LMFDB - Artin representation 2.1679.13t2.a.d

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{13}$
Conductor:	$1679$$\medspace = 23 \cdot 73 $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 13.1.22402896724819285921.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$D_{13}$
Parity:	odd
Determinant:	1.1679.2t1.a.a
Projective image:	$D_{13}$
Projective stem field:	Galois closure of 13.1.22402896724819285921.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{13} - 4 x^{12} + 17 x^{11} - 59 x^{10} + 147 x^{9} - 256 x^{8} + 356 x^{7} - 423 x^{6} + 457 x^{5} + \cdots + 19 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 5.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{13} + 15x + 14 $ x^13 + 15*x + 14

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 6 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 16 + \left(13 a^{12} + 4 a^{11} + 7 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 17 + \left(3 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 16 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{12} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 6a^10 + a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 10a^6 + a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 15a + 16 + (13a^12 + 4a^11 + 7a^10 + 13a^9 + a^8 + 16a^7 + 8a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 11a + 13)17 + (3a^12 + 3a^11 + 4a^10 + 16a^9 + 12a^8 + 8a^7 + 11a^6 + 16a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 13a + 16)17^2 + (6a^12 + 7a^10 + 7a^9 + 4a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 8a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 12a + 8)17^3 + (a^12 + 7a^11 + 10a^10 + 8a^9 + 10a^8 + a^7 + 9a^6 + 11a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 15a + 4)17^4+O(17^5)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 5 a^{12} + 12 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 12 + \left(5 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17 + \left(13 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 5a^12 + 12a^11 + 7a^10 + 5a^9 + 2a^8 + 5a^7 + 16a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 12 + (5a^12 + 16a^11 + 12a^10 + 13a^9 + 16a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 10a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 6a + 2)17 + (13a^10 + 5a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 6a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 3a + 12)17^2 + (10a^12 + a^11 + 12a^10 + 9a^9 + 5a^8 + 16a^7 + 8a^6 + 12a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 4a + 2)17^3 + (8a^12 + 10a^11 + 5a^10 + 3a^9 + 9a^8 + 3a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 12a + 5)17^4+O(17^5)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 6 a^{12} + 8 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a + 1 + \left(6 a^{12} + 16 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 16\right)\cdot 17 + \left(8 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{3} + \left(13 a^{12} + 15 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 6a^12 + 8a^11 + 5a^10 + a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 14a + 1 + (6a^12 + 16a^10 + a^9 + a^8 + 2a^7 + 7a^5 + 2a^4 + 3a^3 + a^2 + 16)17 + (8a^12 + 2a^11 + 3a^10 + 14a^9 + 15a^8 + 5a^7 + 4a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 2a + 13)17^2 + (15a^12 + 14a^11 + 8a^10 + 5a^9 + 16a^8 + 16a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 6a + 11)17^3 + (13a^12 + 15a^11 + 7a^10 + a^9 + 16a^8 + 16a^7 + 13a^6 + 10a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 16a + 1)*17^4+O(17^5)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 6 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 1 + \left(a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17 + \left(15 a^{12} + a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 6a^12 + 9a^11 + 7a^10 + 6a^9 + 9a^8 + 12a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 2a + 1 + (a^11 + 13a^10 + 8a^9 + 16a^8 + a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 6a + 14)17 + (15a^12 + a^10 + 14a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 2a^6 + 8a^5 + a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 6a + 11)17^2 + (6a^12 + 14a^11 + 7a^10 + 4a^9 + 13a^8 + 3a^7 + 2a^6 + a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 12a + 7)17^3 + (14a^11 + 16a^10 + a^9 + 9a^8 + 6a^7 + 16a^6 + 6a^5 + a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 8a + 13)17^4+O(17^5)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 9 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 2 + \left(12 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17 + \left(a^{12} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{12} + 2 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 9a^12 + 11a^11 + 12a^10 + 11a^9 + 10a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 16a + 2 + (12a^12 + 4a^11 + 5a^10 + 6a^9 + 5a^8 + 3a^7 + 14a^6 + 12a^5 + a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 6a + 6)17 + (a^12 + 14a^11 + 12a^10 + 15a^9 + a^8 + 2a^7 + 10a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 6a + 8)17^2 + (a^11 + 12a^10 + 16a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 7a^6 + a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 10a + 14)17^3 + (6a^12 + 2a^11 + a^10 + 2a^9 + 8a^8 + 11a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 12a + 13)17^4+O(17^5)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 11 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 14 + \left(13 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 17 + \left(7 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 11a^12 + 13a^11 + 12a^10 + 12a^9 + 13a^8 + 6a^7 + 14a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 13a + 14 + (13a^12 + 2a^11 + 14a^10 + 7a^9 + 11a^8 + 7a^7 + 15a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 5a + 9)17 + (7a^12 + a^11 + 12a^10 + 5a^9 + 15a^8 + 13a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 11a^2 + 11a + 12)17^2 + (a^12 + 11a^11 + 10a^10 + 7a^8 + 2a^7 + 14a^4 + a^3 + 15a^2 + 6a + 9)17^3 + (6a^12 + 16a^11 + 12a^10 + 5a^9 + 3a^8 + 3a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 5a)*17^4+O(17^5)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 12 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 3 + \left(2 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{10} + 15 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17 + \left(3 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{12} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{7} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 12a^12 + 11a^11 + 8a^9 + 5a^8 + 15a^7 + 3a^6 + 13a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 6a + 3 + (2a^12 + 5a^11 + 3a^10 + 15a^9 + 12a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 9a^5 + a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 7a + 2)17 + (3a^12 + 8a^11 + 13a^10 + 14a^9 + 4a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 12a + 7)17^2 + (5a^12 + 8a^11 + 12a^10 + 8a^9 + 6a^8 + 7a^7 + 16a^6 + 3a^5 + 11a^3 + 7a^2 + 2a + 6)17^3 + (10a^12 + 11a^11 + 12a^10 + 2a^7 + 12a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 3a + 5)*17^4+O(17^5)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 13 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9 + \left(12 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17 + \left(10 a^{11} + 15 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 5\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{12} + 8 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 13a^12 + a^11 + 6a^10 + 2a^9 + 7a^8 + 12a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 15a + 9 + (12a^11 + 2a^10 + 5a^9 + 6a^8 + 9a^7 + 14a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 8a + 14)17 + (10a^11 + 15a^10 + 3a^9 + 16a^8 + 2a^7 + 6a^6 + 14a^5 + 8a^4 + 9a^3 + a^2 + 5)17^2 + (11a^11 + 3a^10 + 10a^9 + 7a^8 + 16a^7 + 5a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 16a^3 + 16a + 1)17^3 + (2a^12 + 8a^11 + a^10 + 11a^9 + 9a^8 + 13a^7 + 5a^6 + 11a^4 + 11a^3 + a^2 + 13a + 8)17^4+O(17^5)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 13 a^{12} + 3 a^{11} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 9 + \left(14 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17 + \left(8 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{12} + 7 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 13a^12 + 3a^11 + 13a^9 + 12a^8 + 13a^7 + 11a^6 + 3a^5 + 16a^3 + 13a^2 + 9 + (14a^12 + 10a^11 + 14a^10 + 3a^9 + 8a^8 + 9a^7 + 10a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 12a + 13)17 + (8a^11 + 8a^10 + 16a^9 + 3a^8 + 13a^7 + 9a^6 + 15a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 3a + 6)17^2 + (9a^12 + 11a^11 + 9a^10 + 10a^9 + 12a^8 + 4a^7 + 6a^6 + a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 8a + 2)17^3 + (6a^12 + 7a^11 + 11a^10 + a^9 + 11a^8 + 2a^7 + 9a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 12a + 4)17^4+O(17^5)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 14 a^{12} + a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 15 + \left(2 a^{12} + 15 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17 + \left(6 a^{12} + 2 a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{12} + a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 14a^12 + a^11 + 5a^10 + 11a^9 + 7a^8 + 13a^6 + 13a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 10a^2 + a + 15 + (2a^12 + 15a^11 + 12a^10 + 13a^9 + a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 8a + 16)17 + (6a^12 + 2a^11 + 5a^10 + 2a^9 + a^8 + 7a^7 + a^6 + 2a^5 + 11a^4 + a^3 + 9a + 2)17^2 + (10a^12 + 4a^11 + a^10 + 9a^9 + 8a^8 + 13a^7 + 10a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 5a + 6)17^3 + (2a^12 + a^10 + a^9 + 3a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 8a + 7)17^4+O(17^5)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 15 a^{12} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 4 + \left(10 a^{12} + 6 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17 + \left(6 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{12} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{12} + 5 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 15a^12 + 9a^10 + 16a^9 + 11a^8 + 12a^7 + 5a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 12a + 4 + (10a^12 + 6a^11 + 12a^10 + 6a^9 + 4a^8 + 10a^7 + 10a^6 + 3a^4 + a^3 + 8a^2 + 12a + 4)17 + (6a^12 + 7a^11 + 3a^10 + a^9 + 2a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 11a + 8)17^2 + (9a^12 + 13a^11 + 9a^10 + 11a^9 + 11a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 11a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 8a + 4)17^3 + (11a^12 + 5a^11 + 16a^10 + 12a^9 + 10a^8 + 11a^7 + 11a^6 + 15a^5 + 6a^4 + a^3 + 16a^2 + 12a + 8)*17^4+O(17^5)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 16 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 10 + \left(9 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17 + \left(5 a^{12} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 16a^12 + 2a^11 + 16a^10 + 3a^9 + 9a^8 + 15a^7 + 11a^6 + 8a^5 + 15a^4 + a^3 + 6a^2 + 3a + 10 + (9a^12 + 14a^11 + 8a^10 + 12a^9 + a^8 + 8a^6 + 12a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 15a + 5)17 + (5a^12 + 14a^11 + 12a^10 + 5a^9 + 12a^8 + 6a^7 + a^6 + 8a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 11a + 9)17^2 + (14a^12 + 9a^11 + 6a^10 + 3a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 12a^6 + 15a^5 + a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 3a + 3)17^3 + (15a^12 + 4a^11 + a^10 + 10a^9 + 10a^8 + 5a^7 + 14a^6 + 4a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 13a + 6)17^4+O(17^5)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 16 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 10 + \left(8 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{2} + 16\right)\cdot 17 + \left(8 a^{12} + 10 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{12} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})$ 16a^12 + 14a^11 + 13a^9 + 8a^8 + 11a^6 + 15a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 5a + 10 + (8a^12 + 8a^11 + 13a^10 + 11a^9 + 14a^8 + a^7 + 15a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 16a^2 + 16)17 + (8a^12 + 10a^11 + 10a^10 + 2a^9 + 14a^8 + 6a^7 + 2a^6 + 6a^5 + 11a^4 + a^3 + 6a^2 + 9a + 2)17^2 + (13a^12 + 16a^10 + 3a^9 + a^7 + 4a^6 + 13a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 4a + 5)17^3 + (16a^12 + 14a^11 + 2a^10 + 7a^9 + 14a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 12a^4 + a^3 + 4a^2 + a + 6)*17^4+O(17^5)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 13 }$

Cycle notation
$(1,9)(2,13)(3,7)(4,8)(5,10)(11,12)$
$(1,11)(2,12)(4,9)(5,7)(6,13)(8,10)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 13 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$13$	$2$	$(1,9)(2,13)(3,7)(4,8)(5,10)(11,12)$	$0$
$2$	$13$	$(1,4,10,7,3,5,8,9,11,2,6,13,12)$	$\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$
$2$	$13$	$(1,10,3,8,11,6,12,4,7,5,9,2,13)$	$-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$
$2$	$13$	$(1,7,8,2,12,10,5,11,13,4,3,9,6)$	$\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$
$2$	$13$	$(1,3,11,12,7,9,13,10,8,6,4,5,2)$	$\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$
$2$	$13$	$(1,5,6,10,9,12,3,2,4,8,13,7,11)$	$\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$
$2$	$13$	$(1,8,12,5,13,3,6,7,2,10,11,4,9)$	$\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 13 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1679.13t2.a.d
Dimension	$2$
Group	$D_{13}$
Conductor	$1679$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 6 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 16 + \left(13 a^{12} + 4 a^{11} + 7 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 17 + \left(3 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 16 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{12} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 6a^10 + a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 10a^6 + a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 15a + 16 + (13a^12 + 4a^11 + 7a^10 + 13a^9 + a^8 + 16a^7 + 8a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 16a^2 + 11a + 13)17 + (3a^12 + 3a^11 + 4a^10 + 16a^9 + 12a^8 + 8a^7 + 11a^6 + 16a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 13a + 16)17^2 + (6a^12 + 7a^10 + 7a^9 + 4a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 8a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 12a + 8)17^3 + (a^12 + 7a^11 + 10a^10 + 8a^9 + 10a^8 + a^7 + 9a^6 + 11a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 15a + 4)17^4+O(17^5)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 5 a^{12} + 12 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 12 + \left(5 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17 + \left(13 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 5a^12 + 12a^11 + 7a^10 + 5a^9 + 2a^8 + 5a^7 + 16a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 12 + (5a^12 + 16a^11 + 12a^10 + 13a^9 + 16a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 10a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 6a + 2)17 + (13a^10 + 5a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 6a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 3a + 12)17^2 + (10a^12 + a^11 + 12a^10 + 9a^9 + 5a^8 + 16a^7 + 8a^6 + 12a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 4a + 2)17^3 + (8a^12 + 10a^11 + 5a^10 + 3a^9 + 9a^8 + 3a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 12a + 5)17^4+O(17^5)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 6 a^{12} + 8 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a + 1 + \left(6 a^{12} + 16 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 16\right)\cdot 17 + \left(8 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{3} + \left(13 a^{12} + 15 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 6a^12 + 8a^11 + 5a^10 + a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 14a + 1 + (6a^12 + 16a^10 + a^9 + a^8 + 2a^7 + 7a^5 + 2a^4 + 3a^3 + a^2 + 16)17 + (8a^12 + 2a^11 + 3a^10 + 14a^9 + 15a^8 + 5a^7 + 4a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 2a + 13)17^2 + (15a^12 + 14a^11 + 8a^10 + 5a^9 + 16a^8 + 16a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 6a + 11)17^3 + (13a^12 + 15a^11 + 7a^10 + a^9 + 16a^8 + 16a^7 + 13a^6 + 10a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 16a + 1)*17^4+O(17^5)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 6 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 1 + \left(a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17 + \left(15 a^{12} + a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 6a^12 + 9a^11 + 7a^10 + 6a^9 + 9a^8 + 12a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 2a + 1 + (a^11 + 13a^10 + 8a^9 + 16a^8 + a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 6a + 14)17 + (15a^12 + a^10 + 14a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 2a^6 + 8a^5 + a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 6a + 11)17^2 + (6a^12 + 14a^11 + 7a^10 + 4a^9 + 13a^8 + 3a^7 + 2a^6 + a^5 + 9a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 12a + 7)17^3 + (14a^11 + 16a^10 + a^9 + 9a^8 + 6a^7 + 16a^6 + 6a^5 + a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 8a + 13)17^4+O(17^5)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 9 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 2 + \left(12 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17 + \left(a^{12} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{12} + 2 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 9a^12 + 11a^11 + 12a^10 + 11a^9 + 10a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 16a + 2 + (12a^12 + 4a^11 + 5a^10 + 6a^9 + 5a^8 + 3a^7 + 14a^6 + 12a^5 + a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 6a + 6)17 + (a^12 + 14a^11 + 12a^10 + 15a^9 + a^8 + 2a^7 + 10a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 15a^2 + 6a + 8)17^2 + (a^11 + 12a^10 + 16a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 7a^6 + a^4 + 16a^3 + 15a^2 + 10a + 14)17^3 + (6a^12 + 2a^11 + a^10 + 2a^9 + 8a^8 + 11a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 12a + 13)17^4+O(17^5)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 11 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 14 + \left(13 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 17 + \left(7 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 11a^12 + 13a^11 + 12a^10 + 12a^9 + 13a^8 + 6a^7 + 14a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 13a + 14 + (13a^12 + 2a^11 + 14a^10 + 7a^9 + 11a^8 + 7a^7 + 15a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 5a + 9)17 + (7a^12 + a^11 + 12a^10 + 5a^9 + 15a^8 + 13a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 11a^2 + 11a + 12)17^2 + (a^12 + 11a^11 + 10a^10 + 7a^8 + 2a^7 + 14a^4 + a^3 + 15a^2 + 6a + 9)17^3 + (6a^12 + 16a^11 + 12a^10 + 5a^9 + 3a^8 + 3a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 5a)*17^4+O(17^5)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 12 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 3 + \left(2 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{10} + 15 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17 + \left(3 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{12} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{7} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 12a^12 + 11a^11 + 8a^9 + 5a^8 + 15a^7 + 3a^6 + 13a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 6a + 3 + (2a^12 + 5a^11 + 3a^10 + 15a^9 + 12a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 9a^5 + a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 7a + 2)17 + (3a^12 + 8a^11 + 13a^10 + 14a^9 + 4a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 12a + 7)17^2 + (5a^12 + 8a^11 + 12a^10 + 8a^9 + 6a^8 + 7a^7 + 16a^6 + 3a^5 + 11a^3 + 7a^2 + 2a + 6)17^3 + (10a^12 + 11a^11 + 12a^10 + 2a^7 + 12a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 3a + 5)*17^4+O(17^5)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 13 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9 + \left(12 a^{11} + 2 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17 + \left(10 a^{11} + 15 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 5\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{12} + 8 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 13a^12 + a^11 + 6a^10 + 2a^9 + 7a^8 + 12a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 15a + 9 + (12a^11 + 2a^10 + 5a^9 + 6a^8 + 9a^7 + 14a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 8a + 14)17 + (10a^11 + 15a^10 + 3a^9 + 16a^8 + 2a^7 + 6a^6 + 14a^5 + 8a^4 + 9a^3 + a^2 + 5)17^2 + (11a^11 + 3a^10 + 10a^9 + 7a^8 + 16a^7 + 5a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 16a^3 + 16a + 1)17^3 + (2a^12 + 8a^11 + a^10 + 11a^9 + 9a^8 + 13a^7 + 5a^6 + 11a^4 + 11a^3 + a^2 + 13a + 8)17^4+O(17^5)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 13 a^{12} + 3 a^{11} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 9 + \left(14 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17 + \left(8 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{12} + 7 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 13a^12 + 3a^11 + 13a^9 + 12a^8 + 13a^7 + 11a^6 + 3a^5 + 16a^3 + 13a^2 + 9 + (14a^12 + 10a^11 + 14a^10 + 3a^9 + 8a^8 + 9a^7 + 10a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 12a + 13)17 + (8a^11 + 8a^10 + 16a^9 + 3a^8 + 13a^7 + 9a^6 + 15a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 3a + 6)17^2 + (9a^12 + 11a^11 + 9a^10 + 10a^9 + 12a^8 + 4a^7 + 6a^6 + a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 8a + 2)17^3 + (6a^12 + 7a^11 + 11a^10 + a^9 + 11a^8 + 2a^7 + 9a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 12a + 4)17^4+O(17^5)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 14 a^{12} + a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 15 + \left(2 a^{12} + 15 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17 + \left(6 a^{12} + 2 a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 9 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(2 a^{12} + a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 14a^12 + a^11 + 5a^10 + 11a^9 + 7a^8 + 13a^6 + 13a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 10a^2 + a + 15 + (2a^12 + 15a^11 + 12a^10 + 13a^9 + a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 8a + 16)17 + (6a^12 + 2a^11 + 5a^10 + 2a^9 + a^8 + 7a^7 + a^6 + 2a^5 + 11a^4 + a^3 + 9a + 2)17^2 + (10a^12 + 4a^11 + a^10 + 9a^9 + 8a^8 + 13a^7 + 10a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 16a^2 + 5a + 6)17^3 + (2a^12 + a^10 + a^9 + 3a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 8a + 7)17^4+O(17^5)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 15 a^{12} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 4 + \left(10 a^{12} + 6 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17 + \left(6 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{12} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{12} + 5 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 15a^12 + 9a^10 + 16a^9 + 11a^8 + 12a^7 + 5a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 12a + 4 + (10a^12 + 6a^11 + 12a^10 + 6a^9 + 4a^8 + 10a^7 + 10a^6 + 3a^4 + a^3 + 8a^2 + 12a + 4)17 + (6a^12 + 7a^11 + 3a^10 + a^9 + 2a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 11a + 8)17^2 + (9a^12 + 13a^11 + 9a^10 + 11a^9 + 11a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 11a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 5a^2 + 8a + 4)17^3 + (11a^12 + 5a^11 + 16a^10 + 12a^9 + 10a^8 + 11a^7 + 11a^6 + 15a^5 + 6a^4 + a^3 + 16a^2 + 12a + 8)*17^4+O(17^5)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 16 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 10 + \left(9 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17 + \left(5 a^{12} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{12} + 4 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 16a^12 + 2a^11 + 16a^10 + 3a^9 + 9a^8 + 15a^7 + 11a^6 + 8a^5 + 15a^4 + a^3 + 6a^2 + 3a + 10 + (9a^12 + 14a^11 + 8a^10 + 12a^9 + a^8 + 8a^6 + 12a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 15a + 5)17 + (5a^12 + 14a^11 + 12a^10 + 5a^9 + 12a^8 + 6a^7 + a^6 + 8a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 11a + 9)17^2 + (14a^12 + 9a^11 + 6a^10 + 3a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 12a^6 + 15a^5 + a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 3a + 3)17^3 + (15a^12 + 4a^11 + a^10 + 10a^9 + 10a^8 + 5a^7 + 14a^6 + 4a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 13a + 6)17^4+O(17^5)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 16 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 10 + \left(8 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{2} + 16\right)\cdot 17 + \left(8 a^{12} + 10 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{12} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(16 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{4} +O(17^{5})\) 16a^12 + 14a^11 + 13a^9 + 8a^8 + 11a^6 + 15a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 5a + 10 + (8a^12 + 8a^11 + 13a^10 + 11a^9 + 14a^8 + a^7 + 15a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 16a^2 + 16)17 + (8a^12 + 10a^11 + 10a^10 + 2a^9 + 14a^8 + 6a^7 + 2a^6 + 6a^5 + 11a^4 + a^3 + 6a^2 + 9a + 2)17^2 + (13a^12 + 16a^10 + 3a^9 + a^7 + 4a^6 + 13a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 12a^2 + 4a + 5)17^3 + (16a^12 + 14a^11 + 2a^10 + 7a^9 + 14a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 12a^4 + a^3 + 4a^2 + a + 6)*17^4+O(17^5)