LMFDB - Artin representation 2.15296.10t3.a.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{10}$
Conductor:	$15296$$\medspace = 2^{6} \cdot 239 $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 10.0.25552855538040832.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$D_{10}$
Parity:	odd
Determinant:	1.239.2t1.a.a
Projective image:	$D_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.57121.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{10} + 28x^{8} + 372x^{6} + 2464x^{4} + 7744x^{2} + 7648 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{5} + 7x + 28 $ x^5 + 7*x + 28

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 2 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 5 + \left(21 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31 + \left(11 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{4} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{4} + 25 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 2a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 22a + 5 + (21a^4 + 18a^3 + 22a^2 + 2a)31 + (11a^4 + 26a^3 + 21a^2 + 14a + 22)31^2 + (9a^4 + 19a^3 + 24a^2 + 16a + 27)31^3 + (24a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 29a + 5)31^4 + (a^4 + 4a^3 + a^2 + 10a + 16)31^5 + (14a^4 + 25a^2 + 13a + 10)31^6 + (8a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 23a + 16)31^7 + (21a^4 + 12a^3 + 2a^2 + a + 7)31^8 + (26a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 30a + 19)*31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 3 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 23 + \left(9 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31 + \left(21 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 3a^4 + 5a^3 + 30a^2 + 29a + 23 + (9a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 25a + 13)31 + (21a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 2a + 1)31^2 + (11a^4 + 12a^3 + 27a^2 + 28a + 22)31^3 + (3a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 20a + 12)31^4 + (15a^4 + 19a^3 + 17a^2 + a + 16)31^5 + (9a^4 + 20a^3 + 5a^2 + a + 3)31^6 + (2a^4 + 30a^3 + 5a^2 + 13a + 19)31^7 + (4a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 10a + 16)31^8 + (19a^4 + a^3 + 15a^2 + 26a + 26)31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 4 a^{4} + 9 a^{2} + 6 a + 10 + \left(5 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31 + \left(10 a^{3} + a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{4} + 23 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(18 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 4a^4 + 9a^2 + 6a + 10 + (5a^4 + 24a^3 + 3a^2 + 30a + 16)31 + (10a^3 + a^2 + 13a + 19)31^2 + (21a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 3a + 24)31^3 + (24a^4 + 7a^3 + 23a + 1)31^4 + (19a^4 + 2a^3 + a^2 + 14a + 24)31^5 + (3a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 14a + 1)31^6 + (4a^4 + 23a^3 + 15a^2 + 30a + 23)31^7 + (4a^4 + a^3 + 11a^2 + 2a + 10)31^8 + (18a^4 + 4a^3 + 26a^2 + 2a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 4 a^{4} + 27 a^{2} + 27 a + 10 + \left(30 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31 + \left(4 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 4a^4 + 27a^2 + 27a + 10 + (30a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 5a + 1)31 + (4a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 14a + 3)31^2 + (17a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 20a + 3)31^3 + (3a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 25a + 26)31^4 + (10a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 19a)31^5 + (26a^4 + 26a^3 + 27a^2 + 22a + 11)31^6 + (a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 29a + 10)31^7 + (10a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 18a + 25)31^8 + (6a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 18a + 16)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 5 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 28 + \left(24 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31 + \left(6 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{4} + 18 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 5a^4 + 23a^3 + 14a^2 + 10a + 28 + (24a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 4a + 29)31 + (6a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 17a + 6)31^2 + (17a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 30a + 28)31^3 + (6a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 21a + 11)31^4 + (7a^4 + 5a^3 + 24a^2 + 17a + 9)31^5 + (15a^4 + 18a^2 + 22a + 23)31^6 + (8a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 4a + 22)31^7 + (3a^3 + 25a^2 + 28a + 7)31^8 + (3a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 10a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 26 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 3 + \left(6 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31 + \left(24 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 26a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 21a + 3 + (6a^4 + 14a^3 + 24a^2 + 26a + 1)31 + (24a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 13a + 24)31^2 + (13a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 2)31^3 + (24a^4 + 25a^3 + 22a^2 + 9a + 19)31^4 + (23a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 13a + 21)31^5 + (15a^4 + 30a^3 + 12a^2 + 8a + 7)31^6 + (22a^4 + 8a^3 + 22a^2 + 26a + 8)31^7 + (30a^4 + 27a^3 + 5a^2 + 2a + 23)31^8 + (27a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 20a + 1)31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 27 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a + 21 + \left(28 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31 + \left(26 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(24 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 27a^4 + 4a^2 + 4a + 21 + (28a^3 + 28a^2 + 25a + 29)31 + (26a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 16a + 27)31^2 + (13a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 10a + 27)31^3 + (27a^4 + 23a^3 + 13a^2 + 5a + 4)31^4 + (20a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 11a + 30)31^5 + (4a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 8a + 19)31^6 + (29a^4 + 22a^3 + 15a^2 + a + 20)31^7 + (20a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 12a + 5)31^8 + (24a^4 + 28a^3 + 19a^2 + 12a + 14)31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 27 a^{4} + 22 a^{2} + 25 a + 21 + \left(25 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 14\right)\cdot 31 + \left(30 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{4} + 26 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{4} + 23 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 27a^4 + 22a^2 + 25a + 21 + (25a^4 + 7a^3 + 27a^2 + 14)31 + (30a^4 + 20a^3 + 29a^2 + 17a + 11)31^2 + (9a^4 + 26a^3 + 15a^2 + 27a + 6)31^3 + (6a^4 + 23a^3 + 30a^2 + 7a + 29)31^4 + (11a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 16a + 6)31^5 + (27a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 16a + 29)31^6 + (26a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 7)31^7 + (26a^4 + 29a^3 + 19a^2 + 28a + 20)31^8 + (12a^4 + 26a^3 + 4a^2 + 28a + 28)31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 28 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8 + \left(21 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31 + \left(9 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{4} + 25 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 28a^4 + 26a^3 + a^2 + 2a + 8 + (21a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 5a + 17)31 + (9a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 28a + 29)31^2 + (19a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 2a + 8)31^3 + (27a^4 + 4a^3 + 28a^2 + 10a + 18)31^4 + (15a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 29a + 14)31^5 + (21a^4 + 10a^3 + 25a^2 + 29a + 27)31^6 + (28a^4 + 25a^2 + 17a + 11)31^7 + (26a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 20a + 14)31^8 + (11a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 4a + 4)*31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 29 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 26 + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 31 + \left(19 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})$ 29a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 9a + 26 + (9a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 28a + 30)31 + (19a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 16a + 8)31^2 + (21a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 14a + 3)31^3 + (6a^4 + 21a^3 + 11a^2 + a + 25)31^4 + (29a^4 + 26a^3 + 29a^2 + 20a + 14)31^5 + (16a^4 + 30a^3 + 5a^2 + 17a + 20)31^6 + (22a^4 + 24a^3 + 28a^2 + 7a + 14)31^7 + (9a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 29a + 23)31^8 + (4a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 11)*31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 10 }$

Cycle notation
$(1,7)(2,9)(3,6)(4,10)(5,8)$
$(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)$
$(1,3)(2,5)(4,7)(6,9)(8,10)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 10 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)$	$-2$
$5$	$2$	$(1,7)(2,9)(3,6)(4,10)(5,8)$	$0$
$5$	$2$	$(1,4)(3,5)(6,8)(7,10)$	$0$
$2$	$5$	$(1,6,2,8,4)(3,7,10,5,9)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$
$2$	$5$	$(1,2,4,6,8)(3,10,9,7,5)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$
$2$	$10$	$(1,5,2,3,4,10,6,9,8,7)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + 1$
$2$	$10$	$(1,3,6,7,2,10,8,5,4,9)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

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Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
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This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.15296.10t3.a.b
Dimension	$2$
Group	$D_{10}$
Conductor	$15296$
Root number	$1$
Indicator	$1$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 2 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 5 + \left(21 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a\right)\cdot 31 + \left(11 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{4} + 19 a^{3} + 24 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{4} + 25 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(26 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 2a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 22a + 5 + (21a^4 + 18a^3 + 22a^2 + 2a)31 + (11a^4 + 26a^3 + 21a^2 + 14a + 22)31^2 + (9a^4 + 19a^3 + 24a^2 + 16a + 27)31^3 + (24a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 29a + 5)31^4 + (a^4 + 4a^3 + a^2 + 10a + 16)31^5 + (14a^4 + 25a^2 + 13a + 10)31^6 + (8a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 23a + 16)31^7 + (21a^4 + 12a^3 + 2a^2 + a + 7)31^8 + (26a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 30a + 19)*31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 3 a^{4} + 5 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 23 + \left(9 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31 + \left(21 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 3a^4 + 5a^3 + 30a^2 + 29a + 23 + (9a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 25a + 13)31 + (21a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 2a + 1)31^2 + (11a^4 + 12a^3 + 27a^2 + 28a + 22)31^3 + (3a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 20a + 12)31^4 + (15a^4 + 19a^3 + 17a^2 + a + 16)31^5 + (9a^4 + 20a^3 + 5a^2 + a + 3)31^6 + (2a^4 + 30a^3 + 5a^2 + 13a + 19)31^7 + (4a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 10a + 16)31^8 + (19a^4 + a^3 + 15a^2 + 26a + 26)31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 4 a^{4} + 9 a^{2} + 6 a + 10 + \left(5 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31 + \left(10 a^{3} + a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{4} + 7 a^{3} + 23 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(4 a^{4} + 23 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(18 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 4a^4 + 9a^2 + 6a + 10 + (5a^4 + 24a^3 + 3a^2 + 30a + 16)31 + (10a^3 + a^2 + 13a + 19)31^2 + (21a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 3a + 24)31^3 + (24a^4 + 7a^3 + 23a + 1)31^4 + (19a^4 + 2a^3 + a^2 + 14a + 24)31^5 + (3a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 14a + 1)31^6 + (4a^4 + 23a^3 + 15a^2 + 30a + 23)31^7 + (4a^4 + a^3 + 11a^2 + 2a + 10)31^8 + (18a^4 + 4a^3 + 26a^2 + 2a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 4 a^{4} + 27 a^{2} + 27 a + 10 + \left(30 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 31 + \left(4 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 4a^4 + 27a^2 + 27a + 10 + (30a^4 + 3a^3 + 2a^2 + 5a + 1)31 + (4a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 14a + 3)31^2 + (17a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 20a + 3)31^3 + (3a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 25a + 26)31^4 + (10a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 19a)31^5 + (26a^4 + 26a^3 + 27a^2 + 22a + 11)31^6 + (a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 29a + 10)31^7 + (10a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 18a + 25)31^8 + (6a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 18a + 16)*31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 5 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 28 + \left(24 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31 + \left(6 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{4} + 18 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(8 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(3 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{8} + \left(3 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^4 + 23a^3 + 14a^2 + 10a + 28 + (24a^4 + 16a^3 + 6a^2 + 4a + 29)31 + (6a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 17a + 6)31^2 + (17a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 30a + 28)31^3 + (6a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 21a + 11)31^4 + (7a^4 + 5a^3 + 24a^2 + 17a + 9)31^5 + (15a^4 + 18a^2 + 22a + 23)31^6 + (8a^4 + 22a^3 + 8a^2 + 4a + 22)31^7 + (3a^3 + 25a^2 + 28a + 7)31^8 + (3a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 10a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 26 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 3 + \left(6 a^{4} + 14 a^{3} + 24 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 31 + \left(24 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(24 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(30 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(27 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 26a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 21a + 3 + (6a^4 + 14a^3 + 24a^2 + 26a + 1)31 + (24a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 13a + 24)31^2 + (13a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 2)31^3 + (24a^4 + 25a^3 + 22a^2 + 9a + 19)31^4 + (23a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 13a + 21)31^5 + (15a^4 + 30a^3 + 12a^2 + 8a + 7)31^6 + (22a^4 + 8a^3 + 22a^2 + 26a + 8)31^7 + (30a^4 + 27a^3 + 5a^2 + 2a + 23)31^8 + (27a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 20a + 1)31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 27 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a + 21 + \left(28 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31 + \left(26 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{8} + \left(24 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 27a^4 + 4a^2 + 4a + 21 + (28a^3 + 28a^2 + 25a + 29)31 + (26a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 16a + 27)31^2 + (13a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 10a + 27)31^3 + (27a^4 + 23a^3 + 13a^2 + 5a + 4)31^4 + (20a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 11a + 30)31^5 + (4a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 8a + 19)31^6 + (29a^4 + 22a^3 + 15a^2 + a + 20)31^7 + (20a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 12a + 5)31^8 + (24a^4 + 28a^3 + 19a^2 + 12a + 14)31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 27 a^{4} + 22 a^{2} + 25 a + 21 + \left(25 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 14\right)\cdot 31 + \left(30 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{4} + 26 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{4} + 23 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{4} + 28 a^{3} + 29 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(27 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 7\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{4} + 29 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{8} + \left(12 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 27a^4 + 22a^2 + 25a + 21 + (25a^4 + 7a^3 + 27a^2 + 14)31 + (30a^4 + 20a^3 + 29a^2 + 17a + 11)31^2 + (9a^4 + 26a^3 + 15a^2 + 27a + 6)31^3 + (6a^4 + 23a^3 + 30a^2 + 7a + 29)31^4 + (11a^4 + 28a^3 + 29a^2 + 16a + 6)31^5 + (27a^4 + 14a^3 + 22a^2 + 16a + 29)31^6 + (26a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 7)31^7 + (26a^4 + 29a^3 + 19a^2 + 28a + 20)31^8 + (12a^4 + 26a^3 + 4a^2 + 28a + 28)31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 28 a^{4} + 26 a^{3} + a^{2} + 2 a + 8 + \left(21 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31 + \left(9 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(27 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{4} + 10 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{4} + 25 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{8} + \left(11 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 28a^4 + 26a^3 + a^2 + 2a + 8 + (21a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 5a + 17)31 + (9a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 28a + 29)31^2 + (19a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 2a + 8)31^3 + (27a^4 + 4a^3 + 28a^2 + 10a + 18)31^4 + (15a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 29a + 14)31^5 + (21a^4 + 10a^3 + 25a^2 + 29a + 27)31^6 + (28a^4 + 25a^2 + 17a + 11)31^7 + (26a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 20a + 14)31^8 + (11a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 4a + 4)*31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 29 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 26 + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 31 + \left(19 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(21 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{4} + 26 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{4} + 30 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{4} + 18 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 29a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 9a + 26 + (9a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 28a + 30)31 + (19a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 16a + 8)31^2 + (21a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 14a + 3)31^3 + (6a^4 + 21a^3 + 11a^2 + a + 25)31^4 + (29a^4 + 26a^3 + 29a^2 + 20a + 14)31^5 + (16a^4 + 30a^3 + 5a^2 + 17a + 20)31^6 + (22a^4 + 24a^3 + 28a^2 + 7a + 14)31^7 + (9a^4 + 18a^3 + 28a^2 + 29a + 23)31^8 + (4a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 11)*31^9+O(31^10)