Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{30}$ |
| Conductor: | \(15296\)\(\medspace = 2^{6} \cdot 239 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 30.2.69810446891843341455650582518642209772915392512.1 |
| Galois orbit size: | $4$ |
| Smallest permutation container: | $D_{30}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.239.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{15}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 15.1.44543599279432079.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{30} - 16 x^{28} + 152 x^{26} - 960 x^{24} + 4656 x^{22} - 18272 x^{20} + 59264 x^{18} - 161280 x^{16} + \cdots - 32768 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$:
\( x^{15} + 30x^{6} + 29x^{5} + 12x^{4} + 13x^{3} + 23x^{2} + 25x + 28 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 6 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 8 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + 21 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 24 + \left(7 a^{14} + 16 a^{13} + 3 a^{12} + 22 a^{11} + 22 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31 + \left(30 a^{14} + 27 a^{13} + a^{12} + 23 a^{11} + 15 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{14} + 27 a^{13} + 2 a^{12} + 26 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{14} + 19 a^{13} + 16 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{14} + 17 a^{13} + 23 a^{12} + 3 a^{11} + 26 a^{10} + 3 a^{9} + a^{8} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{3} + a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{14} + 27 a^{13} + 24 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{14} + 11 a^{12} + 24 a^{11} + 3 a^{10} + 23 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{14} + 11 a^{13} + a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 28 a^{9} + 15 a^{8} + 30 a^{7} + 17 a^{6} + 24 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{14} + 26 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 17 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 18 a^{14} + 24 a^{13} + 13 a^{12} + 26 a^{11} + 6 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 27 + \left(30 a^{14} + 25 a^{13} + 13 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + 18 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 28 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31 + \left(8 a^{14} + 2 a^{13} + a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 18 a^{13} + 6 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{13} + 18 a^{12} + 29 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{14} + 9 a^{13} + 5 a^{12} + 9 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{14} + 3 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{14} + 30 a^{13} + 28 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{14} + 24 a^{13} + 3 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(8 a^{14} + 10 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 2 a^{14} + 4 a^{13} + 6 a^{12} + 28 a^{11} + 3 a^{10} + 12 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 24 + \left(27 a^{14} + 12 a^{13} + 20 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 28 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a + 11\right)\cdot 31 + \left(17 a^{14} + 24 a^{13} + 17 a^{11} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{14} + 26 a^{13} + 24 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{10} + 28 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{14} + 13 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 30 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{14} + 6 a^{13} + 9 a^{12} + 3 a^{11} + 23 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 13 a\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{14} + 4 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{11} + 29 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(13 a^{14} + 26 a^{13} + a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{14} + 12 a^{13} + 15 a^{12} + 6 a^{11} + 28 a^{10} + 29 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + a^{13} + 28 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 29 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 29 a + 21 + \left(9 a^{14} + 13 a^{13} + a^{12} + 10 a^{11} + 9 a^{10} + 18 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31 + \left(29 a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{14} + 19 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{14} + 3 a^{13} + 16 a^{12} + 17 a^{11} + 23 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{14} + 7 a^{13} + 13 a^{12} + 27 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{14} + 23 a^{13} + 18 a^{12} + 21 a^{11} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{6} + \left(19 a^{14} + 28 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{14} + 10 a^{13} + 5 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{14} + 12 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 21 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 10 a^{14} + 14 a^{13} + a^{12} + 2 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 8 + \left(5 a^{14} + 25 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 10 a^{10} + 27 a^{9} + 14 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 31 + \left(5 a^{14} + 28 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{14} + 9 a^{13} + 17 a^{12} + 7 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{14} + 7 a^{13} + 15 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 30 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{14} + 14 a^{13} + 8 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + a^{5} + 29 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{14} + 5 a^{13} + 23 a^{12} + 3 a^{11} + 22 a^{10} + 3 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{14} + 17 a^{13} + 25 a^{12} + 6 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(24 a^{14} + 6 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 5 a^{14} + 21 a^{13} + 5 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 13 + \left(8 a^{14} + 11 a^{13} + 4 a^{12} + 10 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 24 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a + 25\right)\cdot 31 + \left(9 a^{14} + 24 a^{13} + 22 a^{12} + 14 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 18 a^{8} + 24 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{14} + 26 a^{13} + 19 a^{12} + 25 a^{11} + 4 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{14} + 14 a^{13} + 16 a^{12} + 16 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{12} + 19 a^{11} + 14 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{14} + 4 a^{13} + 15 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{14} + 6 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 4 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(18 a^{14} + 3 a^{13} + 22 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 11 a^{14} + 23 a^{13} + 30 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 22 + \left(14 a^{14} + 24 a^{13} + 9 a^{12} + 19 a^{11} + 11 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31 + \left(15 a^{14} + 10 a^{13} + 25 a^{12} + a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 2 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{14} + 22 a^{13} + 21 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 13 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{14} + 18 a^{13} + 6 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 14 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{14} + 12 a^{13} + 13 a^{12} + 13 a^{11} + 28 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{14} + 12 a^{13} + 18 a^{12} + 10 a^{11} + 10 a^{10} + 23 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(30 a^{14} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 19 a^{11} + 28 a^{10} + 23 a^{9} + 22 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{14} + 7 a^{13} + 21 a^{12} + 29 a^{11} + 17 a^{10} + 5 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{14} + 22 a^{13} + 27 a^{12} + a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 17 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 7 + \left(a^{14} + 13 a^{13} + 11 a^{12} + 30 a^{11} + 23 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31 + \left(19 a^{14} + 4 a^{13} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + 22 a^{10} + 30 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(16 a^{14} + 23 a^{13} + 23 a^{12} + 19 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{7} + 30 a^{6} + 29 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{14} + 20 a^{13} + 2 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{14} + 27 a^{13} + 28 a^{12} + 18 a^{11} + 3 a^{10} + 23 a^{8} + a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{14} + 12 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 22 a^{10} + 15 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{14} + 18 a^{13} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{14} + 13 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{14} + 25 a^{13} + 21 a^{12} + 9 a^{11} + 8 a^{10} + 27 a^{9} + 4 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 7 a^{14} + 29 a^{13} + 5 a^{12} + 27 a^{11} + 17 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 30 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 6 + \left(15 a^{14} + 5 a^{13} + 21 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 17 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31 + \left(30 a^{14} + 15 a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{14} + 10 a^{13} + 24 a^{12} + 14 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 20 a^{13} + 22 a^{12} + 5 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 4 a^{8} + 27 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{14} + 18 a^{13} + 26 a^{12} + 18 a^{11} + 7 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{14} + 23 a^{13} + 17 a^{12} + 30 a^{11} + 19 a^{10} + 29 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{14} + 29 a^{13} + 15 a^{12} + 2 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + 3 a^{13} + 12 a^{12} + 17 a^{11} + 30 a^{10} + 15 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 23 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 17 + \left(12 a^{14} + 27 a^{13} + 5 a^{12} + 27 a^{11} + 26 a^{10} + 10 a^{9} + 30 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31 + \left(16 a^{14} + 10 a^{13} + 21 a^{12} + 27 a^{11} + 6 a^{10} + 23 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{14} + 5 a^{12} + 29 a^{11} + 12 a^{10} + 27 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{14} + 2 a^{13} + 6 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{14} + 2 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{14} + 18 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 29 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{14} + 30 a^{13} + 21 a^{12} + 13 a^{11} + 15 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(2 a^{14} + 8 a^{13} + 3 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{14} + 27 a^{13} + 29 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 3 a^{14} + 9 a^{13} + 27 a^{12} + 26 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 22 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 7 + \left(9 a^{14} + 19 a^{13} + 23 a^{12} + 29 a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 28 a^{8} + 22 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31 + \left(20 a^{14} + 21 a^{13} + 8 a^{12} + 21 a^{11} + 16 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{14} + 29 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 5 a^{10} + 25 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{14} + 15 a^{13} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 21 a^{9} + 26 a^{8} + 29 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{14} + 5 a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 30 a^{4} + 14 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{13} + 27 a^{12} + 6 a^{11} + 18 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 6 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{14} + 7 a^{13} + 29 a^{12} + 10 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{14} + 13 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(17 a^{14} + 5 a^{13} + 12 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 19 a^{14} + 28 a^{13} + 23 a^{11} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 17 + \left(21 a^{14} + 10 a^{13} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31 + \left(11 a^{14} + 9 a^{13} + 27 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 22 a^{6} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{14} + 13 a^{13} + 20 a^{12} + 30 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{14} + 11 a^{13} + 7 a^{12} + 25 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{14} + 18 a^{13} + 12 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 11 a^{13} + 2 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 29 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{14} + 9 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 30 a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{12} + 4 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{14} + 18 a^{13} + 14 a^{12} + 29 a^{11} + 19 a^{10} + 26 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 22 a^{14} + 7 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 20 a^{10} + 25 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{2} + 10 a + 21 + \left(24 a^{14} + 20 a^{13} + 26 a^{12} + 28 a^{11} + 11 a^{10} + 28 a^{9} + 2 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31 + \left(9 a^{14} + 10 a^{13} + 12 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{14} + 9 a^{13} + 3 a^{12} + 7 a^{11} + 29 a^{10} + 20 a^{9} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{14} + 16 a^{13} + 29 a^{12} + 7 a^{11} + 18 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{14} + 21 a^{13} + 14 a^{12} + 16 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{14} + 20 a^{13} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 17 a^{10} + a^{9} + 26 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{14} + 6 a^{13} + 12 a^{12} + 30 a^{11} + 28 a^{10} + 15 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 25 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{14} + 14 a^{13} + 30 a^{12} + 7 a^{11} + 5 a^{10} + 28 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 8 a^{14} + 30 a^{13} + 19 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{9} + 28 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 27 a + 4 + \left(12 a^{14} + 22 a^{13} + a^{12} + 9 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 14 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31 + \left(13 a^{14} + 6 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{14} + 2 a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{14} + 4 a^{13} + 14 a^{12} + 10 a^{11} + 17 a^{10} + 24 a^{9} + 15 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 6 a^{13} + 22 a^{12} + 9 a^{11} + 29 a^{10} + 13 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{14} + 2 a^{12} + 15 a^{11} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + 30 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{14} + 13 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + 25 a^{8} + 22 a^{7} + 27 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(5 a^{14} + 26 a^{13} + 19 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 26 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{14} + 10 a^{13} + 3 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 6 a^{14} + 25 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 29 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a + 3 + \left(3 a^{14} + 13 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 24 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 31 + \left(3 a^{14} + 15 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 30 a^{10} + 17 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 19 a^{13} + 11 a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{14} + 21 a^{13} + 24 a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + 26 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{13} + 27 a^{12} + 17 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 20 a^{13} + 22 a^{12} + 30 a^{11} + 21 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{14} + 27 a^{13} + 18 a^{12} + a^{11} + 19 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{14} + 28 a^{13} + a^{12} + 7 a^{11} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 26 a^{4} + 4 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{14} + 21 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 21 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 25 a^{14} + 28 a^{13} + 12 a^{12} + 23 a^{11} + 9 a^{10} + 29 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 7 + \left(23 a^{14} + 14 a^{13} + 27 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31 + \left(3 a^{13} + 29 a^{12} + 7 a^{11} + 15 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{14} + 3 a^{13} + 28 a^{12} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{14} + 11 a^{13} + 14 a^{12} + 21 a^{11} + 25 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(18 a^{14} + 13 a^{13} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 4 a^{10} + 27 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{14} + 3 a^{13} + 6 a^{12} + 25 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{14} + 30 a^{13} + 19 a^{12} + 6 a^{11} + 27 a^{10} + 7 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{13} + 29 a^{12} + 23 a^{11} + 9 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{14} + 4 a^{13} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 13 a^{9} + 13 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 13 a^{14} + 7 a^{13} + 18 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 4 + \left(5 a^{13} + 17 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 26\right)\cdot 31 + \left(22 a^{14} + 28 a^{13} + 29 a^{12} + 21 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{14} + 12 a^{13} + 24 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 30 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{14} + a^{13} + 12 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 18 a^{9} + 30 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{14} + 21 a^{13} + 25 a^{12} + 30 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{14} + 27 a^{13} + 6 a^{12} + 9 a^{11} + 30 a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{14} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{14} + 6 a^{13} + 27 a^{12} + 26 a^{11} + 21 a^{10} + 27 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{14} + 20 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + 30 a^{10} + 22 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 29 a^{14} + 27 a^{13} + 25 a^{12} + 3 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 7 + \left(3 a^{14} + 18 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 2 a^{10} + 3 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + 30 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31 + \left(13 a^{14} + 6 a^{13} + 30 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{14} + 4 a^{13} + 6 a^{12} + 21 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 5 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(16 a^{14} + 26 a^{13} + 26 a^{12} + 21 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{14} + 24 a^{13} + 21 a^{12} + 27 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{14} + 26 a^{13} + 8 a^{12} + 7 a^{11} + a^{10} + 26 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{14} + 4 a^{13} + 29 a^{12} + 17 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{14} + 18 a^{13} + 15 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 28 a^{14} + 30 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 10 + \left(21 a^{14} + 17 a^{13} + 29 a^{12} + 20 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31 + \left(a^{14} + 14 a^{13} + 15 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 30 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{14} + 11 a^{13} + 18 a^{12} + 29 a^{11} + 29 a^{10} + 26 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{14} + 27 a^{13} + 14 a^{12} + 13 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 23 a^{13} + 17 a^{12} + 3 a^{11} + 26 a^{10} + 22 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{14} + 7 a^{13} + 12 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 20 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{14} + 2 a^{13} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 20 a^{10} + 4 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{14} + 20 a^{13} + 25 a^{12} + 26 a^{11} + 9 a^{10} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{14} + 18 a^{13} + 17 a^{12} + 11 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 21 a^{14} + 17 a^{13} + 30 a^{12} + 29 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 23 + \left(25 a^{14} + 5 a^{13} + 14 a^{12} + 7 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 16 a^{8} + 28 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 31 + \left(25 a^{14} + 2 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 28 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 9 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{14} + 21 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 2 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{14} + 23 a^{13} + 15 a^{12} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{8} + 15 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{14} + 16 a^{13} + 22 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 20 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 29 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{13} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 30 a^{9} + 27 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{14} + 13 a^{13} + 5 a^{12} + 24 a^{11} + 22 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{13} + 18 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{14} + 24 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 30 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 26 a^{14} + 10 a^{13} + 26 a^{12} + 14 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 18 + \left(22 a^{14} + 19 a^{13} + 26 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 23 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31 + \left(21 a^{14} + 6 a^{13} + 8 a^{12} + 16 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 30 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{14} + 4 a^{13} + 11 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 9 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{14} + 16 a^{13} + 14 a^{12} + 14 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{14} + 17 a^{13} + 22 a^{12} + 11 a^{11} + 16 a^{10} + 26 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{14} + 26 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 30 a^{10} + 16 a^{9} + 9 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{14} + 24 a^{13} + 17 a^{12} + 25 a^{11} + 10 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 24 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{14} + 14 a^{13} + 15 a^{12} + 2 a^{11} + 26 a^{10} + 10 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{14} + 27 a^{13} + 30 a^{12} + 8 a^{11} + 10 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 20 a^{14} + 8 a^{13} + a^{12} + 14 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 8 a^{8} + 27 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 9 + \left(16 a^{14} + 6 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31 + \left(15 a^{14} + 20 a^{13} + 5 a^{12} + 29 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{14} + 8 a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 11 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{14} + 12 a^{13} + 24 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{14} + 18 a^{13} + 17 a^{12} + 17 a^{11} + 30 a^{10} + 2 a^{9} + 6 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{14} + 18 a^{13} + 12 a^{12} + 20 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{13} + a^{12} + 11 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{14} + 23 a^{13} + 9 a^{12} + a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(7 a^{14} + 8 a^{13} + 3 a^{12} + 29 a^{11} + 24 a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 14 a^{13} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 24 + \left(30 a^{14} + 17 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31 + \left(11 a^{14} + 26 a^{13} + 4 a^{12} + 18 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{8} + 30 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{14} + 7 a^{13} + 7 a^{12} + 11 a^{11} + 9 a^{10} + 24 a^{9} + 10 a^{8} + 24 a^{7} + a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{14} + 10 a^{13} + 28 a^{12} + 16 a^{11} + 21 a^{10} + 22 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{14} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 30 a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + a\right)\cdot 31^{5} + \left(11 a^{14} + 18 a^{13} + 22 a^{12} + 28 a^{11} + 8 a^{10} + 15 a^{9} + 19 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 30 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{14} + 12 a^{13} + 30 a^{12} + 15 a^{11} + 5 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{14} + 17 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 25 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{14} + 5 a^{13} + 9 a^{12} + 21 a^{11} + 22 a^{10} + 3 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 24 a^{14} + 2 a^{13} + 26 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 25 + \left(15 a^{14} + 25 a^{13} + 9 a^{12} + 10 a^{11} + 12 a^{10} + 13 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31 + \left(15 a^{13} + 20 a^{12} + 28 a^{11} + 6 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{14} + 20 a^{13} + 6 a^{12} + 16 a^{11} + 22 a^{10} + 26 a^{9} + 23 a^{8} + 25 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{14} + 10 a^{13} + 8 a^{12} + 25 a^{11} + 29 a^{10} + 14 a^{9} + 26 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{14} + 12 a^{13} + 4 a^{12} + 12 a^{11} + 23 a^{10} + 23 a^{9} + 19 a^{8} + 5 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{14} + 11 a^{13} + 28 a^{12} + 10 a^{11} + 14 a^{10} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{14} + 7 a^{13} + 13 a^{12} + 11 a^{10} + a^{9} + 29 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{14} + a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{14} + 27 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 15 a^{9} + 16 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 19 a^{14} + 8 a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{11} + 12 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 14 + \left(18 a^{14} + 3 a^{13} + 25 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 20 a^{9} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31 + \left(14 a^{14} + 20 a^{13} + 9 a^{12} + 3 a^{11} + 24 a^{10} + 7 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{14} + 30 a^{13} + 25 a^{12} + a^{11} + 18 a^{10} + 3 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{14} + 28 a^{13} + 24 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 8 a^{9} + 17 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{14} + 28 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{13} + 27 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 11 a\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{14} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{14} + 22 a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{11} + 7 a^{10} + 30 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{8} + \left(a^{14} + 3 a^{13} + a^{12} + 23 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 28 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 24 + \left(21 a^{14} + 11 a^{13} + 7 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 18 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31 + \left(10 a^{14} + 9 a^{13} + 22 a^{12} + 9 a^{11} + 30 a^{10} + 14 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{14} + a^{13} + 6 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{14} + 15 a^{13} + 30 a^{12} + 9 a^{11} + 25 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{14} + 25 a^{13} + 21 a^{11} + 29 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{14} + 25 a^{13} + 3 a^{12} + 24 a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{14} + 23 a^{13} + a^{12} + 30 a^{11} + 30 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{14} + 17 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 8 a^{10} + 15 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{14} + 25 a^{13} + 18 a^{12} + 19 a^{11} + 29 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 12 a^{14} + 3 a^{13} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 16 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 14 + \left(9 a^{14} + 20 a^{13} + 27 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 31 + \left(19 a^{14} + 21 a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 28 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{14} + 19 a^{13} + 23 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 7 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{4} + \left(14 a^{14} + 12 a^{13} + 18 a^{12} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{14} + 19 a^{13} + 28 a^{12} + 19 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 28 a^{3} + a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{14} + 21 a^{13} + 28 a^{12} + 26 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{8} + a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{14} + 8 a^{13} + 26 a^{12} + 26 a^{11} + 20 a^{10} + 26 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{8} + \left(14 a^{14} + 12 a^{13} + 16 a^{12} + a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 9 a^{14} + 24 a^{13} + 15 a^{12} + 8 a^{11} + 11 a^{10} + 6 a^{9} + 8 a^{8} + 29 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{2} + 21 a + 10 + \left(6 a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31 + \left(21 a^{14} + 20 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{14} + 21 a^{13} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + a^{10} + 10 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{14} + 14 a^{13} + a^{12} + 23 a^{11} + 12 a^{10} + 3 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(8 a^{14} + 9 a^{13} + 16 a^{12} + 14 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{14} + 10 a^{13} + 30 a^{12} + 3 a^{11} + 22 a^{10} + 5 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{14} + 28 a^{13} + 2 a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{14} + 24 a^{13} + 18 a^{12} + 2 a^{10} + 15 a^{9} + 19 a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{14} + 16 a^{13} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 29 }$ | $=$ |
\( 23 a^{14} + a^{13} + 12 a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 24 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 27 + \left(18 a^{14} + 8 a^{13} + 29 a^{12} + 21 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 31 + \left(17 a^{14} + 24 a^{13} + 5 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(18 a^{14} + 28 a^{13} + 19 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{14} + 26 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{14} + 24 a^{13} + 8 a^{12} + 21 a^{11} + a^{10} + 17 a^{9} + 29 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{14} + 30 a^{13} + 28 a^{12} + 15 a^{11} + 11 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(9 a^{14} + 17 a^{13} + 24 a^{12} + 28 a^{11} + 9 a^{10} + 23 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{14} + 4 a^{13} + 11 a^{12} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(18 a^{14} + 20 a^{13} + 27 a^{12} + 28 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 9 a^{6} + 29 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
| $r_{ 30 }$ | $=$ |
\( 25 a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 19 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 28 + \left(27 a^{14} + 17 a^{13} + 15 a^{12} + 8 a^{11} + 27 a^{10} + 28 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 30 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31 + \left(27 a^{14} + 15 a^{13} + 21 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 28 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{14} + 11 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 20 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{14} + 9 a^{13} + 6 a^{12} + 23 a^{11} + 20 a^{10} + 4 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{14} + 10 a^{13} + 3 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{14} + 10 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{14} + 3 a^{13} + 12 a^{12} + 29 a^{11} + 11 a^{10} + 23 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{14} + 2 a^{13} + 29 a^{12} + 23 a^{11} + 18 a^{10} + 27 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{13} + 14 a^{12} + 7 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,16)(2,17)(3,18)(4,19)(5,20)(6,21)(7,22)(8,23)(9,24)(10,25)(11,26)(12,27)(13,28)(14,29)(15,30)$ | $-2$ |
| $15$ | $2$ | $(1,6)(2,7)(3,27)(4,14)(5,30)(8,25)(9,13)(10,23)(12,18)(15,20)(16,21)(17,22)(19,29)(24,28)$ | $0$ |
| $15$ | $2$ | $(1,21)(2,22)(3,12)(4,29)(5,15)(6,16)(7,17)(8,10)(9,28)(11,26)(13,24)(14,19)(18,27)(20,30)(23,25)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,24,17)(2,16,9)(3,20,25)(4,11,14)(5,10,18)(6,22,28)(7,13,21)(8,15,27)(12,23,30)(19,26,29)$ | $-1$ |
| $2$ | $5$ | $(1,12,11,18,6)(2,15,19,25,13)(3,21,16,27,26)(4,10,28,17,30)(5,22,24,23,14)(7,9,8,29,20)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $5$ | $(1,11,6,12,18)(2,19,13,15,25)(3,16,26,21,27)(4,28,30,10,17)(5,24,14,22,23)(7,8,20,9,29)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$ |
| $2$ | $6$ | $(1,9,17,16,24,2)(3,5,25,18,20,10)(4,26,14,19,11,29)(6,7,28,21,22,13)(8,30,27,23,15,12)$ | $1$ |
| $2$ | $10$ | $(1,27,11,3,6,16,12,26,18,21)(2,30,19,10,13,17,15,4,25,28)(5,7,24,8,14,20,22,9,23,29)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$ |
| $2$ | $10$ | $(1,3,12,21,11,16,18,27,6,26)(2,10,15,28,19,17,25,30,13,4)(5,8,22,29,24,20,23,7,14,9)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,23,4,18,22,17,12,14,10,6,24,30,11,5,28)(2,27,29,25,21,9,15,26,20,13,16,8,19,3,7)$ | $2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,4,22,12,10,24,11,28,23,18,17,14,6,30,5)(2,29,21,15,20,16,19,7,27,25,9,26,13,8,3)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,22,10,11,23,17,6,5,4,12,24,28,18,14,30)(2,21,20,19,27,9,13,3,29,15,16,7,25,26,8)$ | $-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $15$ | $(1,14,28,12,5,17,11,22,30,18,24,4,6,23,10)(2,26,7,15,3,9,19,21,8,25,16,29,13,27,20)$ | $-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$ |
| $2$ | $30$ | $(1,8,4,3,22,2,12,29,10,21,24,15,11,20,28,16,23,19,18,7,17,27,14,25,6,9,30,26,5,13)$ | $-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,29,28,27,5,2,11,7,30,3,24,19,6,8,10,16,14,13,12,20,17,26,22,15,18,9,4,21,23,25)$ | $\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$ |
| $2$ | $30$ | $(1,15,14,3,28,9,12,19,5,21,17,8,11,25,22,16,30,29,18,13,24,27,4,20,6,2,23,26,10,7)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$ |
| $2$ | $30$ | $(1,20,30,21,14,2,18,8,28,26,24,25,12,7,4,16,5,15,6,29,17,3,23,13,11,9,10,27,22,19)$ | $\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.