# Properties

 Label 2.183.10t6.a.d Dimension $2$ Group $C_5\times D_5$ Conductor $183$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: 25T3 Conductor: $$183$$$$\medspace = 3 \cdot 61$$ Artin stem field: 25.5.30047562514932432943626078739673704593849.1 Galois orbit size: $4$ Smallest permutation container: $D_5\times C_5$ Parity: odd Determinant: 1.183.10t1.a.d Projective image: $D_5$ Projective stem field: 5.1.124612569.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{25} - 3 x^{24} + x^{23} - 15 x^{22} + 13 x^{21} - 5 x^{20} + 130 x^{19} - 132 x^{18} - 21 x^{17} + 437 x^{16} - 1713 x^{15} + 747 x^{14} + 4817 x^{13} - 3107 x^{12} - 7887 x^{11} + 4826 x^{10} + 5380 x^{9} - 3452 x^{8} + 864 x^{7} - 1052 x^{6} + 266 x^{5} - 67 x^{4} + 75 x^{3} - 10 x^{2} + 9 x - 1$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 41 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 41 }$: $$x^{10} + 3 x^{5} + 31 x^{4} + 8 x^{3} + 20 x^{2} + 30 x + 6$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$26 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 32 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 31 a^{2} + 3 a + 38 + \left(25 a^{9} + 33 a^{8} + 23 a^{7} + 35 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 41 + \left(16 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 34 a^{6} + 9 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 41^{2} + \left(27 a^{9} + 17 a^{8} + 38 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 35 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 41^{3} + \left(28 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 36 a^{6} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 41^{4} + \left(25 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 39 a^{6} + 18 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 41^{5} + \left(4 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 38 a^{3} + 2 a^{2} + 39 a + 15\right)\cdot 41^{6} + \left(33 a^{9} + 22 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 36 a^{3} + 35 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 41^{7} + \left(36 a^{9} + 33 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 37 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 41^{8} + \left(36 a^{9} + 35 a^{8} + 14 a^{7} + 33 a^{6} + 24 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 32 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$14 a^{9} + 17 a^{8} + 37 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 31 a^{2} + 18 a + 25 + \left(27 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 37 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 41 + \left(2 a^{9} + 34 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 41^{2} + \left(26 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 33\right)\cdot 41^{3} + \left(29 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 33 a^{6} + 35 a^{5} + 37 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 41^{4} + \left(23 a^{9} + 36 a^{8} + 7 a^{7} + 24 a^{6} + 30 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 41^{5} + \left(27 a^{9} + 35 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 37 a^{4} + 38 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 41^{6} + \left(38 a^{9} + 29 a^{8} + 38 a^{7} + 40 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 41^{7} + \left(3 a^{9} + 30 a^{8} + 36 a^{7} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 41^{8} + \left(24 a^{9} + 31 a^{8} + 30 a^{7} + 26 a^{6} + 36 a^{5} + 40 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 39 a + 40\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$6 a^{9} + 25 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 35 + \left(40 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 12 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 41 + \left(11 a^{9} + 13 a^{8} + 34 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 38 a^{4} + 23 a^{3} + 36 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 41^{2} + \left(6 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 38 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 41^{3} + \left(40 a^{9} + 34 a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 41^{4} + \left(38 a^{8} + 22 a^{7} + 33 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 34 a + 11\right)\cdot 41^{5} + \left(13 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 39 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 41^{6} + \left(2 a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 41^{7} + \left(6 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 41^{8} + \left(12 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 36 a^{5} + 39 a^{4} + 20 a^{3} + 33 a^{2} + 36 a + 6\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$12 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 40 a^{2} + 9 a + 18 + \left(16 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 33 a^{3} + 34 a^{2} + 23 a + 38\right)\cdot 41 + \left(7 a^{9} + 12 a^{8} + 34 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 14 a^{4} + 31 a^{3} + 3 a^{2} + a + 21\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{9} + 35 a^{8} + 33 a^{7} + 24 a^{6} + 27 a^{5} + 37 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 28\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{9} + 35 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 37 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 41^{4} + \left(2 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 41^{5} + \left(3 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 41^{6} + \left(20 a^{9} + 24 a^{8} + 33 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 34 a^{3} + 36 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 41^{7} + \left(40 a^{9} + 35 a^{8} + 35 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 34 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 41^{8} + \left(15 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$14 a^{9} + 26 a^{8} + 33 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 22 a + 34 + \left(5 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 17 a^{6} + 32 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 41 + \left(34 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 37 a^{6} + 39 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 41^{2} + \left(27 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 37 a^{3} + 23 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 41^{3} + \left(26 a^{9} + 8 a^{8} + 40 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 41^{4} + \left(38 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 36 a^{6} + 32 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 37 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 41^{5} + \left(17 a^{9} + 31 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 40 a^{4} + 23 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 41^{6} + \left(30 a^{9} + 10 a^{8} + 36 a^{7} + 8 a^{6} + 33 a^{5} + 36 a^{4} + 24 a^{3} + 32 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 41^{7} + \left(10 a^{9} + 29 a^{8} + 33 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 32 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 41^{8} + \left(5 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{5} + 34 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$2 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 37 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 11 + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 34 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 17\right)\cdot 41 + \left(8 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 41^{2} + \left(20 a^{9} + 16 a^{8} + 35 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 41^{3} + \left(36 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 24 a^{4} + 37 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 41^{4} + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 37 a^{4} + 34 a^{3} + 2 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 41^{5} + \left(14 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 22 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 41^{6} + \left(10 a^{9} + 30 a^{8} + 40 a^{7} + 33 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 41^{7} + \left(32 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 41^{8} + \left(15 a^{9} + 15 a^{8} + 31 a^{7} + 26 a^{6} + 38 a^{5} + 13 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$39 a^{9} + 35 a^{8} + 13 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 6 a^{2} + 39 a + 20 + \left(28 a^{9} + 20 a^{8} + 34 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 41 + \left(13 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 20 a^{6} + 32 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 41^{2} + \left(3 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 35 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 41^{3} + \left(28 a^{9} + 38 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 41^{4} + \left(13 a^{9} + 39 a^{8} + 39 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(19 a^{9} + 34 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 41^{6} + \left(21 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 41^{7} + \left(16 a^{9} + 36 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 36 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 41^{8} + \left(21 a^{9} + 2 a^{8} + 32 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 40 a + 17\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$16 a^{9} + 7 a^{8} + 39 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 34 a + 20 + \left(37 a^{9} + 35 a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 41 + \left(13 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 41^{2} + \left(12 a^{9} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + 39 a^{5} + 33 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 41^{3} + \left(16 a^{9} + 22 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 30 a\right)\cdot 41^{4} + \left(34 a^{9} + 39 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(16 a^{9} + 17 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 40 a^{5} + 11 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 41^{6} + \left(3 a^{9} + 31 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 39 a + 22\right)\cdot 41^{7} + \left(32 a^{9} + 27 a^{8} + 36 a^{7} + 15 a^{6} + 36 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 41^{8} + \left(14 a^{9} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$a^{9} + 12 a^{8} + 37 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 32 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 36 a + 3 + \left(7 a^{9} + 34 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 39 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 41 + \left(18 a^{9} + 31 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 35 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 41^{2} + \left(32 a^{9} + 26 a^{8} + 33 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 36 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 41^{3} + \left(35 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 34 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 36\right)\cdot 41^{4} + \left(26 a^{9} + 2 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 41^{5} + \left(6 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 34 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 41^{6} + \left(25 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 41^{7} + \left(37 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 41^{8} + \left(5 a^{9} + 15 a^{8} + 38 a^{7} + 36 a^{6} + 3 a^{5} + 37 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$22 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 39 a^{6} + 39 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 31 a^{2} + 24 a + 39 + \left(23 a^{9} + 32 a^{8} + 3 a^{7} + 35 a^{6} + 22 a^{5} + 31 a^{4} + 23 a^{3} + 39 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 41 + \left(5 a^{9} + 16 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 36 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 41^{2} + \left(31 a^{9} + 40 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 33 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 41^{3} + \left(28 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 31 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 33 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 41^{4} + \left(21 a^{9} + 2 a^{8} + 38 a^{7} + 13 a^{6} + 40 a^{5} + 39 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 41^{5} + \left(6 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 36 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 41^{6} + \left(26 a^{9} + 17 a^{8} + 39 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 41^{7} + \left(9 a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 37 a^{3} + 32 a^{2} + 32 a + 15\right)\cdot 41^{8} + \left(23 a^{9} + 23 a^{8} + 31 a^{7} + 34 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$22 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 37 a^{5} + 10 a^{4} + 40 a^{3} + 25 a + 30 + \left(14 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 23 a^{3} + 31 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 41 + \left(7 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + 34 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 38 a^{2} + a + 5\right)\cdot 41^{2} + \left(37 a^{9} + 39 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 41^{3} + \left(5 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 31 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 37 a^{3} + 35 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 41^{4} + \left(27 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 31 a + 34\right)\cdot 41^{5} + \left(26 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 36 a^{2} + 8\right)\cdot 41^{6} + \left(35 a^{9} + 38 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 31 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 41^{7} + \left(17 a^{9} + 4 a^{8} + 36 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 32 a + 22\right)\cdot 41^{8} + \left(10 a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 36 a^{6} + 11 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$20 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 9 + \left(7 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 41 + \left(20 a^{9} + 21 a^{7} + 39 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a + 11\right)\cdot 41^{2} + \left(11 a^{9} + 37 a^{8} + 23 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 35 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 39\right)\cdot 41^{3} + \left(8 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 34 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 41^{4} + \left(19 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 31 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 41^{5} + \left(20 a^{9} + 34 a^{8} + 37 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 41^{6} + \left(36 a^{9} + 33 a^{8} + 14 a^{7} + 34 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 36 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 41^{7} + \left(5 a^{9} + 36 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 41^{8} + \left(a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$18 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 37 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 35 a^{2} + 3 a + 34 + \left(36 a^{9} + 30 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 39 a^{3} + 32 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 41 + \left(26 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 39 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{4} + 18 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 41^{3} + \left(28 a^{9} + 36 a^{8} + 40 a^{7} + 22 a^{6} + 34 a^{5} + 37 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 41^{4} + \left(20 a^{9} + 31 a^{8} + 34 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 15 a^{4} + 34 a^{3} + 30 a^{2} + 34 a + 17\right)\cdot 41^{5} + \left(32 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 39 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 38 a + 33\right)\cdot 41^{6} + \left(31 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 41^{7} + \left(6 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 36 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 41^{8} + \left(21 a^{9} + 33 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$37 a^{9} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 33 a^{6} + 19 a^{5} + 33 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 1 + \left(11 a^{9} + 37 a^{8} + 7 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 35 a^{4} + 34 a^{3} + 31 a^{2} + 17 a\right)\cdot 41 + \left(9 a^{9} + 36 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 35\right)\cdot 41^{2} + \left(15 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 37 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 26 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 41^{3} + \left(18 a^{9} + 36 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 41^{4} + \left(17 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 34 a^{6} + 32 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 41^{5} + \left(25 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 34 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 41^{6} + \left(17 a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 40 a^{6} + 38 a^{5} + 37 a^{4} + 32 a^{3} + a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 41^{7} + \left(a^{9} + 7 a^{8} + 40 a^{7} + 16 a^{6} + 35 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 39 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 41^{8} + \left(26 a^{9} + 30 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 31 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$18 a^{9} + 18 a^{8} + 31 a^{7} + 3 a^{6} + 36 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 31 a^{2} + 2 a + 31 + \left(33 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 40 a^{5} + 18 a^{4} + 35 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 41 + \left(14 a^{9} + 19 a^{8} + 38 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 33 a^{4} + 35 a^{3} + 31 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 41^{2} + \left(11 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 33 a^{3} + 28 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 41^{3} + \left(8 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 41^{4} + \left(15 a^{9} + 31 a^{8} + 39 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 3 a^{2} + a + 20\right)\cdot 41^{5} + \left(12 a^{9} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 21\right)\cdot 41^{6} + \left(a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 41^{7} + \left(9 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 37 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 41^{8} + \left(29 a^{9} + 34 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 40 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$30 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 39 a^{6} + 38 a^{5} + 40 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 31 + \left(a^{9} + 30 a^{8} + 33 a^{7} + a^{6} + 22 a^{4} + 31 a^{3} + 9 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 41 + \left(5 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 41^{2} + \left(37 a^{9} + 38 a^{8} + 32 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 11 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 41^{3} + \left(18 a^{9} + 36 a^{8} + 27 a^{7} + 36 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 41^{4} + \left(a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 41^{5} + \left(18 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + a + 37\right)\cdot 41^{6} + \left(20 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 35 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 41^{7} + \left(40 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 32 a^{5} + 36 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 35 a + 31\right)\cdot 41^{8} + \left(36 a^{9} + 35 a^{8} + 8 a^{7} + 40 a^{6} + 36 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$3 a^{9} + 28 a^{8} + 20 a^{7} + 28 a^{6} + 33 a^{5} + 37 a^{4} + 17 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 25 + \left(11 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 41 + \left(29 a^{9} + 40 a^{8} + 39 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 39 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 41^{2} + \left(38 a^{9} + 26 a^{8} + 39 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 41^{3} + \left(7 a^{9} + 36 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 32 a^{5} + 39 a^{4} + 37 a^{3} + 2 a\right)\cdot 41^{4} + \left(4 a^{9} + 40 a^{8} + 23 a^{7} + 32 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 38 a^{3} + 19 a^{2} + 36 a + 9\right)\cdot 41^{5} + \left(31 a^{9} + 30 a^{8} + 33 a^{7} + 27 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 39 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 41^{6} + \left(26 a^{9} + 35 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 40 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 41^{7} + \left(a^{9} + 18 a^{8} + 31 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 39 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 41^{8} + \left(22 a^{9} + 35 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 36 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 31 a + 29\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$17 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 34 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 34 a^{2} + 24 + \left(22 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 35 a^{6} + 25 a^{5} + 36 a^{4} + 5 a^{3} + 40 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 41 + \left(a^{9} + 30 a^{8} + 19 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 41^{3} + \left(7 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + 15 a^{6} + 23 a^{5} + 32 a^{4} + 18 a^{3} + 38 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 41^{4} + \left(8 a^{9} + 37 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 32 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 41^{5} + \left(39 a^{8} + 26 a^{7} + 17 a^{5} + 32 a^{4} + 37 a^{3} + 26 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 41^{6} + \left(17 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 34 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 21 a^{3} + 40 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 41^{7} + \left(39 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 35 a^{6} + 28 a^{4} + 39 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 41^{8} + \left(35 a^{9} + 37 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 39 a^{3} + 23 a^{2} + 33\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$11 a^{9} + 22 a^{8} + 11 a^{7} + 37 a^{6} + 35 a^{5} + 8 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a^{2} + 15 a + 6 + \left(10 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 40 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 41 + \left(21 a^{9} + 28 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 31 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 41^{2} + \left(13 a^{9} + 24 a^{8} + 31 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 28 a^{3} + 35 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 41^{3} + \left(40 a^{9} + 23 a^{8} + 34 a^{7} + 25 a^{6} + 33 a^{5} + 35 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 41^{4} + \left(35 a^{9} + 30 a^{8} + 7 a^{7} + 36 a^{6} + 39 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{3} + 40 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 41^{5} + \left(2 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 41^{6} + \left(34 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 40 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 41^{7} + \left(4 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 34 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 41^{8} + \left(37 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 37 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$30 a^{9} + 34 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 1 + \left(37 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 33 a^{3} + 32 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 41 + \left(34 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 30 a^{5} + 40 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 41^{2} + \left(12 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 41^{3} + \left(22 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 32 a^{4} + 38 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 41^{4} + \left(13 a^{9} + 28 a^{8} + 35 a^{7} + 7 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 41^{5} + \left(24 a^{9} + 23 a^{8} + 37 a^{7} + 18 a^{6} + 31 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 41^{6} + \left(8 a^{9} + 31 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 32 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 41^{7} + \left(24 a^{9} + 37 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 31 a^{5} + 12 a^{4} + 30 a^{3} + 32 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 41^{8} + \left(15 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 33 a^{6} + 16 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 11 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$10 a^{9} + 39 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 39 a^{4} + a^{3} + 33 a^{2} + 33 a + 9 + \left(20 a^{9} + 9 a^{8} + 37 a^{7} + 10 a^{6} + 37 a^{5} + 13 a^{4} + 35 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 41 + \left(27 a^{9} + 3 a^{8} + 32 a^{7} + 30 a^{6} + 33 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 41^{2} + \left(16 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 41^{3} + \left(10 a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + 37 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 33 a + 13\right)\cdot 41^{4} + \left(10 a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 41^{5} + \left(13 a^{9} + 32 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 41^{6} + \left(16 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 36 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 41^{7} + \left(32 a^{9} + 2 a^{8} + 32 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 38 a^{4} + 39 a^{3} + 39 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 41^{8} + \left(19 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 29 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$27 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 38 a^{6} + 37 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 8 + \left(26 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 31 a^{4} + 2 a^{3} + 32 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 41 + \left(27 a^{9} + 26 a^{8} + 39 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 34 a\right)\cdot 41^{2} + \left(29 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 41^{3} + \left(39 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 40 a^{3} + 33 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 41^{4} + \left(18 a^{9} + 40 a^{8} + 34 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 41^{5} + \left(25 a^{9} + 22 a^{8} + 20 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 34 a^{4} + 32 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 41^{6} + \left(31 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 32 a^{6} + 32 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 41^{7} + \left(2 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 41^{8} + \left(10 a^{9} + 31 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 31 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$11 a^{9} + 10 a^{8} + 2 a^{7} + 38 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2} + 21 + \left(32 a^{9} + 37 a^{8} + 3 a^{7} + 31 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 37 a + 16\right)\cdot 41 + \left(26 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{8} + 39 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 30 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 41^{3} + \left(15 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 31 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 41^{4} + \left(14 a^{9} + 30 a^{8} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 34 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(31 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 35 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 41^{6} + \left(4 a^{9} + 21 a^{8} + 33 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 33 a^{3} + 9 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 41^{7} + \left(14 a^{9} + 22 a^{8} + 23 a^{7} + 35 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 37 a^{2} + a + 20\right)\cdot 41^{8} + \left(11 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 37 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$32 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 11 + \left(11 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 41 + \left(4 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 37 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 41^{2} + \left(36 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 38 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 41^{3} + \left(30 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{7} + 38 a^{6} + 35 a^{5} + 37 a^{4} + 14 a^{3} + 33 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 41^{4} + \left(24 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(4 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 36 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 41^{6} + \left(a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 27 a^{6} + 39 a^{5} + 21 a^{4} + 31 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 41^{7} + \left(40 a^{9} + 39 a^{8} + 23 a^{7} + 13 a^{6} + 40 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 41^{8} + \left(17 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 40 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$ $r_{ 25 }$ $=$ $$35 a^{9} + 29 a^{8} + 13 a^{7} + 39 a^{6} + 36 a^{5} + 38 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + a + 11 + \left(33 a^{9} + 28 a^{8} + 37 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 40 a + 14\right)\cdot 41 + \left(20 a^{9} + 32 a^{8} + 32 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 31 a^{4} + 39 a^{3} + 18 a^{2} + a + 17\right)\cdot 41^{2} + \left(5 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 36 a^{3} + 3 a + 17\right)\cdot 41^{3} + \left(25 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + a^{5} + 29 a^{4} + 37 a^{3} + 39 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 41^{4} + \left(17 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 33\right)\cdot 41^{5} + \left(a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 31 a^{4} + 38 a^{3} + 36 a^{2} + 22 a + 39\right)\cdot 41^{6} + \left(39 a^{9} + 38 a^{8} + 39 a^{7} + a^{6} + 23 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 41^{7} + \left(24 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 41^{8} + \left(12 a^{9} + 39 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 40 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$

 Cycle notation $(1,6)(3,19)(5,10)(7,13)(8,21)(9,22)(11,15)(12,24)(16,17)(20,25)$ $(1,15,20,5,8,3,17,9,13,24)(2,7,4,6,23,25,14,21,18,16)(10,12,19,11,22)$ $(1,19)(2,9)(3,18)(4,24)(5,14)(8,12)(10,13)(11,17)(15,23)(20,22)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $5$ $2$ $(1,3)(2,25)(4,21)(5,13)(6,18)(7,14)(8,24)(9,20)(15,17)(16,23)$ $0$ $1$ $5$ $(1,20,8,17,13)(2,4,23,14,18)(3,9,24,15,5)(6,25,21,16,7)(10,19,22,12,11)$ $2 \zeta_{5}$ $1$ $5$ $(1,8,13,20,17)(2,23,18,4,14)(3,24,5,9,15)(6,21,7,25,16)(10,22,11,19,12)$ $2 \zeta_{5}^{2}$ $1$ $5$ $(1,17,20,13,8)(2,14,4,18,23)(3,15,9,5,24)(6,16,25,7,21)(10,12,19,11,22)$ $2 \zeta_{5}^{3}$ $1$ $5$ $(1,13,17,8,20)(2,18,14,23,4)(3,5,15,24,9)(6,7,16,21,25)(10,11,12,22,19)$ $-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$ $2$ $5$ $(1,11,9,7,4)(2,13,12,3,16)(5,21,18,17,22)(6,23,20,10,24)(8,19,15,25,14)$ $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5} - 1$ $2$ $5$ $(1,9,4,11,7)(2,12,16,13,3)(5,18,22,21,17)(6,20,24,23,10)(8,15,14,19,25)$ $-\zeta_{5}^{2} - \zeta_{5} - 1$ $2$ $5$ $(1,7,11,4,9)(2,3,13,16,12)(5,17,21,22,18)(6,10,23,24,20)(8,25,19,14,15)$ $\zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}$ $2$ $5$ $(1,4,7,9,11)(2,16,3,12,13)(5,22,17,18,21)(6,24,10,20,23)(8,14,25,15,19)$ $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}$ $2$ $5$ $(1,3,18,19,6)(2,22,25,20,9)(4,12,21,8,24)(5,14,10,7,13)(11,16,17,15,23)$ $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$ $2$ $5$ $(1,18,6,3,19)(2,25,9,22,20)(4,21,24,12,8)(5,10,13,14,7)(11,17,23,16,15)$ $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$ $2$ $5$ $(1,10,15,21,2)(3,7,23,8,22)(4,20,19,5,16)(6,14,17,12,9)(11,24,25,18,13)$ $\zeta_{5}^{3} + 1$ $2$ $5$ $(1,15,2,10,21)(3,23,22,7,8)(4,19,16,20,5)(6,17,9,14,12)(11,25,13,24,18)$ $\zeta_{5} + 1$ $2$ $5$ $(1,21,10,2,15)(3,8,7,22,23)(4,5,20,16,19)(6,12,14,9,17)(11,18,24,13,25)$ $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - \zeta_{5}$ $2$ $5$ $(1,2,21,15,10)(3,22,8,23,7)(4,16,5,19,20)(6,9,12,17,14)(11,13,18,25,24)$ $\zeta_{5}^{2} + 1$ $5$ $10$ $(1,15,20,5,8,3,17,9,13,24)(2,7,4,6,23,25,14,21,18,16)(10,12,19,11,22)$ $0$ $5$ $10$ $(1,5,17,24,20,3,13,15,8,9)(2,6,14,16,4,25,18,7,23,21)(10,11,12,22,19)$ $0$ $5$ $10$ $(1,9,8,15,13,3,20,24,17,5)(2,21,23,7,18,25,4,16,14,6)(10,19,22,12,11)$ $0$ $5$ $10$ $(1,24,13,9,17,3,8,5,20,15)(2,16,18,21,14,25,23,6,4,7)(10,22,11,19,12)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.