# Properties

 Label 2.180.12t18.a.b Dimension $2$ Group $C_6\times S_3$ Conductor $180$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: $C_6\times S_3$ Conductor: $$180$$$$\medspace = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$$ Artin stem field: 12.0.419904000000.1 Galois orbit size: $2$ Smallest permutation container: $C_6\times S_3$ Parity: odd Determinant: 1.180.6t1.b.a Projective image: $S_3$ Projective stem field: 3.1.1620.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{12} - 6 x^{11} + 19 x^{10} - 40 x^{9} + 62 x^{8} - 74 x^{7} + 67 x^{6} - 44 x^{5} + 21 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $$x^{6} + 10 x^{3} + 11 x^{2} + 11 x + 2$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$9 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 3 + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13 + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$3 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13 + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{5} + 9 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$11 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 4 + \left(3 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a + 1\right)\cdot 13 + \left(a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$10 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 12 + \left(8 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13 + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{5} + 11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$5 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 9 + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13 + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$11 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4 + \left(10 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 13 + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$4 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 11 + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13 + \left(10 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{5} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$10 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a + 1 + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13 + \left(6 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$2 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 10 + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13 + \left(11 a^{5} + 2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$3 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 2 + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13 + \left(5 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{5} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$2 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 10 + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13 + \left(a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$8 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 5 + \left(6 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13 + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{9} +O(13^{10})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

 Cycle notation $(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,12)(6,11)$ $(2,6,10)(4,8,11)$ $(1,6,5,10,9,2)(3,8,7,11,12,4)$ $(1,5,9)(3,7,12)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $1$ $2$ $(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,12)(6,11)$ $-2$ $3$ $2$ $(1,10)(2,5)(3,11)(4,7)(6,9)(8,12)$ $0$ $3$ $2$ $(1,4)(2,12)(3,6)(5,8)(7,10)(9,11)$ $0$ $1$ $3$ $(1,5,9)(2,6,10)(3,7,12)(4,8,11)$ $-2 \zeta_{3} - 2$ $1$ $3$ $(1,9,5)(2,10,6)(3,12,7)(4,11,8)$ $2 \zeta_{3}$ $2$ $3$ $(1,5,9)(3,7,12)$ $-\zeta_{3}$ $2$ $3$ $(1,9,5)(3,12,7)$ $\zeta_{3} + 1$ $2$ $3$ $(1,9,5)(2,6,10)(3,12,7)(4,8,11)$ $-1$ $1$ $6$ $(1,12,9,7,5,3)(2,11,10,8,6,4)$ $2 \zeta_{3} + 2$ $1$ $6$ $(1,3,5,7,9,12)(2,4,6,8,10,11)$ $-2 \zeta_{3}$ $2$ $6$ $(1,12,9,7,5,3)(2,8)(4,10)(6,11)$ $\zeta_{3}$ $2$ $6$ $(1,3,5,7,9,12)(2,8)(4,10)(6,11)$ $-\zeta_{3} - 1$ $2$ $6$ $(1,3,5,7,9,12)(2,11,10,8,6,4)$ $1$ $3$ $6$ $(1,6,5,10,9,2)(3,8,7,11,12,4)$ $0$ $3$ $6$ $(1,2,9,10,5,6)(3,4,12,11,7,8)$ $0$ $3$ $6$ $(1,11,5,4,9,8)(2,7,6,12,10,3)$ $0$ $3$ $6$ $(1,8,9,4,5,11)(2,3,10,12,6,7)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.