Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | 25T3 |
Conductor: | \(164\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 41 \) |
Artin stem field: | Galois closure of 25.5.188919613181312032574569023867244773376.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | $D_5\times C_5$ |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.164.10t1.a.d |
Projective image: | $D_5$ |
Projective stem field: | Galois closure of 5.1.45212176.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{25} - 2 x^{24} - 2 x^{23} - 10 x^{22} + 33 x^{21} + 5 x^{20} - 6 x^{19} - 115 x^{18} - 16 x^{17} + \cdots - 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: \( x^{10} + 3x^{6} + 26x^{5} + 36x^{4} + 5x^{3} + 27x^{2} + 24x + 3 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 8 a^{9} + 29 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 17 + \left(37 a^{9} + 37 a^{8} + 13 a^{7} + 35 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 43 + \left(4 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{9} + 16 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 33 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{9} + 40 a^{8} + 26 a^{7} + 40 a^{6} + 39 a^{5} + 25 a^{4} + 42 a^{3} + 3 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 36 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 42 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a^{9} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + 32 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{9} + 15 a^{8} + 40 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 37 a^{3} + 15 a^{2} + a + 22\right)\cdot 43^{7} + \left(18 a^{9} + 32 a^{8} + 32 a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 43^{8} + \left(6 a^{9} + 32 a^{8} + 39 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{4} + 35 a^{3} + 7 a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( 4 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 32 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 33 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 3 + \left(27 a^{9} + 31 a^{8} + 42 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 31 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 43 + \left(37 a^{9} + 34 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 39 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{9} + 17 a^{8} + 35 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 34 a^{2} + 34 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(17 a^{9} + 26 a^{8} + 34 a^{7} + 24 a^{6} + 9 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 39 a^{2} + a + 2\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{9} + 40 a^{8} + 42 a^{7} + 42 a^{6} + 30 a^{5} + 35 a^{4} + 39 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(8 a^{9} + 24 a^{8} + 3 a^{7} + 39 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + 39 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{9} + 41 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 43^{7} + \left(22 a^{9} + 38 a^{8} + 9 a^{7} + 37 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 17\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 31 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 12 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 41 a^{2} + 34 a + 38 + \left(30 a^{8} + 22 a^{7} + 37 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 34 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 43 + \left(26 a^{9} + 15 a^{8} + 31 a^{6} + 39 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(9 a^{9} + 5 a^{8} + 29 a^{7} + 35 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 16\right)\cdot 43^{3} + \left(7 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 36 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 40 a^{3} + 18 a^{2} + 31 a + 8\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{8} + 41 a^{7} + 42 a^{6} + 36 a^{5} + 7 a^{4} + 41 a^{3} + 25 a + 16\right)\cdot 43^{5} + \left(17 a^{9} + 2 a^{8} + 33 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 39 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 38 a + 17\right)\cdot 43^{7} + \left(23 a^{9} + 7 a^{8} + 42 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 42 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 43^{8} + \left(9 a^{9} + 10 a^{8} + 23 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 34 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 34 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 10 + \left(6 a^{9} + 18 a^{8} + 40 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 43 + \left(35 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 38 a^{6} + 25 a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 40\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{9} + 24 a^{8} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 39 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 43^{3} + \left(19 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 40 a^{6} + 5 a^{5} + 29 a^{4} + 35 a^{3} + 28 a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a^{9} + 32 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{9} + 40 a^{8} + 11 a^{7} + 33 a^{6} + a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 43^{7} + \left(12 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 39 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 40 a^{3} + 32 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 43^{8} + \left(40 a^{9} + 12 a^{8} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 41 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 38\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 10 a^{9} + 31 a^{8} + 31 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 33 a^{4} + 40 a^{3} + 8 a + 40 + \left(3 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 32 a^{6} + 25 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 43 + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 34 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 43^{2} + \left(8 a^{9} + 14 a^{8} + 41 a^{7} + 25 a^{6} + 39 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 42 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(11 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 36 a^{4} + 38 a^{3} + 36 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 43^{4} + \left(31 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 40 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{9} + 28 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 33 a^{4} + 40 a^{3} + a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 43^{6} + \left(13 a^{9} + 5 a^{8} + 35 a^{7} + 3 a^{6} + 23 a^{5} + 35 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43^{7} + \left(14 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 42 a^{6} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{9} + 31 a^{8} + 36 a^{7} + 15 a^{6} + 34 a^{5} + 37 a^{4} + 36 a^{3} + 35 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 42 a^{9} + 7 a^{8} + 38 a^{7} + 32 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{3} + 37 a^{2} + 34 a + 30 + \left(27 a^{9} + 24 a^{8} + 42 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 36 a^{4} + 9 a^{3} + 35 a + 37\right)\cdot 43 + \left(18 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 31 a^{4} + 19 a^{3} + 36 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 43^{2} + \left(13 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 40 a^{6} + 4 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 43^{3} + \left(34 a^{9} + 36 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{5} + 32 a^{4} + 16 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 43^{4} + \left(29 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 31 a^{6} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 43^{6} + \left(18 a^{8} + 21 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(27 a^{9} + 31 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 31 a^{3} + 40 a^{2} + 35\right)\cdot 43^{8} + \left(24 a^{9} + 41 a^{8} + 34 a^{7} + 10 a^{6} + 40 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a + 21\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 13 a^{9} + 42 a^{8} + 16 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 41 a^{4} + 33 a^{3} + 30 a^{2} + 35 a + 24 + \left(27 a^{9} + 22 a^{8} + 38 a^{7} + 26 a^{6} + 40 a^{5} + 19 a^{4} + 26 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 43 + \left(34 a^{9} + 33 a^{8} + 5 a^{7} + 40 a^{6} + 24 a^{5} + 32 a^{4} + 40 a^{3} + 14 a^{2} + 40\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{9} + 22 a^{8} + 33 a^{7} + 31 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 36 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 40\right)\cdot 43^{4} + \left(a^{9} + 26 a^{7} + 38 a^{6} + 35 a^{5} + 39 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 37 a^{6} + 42 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a^{9} + 13 a^{8} + 42 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 43^{8} + \left(13 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 37 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 38 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 40 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 42 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 39 + \left(12 a^{9} + 34 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 43 + \left(15 a^{9} + 40 a^{8} + 15 a^{7} + 37 a^{6} + 33 a^{5} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 3 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(11 a^{9} + 12 a^{8} + 27 a^{7} + 37 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{9} + 23 a^{8} + 38 a^{7} + 42 a^{6} + 39 a^{5} + 19 a^{4} + 32 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{9} + 17 a^{8} + 36 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 40 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 43^{5} + \left(18 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 38 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 36 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 43^{6} + \left(10 a^{9} + 23 a^{8} + 34 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 37 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{9} + 40 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 31 a^{3} + 28 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{9} + 36 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 31 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 32 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 25 + \left(22 a^{9} + 32 a^{8} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 37 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 34 a + 39\right)\cdot 43 + \left(23 a^{9} + 27 a^{8} + 34 a^{7} + 18 a^{6} + 38 a^{5} + 34 a^{4} + 38 a^{3} + 27 a^{2} + 37 a + 16\right)\cdot 43^{2} + \left(33 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{9} + 25 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 39 a^{5} + 41 a^{4} + 33 a^{3} + 38 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{9} + 11 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 33 a^{5} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{9} + 35 a^{8} + 32 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 34 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 37 a^{4} + 22 a^{3} + 33 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a^{8} + 32 a^{7} + 39 a^{6} + 14 a^{5} + 31 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{8} + \left(6 a^{9} + 12 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 35 a^{5} + 31 a^{4} + 20 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( 19 a^{9} + 37 a^{8} + 29 a^{7} + 32 a^{6} + 17 a^{5} + 36 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 40 a + 10 + \left(4 a^{9} + 25 a^{8} + 32 a^{7} + 33 a^{6} + 26 a^{5} + 36 a^{4} + 35 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 43 + \left(31 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(20 a^{9} + 42 a^{8} + 10 a^{7} + 34 a^{6} + 22 a^{5} + 36 a^{4} + a^{3} + 40 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 43^{3} + \left(19 a^{9} + 32 a^{8} + 6 a^{7} + 34 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 43^{4} + \left(3 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 30 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(17 a^{9} + 42 a^{8} + 14 a^{7} + 32 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 24 a^{3} + 20 a^{2} + a + 5\right)\cdot 43^{6} + \left(10 a^{9} + 42 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 33 a + 11\right)\cdot 43^{7} + \left(23 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 38 a^{5} + 28 a^{4} + 36 a^{3} + 31 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 43^{8} + \left(29 a^{9} + 22 a^{8} + 36 a^{7} + 41 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 6 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 18 a^{6} + 31 a^{5} + 9 a^{4} + 34 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 10 + \left(17 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 38 a^{6} + 3 a^{5} + 32 a^{4} + 35 a^{3} + 11 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 43 + \left(10 a^{9} + 19 a^{8} + 35 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 42 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 32\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{9} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 36 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 39\right)\cdot 43^{3} + \left(17 a^{9} + 4 a^{8} + 38 a^{7} + 26 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 43^{4} + \left(37 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 38 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 37 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(30 a^{9} + 30 a^{8} + 35 a^{7} + 20 a^{5} + 38 a^{3} + 40 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(20 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 36 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 36\right)\cdot 43^{7} + \left(18 a^{9} + 41 a^{8} + 24 a^{7} + 34 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(40 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 6 a^{9} + 19 a^{8} + 37 a^{7} + 30 a^{6} + 35 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 35 a + 40 + \left(15 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 42 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 43 + \left(35 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 33 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 31 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a^{9} + 30 a^{8} + 36 a^{7} + 36 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{9} + 20 a^{8} + 41 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{9} + 22 a^{8} + 38 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{9} + 39 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 37 a^{5} + 15 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a^{9} + 38 a^{8} + 31 a^{7} + 42 a^{6} + 7 a^{5} + 39 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 41 a + 25\right)\cdot 43^{8} + \left(10 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 40 a^{6} + 2 a^{5} + 31 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 41 a + 13\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( 36 a^{9} + 37 a^{8} + 28 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 30 a + 18 + \left(33 a^{9} + 32 a^{8} + 12 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 42 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 43 + \left(29 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 39 a^{3} + 36 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{9} + 24 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 38 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43^{3} + \left(11 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 30 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 43^{4} + \left(32 a^{9} + 41 a^{8} + 38 a^{7} + 8 a^{6} + 32 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 32 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(a^{9} + 31 a^{7} + 38 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 43^{6} + \left(7 a^{9} + 39 a^{8} + 41 a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{5} + 28 a^{4} + 34 a^{3} + 3 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a^{9} + 34 a^{8} + 6 a^{7} + 40 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 14 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 40 a^{3} + 23 a^{2} + 39 a + 34\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 14 }$ | $=$ | \( 42 a^{9} + 37 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 38 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 14 + \left(23 a^{9} + 39 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 43 + \left(27 a^{9} + 36 a^{8} + 40 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 36 a^{5} + 15 a^{4} + 34 a^{3} + 24 a\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 43^{4} + \left(32 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 43^{5} + \left(7 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 37 a + 3\right)\cdot 43^{6} + \left(29 a^{9} + 23 a^{8} + 30 a^{7} + a^{6} + 38 a^{5} + 29 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{9} + 6 a^{8} + 34 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 24 a^{4} + 34 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 43^{8} + \left(4 a^{9} + 26 a^{8} + 41 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 25\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 15 }$ | $=$ | \( 11 a^{9} + 33 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 34 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 32 a + 18 + \left(20 a^{9} + 23 a^{8} + 37 a^{7} + 37 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 38 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 43 + \left(37 a^{9} + 31 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 40 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 43^{2} + \left(30 a^{9} + 36 a^{8} + 29 a^{7} + 13 a^{6} + 40 a^{5} + 10 a^{4} + 41 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 43^{3} + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 38 a^{5} + 37 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 43^{4} + \left(31 a^{9} + 41 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{9} + 24 a^{8} + 39 a^{7} + 41 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 39 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{9} + 9 a^{8} + 28 a^{7} + 34 a^{6} + 33 a^{5} + 39 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 35 a^{5} + 36 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 43^{8} + \left(36 a^{9} + 39 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 31 a^{5} + 40 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 16 }$ | $=$ | \( 36 a^{9} + 7 a^{8} + 38 a^{7} + a^{5} + 42 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 2 + \left(2 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{4} + 41 a^{3} + 15 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 43 + \left(29 a^{9} + 35 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 41 a^{5} + 32 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 43^{2} + \left(25 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 35 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 43^{3} + \left(10 a^{9} + 34 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 23 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{9} + 29 a^{8} + 39 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 33 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(4 a^{9} + 28 a^{8} + 7 a^{7} + 33 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(10 a^{9} + 33 a^{8} + 6 a^{7} + 30 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 34 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 43^{8} + \left(13 a^{9} + 32 a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 35 a^{4} + 21 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 17 }$ | $=$ | \( 32 a^{9} + 10 a^{8} + 31 a^{7} + 41 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 39 a^{2} + 33 a + 16 + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 43 + \left(22 a^{9} + 2 a^{8} + 40 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 9 a^{3} + 31 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a^{9} + 18 a^{8} + 16 a^{7} + 41 a^{6} + 40 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{9} + 14 a^{8} + 39 a^{7} + 34 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 41 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(20 a^{9} + 42 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 40 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 33 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 31 a^{2} + 13\right)\cdot 43^{7} + \left(27 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 39 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{9} + 39 a^{8} + 28 a^{7} + 41 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 24 a^{3} + 17 a^{2} + 41 a + 22\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 18 }$ | $=$ | \( 14 a^{9} + 41 a^{8} + 32 a^{7} + 32 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + \left(31 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 40 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 43 + \left(40 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 32 a^{4} + 41 a^{3} + 38 a^{2} + 41 a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{9} + 40 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 37 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 43^{3} + \left(22 a^{9} + 42 a^{8} + 18 a^{6} + 38 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 35 a^{6} + 30 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(17 a^{9} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 40 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(20 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 30 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 43^{7} + \left(11 a^{9} + 20 a^{8} + 32 a^{7} + 36 a^{6} + 38 a^{5} + 28 a^{4} + 32 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43^{8} + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 39 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 33\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 19 }$ | $=$ | \( 5 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 32 a^{2} + 3 a + 37 + \left(32 a^{9} + 6 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 41 a^{5} + 31 a^{4} + 8 a^{3} + 37 a^{2} + 33 a + 20\right)\cdot 43 + \left(33 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 30 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 35 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{9} + 35 a^{8} + 23 a^{7} + 36 a^{6} + 29 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 37 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 35 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 16\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{9} + 30 a^{8} + 31 a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 33 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 43^{5} + \left(19 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 42 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 14 a^{3} + 40 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(17 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{6} + 6 a^{5} + 40 a^{4} + 35 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 43^{7} + \left(19 a^{9} + 26 a^{8} + 33 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 2 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 43^{8} + \left(36 a^{9} + 8 a^{8} + 3 a^{7} + 39 a^{6} + 11 a^{5} + 42 a^{4} + 34 a^{3} + 36 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 20 }$ | $=$ | \( 19 a^{9} + 8 a^{8} + 33 a^{7} + 28 a^{6} + 29 a^{5} + 37 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 15 a + 20 + \left(5 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 40 a^{5} + 9 a^{4} + 40 a^{3} + 28 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 43 + \left(6 a^{9} + 19 a^{8} + 8 a^{7} + 31 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{9} + 37 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 14 a^{5} + 42 a^{4} + 33 a^{3} + 18 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{9} + 31 a^{8} + 34 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 43^{4} + \left(11 a^{9} + 34 a^{8} + 31 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 38 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(5 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 35 a^{6} + 5 a^{5} + 34 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 39 a^{5} + 42 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a + 6\right)\cdot 43^{7} + \left(19 a^{9} + 42 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 38 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a^{9} + 24 a^{8} + 39 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 29 a^{4} + 36 a^{3} + 38 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 21 }$ | $=$ | \( 16 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 32 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 41 a^{2} + 28 a + 7 + \left(24 a^{9} + 21 a^{8} + a^{7} + 33 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 16 a^{3} + 34 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 43 + \left(32 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 32 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 38 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(13 a^{9} + 14 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 37 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 39 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 31 a^{5} + 19 a^{4} + 41 a^{3} + 26 a^{2} + 38 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{9} + 2 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{5} + 36 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 43^{7} + \left(a^{9} + 37 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 6 a^{5} + 35 a^{4} + 7 a^{3} + 38 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 43^{8} + \left(11 a^{9} + 39 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 35 a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 22 }$ | $=$ | \( 39 a^{8} + 33 a^{7} + 37 a^{6} + 33 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 33 a + 14 + \left(33 a^{9} + 35 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 32 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 43 + \left(22 a^{9} + 34 a^{8} + 33 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 41 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 43^{3} + \left(21 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 38 a^{4} + 8 a^{2} + 42 a + 37\right)\cdot 43^{4} + \left(38 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{6} + 31 a^{5} + 32 a^{4} + 13 a^{3} + 32 a^{2} + 7 a\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{9} + 32 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 40 a^{4} + 30 a^{3} + 3 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 43^{6} + \left(20 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 43^{7} + \left(28 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 37 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 42 a^{2} + 28 a + 38\right)\cdot 43^{8} + \left(5 a^{9} + 22 a^{8} + 33 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 23 }$ | $=$ | \( 41 a^{9} + 7 a^{8} + 34 a^{7} + 40 a^{6} + 30 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 32 + \left(41 a^{9} + 37 a^{8} + 32 a^{7} + 16 a^{6} + 25 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 39 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 43 + \left(9 a^{9} + 29 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{9} + a^{8} + 11 a^{6} + 25 a^{5} + 33 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 33\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 30 a^{6} + 42 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 39\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{9} + 40 a^{8} + 40 a^{7} + 26 a^{6} + 37 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 40 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(16 a^{9} + 19 a^{8} + 33 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(39 a^{9} + 21 a^{8} + 34 a^{7} + 38 a^{6} + 29 a^{5} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 43^{8} + \left(39 a^{9} + 27 a^{8} + 36 a^{7} + 3 a^{6} + 38 a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 24 }$ | $=$ | \( 11 a^{9} + 11 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 14 + \left(40 a^{9} + 30 a^{8} + 25 a^{7} + 39 a^{6} + 15 a^{5} + 33 a^{4} + 20 a^{3} + 38 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 43 + \left(36 a^{9} + 29 a^{8} + 31 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(4 a^{9} + 14 a^{8} + 30 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 40 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a + 34\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{9} + 4 a^{8} + 41 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 34 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 41 a^{6} + 4 a^{5} + 31 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 42 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 36 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 43^{6} + \left(17 a^{9} + 8 a^{8} + 41 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{9} + 31 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 34 a + 5\right)\cdot 43^{8} + \left(32 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 32 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
$r_{ 25 }$ | $=$ | \( 18 a^{9} + 33 a^{8} + 34 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 40 + \left(37 a^{9} + 11 a^{8} + 41 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 34 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 43 + \left(18 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 27 a^{6} + 34 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{9} + 7 a^{8} + 38 a^{7} + 37 a^{6} + 8 a^{5} + 39 a^{4} + 26 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 43^{3} + \left(23 a^{9} + 31 a^{8} + 39 a^{7} + 32 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a^{9} + 26 a^{8} + 40 a^{7} + 31 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{9} + 35 a^{8} + 34 a^{7} + 40 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{9} + 23 a^{8} + 30 a^{7} + 33 a^{6} + 36 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 43^{7} + \left(17 a^{9} + 23 a^{8} + 40 a^{7} + 14 a^{6} + 37 a^{5} + 4 a^{4} + 42 a^{3} + 37 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43^{8} + \left(37 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 41 a^{6} + 14 a^{5} + 41 a^{3} + 12 a^{2} + 40 a + 10\right)\cdot 43^{9} +O(43^{10})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$5$ | $2$ | $(1,6)(2,15)(3,11)(5,16)(7,23)(8,17)(9,10)(13,20)(14,18)(21,22)$ | $0$ |
$1$ | $5$ | $(1,7,15,8,18)(2,17,14,6,23)(3,16,21,9,13)(4,25,24,19,12)(5,22,10,20,11)$ | $2 \zeta_{5}$ |
$1$ | $5$ | $(1,15,18,7,8)(2,14,23,17,6)(3,21,13,16,9)(4,24,12,25,19)(5,10,11,22,20)$ | $2 \zeta_{5}^{2}$ |
$1$ | $5$ | $(1,8,7,18,15)(2,6,17,23,14)(3,9,16,13,21)(4,19,25,12,24)(5,20,22,11,10)$ | $2 \zeta_{5}^{3}$ |
$1$ | $5$ | $(1,18,8,15,7)(2,23,6,14,17)(3,13,9,21,16)(4,12,19,24,25)(5,11,20,10,22)$ | $-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$ |
$2$ | $5$ | $(1,20,12,3,2)(4,16,17,7,11)(5,25,21,14,15)(6,8,22,24,9)(10,19,13,23,18)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5} - 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,12,2,20,3)(4,17,11,16,7)(5,21,15,25,14)(6,22,9,8,24)(10,13,18,19,23)$ | $-\zeta_{5}^{2} - \zeta_{5} - 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,3,20,2,12)(4,7,16,11,17)(5,14,25,15,21)(6,24,8,9,22)(10,23,19,18,13)$ | $\zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,2,3,12,20)(4,11,7,17,16)(5,15,14,21,25)(6,9,24,22,8)(10,18,23,13,19)$ | $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,25,23,11,9)(2,5,13,7,24)(3,15,19,17,22)(4,6,20,21,18)(8,12,14,10,16)$ | $\zeta_{5} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,23,9,25,11)(2,13,24,5,7)(3,19,22,15,17)(4,20,18,6,21)(8,14,16,12,10)$ | $\zeta_{5}^{2} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,11,25,9,23)(2,7,5,24,13)(3,17,15,22,19)(4,21,6,18,20)(8,10,12,16,14)$ | $\zeta_{5}^{3} + 1$ |
$2$ | $5$ | $(1,9,11,23,25)(2,24,7,13,5)(3,22,17,19,15)(4,18,21,20,6)(8,16,10,14,12)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - \zeta_{5}$ |
$2$ | $5$ | $(1,16,5,6,19)(2,4,15,9,10)(3,11,14,24,18)(7,21,22,23,12)(8,13,20,17,25)$ | $\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$ |
$2$ | $5$ | $(1,5,19,16,6)(2,15,10,4,9)(3,14,18,11,24)(7,22,12,21,23)(8,20,25,13,17)$ | $-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$ |
$5$ | $10$ | $(1,17,7,14,15,6,8,23,18,2)(3,10,16,20,21,11,9,5,13,22)(4,19,25,12,24)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,14,8,2,7,6,18,17,15,23)(3,20,9,22,16,11,13,10,21,5)(4,12,19,24,25)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,23,15,17,18,6,7,2,8,14)(3,5,21,10,13,11,16,22,9,20)(4,25,24,19,12)$ | $0$ |
$5$ | $10$ | $(1,2,18,23,8,6,15,14,7,17)(3,22,13,5,9,11,21,20,16,10)(4,24,12,25,19)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.