Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{25}$ |
| Conductor: | \(15851\)\(\medspace = 11^{2} \cdot 131 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 25.1.17183405982116876392097404040231169905747048161.1 |
| Galois orbit size: | $10$ |
| Smallest permutation container: | $D_{25}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.131.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{25}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 25.1.17183405982116876392097404040231169905747048161.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{25} + 18 x^{23} - 17 x^{22} + 163 x^{21} + 778 x^{20} + 668 x^{19} + 6093 x^{18} + 8161 x^{17} + \cdots + 1088 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 41 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 41 }$:
\( x^{25} + 40x^{6} + 40x^{4} + 27x^{3} + 21x^{2} + 38x + 35 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( a^{24} + a^{23} + 15 a^{22} + 15 a^{21} + 9 a^{20} + 13 a^{19} + 34 a^{18} + 20 a^{17} + 38 a^{16} + 20 a^{15} + 19 a^{14} + 32 a^{13} + 16 a^{12} + 31 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 35 a^{8} + 32 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 24 + \left(20 a^{24} + 23 a^{23} + 7 a^{22} + 7 a^{21} + 5 a^{20} + 32 a^{19} + 6 a^{18} + 7 a^{17} + 14 a^{16} + 28 a^{15} + 33 a^{14} + 33 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 40 a^{10} + 9 a^{9} + 17 a^{8} + 38 a^{7} + 31 a^{6} + 22 a^{5} + 37 a^{4} + 13 a^{3} + 31 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 41 + \left(2 a^{24} + 4 a^{23} + 4 a^{22} + 28 a^{21} + 21 a^{20} + 31 a^{19} + 20 a^{18} + 15 a^{17} + 20 a^{16} + 34 a^{15} + 11 a^{14} + 13 a^{13} + 21 a^{12} + 17 a^{11} + 37 a^{10} + 40 a^{9} + 38 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 41^{2} + \left(15 a^{24} + 26 a^{23} + 14 a^{22} + 6 a^{21} + 4 a^{20} + 11 a^{19} + 12 a^{18} + 22 a^{17} + 10 a^{16} + 33 a^{15} + 23 a^{14} + 5 a^{13} + 6 a^{12} + 17 a^{11} + 36 a^{10} + 10 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 41^{3} + \left(18 a^{24} + 38 a^{22} + 32 a^{21} + 25 a^{20} + 22 a^{19} + 22 a^{18} + 4 a^{17} + 4 a^{16} + 28 a^{15} + 40 a^{14} + 14 a^{13} + 32 a^{12} + 26 a^{11} + 37 a^{10} + 4 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 31 a^{6} + a^{5} + 35 a^{4} + 40 a^{3} + 34 a^{2} + 39 a + 37\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 3 a^{24} + 27 a^{23} + 32 a^{22} + 8 a^{21} + 37 a^{20} + 40 a^{19} + 17 a^{18} + 4 a^{17} + 15 a^{16} + 22 a^{15} + 25 a^{14} + 18 a^{13} + 32 a^{12} + 22 a^{11} + 30 a^{10} + a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 40 a + 39 + \left(7 a^{24} + 40 a^{23} + 33 a^{22} + 2 a^{21} + 24 a^{20} + 11 a^{19} + 40 a^{18} + 6 a^{17} + 35 a^{16} + 38 a^{15} + 3 a^{14} + 17 a^{13} + a^{12} + 40 a^{11} + 19 a^{10} + 11 a^{9} + 10 a^{8} + 40 a^{7} + 4 a^{6} + 37 a^{5} + 39 a^{4} + 10 a^{3} + 40 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 41 + \left(a^{24} + 18 a^{23} + 35 a^{22} + 10 a^{21} + 29 a^{20} + a^{19} + 4 a^{18} + 21 a^{17} + 8 a^{16} + 20 a^{15} + 20 a^{14} + 35 a^{13} + 34 a^{12} + 13 a^{11} + 7 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{8} + 38 a^{7} + a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 41^{2} + \left(24 a^{24} + 15 a^{23} + 23 a^{22} + 12 a^{21} + 25 a^{20} + 6 a^{19} + 15 a^{18} + 17 a^{17} + 7 a^{16} + 21 a^{15} + 29 a^{14} + a^{13} + 10 a^{12} + 28 a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{3} + 15 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 41^{3} + \left(19 a^{24} + 9 a^{23} + 34 a^{22} + a^{21} + 34 a^{20} + 32 a^{19} + 18 a^{18} + 14 a^{17} + 36 a^{16} + 26 a^{15} + 29 a^{14} + 25 a^{13} + 31 a^{12} + 11 a^{11} + 19 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 36 a^{3} + 35 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 6 a^{24} + 36 a^{23} + a^{22} + 9 a^{21} + 23 a^{20} + 21 a^{19} + 8 a^{18} + 7 a^{17} + 4 a^{16} + 38 a^{15} + a^{14} + 5 a^{13} + 15 a^{12} + 10 a^{11} + 12 a^{10} + 29 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 11 + \left(16 a^{24} + 6 a^{23} + 19 a^{22} + 16 a^{21} + 35 a^{20} + 34 a^{19} + 11 a^{18} + 5 a^{17} + 7 a^{16} + 9 a^{15} + a^{14} + 11 a^{13} + 11 a^{12} + 14 a^{11} + 36 a^{10} + 4 a^{9} + 23 a^{8} + 38 a^{7} + 37 a^{6} + 18 a^{5} + 32 a^{4} + 40 a^{3} + 39 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 41 + \left(25 a^{24} + 8 a^{23} + 10 a^{22} + 30 a^{21} + 37 a^{20} + 11 a^{19} + 34 a^{18} + 22 a^{17} + 24 a^{16} + 16 a^{15} + 30 a^{13} + 3 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 21 a^{9} + 32 a^{8} + 29 a^{7} + 28 a^{6} + 31 a^{5} + 18 a^{4} + 31 a^{3} + 7 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{24} + 9 a^{22} + 19 a^{21} + 36 a^{20} + 38 a^{19} + 37 a^{18} + 2 a^{17} + 40 a^{16} + a^{15} + 24 a^{14} + 19 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{10} + 34 a^{9} + 9 a^{8} + 37 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 26 a + 40\right)\cdot 41^{3} + \left(40 a^{24} + 35 a^{23} + 28 a^{22} + 19 a^{21} + 27 a^{20} + 23 a^{19} + 22 a^{18} + 2 a^{17} + 9 a^{16} + 25 a^{15} + 13 a^{14} + 38 a^{13} + 19 a^{12} + 3 a^{11} + 26 a^{10} + 16 a^{9} + 36 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 39 a^{3} + 12 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 8 a^{24} + 9 a^{23} + 12 a^{22} + 36 a^{21} + 27 a^{20} + 13 a^{19} + 3 a^{18} + 13 a^{17} + 20 a^{16} + 36 a^{15} + 6 a^{14} + 22 a^{13} + 27 a^{12} + 29 a^{11} + 31 a^{10} + 7 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 33 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 17 + \left(18 a^{24} + 33 a^{23} + 2 a^{22} + 9 a^{21} + 5 a^{20} + 19 a^{19} + 22 a^{18} + 9 a^{17} + 23 a^{16} + 39 a^{15} + 15 a^{14} + 26 a^{13} + 34 a^{12} + 25 a^{11} + 6 a^{10} + 4 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 30 a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 41 + \left(40 a^{24} + 19 a^{23} + 31 a^{22} + 40 a^{21} + 37 a^{20} + 7 a^{19} + 12 a^{18} + 4 a^{17} + 26 a^{16} + 18 a^{15} + 37 a^{14} + 40 a^{13} + 11 a^{12} + 39 a^{11} + 7 a^{10} + 39 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 30 a^{6} + 26 a^{5} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 34\right)\cdot 41^{2} + \left(33 a^{24} + 21 a^{23} + 7 a^{22} + 5 a^{21} + 14 a^{20} + 33 a^{19} + 7 a^{18} + 13 a^{17} + 19 a^{16} + 4 a^{15} + 15 a^{14} + a^{13} + 11 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 36 a^{4} + 40 a^{3} + 5 a^{2} + 40 a + 19\right)\cdot 41^{3} + \left(34 a^{24} + 26 a^{23} + 13 a^{22} + 36 a^{21} + 10 a^{20} + 5 a^{19} + 33 a^{18} + 33 a^{17} + 12 a^{15} + 40 a^{14} + 32 a^{13} + 21 a^{12} + 5 a^{11} + 4 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 40 a^{2} + 32 a + 2\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 8 a^{24} + 12 a^{23} + 31 a^{22} + 33 a^{21} + 2 a^{20} + 5 a^{19} + 40 a^{18} + 25 a^{17} + 7 a^{16} + 24 a^{15} + 36 a^{14} + 8 a^{13} + 16 a^{12} + 34 a^{11} + 37 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 40 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 2 + \left(8 a^{24} + 3 a^{23} + 16 a^{22} + 20 a^{21} + 10 a^{20} + 10 a^{19} + 16 a^{18} + 22 a^{17} + 32 a^{16} + 24 a^{15} + 15 a^{14} + 4 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 8 a^{10} + 10 a^{9} + 28 a^{8} + 33 a^{7} + 13 a^{6} + 32 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 41 + \left(14 a^{24} + 34 a^{23} + 2 a^{22} + 22 a^{21} + 16 a^{20} + 22 a^{19} + 21 a^{18} + 15 a^{17} + 3 a^{16} + 4 a^{15} + 18 a^{14} + 23 a^{13} + 38 a^{12} + 34 a^{11} + 7 a^{10} + 31 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 35 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 41^{2} + \left(3 a^{24} + 2 a^{23} + 7 a^{22} + 23 a^{21} + 3 a^{20} + 4 a^{19} + 19 a^{18} + 31 a^{17} + 4 a^{15} + 23 a^{14} + 9 a^{13} + 37 a^{12} + 15 a^{11} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 14 a^{7} + 27 a^{6} + 40 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 31 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 41^{3} + \left(39 a^{24} + 20 a^{23} + 29 a^{22} + 3 a^{21} + 5 a^{20} + 22 a^{19} + 3 a^{18} + 21 a^{17} + a^{16} + 12 a^{15} + 39 a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 40 a^{11} + 12 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 28 a^{2} + a + 7\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 9 a^{24} + 32 a^{23} + 14 a^{22} + 30 a^{21} + 40 a^{20} + 37 a^{19} + 12 a^{18} + 19 a^{17} + 13 a^{16} + 11 a^{15} + 38 a^{14} + 37 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 39 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 33 a^{5} + 16 a^{4} + 34 a^{3} + 35 a^{2} + 3 a + 9 + \left(20 a^{24} + 11 a^{23} + 4 a^{21} + 40 a^{20} + 13 a^{19} + 14 a^{18} + 9 a^{17} + 40 a^{16} + 19 a^{15} + 23 a^{14} + 17 a^{13} + 20 a^{12} + 26 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 34 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 37 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 41 + \left(30 a^{24} + 16 a^{23} + 40 a^{22} + 11 a^{21} + 4 a^{20} + 37 a^{19} + 32 a^{18} + 2 a^{17} + 5 a^{16} + 38 a^{15} + 7 a^{14} + 36 a^{13} + 34 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{9} + 30 a^{8} + 33 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 41^{2} + \left(a^{24} + 27 a^{23} + 19 a^{22} + 22 a^{21} + 31 a^{20} + 5 a^{19} + 38 a^{18} + 31 a^{17} + 30 a^{16} + 21 a^{15} + 14 a^{14} + 22 a^{13} + 10 a^{12} + 12 a^{11} + 26 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 41^{3} + \left(21 a^{24} + 32 a^{23} + 39 a^{22} + 9 a^{21} + 29 a^{20} + 30 a^{19} + 36 a^{18} + 5 a^{17} + 21 a^{16} + 29 a^{15} + 32 a^{14} + 9 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 7 a^{3} + 36 a^{2} + 15 a + 33\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 11 a^{24} + 5 a^{23} + 32 a^{22} + 39 a^{21} + 37 a^{20} + 9 a^{19} + 4 a^{18} + 7 a^{17} + 3 a^{16} + 36 a^{15} + 33 a^{14} + 27 a^{13} + 27 a^{12} + 37 a^{11} + 22 a^{10} + 22 a^{9} + 31 a^{8} + 8 a^{7} + 39 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 5 + \left(28 a^{24} + 3 a^{23} + 21 a^{22} + 17 a^{21} + 23 a^{20} + a^{19} + 21 a^{18} + 10 a^{17} + 35 a^{16} + 37 a^{15} + 35 a^{14} + 27 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 4 a^{10} + 38 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 35 a^{3} + 31 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 41 + \left(19 a^{24} + 3 a^{23} + 15 a^{22} + a^{21} + 22 a^{20} + 38 a^{19} + 37 a^{18} + 32 a^{17} + 7 a^{16} + 34 a^{15} + 6 a^{14} + 37 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{11} + 33 a^{9} + 5 a^{8} + 31 a^{6} + 39 a^{5} + 18 a^{4} + 33 a^{3} + 11 a^{2} + a + 37\right)\cdot 41^{2} + \left(22 a^{24} + 20 a^{23} + 6 a^{22} + 12 a^{21} + 20 a^{20} + 2 a^{19} + 39 a^{18} + 7 a^{17} + 40 a^{16} + 14 a^{15} + 33 a^{14} + 12 a^{12} + 10 a^{11} + 17 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 29 a^{4} + 27 a^{3} + 36 a + 25\right)\cdot 41^{3} + \left(36 a^{24} + 38 a^{22} + 22 a^{21} + 36 a^{20} + 16 a^{19} + 40 a^{18} + 40 a^{17} + 29 a^{16} + 10 a^{15} + 29 a^{14} + 20 a^{13} + 37 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 11 a^{24} + 39 a^{23} + 35 a^{22} + 21 a^{21} + 16 a^{20} + 8 a^{19} + 34 a^{18} + 22 a^{17} + 10 a^{16} + 9 a^{15} + 19 a^{14} + 38 a^{13} + 40 a^{12} + 38 a^{11} + 9 a^{10} + 6 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 35 a^{6} + 4 a^{4} + 33 a^{3} + 18 a^{2} + 37 a + 34 + \left(2 a^{24} + 39 a^{23} + 3 a^{22} + 18 a^{21} + 20 a^{20} + 9 a^{19} + 26 a^{18} + 3 a^{17} + 24 a^{16} + a^{15} + 21 a^{14} + 7 a^{13} + 36 a^{12} + 37 a^{11} + a^{10} + 34 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 36 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 41 + \left(35 a^{24} + 28 a^{23} + 27 a^{22} + 11 a^{21} + 34 a^{20} + 7 a^{19} + 4 a^{18} + 12 a^{17} + 18 a^{16} + 20 a^{15} + 12 a^{14} + 10 a^{13} + 23 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 41^{2} + \left(16 a^{24} + 24 a^{23} + 25 a^{22} + 10 a^{20} + 22 a^{19} + 21 a^{18} + 3 a^{17} + 18 a^{16} + 13 a^{15} + 34 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 5 a^{10} + 22 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 17 a^{6} + 34 a^{5} + 34 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 41^{3} + \left(9 a^{24} + 28 a^{23} + 18 a^{22} + 29 a^{21} + 32 a^{20} + 17 a^{19} + 16 a^{18} + 14 a^{17} + 27 a^{16} + 15 a^{15} + 28 a^{14} + 14 a^{13} + 11 a^{12} + 28 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 27 a^{8} + 37 a^{7} + 36 a^{6} + 25 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 14 a^{24} + 28 a^{23} + 21 a^{22} + 29 a^{21} + 29 a^{20} + 33 a^{19} + 28 a^{18} + 24 a^{17} + 17 a^{16} + 8 a^{15} + 37 a^{14} + 27 a^{13} + 13 a^{12} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 26 a^{7} + 35 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 37 a^{3} + 39 a^{2} + 17 + \left(4 a^{24} + 6 a^{23} + 17 a^{22} + 12 a^{21} + 25 a^{20} + 22 a^{19} + 17 a^{18} + 2 a^{17} + 22 a^{16} + 19 a^{15} + 2 a^{14} + 14 a^{13} + 18 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 35 a^{3} + 34 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 41 + \left(32 a^{24} + 36 a^{23} + 22 a^{22} + a^{21} + 3 a^{20} + 16 a^{19} + 2 a^{18} + 29 a^{17} + 16 a^{16} + 13 a^{15} + 15 a^{14} + a^{13} + 7 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 36 a^{9} + 10 a^{8} + 14 a^{7} + 40 a^{6} + 3 a^{5} + 39 a^{4} + 34 a^{3} + 33 a^{2} + 19 a + 39\right)\cdot 41^{2} + \left(35 a^{24} + 20 a^{23} + a^{22} + 21 a^{21} + 26 a^{20} + 33 a^{19} + a^{18} + 37 a^{17} + 35 a^{16} + 22 a^{15} + 19 a^{14} + 4 a^{13} + 11 a^{12} + 15 a^{11} + 31 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 39 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 32 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 41^{3} + \left(26 a^{24} + 18 a^{23} + a^{22} + 11 a^{21} + 24 a^{20} + 38 a^{19} + 20 a^{18} + 28 a^{17} + 27 a^{16} + 15 a^{15} + 26 a^{14} + 6 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 31 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 31 a^{4} + 25 a^{3} + 40 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 14 a^{24} + 31 a^{23} + 17 a^{22} + 3 a^{21} + 31 a^{20} + 24 a^{19} + 22 a^{18} + 22 a^{17} + 8 a^{16} + 36 a^{15} + 33 a^{13} + 31 a^{12} + 2 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 25 + \left(15 a^{24} + 28 a^{23} + 37 a^{22} + 24 a^{21} + 18 a^{20} + 26 a^{19} + 18 a^{18} + 39 a^{17} + 24 a^{16} + 33 a^{15} + 3 a^{14} + 5 a^{13} + 40 a^{12} + 36 a^{11} + 28 a^{10} + 38 a^{9} + 23 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 38 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 41 + \left(21 a^{24} + 7 a^{23} + 26 a^{22} + 8 a^{21} + 13 a^{20} + 38 a^{19} + 14 a^{18} + 13 a^{17} + 33 a^{16} + 15 a^{15} + 29 a^{14} + 23 a^{13} + 32 a^{12} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 29 a^{6} + 33 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 33 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 41^{2} + \left(2 a^{24} + 2 a^{23} + 29 a^{21} + 16 a^{20} + 5 a^{19} + 28 a^{18} + 39 a^{17} + 2 a^{16} + 33 a^{15} + 21 a^{14} + 34 a^{13} + 39 a^{12} + 33 a^{11} + 3 a^{10} + 9 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 36 a^{3} + 37 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 41^{3} + \left(31 a^{24} + 27 a^{23} + 22 a^{22} + a^{21} + 29 a^{19} + 33 a^{18} + 27 a^{17} + 2 a^{16} + 11 a^{15} + 28 a^{14} + 37 a^{13} + 7 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 40 a^{8} + 27 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 39 a^{4} + 33 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 14 a^{24} + 33 a^{23} + 13 a^{22} + 40 a^{20} + 30 a^{19} + 35 a^{18} + 13 a^{17} + 35 a^{16} + 13 a^{15} + 13 a^{14} + 3 a^{13} + 30 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + 35 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 40 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 1 + \left(31 a^{24} + 35 a^{23} + 34 a^{22} + 27 a^{21} + 40 a^{20} + 17 a^{19} + 2 a^{18} + 34 a^{17} + 8 a^{16} + 29 a^{15} + 34 a^{14} + 8 a^{13} + 18 a^{12} + 26 a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{9} + 34 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 15 a^{3} + 38 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 41 + \left(39 a^{24} + 31 a^{23} + 3 a^{22} + 8 a^{21} + 36 a^{20} + 7 a^{19} + 3 a^{18} + 29 a^{17} + 33 a^{16} + 32 a^{15} + 29 a^{14} + 37 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 36 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 40 a^{3} + 20 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 41^{2} + \left(7 a^{24} + 21 a^{22} + 22 a^{21} + 36 a^{20} + 8 a^{19} + 2 a^{18} + 11 a^{17} + 4 a^{16} + 33 a^{15} + 7 a^{14} + 36 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 19 a^{4} + 31 a^{3} + 36 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{24} + 28 a^{23} + 20 a^{22} + 22 a^{21} + 14 a^{20} + 30 a^{19} + a^{18} + 27 a^{17} + 39 a^{16} + 36 a^{15} + 34 a^{14} + 26 a^{13} + 26 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 25 a^{8} + 33 a^{7} + 32 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a + 24\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 15 a^{24} + 33 a^{23} + 33 a^{22} + 5 a^{21} + 2 a^{20} + 10 a^{19} + 24 a^{18} + 33 a^{17} + 21 a^{16} + 28 a^{15} + 28 a^{14} + 25 a^{13} + 40 a^{12} + 14 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 38 a^{6} + 32 a^{5} + 29 a^{4} + 17 a^{3} + 32 a^{2} + 19 a + 12 + \left(21 a^{24} + 31 a^{23} + 14 a^{22} + 16 a^{21} + 3 a^{20} + 14 a^{19} + 29 a^{18} + 31 a^{17} + 31 a^{16} + 13 a^{15} + 34 a^{14} + 2 a^{13} + 39 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 34 a^{9} + 15 a^{8} + 35 a^{7} + 37 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 41 + \left(36 a^{24} + 33 a^{23} + 13 a^{22} + 24 a^{21} + 31 a^{20} + 9 a^{19} + 35 a^{18} + 32 a^{17} + 20 a^{16} + 27 a^{15} + 32 a^{14} + 7 a^{13} + 33 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 38 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 41^{2} + \left(23 a^{24} + 24 a^{23} + 5 a^{22} + 3 a^{21} + 35 a^{20} + 32 a^{19} + 16 a^{18} + 21 a^{17} + 8 a^{16} + 3 a^{15} + 29 a^{14} + 10 a^{13} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 34 a^{8} + 33 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 39\right)\cdot 41^{3} + \left(31 a^{24} + 38 a^{23} + 16 a^{22} + 14 a^{21} + 34 a^{20} + 19 a^{19} + 31 a^{18} + 34 a^{17} + 24 a^{16} + 29 a^{15} + 19 a^{13} + 23 a^{12} + 34 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 17 a^{24} + 11 a^{23} + 13 a^{22} + 15 a^{21} + 20 a^{20} + 17 a^{19} + 3 a^{18} + 36 a^{17} + 31 a^{16} + 24 a^{15} + 11 a^{14} + 31 a^{13} + 5 a^{12} + 9 a^{11} + 26 a^{10} + 10 a^{9} + 35 a^{8} + 40 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 25 a + 32 + \left(18 a^{24} + 3 a^{23} + 31 a^{22} + 6 a^{21} + 5 a^{20} + 36 a^{19} + 30 a^{18} + 33 a^{17} + 29 a^{16} + 11 a^{15} + 25 a^{14} + 17 a^{13} + 9 a^{12} + 4 a^{11} + 33 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 39 a^{6} + 31 a^{5} + 40 a^{4} + 32 a^{2} + 11 a + 39\right)\cdot 41 + \left(11 a^{24} + 27 a^{23} + 18 a^{22} + 34 a^{21} + 22 a^{20} + 40 a^{19} + 3 a^{18} + a^{17} + 29 a^{16} + 24 a^{15} + 4 a^{14} + 3 a^{13} + 22 a^{12} + 26 a^{11} + 31 a^{10} + 2 a^{9} + 24 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 38 a^{5} + 32 a^{4} + 32 a^{3} + 6 a^{2} + 24\right)\cdot 41^{2} + \left(12 a^{24} + 29 a^{23} + 35 a^{22} + 5 a^{21} + 16 a^{20} + 34 a^{19} + 25 a^{18} + 20 a^{17} + 31 a^{16} + 26 a^{15} + 25 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 34 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 38 a^{5} + 33 a^{4} + 40 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 33\right)\cdot 41^{3} + \left(11 a^{24} + 19 a^{23} + 9 a^{22} + 35 a^{21} + 39 a^{20} + 19 a^{19} + 40 a^{18} + a^{17} + 19 a^{16} + 39 a^{15} + 16 a^{14} + 21 a^{13} + 8 a^{12} + 25 a^{11} + 22 a^{10} + 20 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + 32 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 38 a + 33\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 22 a^{24} + 8 a^{23} + 13 a^{22} + 30 a^{21} + 10 a^{20} + 7 a^{19} + 19 a^{18} + 26 a^{17} + 23 a^{16} + 6 a^{15} + 5 a^{14} + 3 a^{13} + 3 a^{12} + 22 a^{11} + 24 a^{10} + 21 a^{9} + 32 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 35 + \left(33 a^{24} + 16 a^{23} + 20 a^{22} + 4 a^{21} + 24 a^{20} + 23 a^{19} + 25 a^{18} + 40 a^{17} + 16 a^{16} + 11 a^{15} + 40 a^{14} + 31 a^{13} + 19 a^{12} + 39 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 35 a^{7} + 29 a^{6} + 32 a^{5} + 23 a^{4} + 40 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 41 + \left(39 a^{24} + 18 a^{23} + 19 a^{22} + 25 a^{21} + 31 a^{20} + 10 a^{19} + 10 a^{18} + a^{17} + 7 a^{16} + 34 a^{15} + 29 a^{13} + 38 a^{12} + 29 a^{11} + 35 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 32 a^{5} + 35 a^{4} + 4 a^{3} + 40 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 41^{2} + \left(37 a^{24} + 33 a^{23} + 36 a^{22} + 37 a^{21} + 22 a^{20} + 40 a^{19} + 16 a^{18} + 38 a^{17} + 40 a^{16} + 36 a^{15} + 20 a^{14} + 11 a^{13} + 37 a^{12} + 21 a^{11} + 30 a^{10} + 33 a^{9} + 6 a^{8} + 34 a^{7} + 35 a^{6} + 32 a^{5} + 33 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 41^{3} + \left(a^{24} + 31 a^{23} + 17 a^{22} + 21 a^{21} + 22 a^{20} + 16 a^{19} + 38 a^{18} + 28 a^{17} + 26 a^{15} + 18 a^{14} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 32 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 23 a^{24} + 3 a^{23} + 33 a^{22} + 36 a^{21} + 33 a^{20} + 11 a^{19} + 16 a^{18} + 18 a^{17} + 14 a^{16} + 13 a^{15} + 28 a^{14} + a^{13} + 35 a^{12} + 31 a^{11} + 36 a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 36 a^{2} + 10 a + 32 + \left(21 a^{24} + 25 a^{23} + 2 a^{22} + 33 a^{21} + 2 a^{20} + 29 a^{19} + 38 a^{18} + 4 a^{17} + 39 a^{16} + 25 a^{15} + 38 a^{14} + 13 a^{13} + 30 a^{12} + 38 a^{11} + 27 a^{10} + 27 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 41 + \left(20 a^{24} + 37 a^{23} + 33 a^{22} + 39 a^{21} + 24 a^{20} + 19 a^{19} + 19 a^{18} + 30 a^{17} + 27 a^{16} + 36 a^{15} + 18 a^{14} + 18 a^{13} + 6 a^{12} + 30 a^{11} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 31 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 39 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 41^{2} + \left(16 a^{24} + 11 a^{23} + 39 a^{22} + 29 a^{21} + 2 a^{20} + 30 a^{19} + 35 a^{18} + 39 a^{17} + 39 a^{16} + 18 a^{15} + 5 a^{14} + 24 a^{13} + 24 a^{12} + a^{11} + 3 a^{10} + 31 a^{9} + 33 a^{8} + 27 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 41^{3} + \left(19 a^{24} + 27 a^{23} + 30 a^{22} + 9 a^{21} + 16 a^{20} + 38 a^{19} + 10 a^{18} + 4 a^{17} + 5 a^{16} + 35 a^{15} + 16 a^{14} + 20 a^{13} + a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 34 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 31 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 24 a^{24} + 36 a^{23} + 32 a^{22} + 24 a^{20} + 5 a^{19} + 5 a^{18} + 14 a^{17} + 22 a^{16} + 19 a^{15} + 23 a^{14} + 32 a^{13} + 14 a^{12} + 31 a^{11} + 32 a^{10} + 21 a^{9} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 38 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 25 + \left(27 a^{24} + 7 a^{23} + 37 a^{22} + 39 a^{21} + 15 a^{20} + 23 a^{19} + 26 a^{18} + 3 a^{17} + 4 a^{16} + 37 a^{15} + 25 a^{14} + 29 a^{13} + 13 a^{12} + 20 a^{11} + 37 a^{10} + 7 a^{9} + 36 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 36 a^{3} + 21 a^{2} + a + 23\right)\cdot 41 + \left(15 a^{24} + 13 a^{23} + 3 a^{22} + 6 a^{21} + 3 a^{20} + 7 a^{19} + 9 a^{18} + 20 a^{16} + 23 a^{15} + a^{14} + 14 a^{13} + 31 a^{12} + 21 a^{11} + 40 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 33 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 39 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 33\right)\cdot 41^{2} + \left(2 a^{24} + 30 a^{23} + 14 a^{22} + 40 a^{21} + 4 a^{20} + 22 a^{18} + 38 a^{17} + 24 a^{16} + 13 a^{15} + 31 a^{14} + 33 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{11} + 14 a^{10} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{6} + 32 a^{5} + 20 a^{4} + 38 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 41^{3} + \left(5 a^{24} + 8 a^{23} + 36 a^{22} + 22 a^{21} + 30 a^{20} + 7 a^{19} + 25 a^{18} + 34 a^{17} + 22 a^{16} + 21 a^{15} + 6 a^{14} + 38 a^{13} + 17 a^{12} + 37 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 37 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 36 a^{5} + 40 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 26 a^{24} + 9 a^{23} + 31 a^{22} + 38 a^{21} + 34 a^{20} + 4 a^{19} + 10 a^{18} + 18 a^{17} + 21 a^{16} + 24 a^{15} + 32 a^{14} + 20 a^{13} + 4 a^{12} + 4 a^{11} + 35 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 37 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 36 a + 38 + \left(28 a^{24} + 22 a^{23} + 13 a^{22} + 20 a^{21} + 35 a^{20} + 35 a^{19} + 29 a^{18} + 11 a^{17} + 6 a^{16} + 31 a^{15} + 37 a^{14} + 15 a^{13} + 30 a^{12} + 7 a^{11} + 3 a^{10} + 22 a^{9} + 32 a^{8} + 36 a^{7} + 34 a^{6} + 37 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 41 + \left(31 a^{24} + 9 a^{23} + 20 a^{22} + 27 a^{21} + 14 a^{20} + 5 a^{19} + 8 a^{18} + 21 a^{17} + 4 a^{16} + 26 a^{15} + 11 a^{14} + a^{13} + a^{12} + 40 a^{11} + 39 a^{10} + 8 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 41^{2} + \left(30 a^{24} + 10 a^{23} + 31 a^{22} + 21 a^{21} + 20 a^{20} + 19 a^{19} + 36 a^{18} + 33 a^{17} + 11 a^{16} + 2 a^{15} + 35 a^{14} + 16 a^{13} + 32 a^{12} + 32 a^{11} + 37 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 30 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 32 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 41^{3} + \left(32 a^{24} + 36 a^{23} + 33 a^{22} + 36 a^{21} + 8 a^{20} + 36 a^{19} + 39 a^{18} + 30 a^{17} + 10 a^{16} + 33 a^{15} + 14 a^{14} + 33 a^{13} + 6 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 32 a^{9} + 33 a^{8} + 2 a^{7} + 32 a^{6} + 37 a^{5} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 31 a^{24} + 33 a^{23} + 34 a^{22} + 38 a^{21} + 12 a^{20} + 5 a^{19} + 30 a^{18} + 27 a^{17} + 20 a^{16} + 27 a^{15} + 33 a^{14} + a^{13} + 13 a^{12} + 20 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 15 a^{8} + 39 a^{7} + 34 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 33 + \left(9 a^{24} + 2 a^{23} + 37 a^{22} + 29 a^{21} + 38 a^{20} + 29 a^{19} + 3 a^{18} + 5 a^{17} + 23 a^{16} + 36 a^{15} + a^{14} + 20 a^{13} + 16 a^{12} + 21 a^{10} + 3 a^{9} + 36 a^{8} + 2 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 41 + \left(21 a^{24} + 3 a^{23} + 22 a^{22} + 15 a^{21} + 7 a^{20} + 21 a^{19} + 9 a^{18} + 6 a^{17} + 9 a^{16} + 25 a^{15} + 15 a^{13} + 2 a^{12} + 30 a^{11} + 16 a^{10} + 26 a^{9} + 29 a^{8} + 34 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 35 a^{4} + 39 a^{3} + a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 41^{2} + \left(17 a^{24} + 22 a^{23} + 5 a^{22} + 37 a^{21} + a^{20} + 2 a^{19} + 20 a^{18} + 20 a^{16} + 37 a^{15} + 13 a^{14} + 14 a^{12} + 16 a^{10} + 34 a^{9} + 35 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 35 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 41^{3} + \left(17 a^{24} + 3 a^{23} + 7 a^{22} + 2 a^{21} + 39 a^{19} + 27 a^{18} + 13 a^{17} + 37 a^{16} + 28 a^{15} + 26 a^{14} + 38 a^{13} + 14 a^{12} + a^{11} + 36 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 33 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 35 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 31 a^{24} + 35 a^{23} + 7 a^{22} + 35 a^{21} + 36 a^{19} + 3 a^{18} + 30 a^{17} + 13 a^{16} + 21 a^{15} + 22 a^{14} + 28 a^{13} + 7 a^{12} + 36 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 29 + \left(34 a^{24} + 33 a^{22} + 33 a^{21} + 4 a^{20} + 23 a^{19} + 4 a^{18} + 19 a^{17} + 13 a^{16} + 22 a^{15} + 35 a^{14} + 35 a^{13} + 39 a^{12} + 35 a^{11} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 34 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 41 + \left(33 a^{24} + 37 a^{23} + 13 a^{22} + 33 a^{21} + 23 a^{20} + 17 a^{19} + 15 a^{18} + 35 a^{17} + 12 a^{16} + 33 a^{15} + 39 a^{14} + 2 a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 37 a^{10} + 32 a^{9} + 16 a^{8} + 31 a^{7} + 25 a^{6} + 32 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 41^{2} + \left(2 a^{24} + 27 a^{23} + 2 a^{22} + 9 a^{21} + 17 a^{20} + 16 a^{19} + 14 a^{18} + 32 a^{17} + 24 a^{16} + 36 a^{15} + 12 a^{14} + 14 a^{13} + 39 a^{12} + 10 a^{11} + 15 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 36 a^{6} + 30 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 41^{3} + \left(37 a^{24} + 9 a^{23} + 23 a^{21} + 12 a^{20} + 9 a^{19} + 9 a^{18} + 32 a^{17} + 25 a^{16} + 11 a^{15} + 8 a^{14} + 15 a^{13} + 29 a^{12} + 30 a^{11} + 7 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 39 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{4} + 37 a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 32 a^{24} + 4 a^{23} + 2 a^{22} + 33 a^{21} + 27 a^{20} + 12 a^{19} + 32 a^{18} + 14 a^{17} + 2 a^{16} + 33 a^{15} + 40 a^{14} + 24 a^{13} + 33 a^{12} + 34 a^{11} + 16 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 35 a^{5} + 10 a^{4} + 39 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 4 + \left(35 a^{24} + 11 a^{23} + 30 a^{22} + 20 a^{20} + 40 a^{19} + 5 a^{18} + 21 a^{17} + 2 a^{16} + 3 a^{15} + 9 a^{14} + 5 a^{13} + 32 a^{12} + 10 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + 27 a^{8} + 38 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 40 a^{3} + 17 a^{2} + 30\right)\cdot 41 + \left(4 a^{24} + 39 a^{23} + 14 a^{22} + 7 a^{21} + 26 a^{20} + 27 a^{19} + a^{18} + 18 a^{17} + 17 a^{16} + 7 a^{15} + 12 a^{14} + 31 a^{13} + 28 a^{12} + 26 a^{11} + 30 a^{10} + 33 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 41^{2} + \left(23 a^{24} + 11 a^{23} + 38 a^{22} + 31 a^{21} + 15 a^{20} + 26 a^{19} + 30 a^{18} + 33 a^{17} + 32 a^{16} + 31 a^{15} + 35 a^{14} + 20 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 29 a^{10} + 5 a^{9} + 13 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 32 a^{4} + 39 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{24} + 15 a^{23} + 30 a^{22} + 4 a^{21} + 26 a^{20} + 17 a^{19} + 26 a^{18} + 8 a^{17} + 22 a^{16} + 8 a^{15} + 12 a^{14} + 35 a^{13} + 31 a^{12} + 9 a^{11} + 37 a^{10} + 13 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 36 a^{6} + 38 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 32 a^{24} + 9 a^{23} + 8 a^{22} + 9 a^{21} + 35 a^{20} + 17 a^{19} + 15 a^{18} + 12 a^{17} + 40 a^{16} + 25 a^{15} + 12 a^{14} + 4 a^{13} + 24 a^{12} + 27 a^{11} + 12 a^{10} + 28 a^{9} + 30 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 23 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + a + 25 + \left(33 a^{24} + 20 a^{23} + 7 a^{22} + 25 a^{21} + 19 a^{20} + 21 a^{19} + 29 a^{18} + 35 a^{17} + 13 a^{16} + 38 a^{15} + 31 a^{14} + 27 a^{13} + 23 a^{12} + 37 a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 33\right)\cdot 41 + \left(a^{24} + 24 a^{23} + 21 a^{22} + 3 a^{21} + 20 a^{20} + 18 a^{19} + 33 a^{18} + 12 a^{17} + 21 a^{16} + 18 a^{15} + 25 a^{14} + 4 a^{13} + 12 a^{12} + 14 a^{11} + 32 a^{10} + 24 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 37 a^{6} + 10 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 33 a^{2} + 32 a + 21\right)\cdot 41^{2} + \left(15 a^{24} + 33 a^{23} + 2 a^{22} + 20 a^{21} + 27 a^{20} + 29 a^{19} + 12 a^{18} + 33 a^{17} + 39 a^{16} + 9 a^{15} + 12 a^{14} + 30 a^{13} + 23 a^{12} + 11 a^{11} + 25 a^{10} + 38 a^{9} + 7 a^{8} + 33 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 10 a^{4} + 32 a^{3} + 38 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 41^{3} + \left(34 a^{24} + 29 a^{23} + 2 a^{22} + 6 a^{21} + 5 a^{20} + 8 a^{19} + 27 a^{18} + 33 a^{17} + 15 a^{16} + 11 a^{15} + 11 a^{14} + 15 a^{13} + 24 a^{12} + 23 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 34 a^{24} + 12 a^{23} + 22 a^{22} + 4 a^{21} + 2 a^{20} + 5 a^{19} + 2 a^{18} + 16 a^{17} + 32 a^{16} + 23 a^{15} + 3 a^{14} + 14 a^{13} + 34 a^{12} + 35 a^{11} + 34 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 23 + \left(3 a^{24} + 15 a^{23} + 22 a^{22} + 22 a^{21} + 20 a^{20} + 10 a^{19} + 9 a^{18} + 20 a^{17} + 6 a^{16} + 5 a^{15} + 37 a^{14} + 14 a^{13} + 23 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 32 a^{9} + 4 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 32 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 41 + \left(5 a^{24} + 22 a^{23} + 39 a^{22} + 3 a^{21} + 14 a^{20} + 40 a^{19} + 15 a^{18} + 40 a^{17} + 35 a^{16} + 20 a^{15} + 2 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{11} + 32 a^{10} + 14 a^{9} + 8 a^{8} + 38 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 34 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a\right)\cdot 41^{2} + \left(38 a^{24} + 24 a^{23} + 23 a^{22} + 21 a^{21} + 22 a^{20} + 25 a^{19} + 23 a^{18} + 14 a^{17} + 31 a^{16} + 20 a^{15} + 39 a^{14} + 17 a^{13} + 39 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 4 a^{9} + 21 a^{8} + 33 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a\right)\cdot 41^{3} + \left(12 a^{24} + 2 a^{23} + 33 a^{22} + 8 a^{21} + 12 a^{20} + 22 a^{19} + 20 a^{18} + 37 a^{17} + 9 a^{16} + 25 a^{15} + 40 a^{14} + 9 a^{13} + 7 a^{12} + 6 a^{11} + 16 a^{10} + 39 a^{9} + 38 a^{8} + 30 a^{7} + 37 a^{6} + 32 a^{5} + 35 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 34 a^{24} + 35 a^{23} + 6 a^{22} + 30 a^{21} + 29 a^{20} + 33 a^{19} + 16 a^{18} + 32 a^{17} + 27 a^{16} + 25 a^{15} + 36 a^{14} + 40 a^{13} + 19 a^{12} + 23 a^{11} + 31 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 37 a^{7} + 18 a^{6} + 36 a^{5} + 36 a^{4} + 12 a^{3} + 37 a^{2} + 28 a + 8 + \left(18 a^{24} + 39 a^{23} + 8 a^{22} + 15 a^{21} + 13 a^{20} + 29 a^{19} + 20 a^{18} + 7 a^{17} + 37 a^{16} + 23 a^{15} + 25 a^{14} + 16 a^{13} + 5 a^{12} + 11 a^{11} + 13 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 41 + \left(32 a^{24} + 23 a^{23} + 20 a^{22} + 20 a^{21} + 4 a^{20} + 16 a^{19} + 11 a^{18} + 13 a^{17} + 32 a^{16} + 26 a^{14} + 32 a^{13} + 7 a^{12} + 24 a^{11} + 5 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + 24 a^{7} + 24 a^{6} + 17 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 41^{2} + \left(17 a^{24} + 23 a^{23} + a^{22} + 23 a^{21} + 23 a^{20} + 7 a^{19} + 11 a^{18} + 33 a^{17} + 4 a^{16} + 33 a^{15} + 29 a^{14} + 16 a^{13} + 39 a^{12} + 34 a^{11} + 35 a^{10} + 23 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 33 a^{3} + 22 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{24} + 17 a^{23} + a^{22} + 25 a^{21} + 25 a^{20} + 32 a^{19} + 30 a^{18} + 11 a^{17} + 19 a^{16} + 12 a^{15} + 26 a^{14} + 8 a^{13} + 28 a^{12} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 38 a^{9} + 13 a^{8} + 31 a^{7} + 25 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 35 a^{24} + 40 a^{23} + 11 a^{22} + 16 a^{21} + 39 a^{20} + 40 a^{19} + 36 a^{18} + 10 a^{17} + 33 a^{16} + 13 a^{15} + 36 a^{14} + 3 a^{13} + 20 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + 32 a^{9} + 38 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 40 + \left(34 a^{24} + 23 a^{23} + 21 a^{22} + 36 a^{21} + 14 a^{20} + 8 a^{19} + a^{18} + 36 a^{17} + 28 a^{16} + 19 a^{15} + 28 a^{14} + 4 a^{13} + 37 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 37 a^{9} + 38 a^{8} + 5 a^{7} + 36 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + 37 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 41 + \left(32 a^{24} + 28 a^{23} + 3 a^{22} + 19 a^{21} + 37 a^{20} + 22 a^{19} + 21 a^{18} + 37 a^{17} + 8 a^{16} + 17 a^{15} + 37 a^{14} + 19 a^{13} + 4 a^{12} + 24 a^{11} + 34 a^{10} + 27 a^{9} + 37 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 34 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 41^{2} + \left(34 a^{24} + 11 a^{23} + 22 a^{22} + 11 a^{21} + 19 a^{20} + 26 a^{19} + 38 a^{18} + 20 a^{17} + 23 a^{16} + 20 a^{15} + 17 a^{14} + 16 a^{13} + 36 a^{12} + 6 a^{11} + 21 a^{10} + 31 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 34 a^{6} + 29 a^{5} + 32 a^{4} + 32 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 33\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{24} + 13 a^{23} + 12 a^{22} + 28 a^{21} + 4 a^{20} + 40 a^{19} + 29 a^{18} + 18 a^{17} + a^{16} + 2 a^{15} + 15 a^{14} + 23 a^{13} + 7 a^{12} + 37 a^{11} + 15 a^{10} + 35 a^{9} + 35 a^{8} + 40 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 33 a^{4} + 24 a^{3} + 35 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 37 a^{24} + 12 a^{23} + 24 a^{22} + 21 a^{21} + 16 a^{20} + 16 a^{19} + 3 a^{18} + 30 a^{17} + 23 a^{16} + 40 a^{15} + 38 a^{14} + 16 a^{13} + 26 a^{12} + 5 a^{11} + 23 a^{10} + 8 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 36 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 33 a^{2} + 39 a + 13 + \left(38 a^{24} + 38 a^{23} + 16 a^{22} + 4 a^{21} + 21 a^{20} + 8 a^{19} + 40 a^{18} + 28 a^{17} + 10 a^{16} + 10 a^{15} + 10 a^{14} + a^{13} + 3 a^{12} + a^{11} + 33 a^{10} + 17 a^{9} + 39 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 7 a^{5} + 29 a^{4} + 19 a^{3} + 35 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 41 + \left(23 a^{24} + 4 a^{23} + 27 a^{22} + 15 a^{21} + 13 a^{20} + 13 a^{19} + 26 a^{18} + 4 a^{16} + 26 a^{15} + 5 a^{14} + 19 a^{13} + a^{12} + 36 a^{11} + 39 a^{10} + 33 a^{9} + 23 a^{8} + 33 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 31 a + 34\right)\cdot 41^{2} + \left(33 a^{24} + 34 a^{23} + 13 a^{22} + 23 a^{21} + 35 a^{20} + 27 a^{19} + 6 a^{18} + 37 a^{17} + 32 a^{16} + 36 a^{15} + 13 a^{14} + 2 a^{13} + 29 a^{12} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + 18 a^{9} + 38 a^{8} + 27 a^{7} + 5 a^{6} + 32 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 28 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 41^{3} + \left(34 a^{24} + 10 a^{23} + 17 a^{22} + 21 a^{21} + 11 a^{20} + 37 a^{19} + 7 a^{18} + 20 a^{17} + 34 a^{16} + 21 a^{15} + 15 a^{14} + 3 a^{13} + 24 a^{12} + 8 a^{11} + 9 a^{10} + 22 a^{9} + 31 a^{8} + 39 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 41^{4} +O(41^{5})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $25$ | $2$ | $(1,13)(2,17)(3,11)(4,12)(5,8)(6,18)(7,24)(9,22)(10,16)(14,23)(19,21)(20,25)$ | $0$ |
| $2$ | $5$ | $(1,22,20,17,11)(2,25,9,13,3)(4,24,21,23,6)(5,8,16,15,10)(7,12,18,14,19)$ | $\zeta_{25}^{15} + \zeta_{25}^{10}$ |
| $2$ | $5$ | $(1,20,11,22,17)(2,9,3,25,13)(4,21,6,24,23)(5,16,10,8,15)(7,18,19,12,14)$ | $-\zeta_{25}^{15} - \zeta_{25}^{10} - 1$ |
| $2$ | $25$ | $(1,9,12,15,4,22,13,18,10,24,20,3,14,5,21,17,2,19,8,23,11,25,7,16,6)$ | $\zeta_{25}^{17} + \zeta_{25}^{8}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,12,4,13,10,20,14,21,2,8,11,7,6,9,15,22,18,24,3,5,17,19,23,25,16)$ | $\zeta_{25}^{16} + \zeta_{25}^{9}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,15,13,24,14,17,8,25,6,12,22,10,3,21,19,11,16,9,4,18,20,5,2,23,7)$ | $-\zeta_{25}^{19} - \zeta_{25}^{14} - \zeta_{25}^{9} - \zeta_{25}^{4} + \zeta_{25}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,4,10,14,2,11,6,15,18,3,17,23,16,12,13,20,21,8,7,9,22,24,5,19,25)$ | $\zeta_{25}^{18} + \zeta_{25}^{7}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,13,14,8,6,22,3,19,16,4,20,2,7,15,24,17,25,12,10,21,11,9,18,5,23)$ | $-\zeta_{25}^{18} - \zeta_{25}^{13} - \zeta_{25}^{8} - \zeta_{25}^{3} + \zeta_{25}^{2}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,18,21,25,15,20,19,6,13,5,11,12,24,2,16,22,14,23,9,10,17,7,4,3,8)$ | $\zeta_{25}^{19} + \zeta_{25}^{6}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,10,2,6,18,17,16,13,21,7,22,5,25,4,14,11,15,3,23,12,20,8,9,24,19)$ | $\zeta_{25}^{14} + \zeta_{25}^{11}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,24,8,12,3,11,4,5,7,13,17,6,10,19,9,20,23,15,14,25,22,21,16,18,2)$ | $-\zeta_{25}^{17} - \zeta_{25}^{12} - \zeta_{25}^{7} + \zeta_{25}^{3} - \zeta_{25}^{2}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,3,7,10,23,22,2,12,5,6,20,25,18,8,4,17,9,14,16,24,11,13,19,15,21)$ | $\zeta_{25}^{13} + \zeta_{25}^{12}$ |
| $2$ | $25$ | $(1,14,6,3,16,20,7,24,25,10,11,18,23,13,8,22,19,4,2,15,17,12,21,9,5)$ | $-\zeta_{25}^{16} - \zeta_{25}^{11} - \zeta_{25}^{6} + \zeta_{25}^{4} - \zeta_{25}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.