# Properties

 Label 2.15975.28t10.a.b Dimension $2$ Group $D_{28}$ Conductor $15975$ Root number $1$ Indicator $1$

# Learn more about

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: $D_{28}$ Conductor: $$15975$$$$\medspace = 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 71$$ Frobenius-Schur indicator: $1$ Root number: $1$ Artin stem field: 28.2.2657211910834657108824251865653514862060546875.1 Galois orbit size: $6$ Smallest permutation container: $D_{28}$ Parity: odd Determinant: 1.71.2t1.a.a Projective image: $D_{14}$ Projective stem field: 14.2.10007834681328125.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{28} - 9 x^{27} + 53 x^{26} - 226 x^{25} + 695 x^{24} - 1455 x^{23} + 1352 x^{22} + 4587 x^{21} - 26437 x^{20} + 75511 x^{19} - 148243 x^{18} + 166438 x^{17} - 8850 x^{16} - 553583 x^{15} + 1599191 x^{14} - 2514414 x^{13} + 2904360 x^{12} - 819447 x^{11} - 1193138 x^{10} + 5517125 x^{9} - 17624126 x^{8} + 7384001 x^{7} - 17552991 x^{6} + 11860646 x^{5} - 8713168 x^{4} - 7406098 x^{3} - 9688274 x^{2} - 1853761 x - 465059$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$: $$x^{14} + x^{8} + 3 x^{7} + 14 x^{6} + 10 x^{5} + 21 x^{4} + 18 x^{3} + 27 x^{2} + 5 x + 2$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$10 a^{13} + 14 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 4 + \left(26 a^{13} + 18 a^{12} + 24 a^{11} + 25 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 29 + \left(26 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 4 a^{10} + 21 a^{9} + 11 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{13} + 15 a^{12} + 23 a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{13} + 18 a^{12} + 16 a^{11} + 8 a^{10} + 12 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{13} + 16 a^{12} + 11 a^{11} + 26 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{13} + 4 a^{12} + 25 a^{11} + 14 a^{9} + 10 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(26 a^{13} + 10 a^{12} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{13} + 22 a^{12} + 27 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + 25 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 20 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$13 a^{13} + a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 1 + \left(4 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 29 + \left(5 a^{13} + 5 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 5 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{13} + 27 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(19 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{11} + 5 a^{10} + 16 a^{9} + 6 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{13} + 18 a^{12} + 27 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 24 a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{13} + 23 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{13} + 19 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{13} + 5 a^{12} + 3 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$2 a^{13} + 17 a^{12} + 24 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 10 + \left(8 a^{13} + 10 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 29 + \left(3 a^{13} + 24 a^{12} + 25 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 21 a^{9} + 12 a^{8} + 8 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{13} + 17 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 20 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + a + 21\right)\cdot 29^{4} + \left(9 a^{13} + 22 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 20 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{13} + 13 a^{12} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 29^{7} + \left(17 a^{13} + 26 a^{12} + 19 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{13} + 25 a^{12} + 19 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a^{2} + a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$13 a^{13} + 20 a^{12} + 2 a^{11} + 8 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 15 + \left(17 a^{13} + 12 a^{12} + 11 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 29 + \left(8 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 29^{2} + \left(27 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 29^{4} + \left(4 a^{13} + 9 a^{12} + 25 a^{11} + 7 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 29^{5} + \left(24 a^{13} + 7 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a + 28\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{13} + 26 a^{12} + 26 a^{11} + 4 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 29^{8} + \left(13 a^{13} + 23 a^{12} + 26 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$6 a^{13} + 10 a^{12} + 24 a^{11} + 11 a^{10} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 27 + \left(8 a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 29 + \left(27 a^{13} + 10 a^{12} + 13 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 29^{2} + \left(3 a^{13} + 8 a^{12} + 19 a^{11} + 9 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{13} + 27 a^{12} + 22 a^{11} + 14 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 6 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{13} + 17 a^{12} + 28 a^{11} + 3 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{3} + a^{2} + 4 a\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{13} + 4 a^{12} + 12 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + a + 8\right)\cdot 29^{7} + \left(16 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 29^{8} + \left(9 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 2 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$20 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 23 + \left(11 a^{13} + 22 a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 29 + \left(23 a^{13} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 5 a^{10} + 20 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{13} + 17 a^{12} + 25 a^{11} + 6 a^{10} + 6 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{13} + 9 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 22 a^{10} + 14 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{13} + 7 a^{12} + 22 a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 29^{6} + \left(6 a^{13} + 8 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 21 a^{7} + 4 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 29^{7} + \left(28 a^{13} + 9 a^{12} + 19 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{13} + 10 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 20 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$24 a^{13} + 18 a^{12} + 22 a^{11} + 6 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 11 + \left(24 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 29 + \left(5 a^{13} + 19 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{13} + 9 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{13} + 20 a^{12} + 6 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 29^{4} + \left(28 a^{13} + 21 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + 6 a^{12} + 6 a^{11} + 17 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{13} + 22 a^{12} + 22 a^{11} + 25 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 29^{7} + \left(12 a^{13} + 3 a^{12} + 28 a^{11} + 24 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a\right)\cdot 29^{8} + \left(13 a^{13} + 13 a^{12} + 3 a^{11} + 3 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$17 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 5 + \left(7 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 27 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 10\right)\cdot 29 + \left(6 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{13} + 5 a^{12} + 23 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 29^{3} + \left(25 a^{13} + 3 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{13} + 25 a^{12} + 4 a^{11} + 3 a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{12} + 8 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(25 a^{13} + 28 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 29^{7} + \left(6 a^{13} + 23 a^{12} + 27 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(15 a^{13} + 16 a^{12} + 12 a^{10} + 14 a^{9} + 28 a^{8} + 10 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$7 a^{13} + 6 a^{12} + 23 a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 27 + \left(9 a^{13} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 29 + \left(a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a\right)\cdot 29^{2} + \left(25 a^{13} + 4 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{13} + 14 a^{12} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(8 a^{13} + 17 a^{12} + 9 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 29^{5} + \left(27 a^{13} + 12 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{13} + a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{13} + 14 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 26 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$6 a^{13} + 25 a^{12} + 21 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 18 + \left(7 a^{13} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 29 + \left(11 a^{13} + 17 a^{12} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{13} + 21 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{13} + 17 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 24 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{13} + 27 a^{12} + 25 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{13} + 19 a^{12} + 19 a^{11} + 2 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 29^{6} + \left(7 a^{13} + 23 a^{12} + 20 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{13} + 24 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{13} + 6 a^{12} + 3 a^{11} + 22 a^{10} + 20 a^{9} + 13 a^{8} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$26 a^{13} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 11 + \left(17 a^{13} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 29 + \left(15 a^{13} + 13 a^{12} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{13} + 5 a^{12} + 4 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{13} + 17 a^{12} + 18 a^{11} + 25 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 29^{5} + \left(7 a^{13} + 27 a^{12} + 20 a^{11} + 15 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{13} + 10 a^{12} + 25 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(22 a^{13} + 4 a^{12} + 24 a^{11} + 3 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a\right)\cdot 29^{8} + \left(16 a^{13} + 22 a^{12} + 16 a^{11} + 19 a^{10} + 3 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$19 a^{13} + 15 a^{12} + 5 a^{11} + 14 a^{10} + 20 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 3 + \left(8 a^{13} + 18 a^{12} + 18 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 29 + \left(7 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 25 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(6 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{13} + 7 a^{12} + 26 a^{11} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{13} + 21 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{13} + 2 a^{12} + 18 a^{11} + 18 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 29^{6} + \left(10 a^{13} + 18 a^{12} + 12 a^{11} + 23 a^{10} + 17 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 29^{7} + \left(5 a^{13} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 29^{8} + \left(4 a^{13} + 10 a^{12} + 10 a^{11} + 27 a^{10} + 22 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + a + 10\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$22 a^{13} + 12 a^{12} + 23 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 20 + \left(21 a^{13} + 28 a^{12} + 18 a^{11} + 25 a^{10} + 22 a^{9} + 24 a^{8} + 13 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 29 + \left(25 a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{13} + 25 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{13} + 24 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 11 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(13 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 29^{7} + \left(27 a^{13} + 18 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(9 a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$22 a^{13} + 2 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 7 + \left(5 a^{13} + 17 a^{12} + 3 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 26 a + 10\right)\cdot 29 + \left(3 a^{13} + 22 a^{12} + 14 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 18 a^{8} + 27 a^{7} + 17 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{13} + 21 a^{12} + 22 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 23 a^{3} + 3 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 29^{4} + \left(11 a^{13} + 3 a^{12} + 2 a^{11} + 18 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(14 a^{13} + 4 a^{12} + 28 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 29^{6} + \left(15 a^{13} + 17 a^{11} + 9 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 29^{7} + \left(17 a^{13} + 4 a^{12} + 22 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 29^{8} + \left(15 a^{13} + 17 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 17 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$11 a^{13} + 21 a^{11} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 19 + \left(9 a^{13} + 27 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 29 + \left(24 a^{13} + 25 a^{12} + 24 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 23 a^{10} + 23 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + a + 8\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{13} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + 20 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 29^{4} + \left(14 a^{13} + 13 a^{12} + 25 a^{11} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{13} + 17 a^{12} + 3 a^{11} + 17 a^{10} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{13} + 28 a^{12} + 13 a^{11} + 23 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 24 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{13} + 25 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + 7\right)\cdot 29^{8} + \left(19 a^{13} + 19 a^{12} + 23 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$27 a^{12} + 26 a^{11} + 4 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 20 a + 11 + \left(5 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{10} + 25 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 25 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 29 + \left(26 a^{13} + 13 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 14 a^{9} + 26 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{13} + 3 a^{12} + 5 a^{11} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{13} + 5 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + a + 10\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{13} + 12 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{13} + 24 a^{12} + 24 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 29^{6} + \left(8 a^{13} + 13 a^{12} + 14 a^{11} + 27 a^{10} + 14 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 24 a^{10} + 18 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 29^{8} + \left(17 a^{13} + 26 a^{12} + 26 a^{11} + 6 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 27 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$20 a^{13} + 9 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 11 + \left(21 a^{13} + 21 a^{12} + 28 a^{11} + 28 a^{10} + 6 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 29 + \left(17 a^{13} + 3 a^{12} + 7 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{13} + 25 a^{12} + 27 a^{11} + 21 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{13} + 5 a^{12} + 18 a^{11} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 29^{5} + \left(26 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{13} + 12 a^{12} + 20 a^{11} + 10 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + a + 2\right)\cdot 29^{7} + \left(4 a^{13} + 5 a^{12} + 15 a^{11} + 2 a^{10} + 23 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 29^{8} + \left(21 a^{13} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$19 a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 13 a^{9} + 25 a^{7} + a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 28 + \left(16 a^{13} + 8 a^{12} + 23 a^{11} + 26 a^{10} + 26 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 29 + \left(4 a^{13} + 19 a^{12} + 28 a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{13} + 20 a^{12} + 27 a^{11} + 16 a^{10} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{13} + 12 a^{12} + 23 a^{11} + 23 a^{10} + 10 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{13} + 14 a^{12} + 17 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + 19 a^{12} + 12 a^{11} + 25 a^{10} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{13} + 3 a^{12} + 3 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{13} + 10 a^{12} + 4 a^{11} + 6 a^{10} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{13} + 6 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 16 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$9 a^{13} + 21 a^{12} + 25 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 2 + \left(5 a^{13} + 19 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 5 a^{9} + 27 a^{8} + 28 a^{7} + a^{5} + 28 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 29 + \left(2 a^{13} + 5 a^{12} + 26 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(17 a^{13} + 6 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 27 a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 22\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{13} + 10 a^{12} + 13 a^{11} + 6 a^{9} + 26 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{13} + 14 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{3} + 23 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 29^{5} + \left(22 a^{13} + 6 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{10} + 24 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 29^{7} + \left(10 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{13} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$23 a^{13} + 16 a^{12} + 10 a^{11} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 3 a + 16 + \left(20 a^{13} + 23 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 29 + \left(12 a^{13} + 26 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{13} + 27 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 29^{3} + \left(a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + 18 a^{12} + 24 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 29^{6} + \left(2 a^{13} + 13 a^{12} + 27 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 29^{7} + \left(4 a^{13} + 25 a^{12} + 27 a^{11} + 23 a^{10} + 6 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{13} + 23 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$a^{13} + 3 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 9 a + 21 + \left(15 a^{13} + 18 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + 23 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 29 + \left(21 a^{13} + 2 a^{12} + 25 a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{12} + 22 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 22 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(3 a^{13} + 24 a^{12} + 14 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(4 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{5} + \left(21 a^{13} + 25 a^{12} + 3 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{13} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 27 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{13} + 25 a^{12} + 25 a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$13 a^{13} + 17 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{9} + 20 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 13 + \left(5 a^{13} + 21 a^{12} + 8 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + 13 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 27\right)\cdot 29 + \left(20 a^{13} + 15 a^{11} + 10 a^{10} + 14 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{13} + 25 a^{12} + 18 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{13} + 21 a^{12} + 19 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(21 a^{13} + 28 a^{12} + 9 a^{11} + 28 a^{10} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 26 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 29^{5} + \left(23 a^{13} + 15 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(21 a^{13} + 16 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{13} + 12 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + 20 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(6 a^{13} + 7 a^{12} + 17 a^{11} + 16 a^{10} + 6 a^{9} + 17 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$28 a^{13} + 19 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 16 + \left(27 a^{13} + 21 a^{12} + 2 a^{11} + 25 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 29 + \left(26 a^{13} + 10 a^{12} + 23 a^{11} + 16 a^{10} + 26 a^{9} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(22 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(22 a^{13} + 3 a^{12} + 2 a^{11} + 19 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{13} + 21 a^{12} + 18 a^{11} + 6 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 29^{5} + \left(10 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 29^{6} + \left(17 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 24 a^{10} + 26 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 29^{7} + \left(24 a^{13} + 11 a^{12} + 26 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 29^{8} + \left(22 a^{13} + 3 a^{12} + 9 a^{11} + 21 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$10 a^{13} + 3 a^{12} + 6 a^{11} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 13 + \left(9 a^{13} + 15 a^{12} + 21 a^{11} + 17 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a\right)\cdot 29 + \left(21 a^{12} + 4 a^{11} + a^{9} + 8 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{13} + 25 a^{12} + 5 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(17 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{13} + 15 a^{12} + 23 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{13} + 19 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 13 a^{9} + 24 a^{8} + 23 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{13} + 25 a^{12} + 2 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{13} + 22 a^{12} + 8 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 16 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 25 }$ $=$ $$5 a^{13} + 15 a^{12} + 16 a^{11} + 3 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 4 + \left(11 a^{13} + 18 a^{12} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 29 + \left(28 a^{13} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 5 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{13} + 25 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 29^{5} + \left(13 a^{12} + 15 a^{11} + 23 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{13} + 21 a^{12} + 17 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 29^{7} + \left(13 a^{13} + 17 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 29^{8} + \left(25 a^{13} + 3 a^{12} + 25 a^{11} + 5 a^{10} + 25 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 26 }$ $=$ $$24 a^{13} + 21 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 27 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 20 + \left(11 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 23 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 29 + \left(26 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(15 a^{13} + 28 a^{12} + 18 a^{11} + 22 a^{10} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{13} + 5 a^{12} + 20 a^{11} + 27 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 29^{4} + \left(a^{13} + 6 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(25 a^{13} + 26 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{13} + 25 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 29^{7} + \left(15 a^{13} + 14 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 17 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 29^{8} + \left(19 a^{13} + 27 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 27 }$ $=$ $$11 a^{13} + 28 a^{12} + 27 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 27 a + 2 + \left(12 a^{13} + 23 a^{12} + 22 a^{11} + 20 a^{10} + 23 a^{9} + 12 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 29 + \left(26 a^{13} + 24 a^{12} + 4 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{13} + 15 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(22 a^{13} + 10 a^{12} + 18 a^{11} + 6 a^{10} + 26 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(17 a^{13} + 24 a^{12} + 13 a^{11} + 6 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{13} + 20 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{13} + 15 a^{12} + 5 a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 29^{7} + \left(22 a^{13} + 17 a^{12} + 2 a^{11} + 25 a^{10} + 7 a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 29^{8} + \left(4 a^{13} + 16 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$ $r_{ 28 }$ $=$ $$25 a^{13} + 8 a^{12} + 26 a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 28 + \left(25 a^{13} + 13 a^{12} + 14 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 17\right)\cdot 29 + \left(25 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 28 a^{10} + 21 a^{9} + 28 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{13} + 28 a^{11} + 25 a^{10} + 13 a^{9} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{13} + 9 a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{13} + 4 a^{12} + 18 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{13} + 3 a^{12} + 26 a^{11} + 5 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 29^{6} + \left(19 a^{13} + 7 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 29^{7} + \left(18 a^{13} + 8 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 14 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{13} + 5 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 28 }$

 Cycle notation $(1,7)(2,15)(3,23)(4,5)(6,18)(8,28)(9,27)(10,21)(12,14)(13,17)(16,22)(20,25)(24,26)$ $(1,18,16,17)(2,27,28,12)(3,11,23,19)(4,25,21,26)(5,24,10,20)(6,7,13,22)(8,9,15,14)$ $(1,16)(2,28)(3,23)(4,21)(5,10)(6,13)(7,22)(8,15)(9,14)(11,19)(12,27)(17,18)(20,24)(25,26)$ $(1,26)(3,13)(4,17)(5,15)(6,23)(7,11)(8,10)(9,24)(12,27)(14,20)(16,25)(18,21)(19,22)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 28 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $1$ $2$ $(1,16)(2,28)(3,23)(4,21)(5,10)(6,13)(7,22)(8,15)(9,14)(11,19)(12,27)(17,18)(20,24)(25,26)$ $-2$ $14$ $2$ $(1,7)(2,15)(3,23)(4,5)(6,18)(8,28)(9,27)(10,21)(12,14)(13,17)(16,22)(20,25)(24,26)$ $0$ $14$ $2$ $(1,13)(2,14)(3,19)(4,24)(5,25)(6,16)(7,18)(8,12)(9,28)(10,26)(11,23)(15,27)(17,22)(20,21)$ $0$ $2$ $4$ $(1,18,16,17)(2,27,28,12)(3,11,23,19)(4,25,21,26)(5,24,10,20)(6,7,13,22)(8,9,15,14)$ $0$ $2$ $7$ $(1,7,9,20,19,25,27)(2,17,6,8,10,23,4)(3,21,28,18,13,15,5)(11,26,12,16,22,14,24)$ $-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{4}$ $2$ $7$ $(1,20,27,9,25,7,19)(2,8,4,6,23,17,10)(3,18,5,28,15,21,13)(11,16,24,12,14,26,22)$ $\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6} - \zeta_{28}^{4} - 1$ $2$ $7$ $(1,25,20,7,27,19,9)(2,23,8,17,4,10,6)(3,15,18,21,5,13,28)(11,14,16,26,24,22,12)$ $\zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6}$ $2$ $14$ $(1,11,7,26,9,12,20,16,19,22,25,14,27,24)(2,5,17,3,6,21,8,28,10,18,23,13,4,15)$ $-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6} + \zeta_{28}^{4} + 1$ $2$ $14$ $(1,26,20,22,27,11,9,16,25,24,7,12,19,14)(2,3,8,18,4,5,6,28,23,15,17,21,10,13)$ $-\zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6}$ $2$ $14$ $(1,12,25,11,20,14,7,16,27,26,19,24,9,22)(2,21,23,5,8,13,17,28,4,3,10,15,6,18)$ $\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{4}$ $2$ $28$ $(1,3,22,4,9,28,24,17,19,13,26,8,27,5,16,23,7,21,14,2,20,18,11,6,25,15,12,10)$ $-\zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{5}$ $2$ $28$ $(1,4,24,13,27,23,14,18,25,10,22,28,19,8,16,21,20,6,12,3,9,17,26,5,7,2,11,15)$ $\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{7} - \zeta_{28}^{5} + \zeta_{28}^{3} - 2 \zeta_{28}$ $2$ $28$ $(1,28,26,23,20,15,22,17,27,21,11,10,9,13,16,2,25,3,24,8,7,18,12,4,19,5,14,6)$ $-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{3}$ $2$ $28$ $(1,13,14,10,19,21,12,17,7,15,24,23,25,28,16,6,9,5,11,4,27,18,22,8,20,3,26,2)$ $\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{3}$ $2$ $28$ $(1,8,11,28,7,10,26,18,9,23,12,13,20,4,16,15,19,2,22,5,25,17,14,3,27,6,24,21)$ $-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{7} + \zeta_{28}^{5} - \zeta_{28}^{3} + 2 \zeta_{28}$ $2$ $28$ $(1,5,12,8,25,13,11,17,20,28,14,4,7,3,16,10,27,15,26,6,19,18,24,2,9,21,22,23)$ $\zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{5}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.