LMFDB - Artin representation 2.1539.24t21.a.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	16T60
Conductor:	$1539$$\medspace = 3^{4} \cdot 19 $
Artin stem field:	Galois closure of 16.0.731086699811838561.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	24T21
Parity:	odd
Determinant:	1.19.2t1.a.a
Projective image:	$A_4$
Projective stem field:	Galois closure of 4.0.29241.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{16} - 3 x^{15} + 6 x^{14} - 4 x^{13} - x^{12} + 15 x^{11} - 27 x^{10} + 32 x^{9} - 12 x^{8} + \cdots + 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{6} + 19x^{3} + 28x^{2} + 21x + 3 $ x^6 + 19*x^3 + 28*x^2 + 21*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 24 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 18 + \left(23 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 43 + \left(25 a^{5} + 34 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(42 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 31 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(33 a^{5} + 39 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(33 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 24a^5 + 11a^4 + a^3 + 15a^2 + 14a + 18 + (23a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 30a^2 + 7a + 18)43 + (25a^5 + 34a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 20a + 42)43^2 + (42a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 38a + 7)43^3 + (4a^5 + 9a^4 + 31a^3 + 24a^2 + 26a + 15)43^4 + (33a^5 + 39a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 13a + 35)43^5 + (33a^5 + 23a^4 + 25a^3 + 35a^2 + 32a + 36)43^6 + (9a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 32a + 1)43^7 + (2a^5 + 23a^4 + 38a^3 + 13a^2 + 11a + 13)43^8+O(43^9)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 33 a^{4} + 5 a^{3} + 35 a^{2} + 18 a + 2 + \left(38 a^{5} + 33 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 43 + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 4 a^{3} + 33 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{5} + 38 a^{4} + 32 a^{3} + 34 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{5} + 32 a^{4} + a^{3} + 35 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{5} + 34 a^{4} + 30 a^{3} + 31 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(26 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 16a^5 + 33a^4 + 5a^3 + 35a^2 + 18a + 2 + (38a^5 + 33a^4 + 9a^3 + 30a^2 + 39a + 41)43 + (21a^5 + 19a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 22a + 10)43^2 + (37a^5 + 4a^3 + 33a^2 + 5a + 38)43^3 + (27a^5 + 38a^4 + 32a^3 + 34a^2 + 15a + 42)43^4 + (23a^5 + 32a^4 + a^3 + 35a^2 + 8a + 33)43^5 + (24a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 22a^2 + 22a + 10)43^6 + (38a^5 + 34a^4 + 30a^3 + 31a^2 + 10a + 31)43^7 + (26a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 19a^2 + 25a + 23)*43^8+O(43^9)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 5 a^{5} + 4 a^{4} + 39 a^{3} + 41 a^{2} + 38 a + 11 + \left(16 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a\right)\cdot 43 + \left(a^{5} + 39 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{5} + 40 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 41 a + 42\right)\cdot 43^{4} + \left(21 a^{5} + 12 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 43^{5} + \left(33 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 41 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{5} + 39 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(22 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 5a^5 + 4a^4 + 39a^3 + 41a^2 + 38a + 11 + (16a^5 + 28a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 30a)43 + (a^5 + 39a^4 + a^3 + 26a^2 + 31a)43^2 + (2a^5 + 40a^4 + 14a^3 + 13a + 5)43^3 + (27a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 21a^2 + 41a + 42)43^4 + (21a^5 + 12a^4 + 37a^3 + 6a^2 + 11a + 24)43^5 + (33a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 41a^2 + 22a + 23)43^6 + (27a^5 + 39a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 21a + 8)43^7 + (22a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 36a + 12)43^8+O(43^9)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 21 a^{5} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10 + \left(41 a^{5} + 39 a^{4} + 41 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 43 + \left(42 a^{5} + 34 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 43^{2} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(21 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 42 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{5} + 41 a^{4} + 2 a^{3} + 34 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 43^{6} + \left(14 a^{5} + 26 a^{4} + 37 a^{3} + 25 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 43^{7} + \left(8 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 21a^5 + 39a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 4a + 10 + (41a^5 + 39a^4 + 41a^3 + 14a^2 + 9a + 28)43 + (42a^5 + 34a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 36a + 34)43^2 + (15a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 23a^2 + 31a + 20)43^3 + (21a^5 + 22a^4 + 29a^3 + 42a^2 + 33a + 30)43^4 + (36a^5 + 41a^4 + 2a^3 + 34a^2 + 20a + 5)43^5 + (29a^5 + 28a^4 + 15a^3 + 29a^2 + 6a + 3)43^6 + (14a^5 + 26a^4 + 37a^3 + 25a^2 + 36a + 33)43^7 + (8a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 31a + 2)*43^8+O(43^9)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 22 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 23 + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 37 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 43 + \left(35 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{5} + 35 a^{4} + 22 a^{3} + 42 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 22a^5 + 16a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 32a + 23 + (14a^5 + 2a^4 + 37a^3 + 3a^2 + 6a + 1)43 + (35a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 21a + 15)43^2 + (19a^5 + 28a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 11a + 5)43^3 + (6a^5 + 13a^4 + 29a^3 + 29a^2 + 9a + 21)43^4 + (13a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 42a + 12)43^5 + (11a^5 + 35a^4 + 22a^3 + 42a^2 + 23a + 34)43^6 + (34a^5 + 5a^4 + 22a^3 + 28a^2 + 32a + 31)43^7 + (14a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 19a^2 + 21a + 9)*43^8+O(43^9)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 32 a^{2} + 24 a + 16 + \left(10 a^{5} + 41 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{5} + a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(10 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 37 a^{2} + a + 24\right)\cdot 43^{4} + \left(2 a^{5} + 41 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a^{5} + 36 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 43^{7} + \left(22 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 31 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 19a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 32a^2 + 24a + 16 + (10a^5 + 41a^4 + 26a^3 + 26a^2 + 6a + 27)43 + (11a^5 + 10a^4 + a^3 + 28a^2 + 31a + 18)43^2 + (10a^5 + a^3 + 20a^2 + 8a + 11)43^3 + (10a^5 + 25a^4 + 18a^3 + 37a^2 + a + 24)43^4 + (2a^5 + 41a^3 + 7a^2 + 29a + 6)43^5 + (15a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 10a + 23)43^6 + (28a^5 + 36a^4 + 19a^3 + 12a^2 + 2a + 39)43^7 + (22a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 31a^2 + 42a + 3)43^8+O(43^9)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 17 a^{5} + 5 a^{4} + 38 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 16 + \left(22 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 43 + \left(9 a^{5} + 31 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{5} + 31 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{5} + 38 a^{4} + 39 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 39 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 17a^5 + 5a^4 + 38a^3 + 19a^2 + 26a + 16 + (22a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 19a^2 + 25a + 21)43 + (9a^5 + 31a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 18a + 5)43^2 + (5a^5 + 31a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 41a + 27)43^3 + (5a^5 + 38a^4 + 39a^3 + 41a^2 + 39a + 21)43^4 + (9a^5 + a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 12a + 34)43^5 + (11a^5 + 20a^4 + 25a^3 + 39a^2 + 19a + 10)43^6 + (28a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 14a + 5)43^7 + (42a^5 + 26a^4 + 24a^3 + 22a^2 + 35a + 7)43^8+O(43^9)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 24 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 39 a^{2} + 8 a + 17 + \left(23 a^{5} + 40 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + a + 20\right)\cdot 43 + \left(22 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 35 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{5} + 31 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(37 a^{5} + 41 a^{4} + 26 a^{3} + 38 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(30 a^{5} + 37 a^{4} + 38 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 24a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 39a^2 + 8a + 17 + (23a^5 + 40a^4 + 14a^3 + 7a^2 + a + 20)43 + (22a^5 + 31a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 25a + 29)43^2 + (10a^5 + 18a^4 + 35a^3 + 7a^2 + 2a + 3)43^3 + (9a^5 + 31a^4 + 31a^3 + 4a^2 + 7a + 7)43^4 + (27a^4 + 19a^3 + 26a^2 + 29a + 21)43^5 + (37a^5 + 41a^4 + 26a^3 + 38a^2 + 6a + 7)43^6 + (19a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 6a^2 + 24)43^7 + (30a^5 + 37a^4 + 38a^3 + 18a^2 + 13a + 35)43^8+O(43^9)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 19 a^{5} + 35 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 5 + \left(39 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 43 + \left(28 a^{5} + 23 a^{4} + 34 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(15 a^{5} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{3} + \left(22 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{3} + 31 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a^{5} + 2 a^{3} + 35 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 43^{5} + \left(21 a^{5} + 12 a^{4} + 42 a^{3} + 40 a^{2} + 19 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(36 a^{5} + 40 a^{4} + 22 a^{3} + 31 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 41 a + 3\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 19a^5 + 35a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 11a + 5 + (39a^5 + 30a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 21a + 31)43 + (28a^5 + 23a^4 + 34a^3 + 17a^2 + 16a + 29)43^2 + (15a^5 + 2a^3 + 8a^2 + 27a)43^3 + (22a^5 + 31a^4 + 16a^3 + 31a^2 + 9a + 26)43^4 + (25a^5 + 2a^3 + 35a^2 + 29a + 16)43^5 + (21a^5 + 12a^4 + 42a^3 + 40a^2 + 19a + 42)43^6 + (36a^5 + 40a^4 + 22a^3 + 31a^2 + 28a + 8)43^7 + (14a^5 + 21a^4 + 24a^3 + 24a^2 + 41a + 3)*43^8+O(43^9)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 6 a^{5} + 26 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 29 + \left(10 a^{5} + 35 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 43 + \left(35 a^{5} + 28 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 35 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{5} + 14 a^{4} + 38 a^{3} + 40 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{4} + \left(31 a^{5} + 16 a^{4} + 34 a^{3} + 18 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{3} + 7 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{5} + 40 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 43^{7} + \left(34 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 33 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 6a^5 + 26a^4 + 37a^3 + 6a^2 + 36a + 29 + (10a^5 + 35a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 26a + 32)43 + (35a^5 + 28a^4 + 31a^3 + 4a^2 + 20a + 42)43^2 + (19a^5 + 31a^4 + 27a^3 + 35a^2 + 8a)43^3 + (36a^5 + 14a^4 + 38a^3 + 40a^2 + 6a)43^4 + (31a^5 + 16a^4 + 34a^3 + 18a^2 + 42a + 26)43^5 + (27a^5 + 30a^4 + 33a^3 + 7a + 34)43^6 + (15a^5 + 40a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 37a + 28)43^7 + (34a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 33a^2 + 20a + 7)43^8+O(43^9)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 38 a^{5} + 39 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 35 + \left(26 a^{5} + 14 a^{4} + 32 a^{3} + 37 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 43 + \left(41 a^{5} + 3 a^{4} + 41 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 42 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{5} + 31 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(21 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(9 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 38a^5 + 39a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 5a + 35 + (26a^5 + 14a^4 + 32a^3 + 37a^2 + 12a + 14)43 + (41a^5 + 3a^4 + 41a^3 + 16a^2 + 11a + 24)43^2 + (40a^5 + 2a^4 + 28a^3 + 42a^2 + 29a + 31)43^3 + (15a^5 + 31a^4 + 29a^3 + 21a^2 + a + 15)43^4 + (21a^5 + 30a^4 + 5a^3 + 36a^2 + 31a + 21)43^5 + (9a^5 + 29a^4 + 20a^3 + a^2 + 20a + 27)43^6 + (15a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 29a^2 + 21a + 26)43^7 + (20a^5 + 24a^4 + 40a^3 + 38a^2 + 6a + 12)*43^8+O(43^9)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 6 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 39 a + 34 + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 36 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 43 + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 34 a^{2} + 12\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 32 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(37 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(21 a^{4} + a^{3} + 41 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 18 a^{2} + 34 a + 30\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 6a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 24a^2 + 39a + 34 + (7a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 36a^2 + 25a + 13)43 + (14a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 24a^2 + 12a + 26)43^2 + (37a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 34a^2 + 12)43^3 + (15a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 32a^2 + 36a + 3)43^4 + (37a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 42a + 12)43^5 + (21a^4 + a^3 + 41a^2 + 34a + 4)43^6 + (39a^5 + 25a^4 + 33a^3 + 18a^2 + 34a + 30)43^7 + (31a^5 + 25a^4 + 17a^3 + 26a^2 + 14a + 4)43^8+O(43^9)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 37 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 29 a + 36 + \left(2 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 43 + \left(25 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(26 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43^{7} + \left(13 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 37a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 16a^2 + 29a + 36 + (2a^5 + 30a^4 + 4a^3 + 23a^2 + 15a + 39)43 + (25a^5 + 19a^4 + 25a^3 + 2a^2 + 22a + 27)43^2 + (40a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 25a^2 + 19a + 24)43^3 + (14a^5 + 28a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 13a + 30)43^4 + (26a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 21a^2 + 23a + 2)43^5 + (31a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 25a^2 + 11a + 14)43^6 + (37a^5 + 11a^4 + 14a^2 + 7a + 12)43^7 + (13a^5 + 20a^4 + 4a^3 + 31a^2 + 7a + 32)43^8+O(43^9)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 7 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 12 + \left(24 a^{5} + 41 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43 + \left(26 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 41 a^{2} + 33 a + 34\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{5} + 32 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 43^{5} + \left(35 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 43^{7} + \left(5 a^{5} + 29 a^{4} + 39 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 7a^5 + 21a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 5a + 12 + (24a^5 + 41a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 21a + 9)43 + (26a^5 + 6a^4 + 24a^3 + 5a^2 + 24a + 18)43^2 + (12a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 41a^2 + 33a + 34)43^3 + (29a^5 + 5a^4 + 30a^3 + 14a^2 + 25a + 3)43^4 + (7a^5 + 32a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 5a + 40)43^5 + (35a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 35a^2 + 11a + 32)43^6 + (7a^5 + 11a^4 + 27a^2 + 19a + 25)43^7 + (5a^5 + 29a^4 + 39a^3 + 33a^2 + 15a + 9)43^8+O(43^9)
$r_{ 15 }$	$=$	$ 26 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 3 + \left(20 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 43 + \left(33 a^{5} + 11 a^{4} + 31 a^{3} + 40 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + a + 14\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 43^{4} + \left(33 a^{5} + 41 a^{4} + 37 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 43^{6} + \left(14 a^{5} + 34 a^{4} + 29 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 26a^5 + 38a^4 + 5a^3 + 24a^2 + 17a + 3 + (20a^5 + 31a^4 + 16a^3 + 23a^2 + 17a + 3)43 + (33a^5 + 11a^4 + 31a^3 + 40a^2 + 24a + 33)43^2 + (37a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 13a^2 + a + 14)43^3 + (37a^5 + 4a^4 + 3a^3 + a^2 + 3a + 36)43^4 + (33a^5 + 41a^4 + 37a^3 + 26a^2 + 30a + 4)43^5 + (31a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 23a + 12)43^6 + (14a^5 + 34a^4 + 29a^3 + 27a^2 + 28a + 4)43^7 + (16a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 7a + 41)43^8+O(43^9)
$r_{ 16 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 12 a^{4} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 38 a + 37 + \left(22 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 30 a^{4} + a^{3} + 33 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 33 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{6} + \left(18 a^{5} + 30 a^{4} + 31 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{5} + 21 a^{4} + 31 a^{3} + 36 a^{2} + 12 a + 38\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})$ 14a^5 + 12a^4 + 31a^3 + 8a^2 + 38a + 37 + (22a^5 + 22a^4 + 16a^3 + 25a^2 + 33a + 40)43 + (11a^5 + 30a^4 + a^3 + 33a^2 + 4a + 27)43^2 + (38a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 33a^2 + 27a + 18)43^3 + (15a^5 + 14a^4 + 21a^3 + 39a^2 + 30a + 23)43^4 + (20a^5 + 19a^4 + 11a^3 + 25a^2 + 14a + 2)43^5 + (32a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 27a + 26)43^6 + (18a^5 + 30a^4 + 31a^3 + 3a^2 + 16a + 31)43^7 + (9a^5 + 21a^4 + 31a^3 + 36a^2 + 12a + 38)43^8+O(43^9)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$

Cycle notation
$(1,7,12)(2,8,11)(3,10,16)(4,9,15)$
$(1,12,9,4)(2,16,10,8)(3,14,11,6)(5,15,13,7)$
$(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$
$(1,13,9,5)(2,3,10,11)(4,7,12,15)(6,8,14,16)$
$(1,8,9,16)(2,4,10,12)(3,7,11,15)(5,6,13,14)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 16 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$	$-2$
$6$	$2$	$(1,14)(2,7)(3,12)(4,11)(5,8)(6,9)(10,15)(13,16)$	$0$
$4$	$3$	$(1,7,12)(2,8,11)(3,10,16)(4,9,15)$	$-1$
$4$	$3$	$(1,12,7)(2,11,8)(3,16,10)(4,15,9)$	$-1$
$1$	$4$	$(1,8,9,16)(2,4,10,12)(3,7,11,15)(5,6,13,14)$	$-2 \zeta_{4}$
$1$	$4$	$(1,16,9,8)(2,12,10,4)(3,15,11,7)(5,14,13,6)$	$2 \zeta_{4}$
$6$	$4$	$(1,13,9,5)(2,3,10,11)(4,7,12,15)(6,8,14,16)$	$0$
$4$	$6$	$(1,4,7,9,12,15)(2,3,8,10,11,16)(5,13)(6,14)$	$1$
$4$	$6$	$(1,15,12,9,7,4)(2,16,11,10,8,3)(5,13)(6,14)$	$1$
$4$	$12$	$(1,11,4,16,7,2,9,3,12,8,15,10)(5,6,13,14)$	$\zeta_{4}$
$4$	$12$	$(1,2,15,16,12,11,9,10,7,8,4,3)(5,6,13,14)$	$\zeta_{4}$
$4$	$12$	$(1,3,4,8,7,10,9,11,12,16,15,2)(5,14,13,6)$	$-\zeta_{4}$
$4$	$12$	$(1,10,15,8,12,3,9,2,7,16,4,11)(5,14,13,6)$	$-\zeta_{4}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1539.24t21.a.a
Dimension	$2$
Group	$\SL(2,3):C_2$
Conductor	$1539$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 24 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 18 + \left(23 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 43 + \left(25 a^{5} + 34 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(42 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 43^{3} + \left(4 a^{5} + 9 a^{4} + 31 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(33 a^{5} + 39 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(33 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 43^{6} + \left(9 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(2 a^{5} + 23 a^{4} + 38 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 24a^5 + 11a^4 + a^3 + 15a^2 + 14a + 18 + (23a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 30a^2 + 7a + 18)43 + (25a^5 + 34a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 20a + 42)43^2 + (42a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 38a + 7)43^3 + (4a^5 + 9a^4 + 31a^3 + 24a^2 + 26a + 15)43^4 + (33a^5 + 39a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 13a + 35)43^5 + (33a^5 + 23a^4 + 25a^3 + 35a^2 + 32a + 36)43^6 + (9a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 32a + 1)43^7 + (2a^5 + 23a^4 + 38a^3 + 13a^2 + 11a + 13)43^8+O(43^9)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 33 a^{4} + 5 a^{3} + 35 a^{2} + 18 a + 2 + \left(38 a^{5} + 33 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 43 + \left(21 a^{5} + 19 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 4 a^{3} + 33 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{5} + 38 a^{4} + 32 a^{3} + 34 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{5} + 32 a^{4} + a^{3} + 35 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a^{5} + 34 a^{4} + 30 a^{3} + 31 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(26 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 16a^5 + 33a^4 + 5a^3 + 35a^2 + 18a + 2 + (38a^5 + 33a^4 + 9a^3 + 30a^2 + 39a + 41)43 + (21a^5 + 19a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 22a + 10)43^2 + (37a^5 + 4a^3 + 33a^2 + 5a + 38)43^3 + (27a^5 + 38a^4 + 32a^3 + 34a^2 + 15a + 42)43^4 + (23a^5 + 32a^4 + a^3 + 35a^2 + 8a + 33)43^5 + (24a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 22a^2 + 22a + 10)43^6 + (38a^5 + 34a^4 + 30a^3 + 31a^2 + 10a + 31)43^7 + (26a^5 + 8a^4 + 3a^3 + 19a^2 + 25a + 23)*43^8+O(43^9)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 5 a^{5} + 4 a^{4} + 39 a^{3} + 41 a^{2} + 38 a + 11 + \left(16 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a\right)\cdot 43 + \left(a^{5} + 39 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{5} + 40 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 41 a + 42\right)\cdot 43^{4} + \left(21 a^{5} + 12 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 43^{5} + \left(33 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 41 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{5} + 39 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(22 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 5a^5 + 4a^4 + 39a^3 + 41a^2 + 38a + 11 + (16a^5 + 28a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 30a)43 + (a^5 + 39a^4 + a^3 + 26a^2 + 31a)43^2 + (2a^5 + 40a^4 + 14a^3 + 13a + 5)43^3 + (27a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 21a^2 + 41a + 42)43^4 + (21a^5 + 12a^4 + 37a^3 + 6a^2 + 11a + 24)43^5 + (33a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 41a^2 + 22a + 23)43^6 + (27a^5 + 39a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 21a + 8)43^7 + (22a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 36a + 12)43^8+O(43^9)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 21 a^{5} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10 + \left(41 a^{5} + 39 a^{4} + 41 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 43 + \left(42 a^{5} + 34 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 43^{2} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(21 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 42 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{5} + 41 a^{4} + 2 a^{3} + 34 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 43^{6} + \left(14 a^{5} + 26 a^{4} + 37 a^{3} + 25 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 43^{7} + \left(8 a^{5} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 21a^5 + 39a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 4a + 10 + (41a^5 + 39a^4 + 41a^3 + 14a^2 + 9a + 28)43 + (42a^5 + 34a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 36a + 34)43^2 + (15a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 23a^2 + 31a + 20)43^3 + (21a^5 + 22a^4 + 29a^3 + 42a^2 + 33a + 30)43^4 + (36a^5 + 41a^4 + 2a^3 + 34a^2 + 20a + 5)43^5 + (29a^5 + 28a^4 + 15a^3 + 29a^2 + 6a + 3)43^6 + (14a^5 + 26a^4 + 37a^3 + 25a^2 + 36a + 33)43^7 + (8a^5 + 23a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 31a + 2)*43^8+O(43^9)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 22 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 23 + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 37 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 43 + \left(35 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 43^{3} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{5} + 35 a^{4} + 22 a^{3} + 42 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 28 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 22a^5 + 16a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 32a + 23 + (14a^5 + 2a^4 + 37a^3 + 3a^2 + 6a + 1)43 + (35a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 21a + 15)43^2 + (19a^5 + 28a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 11a + 5)43^3 + (6a^5 + 13a^4 + 29a^3 + 29a^2 + 9a + 21)43^4 + (13a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 42a + 12)43^5 + (11a^5 + 35a^4 + 22a^3 + 42a^2 + 23a + 34)43^6 + (34a^5 + 5a^4 + 22a^3 + 28a^2 + 32a + 31)43^7 + (14a^5 + 14a^4 + 19a^3 + 19a^2 + 21a + 9)*43^8+O(43^9)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 32 a^{2} + 24 a + 16 + \left(10 a^{5} + 41 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{5} + a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(10 a^{5} + 25 a^{4} + 18 a^{3} + 37 a^{2} + a + 24\right)\cdot 43^{4} + \left(2 a^{5} + 41 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a^{5} + 36 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 43^{7} + \left(22 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 31 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 19a^5 + 20a^4 + 28a^3 + 32a^2 + 24a + 16 + (10a^5 + 41a^4 + 26a^3 + 26a^2 + 6a + 27)43 + (11a^5 + 10a^4 + a^3 + 28a^2 + 31a + 18)43^2 + (10a^5 + a^3 + 20a^2 + 8a + 11)43^3 + (10a^5 + 25a^4 + 18a^3 + 37a^2 + a + 24)43^4 + (2a^5 + 41a^3 + 7a^2 + 29a + 6)43^5 + (15a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 10a + 23)43^6 + (28a^5 + 36a^4 + 19a^3 + 12a^2 + 2a + 39)43^7 + (22a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 31a^2 + 42a + 3)43^8+O(43^9)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 17 a^{5} + 5 a^{4} + 38 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 16 + \left(22 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 43 + \left(9 a^{5} + 31 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{5} + 31 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{5} + 38 a^{4} + 39 a^{3} + 41 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 43^{4} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(11 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 39 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 17a^5 + 5a^4 + 38a^3 + 19a^2 + 26a + 16 + (22a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 19a^2 + 25a + 21)43 + (9a^5 + 31a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 18a + 5)43^2 + (5a^5 + 31a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 41a + 27)43^3 + (5a^5 + 38a^4 + 39a^3 + 41a^2 + 39a + 21)43^4 + (9a^5 + a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 12a + 34)43^5 + (11a^5 + 20a^4 + 25a^3 + 39a^2 + 19a + 10)43^6 + (28a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 14a + 5)43^7 + (42a^5 + 26a^4 + 24a^3 + 22a^2 + 35a + 7)43^8+O(43^9)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 24 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 39 a^{2} + 8 a + 17 + \left(23 a^{5} + 40 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + a + 20\right)\cdot 43 + \left(22 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{5} + 18 a^{4} + 35 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{5} + 31 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(37 a^{5} + 41 a^{4} + 26 a^{3} + 38 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{5} + 18 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(30 a^{5} + 37 a^{4} + 38 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 24a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 39a^2 + 8a + 17 + (23a^5 + 40a^4 + 14a^3 + 7a^2 + a + 20)43 + (22a^5 + 31a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 25a + 29)43^2 + (10a^5 + 18a^4 + 35a^3 + 7a^2 + 2a + 3)43^3 + (9a^5 + 31a^4 + 31a^3 + 4a^2 + 7a + 7)43^4 + (27a^4 + 19a^3 + 26a^2 + 29a + 21)43^5 + (37a^5 + 41a^4 + 26a^3 + 38a^2 + 6a + 7)43^6 + (19a^5 + 18a^4 + 29a^3 + 6a^2 + 24)43^7 + (30a^5 + 37a^4 + 38a^3 + 18a^2 + 13a + 35)43^8+O(43^9)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 19 a^{5} + 35 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 5 + \left(39 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 43 + \left(28 a^{5} + 23 a^{4} + 34 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(15 a^{5} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{3} + \left(22 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{3} + 31 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a^{5} + 2 a^{3} + 35 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 43^{5} + \left(21 a^{5} + 12 a^{4} + 42 a^{3} + 40 a^{2} + 19 a + 42\right)\cdot 43^{6} + \left(36 a^{5} + 40 a^{4} + 22 a^{3} + 31 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(14 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 41 a + 3\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 19a^5 + 35a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 11a + 5 + (39a^5 + 30a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 21a + 31)43 + (28a^5 + 23a^4 + 34a^3 + 17a^2 + 16a + 29)43^2 + (15a^5 + 2a^3 + 8a^2 + 27a)43^3 + (22a^5 + 31a^4 + 16a^3 + 31a^2 + 9a + 26)43^4 + (25a^5 + 2a^3 + 35a^2 + 29a + 16)43^5 + (21a^5 + 12a^4 + 42a^3 + 40a^2 + 19a + 42)43^6 + (36a^5 + 40a^4 + 22a^3 + 31a^2 + 28a + 8)43^7 + (14a^5 + 21a^4 + 24a^3 + 24a^2 + 41a + 3)*43^8+O(43^9)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 6 a^{5} + 26 a^{4} + 37 a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 29 + \left(10 a^{5} + 35 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 32\right)\cdot 43 + \left(35 a^{5} + 28 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 35 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{3} + \left(36 a^{5} + 14 a^{4} + 38 a^{3} + 40 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{4} + \left(31 a^{5} + 16 a^{4} + 34 a^{3} + 18 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{3} + 7 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{5} + 40 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 43^{7} + \left(34 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 33 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 6a^5 + 26a^4 + 37a^3 + 6a^2 + 36a + 29 + (10a^5 + 35a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 26a + 32)43 + (35a^5 + 28a^4 + 31a^3 + 4a^2 + 20a + 42)43^2 + (19a^5 + 31a^4 + 27a^3 + 35a^2 + 8a)43^3 + (36a^5 + 14a^4 + 38a^3 + 40a^2 + 6a)43^4 + (31a^5 + 16a^4 + 34a^3 + 18a^2 + 42a + 26)43^5 + (27a^5 + 30a^4 + 33a^3 + 7a + 34)43^6 + (15a^5 + 40a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 37a + 28)43^7 + (34a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 33a^2 + 20a + 7)43^8+O(43^9)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 38 a^{5} + 39 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 35 + \left(26 a^{5} + 14 a^{4} + 32 a^{3} + 37 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 43 + \left(41 a^{5} + 3 a^{4} + 41 a^{3} + 16 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 42 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{5} + 31 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(21 a^{5} + 30 a^{4} + 5 a^{3} + 36 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(9 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 38a^5 + 39a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 5a + 35 + (26a^5 + 14a^4 + 32a^3 + 37a^2 + 12a + 14)43 + (41a^5 + 3a^4 + 41a^3 + 16a^2 + 11a + 24)43^2 + (40a^5 + 2a^4 + 28a^3 + 42a^2 + 29a + 31)43^3 + (15a^5 + 31a^4 + 29a^3 + 21a^2 + a + 15)43^4 + (21a^5 + 30a^4 + 5a^3 + 36a^2 + 31a + 21)43^5 + (9a^5 + 29a^4 + 20a^3 + a^2 + 20a + 27)43^6 + (15a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 29a^2 + 21a + 26)43^7 + (20a^5 + 24a^4 + 40a^3 + 38a^2 + 6a + 12)*43^8+O(43^9)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 6 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 39 a + 34 + \left(7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 36 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 43 + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 34 a^{2} + 12\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 32 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(37 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(21 a^{4} + a^{3} + 41 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 18 a^{2} + 34 a + 30\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 6a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 24a^2 + 39a + 34 + (7a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 36a^2 + 25a + 13)43 + (14a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 24a^2 + 12a + 26)43^2 + (37a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 34a^2 + 12)43^3 + (15a^5 + 24a^4 + 6a^3 + 32a^2 + 36a + 3)43^4 + (37a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 42a + 12)43^5 + (21a^4 + a^3 + 41a^2 + 34a + 4)43^6 + (39a^5 + 25a^4 + 33a^3 + 18a^2 + 34a + 30)43^7 + (31a^5 + 25a^4 + 17a^3 + 26a^2 + 14a + 4)43^8+O(43^9)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 37 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 29 a + 36 + \left(2 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 43 + \left(25 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(26 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43^{7} + \left(13 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 37a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 16a^2 + 29a + 36 + (2a^5 + 30a^4 + 4a^3 + 23a^2 + 15a + 39)43 + (25a^5 + 19a^4 + 25a^3 + 2a^2 + 22a + 27)43^2 + (40a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 25a^2 + 19a + 24)43^3 + (14a^5 + 28a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 13a + 30)43^4 + (26a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 21a^2 + 23a + 2)43^5 + (31a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 25a^2 + 11a + 14)43^6 + (37a^5 + 11a^4 + 14a^2 + 7a + 12)43^7 + (13a^5 + 20a^4 + 4a^3 + 31a^2 + 7a + 32)43^8+O(43^9)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 7 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 12 + \left(24 a^{5} + 41 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43 + \left(26 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(12 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 41 a^{2} + 33 a + 34\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{5} + 32 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 43^{5} + \left(35 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 43^{7} + \left(5 a^{5} + 29 a^{4} + 39 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 7a^5 + 21a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 5a + 12 + (24a^5 + 41a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 21a + 9)43 + (26a^5 + 6a^4 + 24a^3 + 5a^2 + 24a + 18)43^2 + (12a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 41a^2 + 33a + 34)43^3 + (29a^5 + 5a^4 + 30a^3 + 14a^2 + 25a + 3)43^4 + (7a^5 + 32a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 5a + 40)43^5 + (35a^5 + 4a^4 + 11a^3 + 35a^2 + 11a + 32)43^6 + (7a^5 + 11a^4 + 27a^2 + 19a + 25)43^7 + (5a^5 + 29a^4 + 39a^3 + 33a^2 + 15a + 9)43^8+O(43^9)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 26 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 3 + \left(20 a^{5} + 31 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 43 + \left(33 a^{5} + 11 a^{4} + 31 a^{3} + 40 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + a + 14\right)\cdot 43^{3} + \left(37 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 43^{4} + \left(33 a^{5} + 41 a^{4} + 37 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 43^{6} + \left(14 a^{5} + 34 a^{4} + 29 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 26a^5 + 38a^4 + 5a^3 + 24a^2 + 17a + 3 + (20a^5 + 31a^4 + 16a^3 + 23a^2 + 17a + 3)43 + (33a^5 + 11a^4 + 31a^3 + 40a^2 + 24a + 33)43^2 + (37a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 13a^2 + a + 14)43^3 + (37a^5 + 4a^4 + 3a^3 + a^2 + 3a + 36)43^4 + (33a^5 + 41a^4 + 37a^3 + 26a^2 + 30a + 4)43^5 + (31a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 23a + 12)43^6 + (14a^5 + 34a^4 + 29a^3 + 27a^2 + 28a + 4)43^7 + (16a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 7a + 41)43^8+O(43^9)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 12 a^{4} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 38 a + 37 + \left(22 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 30 a^{4} + a^{3} + 33 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 33 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 43^{3} + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 39 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{6} + \left(18 a^{5} + 30 a^{4} + 31 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{5} + 21 a^{4} + 31 a^{3} + 36 a^{2} + 12 a + 38\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) 14a^5 + 12a^4 + 31a^3 + 8a^2 + 38a + 37 + (22a^5 + 22a^4 + 16a^3 + 25a^2 + 33a + 40)43 + (11a^5 + 30a^4 + a^3 + 33a^2 + 4a + 27)43^2 + (38a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 33a^2 + 27a + 18)43^3 + (15a^5 + 14a^4 + 21a^3 + 39a^2 + 30a + 23)43^4 + (20a^5 + 19a^4 + 11a^3 + 25a^2 + 14a + 2)43^5 + (32a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 27a + 26)43^6 + (18a^5 + 30a^4 + 31a^3 + 3a^2 + 16a + 31)43^7 + (9a^5 + 21a^4 + 31a^3 + 36a^2 + 12a + 38)43^8+O(43^9)