$ $2$ $2$ $2$ $13$ $2$ $(1,5)(2,6)(3,8)(4,7)(9,13)(10,11)$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $2$ $13$ $(1,5,10,7,8,6,13,12,9,2,3,4,11)$ $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$ $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ $2$ $13$ $(1,10,8,13,9,3,11,5,7,6,12,2,4)$ $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$ $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ $2$ $13$ $(1,7,13,2,11,10,6,9,4,5,8,12,3)$ $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$ $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ $2$ $13$ $(1,8,9,11,7,12,4,10,13,3,5,6,2)$ $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$ $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ $2$ $13$ $(1,6,3,10,12,11,8,2,5,13,4,7,9)$ $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$ $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ $2$ $13$ $(1,13,11,6,4,8,3,7,2,10,9,5,12)$ $-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$ $\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$ $\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$ $\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$ $\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$ $\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.