Properties

Label 2.16415.27t8.a.a
Dimension $2$
Group $D_{27}$
Conductor $16415$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: $D_{27}$
Conductor: \(16415\)\(\medspace = 5 \cdot 7^{2} \cdot 67 \)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: 27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1
Galois orbit size: $9$
Smallest permutation container: $D_{27}$
Parity: odd
Determinant: 1.335.2t1.a.a
Projective image: $D_{27}$
Projective stem field: 27.1.1089801024238603052304820653163822019730224609375.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$\(x^{27} - 8 x^{26} + 11 x^{25} + 79 x^{24} - 318 x^{23} + 272 x^{22} + 1817 x^{21} - 11487 x^{20} + 27792 x^{19} - 5214 x^{18} - 88324 x^{17} + 101476 x^{16} + 384139 x^{15} - 2894444 x^{14} + 8285833 x^{13} - 7065937 x^{12} - 6208737 x^{11} - 6594753 x^{10} + 51530498 x^{9} - 40765921 x^{8} + 72314518 x^{7} - 318855243 x^{6} + 340132420 x^{5} + 140246505 x^{4} - 148040525 x^{3} - 594053575 x^{2} + 805097125 x - 295863625\)  Toggle raw display.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 5.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: \(x^{27} + x + 8\)  Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( a^{26} + 23 a^{25} + 17 a^{24} + 15 a^{23} + 13 a^{21} + 27 a^{20} + 11 a^{19} + 8 a^{18} + 11 a^{17} + 3 a^{16} + 15 a^{15} + 15 a^{14} + 12 a^{13} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 4 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12 + \left(23 a^{26} + 23 a^{25} + 4 a^{24} + 13 a^{22} + 18 a^{21} + 20 a^{20} + 10 a^{19} + 17 a^{18} + 25 a^{17} + a^{16} + 5 a^{15} + 22 a^{14} + 24 a^{13} + 5 a^{12} + 9 a^{11} + 23 a^{10} + 24 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 9 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 29 + \left(19 a^{26} + 16 a^{24} + 10 a^{22} + 18 a^{21} + 25 a^{20} + 3 a^{19} + 26 a^{18} + 19 a^{17} + 4 a^{16} + 8 a^{15} + 14 a^{14} + 14 a^{13} + 25 a^{12} + 28 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{26} + 22 a^{25} + 17 a^{24} + 6 a^{23} + 13 a^{22} + 24 a^{21} + 19 a^{20} + 5 a^{19} + 23 a^{18} + 4 a^{17} + 15 a^{16} + 25 a^{15} + 23 a^{14} + 20 a^{13} + 9 a^{12} + 25 a^{11} + 25 a^{10} + 13 a^{9} + a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(28 a^{26} + 14 a^{25} + a^{24} + 28 a^{23} + 22 a^{22} + 22 a^{21} + 22 a^{20} + a^{19} + 27 a^{17} + 23 a^{16} + 28 a^{15} + 26 a^{14} + 15 a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 4 a^{26} + 3 a^{25} + 7 a^{24} + 19 a^{23} + 21 a^{22} + 27 a^{21} + 14 a^{20} + 7 a^{19} + 7 a^{18} + 4 a^{17} + 2 a^{15} + 21 a^{14} + 27 a^{13} + 11 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 27 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 2 + \left(a^{26} + 19 a^{24} + 7 a^{23} + 26 a^{22} + 13 a^{21} + 13 a^{20} + 26 a^{19} + 24 a^{18} + 17 a^{17} + 16 a^{16} + 3 a^{15} + 13 a^{14} + 22 a^{13} + 26 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 29 + \left(14 a^{26} + 22 a^{25} + 19 a^{24} + 9 a^{23} + 16 a^{22} + 10 a^{21} + 4 a^{20} + 6 a^{19} + 23 a^{18} + 21 a^{17} + 8 a^{15} + 3 a^{14} + 26 a^{13} + 17 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{26} + 14 a^{25} + 16 a^{24} + 4 a^{23} + 2 a^{22} + 24 a^{21} + 23 a^{20} + 14 a^{19} + 25 a^{18} + 14 a^{17} + 2 a^{16} + 14 a^{15} + 19 a^{14} + a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{11} + 11 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{26} + 9 a^{25} + a^{24} + 16 a^{22} + 21 a^{21} + 14 a^{20} + 2 a^{19} + 15 a^{18} + 9 a^{17} + 26 a^{16} + 27 a^{15} + 20 a^{14} + 19 a^{13} + 10 a^{12} + 7 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 10 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 2 a^{26} + 8 a^{25} + 23 a^{24} + 14 a^{23} + 9 a^{22} + 22 a^{21} + 14 a^{20} + 13 a^{19} + 4 a^{18} + 5 a^{17} + 8 a^{16} + 22 a^{15} + 2 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 23 a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 28 + \left(16 a^{26} + 3 a^{25} + 6 a^{24} + 17 a^{23} + 6 a^{22} + 20 a^{21} + 27 a^{19} + 22 a^{18} + 10 a^{17} + 25 a^{16} + 24 a^{15} + 16 a^{14} + 22 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 29 + \left(20 a^{26} + 24 a^{25} + 16 a^{24} + 14 a^{23} + 24 a^{22} + 26 a^{21} + 3 a^{20} + 22 a^{19} + 10 a^{18} + 26 a^{17} + 18 a^{16} + 28 a^{15} + 18 a^{14} + 6 a^{13} + 16 a^{12} + 13 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 26 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{26} + 28 a^{25} + 3 a^{24} + 24 a^{23} + 24 a^{22} + 3 a^{21} + 4 a^{20} + 16 a^{19} + 2 a^{18} + 26 a^{17} + 7 a^{16} + 22 a^{15} + 26 a^{14} + 7 a^{13} + 23 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + 25 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{26} + 21 a^{25} + 5 a^{24} + 7 a^{23} + 13 a^{22} + 24 a^{21} + 10 a^{20} + 14 a^{19} + 15 a^{18} + 26 a^{17} + 9 a^{16} + 15 a^{15} + 3 a^{14} + 28 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 24 a^{26} + 5 a^{25} + 27 a^{24} + 8 a^{23} + 23 a^{22} + 4 a^{21} + 10 a^{20} + 22 a^{19} + 2 a^{18} + 7 a^{17} + 26 a^{16} + 19 a^{15} + 12 a^{14} + 20 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 3 + \left(20 a^{26} + 24 a^{25} + 6 a^{24} + 26 a^{22} + 25 a^{21} + 9 a^{20} + 23 a^{19} + 18 a^{18} + 27 a^{17} + 5 a^{16} + 22 a^{15} + 14 a^{14} + 25 a^{13} + 16 a^{12} + 26 a^{11} + 6 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 29 + \left(26 a^{26} + 12 a^{25} + 22 a^{24} + 26 a^{23} + 4 a^{22} + a^{21} + 25 a^{20} + 16 a^{19} + 4 a^{18} + 14 a^{17} + 18 a^{16} + 27 a^{15} + 7 a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 26 a^{11} + 2 a^{10} + 12 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{26} + 8 a^{25} + 24 a^{24} + 23 a^{23} + 5 a^{22} + 15 a^{21} + 26 a^{20} + 21 a^{19} + 11 a^{18} + 2 a^{17} + 26 a^{16} + 15 a^{15} + 2 a^{14} + 18 a^{13} + 13 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{26} + 28 a^{25} + 18 a^{24} + 18 a^{23} + 2 a^{22} + 15 a^{21} + 4 a^{20} + 9 a^{19} + 4 a^{18} + 25 a^{17} + 14 a^{16} + 14 a^{15} + 13 a^{14} + 13 a^{13} + 5 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{10} + 12 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 16 a^{26} + 18 a^{25} + 9 a^{24} + 5 a^{23} + 6 a^{22} + 7 a^{21} + 15 a^{20} + 11 a^{19} + 9 a^{18} + 16 a^{17} + 14 a^{16} + 20 a^{15} + 24 a^{14} + 2 a^{13} + 21 a^{12} + 25 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 20 + \left(25 a^{26} + 22 a^{25} + 12 a^{24} + 9 a^{23} + 5 a^{22} + 22 a^{21} + 18 a^{20} + 15 a^{19} + 23 a^{18} + 27 a^{17} + 15 a^{16} + 6 a^{15} + 25 a^{14} + 27 a^{13} + 14 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 29 + \left(26 a^{26} + 4 a^{25} + 3 a^{24} + 25 a^{23} + 25 a^{22} + 20 a^{21} + 12 a^{20} + 16 a^{19} + 20 a^{18} + 12 a^{17} + 4 a^{16} + 25 a^{15} + 19 a^{14} + a^{13} + 23 a^{12} + 26 a^{11} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{26} + 27 a^{25} + 14 a^{24} + 6 a^{23} + 18 a^{22} + 13 a^{21} + 8 a^{20} + 11 a^{19} + 22 a^{18} + 12 a^{17} + 14 a^{16} + 3 a^{15} + 5 a^{14} + 21 a^{13} + 24 a^{12} + 15 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{26} + 7 a^{25} + 16 a^{24} + 20 a^{23} + 16 a^{22} + 11 a^{21} + 13 a^{20} + 9 a^{19} + 5 a^{18} + 7 a^{17} + 7 a^{16} + 26 a^{15} + 7 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + 6 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 8 a^{26} + 25 a^{25} + 19 a^{24} + 27 a^{23} + 16 a^{22} + 26 a^{21} + 24 a^{20} + 8 a^{19} + 28 a^{18} + 27 a^{17} + 9 a^{16} + 15 a^{15} + 18 a^{14} + 26 a^{13} + 23 a^{12} + 15 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 8 a + 8 + \left(14 a^{26} + 28 a^{25} + 20 a^{24} + 22 a^{23} + 22 a^{22} + 23 a^{21} + a^{20} + a^{19} + 18 a^{18} + 20 a^{17} + 16 a^{16} + 27 a^{15} + 18 a^{14} + 26 a^{13} + 24 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 29 + \left(5 a^{26} + 4 a^{25} + a^{24} + 10 a^{23} + 26 a^{22} + 5 a^{21} + 12 a^{20} + 18 a^{19} + 7 a^{18} + 4 a^{17} + 11 a^{16} + 12 a^{15} + 22 a^{14} + 14 a^{13} + 14 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(4 a^{26} + 23 a^{25} + 17 a^{24} + 4 a^{23} + 14 a^{22} + 2 a^{21} + 15 a^{20} + a^{19} + 24 a^{18} + 17 a^{17} + 27 a^{16} + a^{15} + 5 a^{14} + 17 a^{13} + 22 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{26} + 3 a^{25} + 18 a^{24} + 11 a^{23} + 27 a^{22} + 9 a^{21} + 12 a^{20} + 4 a^{19} + 17 a^{18} + 28 a^{17} + 21 a^{16} + 19 a^{15} + 6 a^{14} + 26 a^{13} + 21 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 3 a^{26} + 4 a^{25} + 2 a^{24} + 8 a^{23} + 19 a^{22} + 14 a^{21} + a^{20} + 10 a^{19} + 18 a^{18} + 6 a^{17} + 13 a^{16} + 6 a^{15} + 10 a^{14} + 28 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 15 + \left(4 a^{26} + 22 a^{25} + 13 a^{24} + 17 a^{23} + 15 a^{22} + 2 a^{21} + 6 a^{20} + 24 a^{19} + 22 a^{18} + 16 a^{17} + 10 a^{16} + 11 a^{15} + 20 a^{14} + 17 a^{13} + a^{12} + 23 a^{11} + 14 a^{10} + 23 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 29 + \left(28 a^{26} + 9 a^{25} + 16 a^{24} + 2 a^{23} + 11 a^{22} + 4 a^{21} + 26 a^{20} + 28 a^{19} + 6 a^{18} + 25 a^{17} + 12 a^{16} + 21 a^{15} + 24 a^{14} + 27 a^{13} + 27 a^{12} + 16 a^{11} + 4 a^{10} + 25 a^{9} + 2 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{26} + 24 a^{25} + 2 a^{24} + 20 a^{23} + 9 a^{22} + 15 a^{21} + 10 a^{20} + 7 a^{19} + 13 a^{18} + 12 a^{16} + 6 a^{15} + 4 a^{14} + 3 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{26} + 4 a^{25} + 19 a^{24} + 6 a^{23} + 13 a^{22} + 15 a^{21} + 7 a^{20} + 12 a^{19} + 17 a^{18} + 6 a^{17} + 21 a^{16} + 18 a^{15} + 12 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 18 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 8 a^{26} + 15 a^{25} + a^{24} + 14 a^{23} + 8 a^{22} + 27 a^{21} + 5 a^{20} + 10 a^{19} + 21 a^{18} + 10 a^{17} + 15 a^{16} + 6 a^{15} + 16 a^{14} + 28 a^{13} + 18 a^{12} + 2 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8 + \left(7 a^{26} + 28 a^{25} + 11 a^{24} + 5 a^{23} + 3 a^{22} + 2 a^{21} + 20 a^{20} + 6 a^{18} + 6 a^{17} + 6 a^{16} + 15 a^{15} + 16 a^{14} + 24 a^{13} + 3 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 29 + \left(17 a^{26} + a^{25} + 8 a^{24} + 7 a^{23} + 2 a^{22} + 10 a^{21} + 27 a^{20} + 22 a^{19} + 26 a^{18} + 15 a^{17} + 5 a^{16} + 11 a^{15} + a^{14} + 8 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{26} + 4 a^{25} + 7 a^{24} + 5 a^{23} + 23 a^{22} + 3 a^{21} + 24 a^{20} + 2 a^{19} + 8 a^{18} + 5 a^{17} + 11 a^{16} + 23 a^{15} + 19 a^{14} + 11 a^{13} + 12 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 14 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{26} + 28 a^{25} + 26 a^{24} + 21 a^{23} + 15 a^{21} + 4 a^{20} + 4 a^{19} + 20 a^{18} + 22 a^{17} + 2 a^{16} + 11 a^{15} + 15 a^{14} + 9 a^{13} + 23 a^{12} + 18 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 25 a^{26} + 16 a^{25} + 25 a^{24} + 11 a^{23} + 26 a^{22} + 19 a^{21} + 15 a^{20} + 14 a^{19} + 2 a^{18} + 20 a^{17} + 7 a^{16} + 9 a^{15} + 4 a^{14} + 2 a^{13} + 17 a^{12} + 3 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 26 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 19 + \left(a^{26} + 27 a^{25} + 25 a^{24} + 8 a^{23} + 18 a^{22} + 24 a^{21} + 23 a^{20} + 8 a^{19} + a^{18} + 10 a^{17} + 20 a^{16} + 6 a^{15} + 27 a^{14} + 20 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{11} + 25 a^{10} + 14 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 29 + \left(28 a^{26} + 15 a^{25} + 19 a^{24} + 28 a^{23} + 16 a^{22} + 27 a^{21} + 3 a^{20} + 5 a^{19} + 12 a^{18} + 3 a^{17} + 18 a^{16} + a^{15} + 24 a^{14} + 20 a^{13} + a^{12} + 27 a^{11} + 12 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{26} + 14 a^{25} + 23 a^{24} + 5 a^{23} + 22 a^{22} + 4 a^{21} + 9 a^{20} + 6 a^{19} + 6 a^{18} + 12 a^{17} + 18 a^{16} + 28 a^{15} + a^{14} + a^{13} + 13 a^{12} + 21 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{26} + 11 a^{24} + 6 a^{23} + 7 a^{22} + 24 a^{20} + 25 a^{19} + 19 a^{18} + 23 a^{17} + 16 a^{16} + 23 a^{15} + 22 a^{14} + 2 a^{13} + 24 a^{12} + 23 a^{11} + 18 a^{10} + 25 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 2 a^{26} + 15 a^{25} + 11 a^{24} + 22 a^{23} + 18 a^{22} + 19 a^{21} + 8 a^{20} + 21 a^{19} + 11 a^{18} + 4 a^{17} + 21 a^{16} + 3 a^{15} + 13 a^{14} + 5 a^{13} + 8 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 24 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 28 + \left(24 a^{26} + 9 a^{25} + 22 a^{24} + 4 a^{23} + 23 a^{21} + a^{20} + 17 a^{19} + 20 a^{18} + 7 a^{17} + 10 a^{16} + 13 a^{15} + 16 a^{14} + 27 a^{13} + 27 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 19\right)\cdot 29 + \left(20 a^{26} + 23 a^{25} + 17 a^{24} + a^{23} + 25 a^{22} + 14 a^{21} + 21 a^{20} + 27 a^{19} + 21 a^{18} + 7 a^{17} + 2 a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 7 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{11} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{26} + 17 a^{25} + 7 a^{24} + 25 a^{22} + 13 a^{21} + 5 a^{20} + 5 a^{19} + 5 a^{18} + 25 a^{16} + 20 a^{15} + a^{14} + 26 a^{12} + 9 a^{11} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(27 a^{26} + 6 a^{25} + 25 a^{24} + 6 a^{23} + 20 a^{22} + 17 a^{21} + 4 a^{20} + 2 a^{19} + 6 a^{18} + 26 a^{17} + 28 a^{16} + 13 a^{15} + 11 a^{14} + 26 a^{13} + 18 a^{12} + 21 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 10 a^{26} + 2 a^{25} + 3 a^{24} + 3 a^{23} + 19 a^{22} + 16 a^{21} + 27 a^{20} + 12 a^{19} + 3 a^{18} + 4 a^{17} + 26 a^{16} + 17 a^{15} + 25 a^{14} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + a + 11 + \left(24 a^{26} + 3 a^{25} + 22 a^{24} + 17 a^{23} + 10 a^{22} + 28 a^{21} + 4 a^{20} + 13 a^{19} + 2 a^{18} + 14 a^{17} + 13 a^{16} + 12 a^{15} + 19 a^{14} + 20 a^{13} + 16 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 22\right)\cdot 29 + \left(9 a^{26} + 15 a^{25} + 27 a^{24} + 13 a^{23} + 26 a^{22} + 3 a^{21} + 18 a^{20} + 21 a^{19} + 26 a^{18} + 9 a^{17} + 7 a^{16} + 3 a^{15} + a^{14} + 3 a^{12} + a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(a^{26} + 15 a^{25} + 18 a^{24} + 3 a^{23} + 6 a^{22} + 7 a^{21} + 4 a^{20} + 26 a^{19} + 27 a^{18} + a^{17} + 23 a^{15} + 9 a^{14} + 7 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{26} + 28 a^{25} + 24 a^{24} + 21 a^{23} + 3 a^{21} + 18 a^{20} + 7 a^{19} + 11 a^{18} + 20 a^{17} + a^{16} + 13 a^{15} + 23 a^{14} + 12 a^{13} + 10 a^{12} + 27 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 7 a^{26} + 21 a^{25} + 19 a^{24} + 16 a^{23} + 11 a^{22} + 23 a^{21} + 17 a^{20} + 7 a^{19} + 26 a^{18} + a^{17} + 22 a^{16} + 13 a^{15} + 4 a^{14} + 6 a^{13} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 21 + \left(28 a^{26} + 9 a^{25} + 14 a^{24} + 10 a^{23} + 5 a^{22} + 20 a^{21} + 12 a^{20} + 23 a^{19} + 20 a^{18} + 9 a^{17} + 20 a^{16} + 3 a^{15} + 10 a^{14} + 13 a^{13} + 17 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 24 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 29 + \left(22 a^{26} + a^{25} + 26 a^{24} + 2 a^{23} + 17 a^{22} + 20 a^{21} + 2 a^{20} + 23 a^{19} + a^{18} + 16 a^{17} + 6 a^{16} + 19 a^{15} + 26 a^{14} + 14 a^{13} + 25 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + 23 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{26} + 7 a^{25} + 3 a^{24} + 19 a^{23} + 7 a^{22} + 26 a^{21} + 19 a^{20} + 27 a^{19} + 20 a^{18} + 7 a^{17} + 9 a^{16} + 13 a^{15} + 7 a^{14} + 19 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{11} + 23 a^{10} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{26} + 14 a^{25} + 4 a^{24} + 15 a^{23} + 28 a^{22} + 18 a^{21} + 9 a^{20} + 8 a^{19} + 2 a^{18} + 2 a^{17} + 7 a^{16} + 13 a^{15} + 17 a^{14} + 11 a^{13} + 13 a^{12} + 11 a^{11} + 7 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 3 a^{26} + 11 a^{25} + 23 a^{24} + 10 a^{23} + 22 a^{22} + 2 a^{21} + 24 a^{20} + 14 a^{19} + 13 a^{18} + 11 a^{17} + 2 a^{15} + a^{14} + a^{12} + 17 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 15 + \left(12 a^{26} + 28 a^{25} + 11 a^{23} + 16 a^{22} + 21 a^{21} + 18 a^{20} + 16 a^{19} + 14 a^{18} + 5 a^{17} + 27 a^{16} + a^{15} + a^{14} + 21 a^{13} + 18 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 29 + \left(9 a^{26} + 20 a^{25} + 20 a^{24} + 13 a^{23} + 9 a^{22} + 12 a^{21} + 27 a^{20} + 2 a^{19} + a^{18} + 9 a^{17} + 16 a^{16} + 2 a^{15} + 20 a^{14} + 11 a^{13} + 5 a^{12} + 22 a^{11} + 19 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{26} + 4 a^{25} + 13 a^{24} + 4 a^{23} + 15 a^{22} + 9 a^{21} + 5 a^{20} + 22 a^{19} + 17 a^{18} + 4 a^{17} + 22 a^{16} + 4 a^{15} + 26 a^{14} + 17 a^{13} + 8 a^{12} + 17 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(11 a^{26} + 15 a^{25} + 17 a^{24} + 27 a^{23} + 2 a^{22} + 16 a^{21} + 12 a^{20} + 4 a^{19} + 24 a^{18} + 12 a^{17} + 21 a^{16} + 5 a^{15} + a^{14} + 7 a^{13} + 6 a^{12} + 9 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 25 a^{26} + 26 a^{25} + 27 a^{24} + 20 a^{23} + 22 a^{22} + 23 a^{21} + 19 a^{20} + 18 a^{19} + 16 a^{18} + 3 a^{17} + 3 a^{16} + 28 a^{15} + 2 a^{14} + 22 a^{13} + 17 a^{12} + 28 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 19 + \left(24 a^{26} + 12 a^{25} + 22 a^{24} + 26 a^{23} + 9 a^{22} + 7 a^{21} + 17 a^{20} + 26 a^{19} + 24 a^{18} + 13 a^{17} + 5 a^{16} + 16 a^{14} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 22 a^{11} + a^{10} + 25 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 29 + \left(8 a^{26} + 7 a^{25} + 27 a^{24} + 20 a^{23} + 26 a^{22} + 8 a^{21} + 10 a^{20} + 12 a^{19} + 27 a^{18} + 9 a^{17} + 9 a^{16} + 16 a^{15} + 24 a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{26} + 18 a^{25} + 10 a^{24} + 21 a^{22} + 11 a^{21} + 17 a^{20} + 3 a^{19} + 8 a^{18} + 17 a^{17} + 18 a^{16} + 4 a^{15} + 5 a^{14} + 18 a^{13} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{26} + 13 a^{25} + a^{24} + 17 a^{23} + 27 a^{22} + 6 a^{21} + 28 a^{20} + 9 a^{19} + 14 a^{18} + 9 a^{17} + 13 a^{16} + 22 a^{15} + a^{14} + 17 a^{13} + 7 a^{12} + 9 a^{11} + 13 a^{10} + 10 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 26 a^{26} + 22 a^{25} + a^{24} + 5 a^{23} + 12 a^{22} + 27 a^{21} + 12 a^{20} + 17 a^{19} + 8 a^{18} + 28 a^{17} + 18 a^{16} + 26 a^{15} + 11 a^{14} + 3 a^{13} + 7 a^{12} + 18 a^{11} + 3 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 6 + \left(19 a^{26} + 23 a^{25} + 9 a^{24} + 6 a^{23} + 21 a^{22} + 27 a^{21} + 28 a^{20} + 21 a^{19} + a^{18} + 17 a^{17} + 11 a^{16} + 23 a^{15} + 19 a^{14} + 2 a^{13} + 19 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 29 + \left(28 a^{26} + 5 a^{25} + 10 a^{24} + 18 a^{23} + 4 a^{22} + 19 a^{21} + 13 a^{20} + 26 a^{19} + 3 a^{18} + 26 a^{17} + 16 a^{16} + 5 a^{15} + 9 a^{14} + 14 a^{13} + 16 a^{12} + 28 a^{11} + 14 a^{10} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(23 a^{26} + 17 a^{25} + 3 a^{24} + 19 a^{23} + 13 a^{22} + 2 a^{21} + 18 a^{20} + 11 a^{19} + 15 a^{18} + 13 a^{17} + 3 a^{16} + 15 a^{15} + 21 a^{14} + 26 a^{12} + 16 a^{11} + 22 a^{10} + 19 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{26} + 19 a^{25} + 11 a^{24} + 4 a^{23} + 8 a^{22} + 2 a^{21} + 22 a^{20} + a^{19} + 3 a^{18} + 13 a^{17} + 15 a^{16} + 18 a^{15} + 17 a^{14} + 18 a^{13} + 5 a^{12} + 2 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 13 a^{26} + 26 a^{25} + 3 a^{24} + 23 a^{23} + 11 a^{22} + 10 a^{21} + 22 a^{20} + 25 a^{19} + a^{18} + 18 a^{17} + 17 a^{16} + 20 a^{15} + 26 a^{14} + 26 a^{13} + 7 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 1 + \left(10 a^{26} + 2 a^{25} + 3 a^{24} + a^{23} + 13 a^{22} + 19 a^{21} + 21 a^{20} + 19 a^{19} + 21 a^{18} + 13 a^{17} + 7 a^{16} + 22 a^{15} + 21 a^{14} + 13 a^{13} + 28 a^{12} + 17 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 29 + \left(16 a^{26} + 7 a^{25} + 12 a^{24} + 3 a^{23} + 8 a^{22} + 14 a^{21} + 3 a^{20} + a^{19} + 18 a^{18} + 17 a^{17} + 4 a^{16} + 6 a^{15} + 23 a^{14} + 6 a^{13} + 8 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{26} + 26 a^{25} + 6 a^{24} + 22 a^{23} + 26 a^{22} + 19 a^{21} + 17 a^{20} + 16 a^{19} + 20 a^{18} + 5 a^{17} + 18 a^{16} + 12 a^{15} + 17 a^{14} + 15 a^{13} + 10 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{26} + 19 a^{25} + 25 a^{24} + 21 a^{23} + 16 a^{22} + 4 a^{21} + 18 a^{20} + 23 a^{19} + 16 a^{18} + 3 a^{17} + 17 a^{16} + 13 a^{15} + 28 a^{14} + 17 a^{13} + 16 a^{12} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + a + 14\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 6 a^{26} + 28 a^{25} + 3 a^{24} + 17 a^{23} + 24 a^{22} + 6 a^{21} + 10 a^{20} + 22 a^{19} + 4 a^{18} + 6 a^{17} + 22 a^{16} + 18 a^{15} + 14 a^{14} + 19 a^{13} + 7 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 27 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 5 + \left(28 a^{26} + 23 a^{25} + 19 a^{24} + 12 a^{23} + 9 a^{22} + 20 a^{21} + 12 a^{20} + a^{19} + 28 a^{18} + 6 a^{17} + 4 a^{16} + 28 a^{14} + 15 a^{13} + a^{12} + 12 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29 + \left(27 a^{26} + 24 a^{25} + 16 a^{24} + 24 a^{23} + 14 a^{22} + 5 a^{21} + 23 a^{20} + 6 a^{19} + a^{18} + 28 a^{17} + 3 a^{16} + 19 a^{15} + 2 a^{14} + 14 a^{13} + 5 a^{12} + 27 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{26} + 11 a^{25} + 26 a^{24} + a^{23} + a^{22} + 16 a^{21} + 3 a^{20} + 25 a^{19} + 2 a^{18} + 11 a^{17} + 20 a^{16} + 19 a^{15} + 2 a^{14} + 12 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{11} + 9 a^{10} + 27 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{26} + 7 a^{25} + 16 a^{23} + 6 a^{22} + 22 a^{21} + 26 a^{20} + 15 a^{19} + 20 a^{18} + 6 a^{17} + 24 a^{16} + 19 a^{15} + 11 a^{14} + 21 a^{13} + 28 a^{12} + 3 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 16 a^{26} + 14 a^{25} + 28 a^{24} + 21 a^{23} + 8 a^{22} + 26 a^{21} + 14 a^{20} + 16 a^{19} + 16 a^{17} + 18 a^{15} + 9 a^{14} + 25 a^{13} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 16 a + 20 + \left(3 a^{26} + 21 a^{25} + 20 a^{24} + 14 a^{23} + 16 a^{22} + 22 a^{20} + 22 a^{19} + 12 a^{18} + 7 a^{17} + 25 a^{16} + 28 a^{15} + 14 a^{14} + 20 a^{13} + 20 a^{12} + a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 29 + \left(7 a^{26} + 4 a^{25} + 19 a^{24} + 8 a^{23} + 20 a^{22} + 27 a^{21} + 9 a^{20} + a^{19} + 12 a^{18} + 6 a^{17} + 12 a^{16} + 3 a^{15} + 27 a^{14} + 10 a^{13} + 11 a^{12} + 10 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{26} + 16 a^{25} + 2 a^{24} + 4 a^{23} + 19 a^{22} + 5 a^{21} + 10 a^{20} + 22 a^{18} + 25 a^{17} + 12 a^{16} + 25 a^{15} + 8 a^{14} + 24 a^{13} + 14 a^{12} + a^{11} + 27 a^{10} + 25 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{3} + \left(22 a^{26} + 6 a^{25} + 23 a^{24} + 14 a^{23} + 23 a^{22} + 6 a^{21} + 23 a^{20} + 11 a^{19} + 3 a^{18} + 8 a^{17} + 7 a^{16} + 27 a^{15} + 15 a^{14} + 6 a^{13} + 17 a^{12} + 8 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 10 a^{26} + 12 a^{25} + 23 a^{24} + 23 a^{23} + 2 a^{22} + 21 a^{21} + 20 a^{20} + 18 a^{19} + 14 a^{18} + 16 a^{17} + 17 a^{16} + 15 a^{15} + 6 a^{14} + 17 a^{13} + 11 a^{12} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 11 + \left(16 a^{26} + 23 a^{25} + 14 a^{24} + 9 a^{23} + 21 a^{22} + 8 a^{21} + 28 a^{20} + 7 a^{19} + 2 a^{18} + 26 a^{17} + 18 a^{16} + 20 a^{15} + 13 a^{14} + 9 a^{13} + 16 a^{12} + 13 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 29 + \left(22 a^{26} + 8 a^{25} + 7 a^{23} + 12 a^{22} + 24 a^{21} + 27 a^{20} + 28 a^{19} + 24 a^{18} + 19 a^{17} + 2 a^{16} + 12 a^{15} + 4 a^{14} + 15 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 16 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{26} + 9 a^{25} + 12 a^{24} + 13 a^{23} + 22 a^{22} + 25 a^{21} + 2 a^{20} + 17 a^{19} + 18 a^{18} + 24 a^{17} + 27 a^{16} + 28 a^{15} + 13 a^{14} + 21 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{26} + 22 a^{25} + 17 a^{24} + 5 a^{23} + 8 a^{22} + a^{21} + 10 a^{20} + 21 a^{19} + 10 a^{18} + a^{17} + 19 a^{16} + 21 a^{15} + 10 a^{14} + 20 a^{13} + 12 a^{12} + 15 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( 25 a^{26} + 15 a^{25} + 23 a^{24} + a^{22} + 12 a^{21} + 24 a^{20} + 28 a^{19} + 8 a^{18} + 25 a^{17} + 17 a^{16} + 10 a^{15} + 8 a^{14} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 19 + \left(7 a^{26} + 16 a^{25} + 19 a^{24} + 7 a^{23} + 27 a^{22} + 9 a^{20} + 12 a^{19} + 16 a^{18} + 9 a^{17} + 25 a^{16} + 20 a^{15} + 22 a^{14} + 17 a^{13} + 5 a^{12} + 19 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 29 + \left(21 a^{26} + 2 a^{25} + 11 a^{24} + 13 a^{23} + 22 a^{22} + 26 a^{21} + 8 a^{20} + 18 a^{19} + 25 a^{18} + 7 a^{17} + 13 a^{16} + 2 a^{15} + 4 a^{14} + 11 a^{13} + 6 a^{12} + 7 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{26} + 10 a^{25} + 24 a^{24} + 3 a^{23} + 8 a^{22} + 9 a^{21} + 20 a^{20} + 25 a^{19} + 22 a^{18} + 15 a^{17} + 2 a^{16} + 27 a^{15} + 14 a^{14} + 2 a^{13} + 28 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{26} + 26 a^{25} + 11 a^{24} + 10 a^{23} + 25 a^{22} + 18 a^{21} + 19 a^{19} + 27 a^{18} + 8 a^{17} + 23 a^{16} + 28 a^{15} + 25 a^{14} + 13 a^{13} + 12 a^{12} + 4 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + a + 21\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 16 a^{26} + 26 a^{25} + 19 a^{24} + 6 a^{23} + 9 a^{22} + 3 a^{21} + 18 a^{20} + 12 a^{19} + 2 a^{18} + 28 a^{17} + 20 a^{16} + 14 a^{15} + 24 a^{13} + 24 a^{12} + a^{10} + 9 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 20 + \left(27 a^{26} + 22 a^{25} + 28 a^{23} + 4 a^{22} + 4 a^{21} + 16 a^{20} + 27 a^{19} + 20 a^{18} + 20 a^{17} + 15 a^{16} + 19 a^{15} + 26 a^{14} + 10 a^{13} + 3 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 29 + \left(20 a^{26} + 19 a^{25} + 3 a^{24} + 22 a^{23} + 4 a^{22} + 20 a^{21} + 14 a^{20} + 8 a^{19} + 21 a^{18} + 16 a^{17} + a^{16} + 22 a^{15} + 19 a^{14} + 5 a^{13} + 11 a^{12} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 15 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + a + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{26} + a^{25} + 24 a^{24} + 8 a^{23} + 16 a^{22} + 19 a^{21} + 2 a^{20} + 12 a^{19} + 9 a^{18} + 3 a^{17} + 17 a^{16} + 28 a^{15} + 5 a^{14} + 10 a^{13} + 26 a^{12} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{26} + 24 a^{25} + 4 a^{24} + 9 a^{23} + 8 a^{22} + 6 a^{21} + 11 a^{20} + 16 a^{19} + 8 a^{18} + 3 a^{17} + 17 a^{16} + 16 a^{15} + 19 a^{14} + 27 a^{13} + 27 a^{12} + 12 a^{11} + 2 a^{10} + 12 a^{9} + 8 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 14 a^{26} + 4 a^{25} + 11 a^{24} + 19 a^{23} + 9 a^{22} + 7 a^{21} + 23 a^{20} + 20 a^{19} + 23 a^{18} + 7 a^{17} + 28 a^{16} + 18 a^{14} + 14 a^{13} + 6 a^{12} + 3 a^{11} + 22 a^{10} + 17 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 17 + \left(9 a^{26} + 8 a^{25} + 12 a^{24} + a^{23} + 24 a^{22} + 16 a^{21} + 6 a^{20} + 24 a^{19} + 21 a^{18} + 25 a^{17} + 3 a^{16} + 14 a^{15} + 11 a^{14} + 27 a^{13} + 9 a^{12} + 4 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 29 + \left(27 a^{26} + 21 a^{25} + 18 a^{24} + 23 a^{23} + 8 a^{22} + 3 a^{21} + 21 a^{20} + 12 a^{19} + 15 a^{18} + 23 a^{17} + 3 a^{16} + 20 a^{15} + 3 a^{14} + 9 a^{13} + 8 a^{12} + 14 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29^{2} + \left(a^{26} + 4 a^{24} + a^{23} + 2 a^{22} + 10 a^{21} + 10 a^{20} + 27 a^{19} + 12 a^{18} + 2 a^{17} + 27 a^{16} + 21 a^{15} + 4 a^{14} + 20 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(14 a^{26} + 7 a^{25} + 27 a^{24} + 22 a^{23} + 28 a^{22} + 23 a^{21} + 8 a^{20} + 12 a^{19} + 4 a^{18} + 10 a^{17} + 18 a^{16} + 18 a^{15} + 22 a^{14} + 16 a^{13} + 21 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 17 a^{26} + 10 a^{25} + 4 a^{24} + 23 a^{23} + 11 a^{22} + 28 a^{21} + 5 a^{20} + 10 a^{19} + 2 a^{18} + 28 a^{17} + 28 a^{16} + 23 a^{15} + 28 a^{14} + 8 a^{13} + 10 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 7 + \left(5 a^{26} + 23 a^{25} + 25 a^{24} + 20 a^{23} + 19 a^{22} + 8 a^{21} + 6 a^{20} + 4 a^{19} + 16 a^{18} + 2 a^{17} + 12 a^{16} + 22 a^{15} + 17 a^{14} + 28 a^{13} + 25 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 29 + \left(2 a^{26} + 17 a^{25} + 7 a^{24} + 26 a^{23} + 26 a^{22} + 5 a^{21} + 13 a^{20} + a^{19} + 21 a^{18} + 8 a^{17} + 6 a^{16} + 15 a^{15} + 9 a^{14} + 24 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{11} + 6 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{26} + 14 a^{25} + 16 a^{24} + 13 a^{23} + a^{22} + a^{21} + 15 a^{20} + 11 a^{19} + 6 a^{18} + 20 a^{17} + 8 a^{16} + 24 a^{15} + 8 a^{14} + 11 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 28 a^{10} + 6 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 6 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{26} + 22 a^{25} + 8 a^{24} + a^{23} + 13 a^{22} + 20 a^{21} + 16 a^{20} + 22 a^{19} + 12 a^{18} + 15 a^{17} + 9 a^{16} + 19 a^{15} + 5 a^{14} + 7 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 26 a^{26} + 6 a^{25} + 7 a^{24} + 8 a^{23} + 7 a^{22} + 14 a^{21} + 10 a^{20} + 11 a^{19} + 27 a^{18} + 20 a^{17} + 26 a^{16} + 11 a^{15} + 19 a^{14} + 3 a^{13} + 15 a^{12} + 4 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 6 + \left(21 a^{26} + 19 a^{25} + 14 a^{24} + 9 a^{23} + 27 a^{22} + 9 a^{21} + 25 a^{20} + 22 a^{19} + 7 a^{18} + 15 a^{17} + 3 a^{16} + 7 a^{15} + 14 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 29 + \left(27 a^{26} + 27 a^{25} + 5 a^{24} + 13 a^{23} + 17 a^{22} + 17 a^{21} + 2 a^{20} + 10 a^{19} + 22 a^{18} + 5 a^{17} + 21 a^{16} + 6 a^{15} + 25 a^{14} + 19 a^{13} + 28 a^{12} + 6 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 25 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{26} + 21 a^{25} + 23 a^{24} + 18 a^{23} + 28 a^{22} + 14 a^{21} + 7 a^{20} + 21 a^{19} + 10 a^{18} + 13 a^{17} + 22 a^{16} + 13 a^{15} + 16 a^{14} + 20 a^{13} + 3 a^{12} + 13 a^{11} + 18 a^{10} + a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{26} + 20 a^{25} + 18 a^{24} + 15 a^{23} + 3 a^{22} + 21 a^{21} + 25 a^{20} + 14 a^{19} + 5 a^{18} + 14 a^{17} + 5 a^{16} + 19 a^{15} + a^{14} + 22 a^{13} + 16 a^{11} + a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 25 }$ $=$ \( 5 a^{26} + 19 a^{25} + 20 a^{24} + 22 a^{23} + 21 a^{22} + 11 a^{21} + a^{20} + 11 a^{19} + 10 a^{17} + 23 a^{16} + 9 a^{15} + 2 a^{14} + 19 a^{13} + 4 a^{12} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 18 + \left(5 a^{26} + 21 a^{25} + 24 a^{24} + 27 a^{23} + a^{22} + 25 a^{21} + 28 a^{20} + 25 a^{19} + 26 a^{18} + 5 a^{17} + 3 a^{16} + 8 a^{15} + 2 a^{14} + 27 a^{13} + 19 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + a + 28\right)\cdot 29 + \left(8 a^{26} + 27 a^{25} + 10 a^{24} + 14 a^{23} + 8 a^{22} + 5 a^{21} + 19 a^{20} + 6 a^{19} + 11 a^{18} + 16 a^{17} + 18 a^{16} + 21 a^{15} + 17 a^{14} + 8 a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{26} + 11 a^{25} + 27 a^{24} + 22 a^{23} + 4 a^{22} + 8 a^{21} + 8 a^{20} + 13 a^{19} + 24 a^{18} + 28 a^{17} + a^{16} + 5 a^{15} + 25 a^{14} + 4 a^{13} + 8 a^{12} + 20 a^{11} + 8 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 24 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{26} + 4 a^{24} + 13 a^{22} + 22 a^{21} + 8 a^{20} + 17 a^{19} + 15 a^{18} + 23 a^{17} + 24 a^{16} + 26 a^{15} + 16 a^{14} + 19 a^{13} + 18 a^{12} + 3 a^{11} + 3 a^{10} + 22 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 26 }$ $=$ \( 4 a^{25} + 21 a^{24} + 6 a^{23} + 22 a^{22} + 12 a^{21} + 13 a^{20} + 15 a^{19} + 21 a^{18} + 15 a^{17} + 25 a^{16} + 9 a^{15} + 6 a^{13} + 3 a^{12} + a^{11} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 25 + \left(22 a^{26} + 20 a^{25} + 28 a^{24} + 4 a^{23} + 23 a^{22} + 22 a^{21} + 21 a^{20} + 4 a^{19} + 9 a^{18} + 5 a^{17} + 2 a^{16} + 11 a^{15} + 5 a^{14} + 23 a^{13} + 13 a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 29 + \left(15 a^{26} + 9 a^{25} + 23 a^{24} + 7 a^{23} + 5 a^{22} + 18 a^{21} + 8 a^{20} + 24 a^{19} + 10 a^{18} + 28 a^{17} + 25 a^{16} + 20 a^{15} + a^{14} + 7 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{26} + 16 a^{25} + 8 a^{24} + 7 a^{23} + 27 a^{22} + 11 a^{21} + 21 a^{20} + 18 a^{19} + 11 a^{18} + 17 a^{17} + 2 a^{16} + 14 a^{15} + 7 a^{14} + 9 a^{13} + 5 a^{12} + 12 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{26} + 5 a^{25} + a^{24} + 22 a^{23} + 13 a^{22} + 22 a^{21} + 14 a^{20} + 14 a^{19} + 11 a^{18} + 9 a^{17} + 16 a^{16} + 6 a^{14} + 27 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a + 24\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display
$r_{ 27 }$ $=$ \( 7 a^{26} + 28 a^{25} + a^{24} + 12 a^{23} + 20 a^{22} + 16 a^{21} + 14 a^{20} + 23 a^{19} + 12 a^{18} + 2 a^{17} + 27 a^{16} + 27 a^{15} + 11 a^{14} + 23 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 19 a^{10} + 15 a^{9} + 2 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 21 + \left(20 a^{25} + 10 a^{24} + 15 a^{23} + 14 a^{22} + 14 a^{21} + 8 a^{20} + 4 a^{19} + 15 a^{18} + 9 a^{17} + 16 a^{16} + 22 a^{15} + 28 a^{14} + 17 a^{13} + 27 a^{12} + 7 a^{11} + 15 a^{10} + 25 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 29 + \left(8 a^{26} + 4 a^{25} + 21 a^{24} + 18 a^{23} + 7 a^{22} + a^{21} + 17 a^{20} + 27 a^{18} + 5 a^{17} + 24 a^{16} + 12 a^{15} + 27 a^{14} + 11 a^{13} + 27 a^{12} + 26 a^{11} + 13 a^{10} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(11 a^{26} + 17 a^{25} + 14 a^{24} + 23 a^{23} + 21 a^{22} + 27 a^{21} + 13 a^{20} + 2 a^{19} + 9 a^{18} + 8 a^{17} + 2 a^{16} + 19 a^{15} + 13 a^{14} + 6 a^{13} + 15 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{26} + 25 a^{25} + 25 a^{23} + 6 a^{22} + 6 a^{21} + 3 a^{20} + 11 a^{19} + 2 a^{18} + 11 a^{17} + 19 a^{16} + 6 a^{15} + 14 a^{14} + 15 a^{13} + 10 a^{12} + 17 a^{11} + 23 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 29^{4} +O(29^{5})\)  Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 27 }$

Cycle notation
$(1,14,3,2,22,17,21,26,4,16,11,25,18,23,8,24,12,9,27,13,5,15,6,10,20,7,19)$
$(2,20)(3,7)(4,13)(5,26)(6,17)(8,23)(9,11)(10,22)(12,25)(14,19)(15,21)(16,27)(18,24)$
$(1,2,21,16,18,24,27,15,20)(3,17,4,25,8,9,5,10,19)(6,7,14,22,26,11,23,12,13)$
$(1,16,27)(2,18,15)(3,25,5)(4,9,19)(6,22,23)(7,26,12)(8,10,17)(11,13,14)(20,21,24)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 27 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$27$$2$$(2,20)(3,7)(4,13)(5,26)(6,17)(8,23)(9,11)(10,22)(12,25)(14,19)(15,21)(16,27)(18,24)$$0$
$2$$3$$(1,16,27)(2,18,15)(3,25,5)(4,9,19)(6,22,23)(7,26,12)(8,10,17)(11,13,14)(20,21,24)$$-1$
$2$$9$$(1,2,21,16,18,24,27,15,20)(3,17,4,25,8,9,5,10,19)(6,7,14,22,26,11,23,12,13)$$-\zeta_{27}^{12} + \zeta_{27}^{6} - \zeta_{27}^{3}$
$2$$9$$(1,21,18,27,20,2,16,24,15)(3,4,8,5,19,17,25,9,10)(6,14,26,23,13,7,22,11,12)$$\zeta_{27}^{15} + \zeta_{27}^{12}$
$2$$9$$(1,18,20,16,15,21,27,2,24)(3,8,19,25,10,4,5,17,9)(6,26,13,22,12,14,23,7,11)$$-\zeta_{27}^{15} - \zeta_{27}^{6} + \zeta_{27}^{3}$
$2$$27$$(1,14,3,2,22,17,21,26,4,16,11,25,18,23,8,24,12,9,27,13,5,15,6,10,20,7,19)$$-\zeta_{27}^{11} + \zeta_{27}^{7} - \zeta_{27}^{2}$
$2$$27$$(1,3,22,21,4,11,18,8,12,27,5,6,20,19,14,2,17,26,16,25,23,24,9,13,15,10,7)$$\zeta_{27}^{14} + \zeta_{27}^{13}$
$2$$27$$(1,22,4,18,12,5,20,14,17,16,23,9,15,7,3,21,11,8,27,6,19,2,26,25,24,13,10)$$-\zeta_{27}^{17} - \zeta_{27}^{8} + \zeta_{27}$
$2$$27$$(1,17,11,24,5,7,2,4,23,27,10,14,21,25,12,15,19,22,16,8,13,20,3,26,18,9,6)$$-\zeta_{27}^{10} + \zeta_{27}^{8} - \zeta_{27}$
$2$$27$$(1,26,8,15,14,4,24,6,3,16,12,10,2,11,9,20,22,25,27,7,17,18,13,19,21,23,5)$$-\zeta_{27}^{13} + \zeta_{27}^{5} - \zeta_{27}^{4}$
$2$$27$$(1,4,12,20,17,23,15,3,11,27,19,26,24,10,22,18,5,14,16,9,7,21,8,6,2,25,13)$$-\zeta_{27}^{16} - \zeta_{27}^{7} + \zeta_{27}^{2}$
$2$$27$$(1,11,5,2,23,10,21,12,19,16,13,3,18,6,17,24,7,4,27,14,25,15,22,8,20,26,9)$$\zeta_{27}^{16} + \zeta_{27}^{11}$
$2$$27$$(1,25,6,21,9,14,18,10,26,27,3,23,20,4,13,2,8,7,16,5,22,24,19,11,15,17,12)$$-\zeta_{27}^{14} - \zeta_{27}^{5} + \zeta_{27}^{4}$
$2$$27$$(1,23,19,18,7,25,20,11,10,16,6,4,15,26,5,21,13,17,27,22,9,2,12,3,24,14,8)$$\zeta_{27}^{17} + \zeta_{27}^{10}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.