LMFDB - Artin representation 2.13775.26t3.b.f

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$D_{26}$
Conductor:	$13775$$\medspace = 5^{2} \cdot 19 \cdot 29 $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin stem field:	Galois closure of 26.2.955936936346220716198217427028321533203125.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$D_{26}$
Parity:	odd
Determinant:	1.551.2t1.a.a
Projective image:	$D_{13}$
Projective stem field:	Galois closure of 13.1.27983987175790801.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{26} - 4 x^{25} - x^{24} + 12 x^{23} - 20 x^{22} - 91 x^{21} + 245 x^{20} + 945 x^{19} + 237 x^{18} + \cdots - 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{13} + 6x + 28 $ x^13 + 6*x + 28

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 2 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 28 a + 13 + \left(3 a^{12} + 18 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31 + \left(3 a^{12} + 3 a^{11} + 23 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{12} + 24 a^{11} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{12} + 21 a^{11} + 2 a^{10} + 16 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 29 a^{8} + 25 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{12} + 18 a^{11} + 25 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{12} + 6 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 30 a^{5} + 21 a^{4} + 30 a^{3} + 25 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{12} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{8} + \left(15 a^{12} + 15 a^{11} + 30 a^{10} + 11 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 2a^11 + 27a^10 + 24a^9 + 12a^8 + a^7 + 12a^6 + 13a^5 + 24a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 28a + 13 + (3a^12 + 18a^11 + 7a^10 + 20a^9 + 5a^8 + 9a^7 + 13a^6 + 12a^5 + 28a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 5a + 19)31 + (3a^12 + 3a^11 + 23a^10 + 12a^9 + 18a^8 + 2a^7 + 15a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 6a + 8)31^2 + (a^12 + 24a^11 + 10a^10 + 3a^9 + 3a^8 + 26a^7 + 3a^6 + 29a^5 + 26a^4 + 24a^3 + 8a^2 + 23a + 20)31^3 + (16a^12 + 21a^11 + 2a^10 + 16a^9 + 16a^8 + 5a^7 + 26a^6 + 27a^5 + 6a^4 + 25a^3 + 17a^2 + 5a + 5)31^4 + (22a^12 + 24a^11 + 28a^10 + 4a^9 + 29a^8 + 25a^7 + 18a^6 + 17a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 4a + 24)31^5 + (26a^12 + 18a^11 + 25a^10 + 22a^9 + 7a^8 + 7a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 24a + 1)31^6 + (21a^12 + 6a^11 + 30a^10 + 23a^8 + 12a^7 + 22a^6 + 30a^5 + 21a^4 + 30a^3 + 25a^2 + 21a + 30)31^7 + (17a^12 + 20a^11 + 16a^10 + 6a^9 + 21a^8 + 19a^7 + 14a^6 + 22a^5 + 17a^3 + 12a^2 + 8a + 4)31^8 + (15a^12 + 15a^11 + 30a^10 + 11a^9 + 17a^8 + 11a^7 + 4a^6 + 6a^4 + 29a^3 + 6a^2 + 15a + 18)*31^9+O(31^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 3 a^{11} + 25 a^{10} + 5 a^{9} + 18 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 4 + \left(20 a^{12} + 14 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31 + \left(3 a^{11} + 16 a^{10} + 29 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 24 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{12} + 13 a^{11} + 18 a^{10} + 29 a^{9} + 24 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{12} + 9 a^{11} + 3 a^{10} + 6 a^{9} + 26 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{5} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{12} + 16 a^{11} + 22 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{12} + 23 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{8} + 13 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 3a^11 + 25a^10 + 5a^9 + 18a^8 + 17a^7 + 18a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 10a^2 + 11a + 4 + (20a^12 + 14a^11 + 6a^10 + 30a^9 + 7a^8 + 22a^7 + 19a^6 + 27a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 28a + 22)31 + (3a^11 + 16a^10 + 29a^9 + 3a^8 + 25a^7 + 24a^6 + 14a^5 + 20a^4 + 11a^3 + 24a^2 + 6a + 9)31^2 + (23a^12 + 13a^11 + 18a^10 + 29a^9 + 24a^8 + 8a^7 + 7a^6 + 18a^5 + a^4 + 2a^3 + 6a^2 + a + 20)31^3 + (10a^12 + 5a^11 + 22a^10 + 28a^9 + 11a^8 + 14a^7 + 29a^6 + 7a^5 + 23a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 13a + 18)31^4 + (12a^12 + 9a^11 + 3a^10 + 6a^9 + 26a^8 + 12a^7 + 27a^5 + 15a^3 + 7a^2 + 2a + 30)31^5 + (18a^12 + 16a^11 + 22a^10 + 16a^9 + 18a^8 + 14a^7 + 21a^6 + a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 16a + 23)31^6 + (12a^12 + 20a^11 + 11a^10 + 18a^9 + 7a^8 + 13a^7 + 12a^6 + 21a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 16a^2 + 5)31^7 + (16a^12 + 23a^11 + 17a^10 + 4a^9 + 29a^8 + 5a^7 + 9a^6 + 25a^5 + 22a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 17a + 24)31^8 + (28a^12 + 3a^11 + 14a^10 + 11a^8 + 13a^7 + 23a^6 + 15a^5 + 2a^4 + 29a^3 + 21a^2 + 19a + 25)31^9+O(31^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 16 a^{11} + 22 a^{10} + 12 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 13 + \left(a^{11} + 22 a^{10} + 30 a^{9} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31 + \left(19 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 28 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + 9 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 15 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{12} + 24 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 24 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{12} + 6 a^{11} + 28 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{12} + 28 a^{11} + 16 a^{10} + 29 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 25 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{12} + 16 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 16a^11 + 22a^10 + 12a^9 + 4a^8 + 21a^7 + 7a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 6a^2 + 17a + 13 + (a^11 + 22a^10 + 30a^9 + 7a^7 + 16a^6 + 24a^5 + 20a^4 + a^3 + 26a^2 + 22a)31 + (19a^12 + 7a^11 + 19a^10 + 8a^9 + 15a^8 + 8a^7 + 24a^6 + a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 28a^2 + 3a + 18)31^2 + (19a^12 + 13a^11 + 5a^10 + 9a^9 + 22a^8 + 24a^7 + 13a^6 + 9a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 25a^2 + 16a + 3)31^3 + (18a^12 + 14a^11 + 14a^10 + 17a^9 + 15a^8 + a^7 + 8a^6 + 8a^5 + 23a^4 + 29a^3 + 10a^2 + 6a + 8)31^4 + (30a^12 + 24a^11 + 17a^10 + 28a^9 + 9a^8 + 3a^7 + 25a^6 + 3a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 30a + 21)31^5 + (25a^12 + 19a^11 + a^10 + 2a^9 + 11a^8 + a^7 + 5a^6 + 17a^5 + 26a^4 + 24a^2 + a + 28)31^6 + (3a^12 + 6a^11 + 28a^10 + 19a^9 + 12a^8 + 26a^7 + 2a^6 + 27a^5 + 11a^4 + a^3 + 2a^2 + 11a + 8)31^7 + (23a^12 + 28a^11 + 16a^10 + 29a^9 + 20a^8 + 22a^7 + 8a^6 + 28a^5 + 29a^4 + 25a^3 + 10a^2 + 24a + 18)31^8 + (20a^12 + 16a^11 + 7a^10 + 20a^9 + 26a^8 + 19a^7 + 3a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 27a + 20)31^9+O(31^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 24 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 4 + \left(6 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a + 9\right)\cdot 31 + \left(13 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 20 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{12} + 2 a^{11} + 26 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{12} + 22 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + a^{5} + 11 a^{4} + 23 a^{3} + 3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{10} + 20 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{12} + 11 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{12} + 15 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 3 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{12} + 30 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 11 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 24a^11 + 2a^10 + 18a^9 + 6a^8 + 16a^7 + 26a^5 + 25a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 10a + 4 + (6a^11 + 15a^10 + 29a^9 + 5a^8 + 14a^7 + 24a^6 + 21a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 16a + 9)31 + (13a^12 + 10a^11 + 5a^10 + 12a^9 + 20a^8 + 20a^7 + 25a^6 + 24a^5 + 15a^4 + 21a^3 + 18a^2 + 11a + 23)31^2 + (14a^12 + 2a^11 + 26a^10 + 9a^9 + 27a^8 + 14a^7 + 25a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 23a^3 + 17a^2 + 8a + 22)31^3 + (13a^12 + 22a^11 + 17a^10 + 9a^9 + 26a^8 + 30a^7 + a^5 + 11a^4 + 23a^3 + 3a^2 + a + 2)31^4 + (30a^12 + 13a^11 + 16a^10 + 20a^9 + 24a^8 + 4a^6 + 5a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 20a + 21)31^5 + (22a^12 + 11a^11 + 11a^10 + a^9 + 3a^8 + 15a^7 + 11a^6 + 6a^5 + 25a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 25a + 1)31^6 + (15a^12 + 2a^11 + 21a^10 + 8a^9 + 23a^8 + 2a^7 + 8a^6 + 22a^5 + 17a^3 + 6a^2 + 16a + 16)31^7 + (16a^12 + 15a^11 + 11a^10 + 21a^9 + 3a^8 + 28a^7 + 16a^6 + 14a^5 + 21a^4 + a^3 + 21a^2 + 9a + 29)31^8 + (9a^12 + 30a^11 + 23a^10 + 19a^9 + 21a^8 + 11a^7 + 3a^6 + 19a^5 + a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 6a + 15)31^9+O(31^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 2 a^{12} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 27 + \left(5 a^{12} + 21 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 16 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 31 + \left(24 a^{12} + 19 a^{11} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{12} + 15 a^{11} + 30 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{12} + 9 a^{11} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 30 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 29 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{12} + 30 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{12} + 10 a^{11} + 10 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 30 a^{6} + 30 a^{5} + 24 a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{12} + 5 a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{12} + 14 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(30 a^{12} + 20 a^{11} + 10 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 2a^12 + 12a^11 + 16a^10 + 3a^9 + 3a^8 + 4a^7 + 27a^6 + 24a^5 + 12a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 6a + 27 + (5a^12 + 21a^11 + 21a^10 + 6a^9 + 16a^8 + 30a^7 + 7a^6 + 2a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 19a^2 + 20a + 22)31 + (24a^12 + 19a^11 + 21a^10 + 25a^9 + 18a^8 + 25a^7 + 25a^6 + 10a^5 + 12a^4 + 25a^3 + 15a^2 + 14a + 20)31^2 + (11a^12 + 15a^11 + 30a^10 + 18a^9 + 27a^8 + 16a^7 + 26a^6 + 19a^5 + 29a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 3a + 17)31^3 + (16a^12 + 9a^11 + 23a^10 + 3a^9 + 30a^8 + 3a^7 + 2a^6 + 25a^5 + 27a^4 + 14a^3 + 29a^2 + 28a + 4)31^4 + (4a^12 + 30a^11 + 25a^10 + 19a^9 + 2a^8 + 9a^7 + 4a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 17a + 11)31^5 + (14a^12 + 10a^11 + 10a^9 + 11a^8 + 7a^7 + 30a^6 + 30a^5 + 24a^4 + 17a^3 + 28a^2 + 19a + 12)31^6 + (28a^12 + 5a^9 + 24a^8 + 7a^7 + 7a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 20a + 5)31^7 + (25a^12 + 14a^11 + a^10 + 28a^9 + 2a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 7a^4 + 27a^3 + 23a^2 + 30a + 29)31^8 + (30a^12 + 20a^11 + 10a^10 + 7a^9 + 9a^7 + 2a^6 + 7a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 23a + 9)*31^9+O(31^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 2 a^{12} + 14 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 28 a^{8} + 30 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 5 + \left(24 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 26 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31 + \left(21 a^{12} + 27 a^{11} + 30 a^{10} + 13 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + 29 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{12} + 25 a^{11} + 16 a^{10} + 29 a^{9} + 19 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(19 a^{12} + 27 a^{11} + 2 a^{10} + 27 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{12} + 25 a^{11} + 20 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(21 a^{12} + 18 a^{11} + 30 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 25 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 30 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 2a^12 + 14a^11 + 4a^10 + 17a^9 + 28a^8 + 30a^7 + 17a^6 + 4a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 25a + 5 + (24a^12 + 19a^11 + 23a^10 + 28a^9 + 23a^8 + 26a^7 + 29a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 25a^2 + 16a)31 + (21a^12 + 27a^11 + 30a^10 + 13a^9 + 17a^8 + 27a^7 + 8a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 23a^3 + 29a^2 + 20a)31^2 + (22a^12 + 25a^11 + 16a^10 + 29a^9 + 19a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 16a^5 + 27a^4 + 12a^3 + 7a^2 + 29a + 4)31^3 + (19a^12 + 27a^11 + 2a^10 + 27a^9 + 5a^8 + 25a^7 + a^6 + 9a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 29a + 26)31^4 + (11a^12 + 25a^11 + 20a^10 + 30a^9 + 29a^8 + 5a^7 + 5a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 30a + 6)31^5 + (20a^12 + a^11 + 9a^10 + 8a^8 + 12a^7 + 17a^6 + 5a^5 + a^4 + 20a^3 + 30a^2 + 18a + 26)31^6 + (21a^12 + 18a^11 + 30a^10 + 2a^9 + 5a^8 + 7a^6 + 11a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 25a^2 + 26a + 9)31^7 + (19a^12 + 8a^11 + 6a^10 + 7a^9 + 11a^8 + 15a^7 + 25a^6 + 20a^5 + 20a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 5a + 30)31^8 + (20a^12 + 16a^11 + 12a^10 + 30a^9 + 3a^8 + 27a^7 + 26a^6 + 4a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 19)*31^9+O(31^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 3 a^{12} + 21 a^{11} + 6 a^{10} + 10 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 23 + \left(23 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31 + \left(22 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 15 a^{8} + 18 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{12} + 13 a^{11} + 13 a^{10} + 29 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + 21 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{12} + 3 a^{11} + 23 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{5} + 30 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{12} + 17 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(19 a^{12} + 21 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 3a^12 + 21a^11 + 6a^10 + 10a^9 + 11a^8 + 14a^7 + 10a^6 + 6a^5 + 20a^4 + 29a^3 + 28a^2 + 22a + 23 + (23a^12 + 15a^11 + 24a^10 + 25a^9 + 24a^8 + 11a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 17a + 29)31 + (22a^12 + 10a^11 + 2a^10 + 18a^9 + 15a^8 + 18a^7 + 20a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 24a)31^2 + (6a^12 + 13a^11 + 13a^10 + 29a^9 + 14a^8 + 7a^7 + 16a^6 + 15a^5 + 26a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 3a + 4)31^3 + (10a^12 + 5a^11 + 24a^10 + 25a^9 + 21a^8 + 19a^7 + 3a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 29a^3 + 12a^2 + 18a + 18)31^4 + (10a^12 + 14a^11 + 13a^10 + 6a^9 + 24a^8 + 12a^7 + 21a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 26)31^5 + (30a^12 + 3a^11 + 23a^10 + 13a^9 + 22a^8 + 29a^7 + 22a^5 + 30a^4 + 30a^3 + 11a^2 + 17a + 1)31^6 + (10a^12 + 17a^11 + 21a^10 + 2a^9 + 13a^8 + 24a^7 + 27a^6 + 21a^5 + 28a^4 + 17a^3 + 27a^2 + 2a + 23)31^7 + (23a^12 + 4a^11 + 21a^10 + 18a^9 + 7a^8 + 14a^7 + 5a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 30a^2 + 18a + 19)31^8 + (19a^12 + 21a^11 + 10a^10 + 17a^9 + 28a^8 + 3a^7 + 13a^6 + 2a^5 + 17a^4 + a^3 + 3a^2 + 30a + 29)*31^9+O(31^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 4 a^{12} + 27 a^{11} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 19 + \left(28 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31 + \left(3 a^{12} + 20 a^{11} + 18 a^{10} + 22 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{12} + 30 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{12} + 30 a^{11} + 19 a^{10} + 24 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{12} + 28 a^{11} + 2 a^{10} + 21 a^{9} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 28 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{12} + 12 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{12} + 8 a^{11} + 7 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 4a^12 + 27a^11 + 17a^9 + 27a^8 + 13a^7 + a^6 + 2a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 23a + 19 + (28a^12 + 9a^11 + 19a^10 + a^9 + 7a^8 + 18a^7 + 21a^6 + 5a^5 + 21a^4 + 24a^3 + 9a^2 + 13a + 26)31 + (3a^12 + 20a^11 + 18a^10 + 22a^9 + 26a^8 + 13a^7 + 20a^5 + 12a^4 + a^3 + 12a^2 + 23a + 15)31^2 + (27a^12 + 30a^11 + 21a^10 + 11a^9 + 11a^8 + 22a^7 + 2a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 27a + 2)31^3 + (15a^12 + 15a^11 + 24a^10 + 11a^9 + 12a^8 + 29a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 15a^2 + 9a + 16)31^4 + (10a^12 + 30a^11 + 19a^10 + 24a^9 + 13a^8 + 24a^7 + 22a^6 + 23a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 18a + 8)31^5 + (6a^12 + 28a^11 + 2a^10 + 21a^9 + 2a^7 + 24a^6 + 8a^5 + 13a^4 + 21a^3 + 28a^2 + 7a + 7)31^6 + (20a^12 + 10a^11 + 2a^10 + 7a^9 + 2a^8 + 15a^7 + 19a^6 + 2a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 17a)31^7 + (22a^12 + 12a^11 + 10a^10 + 28a^9 + 13a^8 + 9a^7 + 30a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 12a^2 + 5a + 23)31^8 + (28a^12 + 8a^11 + 7a^10 + 15a^9 + 17a^8 + 29a^7 + 23a^6 + 27a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 14a + 19)31^9+O(31^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 5 a^{12} + 19 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 15 + \left(17 a^{12} + 25 a^{11} + 17 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 25\right)\cdot 31 + \left(2 a^{12} + 10 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(22 a^{12} + 22 a^{11} + 26 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 23 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{12} + 21 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{12} + 24 a^{11} + 8 a^{10} + 30 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(12 a^{12} + 3 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 27 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{12} + 27 a^{11} + 11 a^{10} + 30 a^{9} + 29 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 30 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(25 a^{12} + 26 a^{11} + 16 a^{10} + 29 a^{9} + 20 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 5a^12 + 19a^11 + 5a^10 + 24a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 21a^6 + 25a^5 + 21a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 22a + 15 + (17a^12 + 25a^11 + 17a^10 + 6a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 3a^6 + 10a^5 + 18a^4 + a^3 + 2a^2 + 25)31 + (2a^12 + 10a^11 + 21a^10 + 7a^9 + 20a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 19a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 9a + 29)31^2 + (22a^12 + 22a^11 + 26a^10 + 7a^9 + 19a^8 + 17a^7 + 26a^6 + 23a^5 + 17a^4 + 23a^3 + 24a^2 + 2a + 7)31^3 + (28a^12 + 21a^11 + 10a^10 + 28a^9 + 12a^8 + 24a^7 + 26a^6 + 2a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 22a + 13)31^4 + (22a^12 + 24a^11 + 8a^10 + 30a^9 + 8a^8 + 13a^7 + 29a^6 + 12a^5 + 7a^4 + 29a^3 + 7a^2 + 12a + 22)31^5 + (12a^12 + 3a^11 + 25a^10 + 2a^9 + 9a^7 + 16a^6 + 16a^5 + 27a^4 + 28a^3 + 9a^2 + 3a + 11)31^6 + (22a^12 + 27a^11 + 11a^10 + 30a^9 + 29a^8 + 16a^7 + 17a^6 + 8a^5 + 26a^4 + 25a^3 + 27a^2 + 27a + 24)31^7 + (22a^12 + 25a^11 + 15a^10 + 21a^9 + 27a^8 + 5a^7 + 30a^6 + 15a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 30a + 25)31^8 + (25a^12 + 26a^11 + 16a^10 + 29a^9 + 20a^8 + 3a^7 + 6a^6 + 7a^5 + 27a^4 + 30a^3 + 2a^2 + 26a + 19)31^9+O(31^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 7 a^{12} + 29 a^{11} + 14 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 18 a + 7 + \left(24 a^{12} + 26 a^{11} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a\right)\cdot 31 + \left(12 a^{12} + 17 a^{11} + 25 a^{10} + 22 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{12} + 18 a^{11} + 30 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{12} + a^{11} + 28 a^{10} + 8 a^{9} + 16 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{12} + 25 a^{11} + 9 a^{10} + 12 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 16 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{12} + 6 a^{11} + 16 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{12} + 29 a^{11} + 23 a^{9} + 13 a^{8} + 30 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{12} + 23 a^{11} + 15 a^{10} + 12 a^{9} + 24 a^{8} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 30 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 7a^12 + 29a^11 + 14a^10 + 19a^9 + 14a^8 + 29a^7 + 17a^6 + 23a^5 + 14a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 18a + 7 + (24a^12 + 26a^11 + 12a^9 + 17a^8 + 4a^7 + 6a^6 + 2a^5 + 22a^4 + 24a^3 + 15a^2 + 15a)31 + (12a^12 + 17a^11 + 25a^10 + 22a^9 + 7a^8 + 5a^7 + 17a^6 + 3a^5 + 18a^4 + 4a^3 + 19a^2 + 21a + 3)31^2 + (27a^12 + 18a^11 + 30a^10 + 16a^9 + 2a^8 + 29a^7 + 27a^6 + 27a^5 + a^4 + 27a^3 + 29a^2 + 8a + 4)31^3 + (12a^12 + a^11 + 28a^10 + 8a^9 + 16a^8 + 15a^7 + 29a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 5a^3 + 16a^2 + 20a + 28)31^4 + (24a^12 + 25a^11 + 9a^10 + 12a^9 + 19a^8 + 17a^7 + 16a^6 + 11a^5 + 2a^4 + 30a^3 + 15a^2 + 22a + 25)31^5 + (9a^12 + 6a^11 + 16a^10 + 4a^9 + 15a^8 + 7a^7 + 8a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 16)31^6 + (5a^12 + 29a^11 + 13a^9 + 4a^8 + a^7 + 23a^6 + 23a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 26a^2 + 30a + 15)31^7 + (25a^12 + 29a^11 + 23a^9 + 13a^8 + 30a^7 + 8a^6 + 4a^5 + 17a^4 + 23a^3 + 12a^2 + 16a + 15)31^8 + (23a^12 + 23a^11 + 15a^10 + 12a^9 + 24a^8 + 26a^6 + 9a^5 + 23a^4 + 29a^3 + 30a^2 + 26a + 23)*31^9+O(31^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 8 a^{12} + 19 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 7 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 12 + \left(3 a^{12} + 15 a^{11} + 10 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 24 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31 + \left(16 a^{12} + 20 a^{11} + 23 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 30 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{12} + 29 a^{11} + 25 a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 21 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{12} + 26 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 23 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{4} + \left(2 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 19 a^{9} + 20 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(13 a^{12} + 29 a^{11} + 22 a^{10} + 8 a^{9} + 24 a^{8} + 13 a^{7} + 27 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{12} + 24 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 26 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{12} + 8 a^{11} + 16 a^{10} + 24 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{12} + 25 a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 25 a^{8} + 30 a^{7} + 26 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 8a^12 + 19a^11 + 19a^10 + 19a^9 + 7a^7 + a^6 + 14a^5 + 29a^4 + 29a^3 + 13a^2 + 15a + 12 + (3a^12 + 15a^11 + 10a^10 + 3a^9 + 14a^8 + 5a^7 + 4a^6 + 22a^5 + 28a^4 + 24a^2 + 26a + 30)31 + (16a^12 + 20a^11 + 23a^10 + 24a^9 + 26a^7 + 5a^6 + 30a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 13a + 1)31^2 + (10a^12 + 29a^11 + 25a^10 + 29a^9 + 2a^8 + 21a^7 + 28a^6 + a^5 + 18a^4 + 27a^3 + 19a^2 + 24a + 8)31^3 + (13a^12 + 26a^11 + 14a^10 + 6a^9 + 24a^8 + 11a^7 + 22a^6 + 23a^5 + 4a^4 + 19a^3 + 25a^2 + 25a)31^4 + (2a^12 + 9a^11 + 14a^10 + 19a^9 + 20a^8 + 25a^7 + 27a^6 + 29a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 29a^2 + 14a + 25)31^5 + (13a^12 + 29a^11 + 22a^10 + 8a^9 + 24a^8 + 13a^7 + 27a^6 + 21a^5 + 20a^4 + 24a^3 + 16a^2 + 2a + 16)31^6 + (2a^12 + 24a^11 + 16a^10 + 27a^8 + 12a^7 + 26a^6 + 10a^5 + a^4 + 20a^3 + 20a^2 + 18a + 22)31^7 + (16a^12 + 8a^11 + 16a^10 + 24a^9 + 28a^8 + 24a^7 + 26a^6 + 12a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 18a^2 + 28a)31^8 + (22a^12 + 25a^11 + 27a^10 + 23a^9 + 25a^8 + 30a^7 + 26a^6 + 7a^5 + 3a^4 + 30a^3 + 22a^2 + 6a + 28)*31^9+O(31^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 11 a^{12} + 6 a^{11} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 22 + \left(10 a^{12} + 15 a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 26 a^{8} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31 + \left(27 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 29 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{12} + 25 a^{11} + 27 a^{10} + 2 a^{9} + 19 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{12} + 9 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 6 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{12} + 30 a^{11} + 13 a^{10} + 21 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{12} + a^{11} + 3 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 27 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{12} + 9 a^{11} + 26 a^{10} + 21 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{12} + 8 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 11a^12 + 6a^11 + 9a^10 + 16a^9 + a^8 + 2a^7 + 5a^6 + 4a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 5a + 22 + (10a^12 + 15a^11 + 7a^10 + 28a^9 + 26a^8 + 7a^6 + 11a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 9a + 30)31 + (27a^12 + 11a^11 + 27a^10 + 29a^9 + 28a^8 + 27a^6 + 10a^5 + 28a^4 + 22a^3 + 10a^2 + 30a + 23)31^2 + (26a^12 + 25a^11 + 27a^10 + 2a^9 + 19a^8 + 30a^7 + 24a^6 + 24a^5 + 9a^4 + 24a^3 + 2a^2 + 19a + 29)31^3 + (12a^12 + 9a^11 + 11a^10 + 11a^9 + 22a^8 + 6a^7 + 28a^6 + 10a^5 + 18a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 14a + 8)31^4 + (12a^12 + 30a^11 + 13a^10 + 21a^9 + 4a^8 + 4a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 3a + 14)31^5 + (5a^12 + 13a^11 + 11a^10 + 10a^9 + 15a^8 + 21a^7 + 14a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 28a^3 + 6a^2 + 26a + 4)31^6 + (27a^12 + a^11 + 3a^10 + 14a^9 + 24a^8 + 26a^7 + 2a^6 + 29a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 27a^2 + 19a + 22)31^7 + (23a^12 + 9a^11 + 26a^10 + 21a^9 + 2a^8 + 25a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 24a + 10)31^8 + (6a^12 + 8a^11 + 16a^10 + 13a^9 + 27a^8 + 12a^7 + 28a^6 + 24a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 19a^2 + 9a + 17)31^9+O(31^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 12 a^{12} + 13 a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 18 + \left(30 a^{12} + 8 a^{11} + 16 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31 + \left(30 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(26 a^{12} + 18 a^{11} + 23 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 29 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{11} + 13 a^{10} + a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{12} + 12 a^{11} + 26 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{12} + 2 a^{11} + 25 a^{10} + 16 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{12} + 24 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 12a^12 + 13a^11 + 13a^10 + 13a^9 + 26a^7 + 17a^6 + 21a^5 + 28a^4 + 28a^3 + 4a^2 + 7a + 18 + (30a^12 + 8a^11 + 16a^10 + 21a^9 + 21a^8 + 8a^7 + 30a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 29a^3 + 14a^2 + 4a + 29)31 + (30a^12 + 11a^11 + a^10 + a^9 + 2a^8 + 14a^7 + 15a^6 + 28a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 25a + 17)31^2 + (26a^12 + 18a^11 + 23a^10 + 15a^9 + 18a^8 + a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 21a^2 + 6)31^3 + (29a^12 + 23a^11 + 27a^10 + 11a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 29a^2 + 23a + 29)31^4 + (25a^11 + 13a^10 + a^9 + 19a^8 + 29a^7 + 30a^6 + 11a^5 + 4a^4 + 15a^3 + 10a)31^5 + (14a^12 + 12a^11 + 26a^10 + 9a^9 + 14a^8 + 11a^7 + 25a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 27a^2 + 29a + 26)31^6 + (24a^12 + 18a^11 + 15a^10 + 29a^9 + a^8 + 2a^7 + 24a^6 + 16a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 19a^2 + 10a + 11)31^7 + (6a^12 + 2a^11 + 25a^10 + 16a^9 + 19a^8 + 26a^7 + 11a^6 + 22a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 29a^2 + 5a + 23)31^8 + (6a^12 + 24a^10 + 10a^9 + 10a^8 + 25a^7 + 2a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 25a^3 + 29a^2 + 7a + 4)*31^9+O(31^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 12 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 27 + \left(26 a^{12} + 12 a^{11} + 30 a^{10} + 4 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31 + \left(23 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{12} + 15 a^{11} + 21 a^{10} + 15 a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{12} + 3 a^{11} + 21 a^{10} + 30 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 29 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{12} + 17 a^{11} + 21 a^{10} + 29 a^{9} + 12 a^{8} + 25 a^{7} + 17 a^{6} + 24 a^{5} + 26 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{12} + 24 a^{11} + 8 a^{10} + 25 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + 5 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 30\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 12a^12 + 14a^11 + 9a^10 + 4a^9 + 16a^8 + 9a^7 + 18a^6 + 3a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 18a + 27 + (26a^12 + 12a^11 + 30a^10 + 4a^9 + 21a^8 + 14a^7 + 17a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 28a + 5)31 + (23a^12 + a^11 + 7a^10 + 28a^9 + 23a^8 + a^7 + 9a^6 + 28a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 26a^2 + 22a + 28)31^2 + (3a^12 + 15a^11 + 21a^10 + 15a^9 + 6a^8 + 3a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 9a^2 + 24a + 27)31^3 + (2a^12 + 3a^11 + 21a^10 + 30a^9 + 6a^8 + 23a^7 + 5a^6 + 15a^5 + 29a^4 + 8a^3 + 26a^2 + 29a + 4)31^4 + (15a^12 + 17a^11 + 21a^10 + 29a^9 + 12a^8 + 25a^7 + 17a^6 + 24a^5 + 26a^4 + 27a^3 + 16a^2 + 10a + 9)31^5 + (29a^12 + 24a^11 + 8a^10 + 25a^9 + 3a^8 + 18a^7 + 2a^6 + 30a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 29a + 12)31^6 + (24a^12 + 15a^11 + a^10 + 11a^9 + 13a^8 + 4a^6 + 23a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 27a^2 + 28a + 11)31^7 + (9a^12 + 14a^11 + 15a^10 + 5a^9 + 10a^8 + 30a^7 + 16a^5 + 25a^4 + 28a^3 + 28a^2 + 30)31^8 + (13a^12 + 14a^11 + 13a^10 + 9a^9 + 21a^8 + 23a^7 + 30a^6 + 9a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 28a + 19)*31^9+O(31^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 12 a^{12} + 15 a^{11} + 17 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 27 + \left(21 a^{12} + 7 a^{11} + 29 a^{10} + 4 a^{9} + 4 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31 + \left(2 a^{12} + 16 a^{11} + 30 a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 16 a^{9} + 23 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{12} + 26 a^{11} + 26 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{12} + 30 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{5} + \left(6 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 25 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{7} + \left(9 a^{12} + 10 a^{11} + 15 a^{10} + 29 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{12} + 3 a^{11} + 23 a^{10} + 14 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 12a^12 + 15a^11 + 17a^10 + 16a^9 + 23a^8 + 4a^7 + 7a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 3a^2 + 17a + 27 + (21a^12 + 7a^11 + 29a^10 + 4a^9 + 4a^8 + 11a^7 + 5a^6 + 8a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 6a + 25)31 + (2a^12 + 16a^11 + 30a^10 + 7a^9 + 2a^8 + 16a^7 + 3a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 11a + 27)31^2 + (25a^12 + 20a^11 + 11a^10 + 16a^9 + 23a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 30a^5 + 9a^4 + 25a^3 + 7a^2 + 10a + 2)31^3 + (5a^12 + 26a^11 + 26a^10 + 16a^9 + 18a^8 + 4a^7 + 5a^6 + 5a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 30a + 30)31^4 + (19a^12 + 30a^11 + 3a^10 + 2a^9 + 18a^8 + 13a^7 + 5a^6 + a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 27a)31^5 + (6a^12 + 15a^11 + 27a^10 + 15a^9 + 18a^8 + 25a^7 + 4a^6 + 21a^5 + 25a^4 + 16a^3 + 23a^2 + 9a + 12)31^6 + (20a^11 + 9a^10 + 11a^9 + 5a^8 + 26a^7 + 24a^6 + 8a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 24a^2 + 6a + 29)31^7 + (9a^12 + 10a^11 + 15a^10 + 29a^9 + 20a^8 + 6a^6 + 25a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 12a + 25)31^8 + (10a^12 + 3a^11 + 23a^10 + 14a^9 + 21a^8 + 8a^7 + 24a^6 + 28a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 11a)*31^9+O(31^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 13 a^{12} + 18 a^{11} + a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 23 + \left(23 a^{12} + 22 a^{11} + 23 a^{10} + 26 a^{9} + a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31 + \left(11 a^{12} + 17 a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 9 a^{8} + 13 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(8 a^{12} + 19 a^{11} + 19 a^{10} + 10 a^{8} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{12} + 18 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 30 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{12} + 9 a^{11} + 17 a^{10} + 8 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{12} + 8 a^{11} + 23 a^{10} + 14 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(29 a^{12} + 29 a^{11} + 2 a^{10} + 16 a^{9} + 28 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(9 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 30 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 13a^12 + 18a^11 + a^9 + 18a^8 + 19a^7 + 11a^6 + 22a^5 + 20a^4 + 27a^3 + 4a^2 + 5a + 23 + (23a^12 + 22a^11 + 23a^10 + 26a^9 + a^7 + 20a^6 + 5a^5 + 18a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 10a + 3)31 + (11a^12 + 17a^11 + 8a^10 + 21a^9 + 9a^8 + 13a^7 + 21a^6 + 28a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 27a + 4)31^2 + (8a^12 + 19a^11 + 19a^10 + 10a^8 + 22a^7 + 30a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 21a + 8)31^3 + (8a^12 + 18a^11 + 4a^10 + 9a^9 + 30a^8 + 22a^7 + 16a^6 + 27a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 30a^2 + 6a + 22)31^4 + (17a^12 + 9a^11 + 17a^10 + 8a^9 + 9a^8 + 14a^7 + 14a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 12a + 23)31^5 + (23a^12 + 9a^11 + 7a^10 + 2a^9 + 21a^8 + 13a^7 + 24a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 24a^3 + 10a^2 + 22a + 24)31^6 + (28a^12 + 8a^11 + 23a^10 + 14a^9 + 19a^8 + 4a^7 + 12a^6 + a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 23a + 15)31^7 + (29a^12 + 29a^11 + 2a^10 + 16a^9 + 28a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 23a^2 + 28a + 3)31^8 + (9a^12 + 25a^11 + 11a^10 + 21a^9 + 25a^8 + 25a^6 + 19a^5 + 30a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 8a + 18)31^9+O(31^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 15 a^{12} + 9 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 15 + \left(29 a^{12} + 5 a^{11} + 26 a^{10} + 4 a^{9} + 27 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 13\right)\cdot 31 + \left(28 a^{12} + 24 a^{11} + 11 a^{10} + 23 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(17 a^{12} + 14 a^{11} + 29 a^{10} + 4 a^{9} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 12 a^{8} + 26 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{5} + \left(2 a^{12} + 14 a^{11} + 24 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 26 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{11} + 4 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 2 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(23 a^{12} + 16 a^{11} + 9 a^{10} + a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 15a^12 + 9a^11 + 30a^10 + 23a^9 + 30a^8 + 9a^7 + a^6 + 5a^5 + 30a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 12a + 15 + (29a^12 + 5a^11 + 26a^10 + 4a^9 + 27a^8 + 11a^7 + 19a^6 + 13a^5 + 20a^4 + 30a^3 + 8a^2 + 13)31 + (28a^12 + 24a^11 + 11a^10 + 23a^9 + 14a^8 + 29a^6 + 16a^5 + 12a^4 + a^3 + 7a^2 + 19a + 25)31^2 + (17a^12 + 14a^11 + 29a^10 + 4a^9 + 8a^7 + 19a^6 + 8a^5 + 27a^4 + 14a^2 + 8a + 3)31^3 + (18a^12 + 4a^11 + 14a^10 + 10a^9 + 19a^8 + 11a^7 + a^6 + 21a^5 + 13a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 19a + 22)31^4 + (29a^11 + 3a^10 + 18a^9 + 12a^8 + 26a^7 + 6a^6 + 13a^5 + 23a^4 + a^3 + 5a^2 + a + 7)31^5 + (2a^12 + 14a^11 + 24a^10 + 9a^9 + 27a^8 + 26a^7 + 22a^6 + 13a^5 + 27a^4 + 23a^3 + 11a^2 + 4a + 3)31^6 + (3a^12 + 18a^11 + a^10 + 28a^9 + 11a^8 + 23a^7 + 7a^6 + 5a^5 + 24a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 4a + 26)31^7 + (11a^11 + 4a^10 + 20a^9 + 10a^8 + 2a^7 + 3a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 26a^2 + 2a + 2)31^8 + (23a^12 + 16a^11 + 9a^10 + a^9 + 8a^8 + 9a^7 + 15a^6 + 5a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 29a^2 + 10a + 2)31^9+O(31^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 16 a^{12} + 6 a^{11} + 29 a^{10} + 23 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + a + 2 + \left(14 a^{12} + 21 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31 + \left(6 a^{12} + 8 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 30 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{12} + 23 a^{11} + 12 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{12} + 5 a^{11} + 4 a^{10} + 26 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{12} + 5 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 22 a^{8} + 27 a^{7} + 26 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{12} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(22 a^{12} + 6 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{12} + 29 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 31^{8} + \left(21 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 25 a^{8} + 19 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 16a^12 + 6a^11 + 29a^10 + 23a^9 + 11a^8 + 8a^7 + 10a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 15a^3 + 2a^2 + a + 2 + (14a^12 + 21a^11 + 26a^10 + 25a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 22a^6 + 26a^5 + 23a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 8a + 6)31 + (6a^12 + 8a^11 + 22a^10 + 28a^8 + 24a^7 + 18a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 24a^3 + 30a^2 + 19a + 6)31^2 + (4a^12 + 23a^11 + 12a^10 + 22a^9 + 5a^8 + 23a^7 + 29a^6 + 13a^5 + 6a^4 + 24a^3 + 2a^2 + 16a + 28)31^3 + (8a^12 + 5a^11 + 4a^10 + 26a^9 + 22a^8 + a^7 + 20a^6 + 21a^5 + 18a^4 + a^3 + 6a^2 + 11a + 20)31^4 + (4a^12 + 5a^11 + 12a^10 + 17a^9 + 22a^8 + 27a^7 + 26a^6 + 11a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 6a^2 + 7a + 9)31^5 + (25a^12 + 15a^10 + 20a^9 + 20a^8 + a^7 + 29a^6 + 24a^5 + 20a^3 + 16a^2 + 3a + 30)31^6 + (22a^12 + 6a^11 + 27a^10 + 24a^9 + 22a^8 + 12a^7 + 22a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 30a^3 + 16a^2 + 7a + 28)31^7 + (19a^12 + 29a^11 + 13a^10 + 26a^9 + 17a^8 + 30a^7 + 7a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 3a^2 + 24a + 25)31^8 + (21a^12 + 12a^11 + 27a^10 + 16a^9 + 25a^8 + 19a^7 + 16a^6 + 2a^5 + 22a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 21a + 13)31^9+O(31^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 18 a^{12} + 7 a^{11} + 10 a^{10} + 24 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 26 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 25 + \left(22 a^{11} + 11 a^{10} + 26 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 28 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31 + \left(12 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + 6 a^{8} + 28 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{12} + 21 a^{11} + 4 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{12} + 5 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 30 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{12} + 26 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{12} + 30 a^{11} + 22 a^{10} + a^{9} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 12 a^{9} + 16 a^{8} + 28 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{12} + 17 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 22 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(6 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 18a^12 + 7a^11 + 10a^10 + 24a^9 + 19a^8 + 6a^7 + 26a^5 + a^4 + 8a^3 + 20a^2 + 10a + 25 + (22a^11 + 11a^10 + 26a^9 + 12a^8 + 6a^7 + 23a^6 + 28a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 23a + 2)31 + (12a^11 + 22a^10 + 21a^9 + 6a^8 + 28a^7 + 18a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 27a^2 + 2a + 30)31^2 + (27a^12 + 21a^11 + 4a^10 + 16a^9 + 10a^8 + 15a^7 + 2a^6 + 22a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 15a^2 + 19a + 8)31^3 + (26a^12 + 5a^11 + 10a^10 + 4a^9 + 30a^8 + 23a^7 + 18a^6 + 27a^5 + 13a^4 + 20a^3 + 14a^2 + 15a + 29)31^4 + (21a^12 + 26a^11 + 16a^10 + 27a^9 + 15a^8 + 11a^7 + 9a^6 + 23a^5 + 2a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 23a + 18)31^5 + (a^12 + 30a^11 + 22a^10 + a^9 + 7a^7 + 20a^6 + 21a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 10a + 12)31^6 + (29a^12 + 22a^11 + 3a^10 + 12a^9 + 16a^8 + 28a^7 + 6a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 27a^2 + 25a + 25)31^7 + (17a^12 + 17a^11 + 22a^10 + 28a^9 + 22a^8 + 16a^7 + 17a^6 + 3a^5 + a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 5a + 8)31^8 + (6a^12 + 22a^11 + 11a^10 + 21a^9 + 18a^8 + a^6 + 25a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 15a^2 + 17a + 16)*31^9+O(31^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 18 a^{12} + 21 a^{11} + 29 a^{10} + 6 a^{9} + 24 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 25 + \left(23 a^{12} + 20 a^{11} + 17 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31 + \left(14 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 29 a^{9} + 29 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 23 a^{9} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{12} + 13 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 11 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{12} + 5 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{12} + 3 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 18 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{12} + 5 a^{11} + 7 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{12} + 5 a^{11} + 25 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 18a^12 + 21a^11 + 29a^10 + 6a^9 + 24a^8 + 29a^7 + 27a^6 + 20a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 27a + 25 + (23a^12 + 20a^11 + 17a^10 + 11a^9 + 5a^8 + 24a^7 + 17a^6 + 18a^5 + 19a^4 + 29a^3 + 4a^2 + 18a + 3)31 + (14a^12 + 16a^11 + a^10 + 29a^9 + 29a^8 + 2a^7 + 9a^6 + a^5 + 30a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 4a + 21)31^2 + (14a^12 + 3a^11 + 4a^10 + 23a^9 + 25a^7 + 8a^6 + 23a^5 + 10a^4 + 26a^3 + 18a^2 + 10a + 20)31^3 + (14a^12 + 13a^11 + 9a^10 + 11a^9 + 7a^8 + 21a^7 + 30a^6 + 22a^5 + 11a^4 + 28a^3 + 14a^2 + 14a + 10)31^4 + (21a^12 + 3a^11 + 4a^10 + 11a^9 + 22a^8 + 17a^7 + 25a^6 + 15a^4 + 20a^3 + 29a^2 + 12a + 14)31^5 + (5a^12 + 5a^11 + a^10 + 2a^9 + a^8 + 17a^7 + 21a^6 + 12a^5 + 12a^4 + 28a^3 + 25a^2 + 22a + 8)31^6 + (15a^12 + 3a^11 + 20a^10 + 28a^9 + 18a^8 + 27a^7 + 21a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 10a + 27)31^7 + (20a^12 + 5a^11 + 7a^10 + 10a^9 + 6a^8 + 19a^7 + 17a^6 + 11a^5 + 30a^4 + 26a^3 + 3a^2 + 13a + 3)31^8 + (29a^12 + 5a^11 + 25a^10 + 22a^9 + 9a^8 + 11a^7 + 11a^6 + 17a^5 + 19a^4 + 30a^3 + 10a^2 + 7a + 20)*31^9+O(31^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 21 a^{12} + 4 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 22 + \left(7 a^{12} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31 + \left(9 a^{12} + 15 a^{11} + 17 a^{10} + 5 a^{9} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{12} + 4 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(21 a^{12} + 22 a^{11} + 29 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{6} + 25 a^{5} + 25 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{12} + 19 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{12} + 3 a^{11} + 29 a^{10} + 29 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 30 a^{6} + 27 a^{5} + 27 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{12} + 30 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{12} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 25 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{8} + \left(28 a^{12} + 3 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 21a^12 + 4a^11 + 9a^10 + 5a^9 + 28a^8 + 26a^7 + 17a^6 + 23a^5 + 14a^4 + 10a^3 + 22a^2 + 11a + 22 + (7a^12 + 21a^11 + 5a^10 + 18a^9 + 9a^8 + 5a^7 + 26a^6 + 3a^5 + 14a^4 + 17a^3 + 11a^2 + a + 16)31 + (9a^12 + 15a^11 + 17a^10 + 5a^9 + 27a^8 + 22a^7 + 25a^6 + 18a^5 + 12a^4 + 26a^3 + 9a^2 + 24a + 4)31^2 + (11a^12 + 4a^11 + 11a^10 + 29a^9 + 25a^8 + 3a^7 + 23a^6 + 3a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 22a + 17)31^3 + (21a^12 + 22a^11 + 29a^10 + 9a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 2a^6 + 25a^5 + 25a^4 + 10a^3 + 14a^2 + 22a + 6)31^4 + (27a^12 + 19a^10 + 27a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 5a^6 + a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 20a^2 + 9a + 24)31^5 + (a^12 + 3a^11 + 29a^10 + 29a^9 + 29a^8 + 11a^7 + 30a^6 + 27a^5 + 27a^4 + 21a^3 + a^2 + 2a + 28)31^6 + (17a^12 + 30a^11 + 8a^10 + 6a^9 + 7a^8 + 30a^7 + 7a^6 + 7a^5 + 28a^4 + 23a^2 + 21a + 24)31^7 + (24a^12 + 5a^11 + 15a^10 + 25a^9 + 22a^8 + 28a^7 + 28a^5 + 27a^4 + 25a^3 + 5a^2 + 12a + 23)31^8 + (28a^12 + 3a^11 + 15a^10 + 19a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 18a^6 + 29a^5 + 13a^4 + 28a^3 + 18a^2 + 14a)31^9+O(31^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 22 a^{12} + 8 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 18 + \left(5 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31 + \left(10 a^{12} + 23 a^{11} + a^{10} + 8 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + 18 a^{8} + 20 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{12} + 19 a^{11} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 13 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{12} + 13 a^{11} + 19 a^{10} + 13 a^{9} + 2 a^{8} + 19 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 16 a^{8} + 28 a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{12} + 14 a^{11} + 28 a^{10} + 3 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{12} + 20 a^{11} + 19 a^{10} + 18 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(22 a^{12} + 19 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 28 a^{8} + 12 a^{7} + 30 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 30\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 22a^12 + 8a^11 + 21a^10 + 2a^9 + 2a^8 + 13a^7 + 18a^6 + 16a^5 + 8a^4 + 30a^3 + 12a^2 + 4a + 18 + (5a^12 + 28a^11 + 22a^10 + 23a^9 + 9a^8 + 14a^7 + 19a^5 + 28a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 10a + 10)31 + (10a^12 + 23a^11 + a^10 + 8a^9 + 26a^8 + 18a^7 + 29a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 25a^3 + 9a^2 + 13a + 7)31^2 + (25a^12 + 19a^11 + 13a^10 + 28a^9 + 18a^8 + 20a^7 + 13a^6 + 27a^5 + 5a^4 + 26a^3 + 16a^2 + 27a + 4)31^3 + (11a^12 + 19a^11 + 10a^10 + 17a^9 + 11a^8 + 13a^7 + 3a^6 + 29a^5 + 4a^4 + 29a^3 + 23a^2 + 3a + 6)31^4 + (23a^12 + 13a^11 + 19a^10 + 13a^9 + 2a^8 + 19a^7 + 17a^6 + 7a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 7a + 24)31^5 + (17a^12 + 27a^11 + 8a^10 + 24a^9 + 16a^8 + 28a^7 + 29a^6 + 24a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 14a^2 + 19a + 30)31^6 + (28a^12 + 14a^11 + 28a^10 + 3a^9 + 22a^8 + 10a^7 + a^6 + 15a^5 + 10a^4 + 30a^2 + 27a + 9)31^7 + (16a^12 + 20a^11 + 19a^10 + 18a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 6a^6 + 19a^5 + 27a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 14a + 17)31^8 + (22a^12 + 19a^11 + 3a^10 + 18a^9 + 28a^8 + 12a^7 + 30a^6 + 8a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 18a + 30)31^9+O(31^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 24 a^{12} + 23 a^{11} + 24 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 27 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 10 + \left(a^{12} + 23 a^{11} + a^{10} + a^{9} + 23 a^{8} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31 + \left(5 a^{12} + 4 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{12} + 29 a^{11} + 8 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{12} + 18 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 30 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 27 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{2} + a + 4\right)\cdot 31^{5} + \left(18 a^{12} + 23 a^{11} + 21 a^{10} + 13 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{6} + \left(6 a^{11} + 12 a^{10} + a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 22 a^{9} + 9 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 27 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 24a^12 + 23a^11 + 24a^10 + 16a^9 + a^8 + 12a^7 + 14a^6 + 27a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 24a^2 + 25a + 10 + (a^12 + 23a^11 + a^10 + a^9 + 23a^8 + 23a^7 + 11a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 24a^3 + 22a^2 + 15a + 29)31 + (5a^12 + 4a^11 + 28a^10 + 5a^9 + 7a^8 + 2a^7 + 9a^6 + 19a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 25a^2 + 26a + 9)31^2 + (30a^12 + 29a^11 + 8a^10 + 18a^9 + 24a^8 + 4a^7 + 15a^6 + 9a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 20a^2 + 25a + 14)31^3 + (8a^12 + 18a^11 + 6a^10 + 13a^9 + 19a^8 + 17a^7 + 15a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 14a^3 + a + 9)31^4 + (4a^12 + 9a^11 + 9a^10 + 30a^9 + 17a^8 + 17a^7 + 27a^6 + 27a^5 + 25a^4 + 14a^2 + a + 4)31^5 + (18a^12 + 23a^11 + 21a^10 + 13a^9 + 2a^8 + 24a^7 + 27a^6 + 24a^5 + 4a^4 + 29a^3 + 7a + 28)31^6 + (6a^11 + 12a^10 + a^9 + 15a^8 + 11a^7 + 8a^6 + 15a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 21a + 21)31^7 + (15a^12 + 28a^11 + 22a^10 + 22a^9 + 9a^8 + 21a^7 + 12a^6 + 7a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 13a^2 + 2a + 18)31^8 + (2a^12 + 4a^11 + 20a^10 + a^9 + 27a^8 + 21a^7 + 7a^6 + 18a^5 + 29a^4 + 20a^3 + 5a^2 + 3a + 19)31^9+O(31^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 28 a^{12} + 4 a^{11} + 6 a^{10} + 21 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 25 + \left(24 a^{12} + 17 a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 31 + \left(29 a^{12} + 10 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{12} + 3 a^{11} + 30 a^{10} + 27 a^{9} + 22 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{12} + 20 a^{11} + 26 a^{10} + 17 a^{9} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 29 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{12} + 22 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{12} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 22 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{12} + 21 a^{11} + 12 a^{10} + 22 a^{9} + a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 27 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 28a^12 + 4a^11 + 6a^10 + 21a^9 + 11a^8 + 22a^7 + 24a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 6a^3 + 24a^2 + 24a + 25 + (24a^12 + 17a^11 + 10a^10 + 6a^9 + 13a^8 + 12a^7 + 15a^6 + 22a^5 + 17a^4 + a^3 + 26a^2 + 6a + 4)31 + (29a^12 + 10a^11 + 17a^10 + 10a^9 + 20a^8 + 24a^7 + 30a^6 + 11a^5 + 28a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 14a + 30)31^2 + (25a^12 + 3a^11 + 30a^10 + 27a^9 + 22a^8 + 20a^7 + 26a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 21a^3 + 30a^2 + 15a + 2)31^3 + (30a^12 + 20a^11 + 26a^10 + 17a^9 + 6a^7 + 12a^6 + 12a^5 + 3a^4 + 29a^2 + 19a + 16)31^4 + (4a^12 + 22a^11 + 6a^10 + 18a^9 + 7a^8 + a^7 + 7a^6 + 14a^5 + 10a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 29a + 22)31^5 + (30a^12 + 18a^11 + 12a^10 + 21a^9 + 21a^7 + 17a^6 + 5a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 27a + 1)31^6 + (7a^12 + 17a^11 + 7a^10 + 22a^9 + 19a^8 + 9a^7 + 8a^6 + 16a^5 + 22a^4 + 10a^3 + 26a^2 + 21a + 27)31^7 + (6a^12 + 21a^11 + 12a^10 + 22a^9 + a^8 + 20a^7 + 15a^6 + 5a^5 + 24a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 11a + 17)31^8 + (16a^12 + 11a^11 + 8a^10 + 13a^9 + 8a^8 + 18a^7 + 16a^6 + 27a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 15a + 2)*31^9+O(31^10)
$r_{ 25 }$	$=$	\( 28 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{3} + 15 a^{2} + 24 a + 16 + \left(19 a^{12} + 8 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 29 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31 + \left(26 a^{12} + a^{11} + 30 a^{10} + 25 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{12} + 9 a^{11} + 7 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + a + 14\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{12} + 9 a^{11} + 28 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(19 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 8 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{12} + 26 a^{11} + 15 a^{10} + 23 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{12} + 27 a^{11} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{12} + a^{11} + 13 a^{10} + 27 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 28a^12 + 29a^11 + 28a^10 + 8a^9 + 4a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 17a^5 + 26a^3 + 15a^2 + 24a + 16 + (19a^12 + 8a^11 + a^10 + 22a^9 + 26a^8 + 10a^7 + 22a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 29a^3 + 14a^2 + 9a + 2)31 + (26a^12 + a^11 + 30a^10 + 25a^9 + 9a^8 + 20a^7 + 8a^6 + 9a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 23a + 1)31^2 + (15a^12 + 9a^11 + 7a^10 + 12a^9 + 3a^8 + 3a^7 + 27a^6 + 30a^4 + 15a^3 + 8a^2 + a + 14)31^3 + (16a^12 + 15a^11 + 4a^9 + 16a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 11a^5 + 7a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 25a + 12)31^4 + (9a^12 + 9a^11 + 28a^10 + 17a^9 + 11a^8 + 4a^7 + 21a^6 + 17a^4 + 2a^3 + 2a + 17)31^5 + (19a^12 + 10a^11 + 6a^10 + 8a^9 + 29a^8 + 9a^7 + 22a^6 + 13a^5 + 4a^4 + 23a^3 + 8a^2 + 4a + 7)31^6 + (13a^12 + 26a^11 + 15a^10 + 23a^9 + 29a^8 + 8a^7 + 28a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 28a + 16)31^7 + (6a^12 + 27a^11 + 13a^10 + 28a^9 + 19a^8 + 14a^7 + 20a^6 + 3a^5 + 25a^4 + 7a^3 + 29a^2 + 14a + 9)31^8 + (10a^12 + a^11 + 13a^10 + 27a^9 + a^8 + 13a^7 + 25a^6 + 15a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 5a + 17)*31^9+O(31^10)
$r_{ 26 }$	$=$	\( 29 a^{12} + 9 a^{11} + 29 a^{10} + 26 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 21 + \left(14 a^{12} + 24 a^{11} + 2 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31 + \left(4 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + 16 a^{9} + 3 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{12} + 28 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(10 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 23 a^{9} + a^{8} + 30 a^{7} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{12} + 29 a^{11} + 4 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 31^{5} + \left(a^{12} + 9 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(25 a^{12} + 28 a^{11} + 17 a^{10} + a^{9} + 2 a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 25 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{12} + 8 a^{11} + 21 a^{10} + 21 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(10 a^{12} + 12 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 30 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 29 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{9} +O(31^{10})\) 29a^12 + 9a^11 + 29a^10 + 26a^9 + 13a^8 + 13a^7 + 22a^6 + a^5 + 7a^3 + 10a^2 + 16a + 21 + (14a^12 + 24a^11 + 2a^10 + 13a^9 + a^8 + 11a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 19a^4 + 19a^3 + a^2 + 3a + 30)31 + (4a^12 + 12a^11 + 27a^10 + 16a^9 + 3a^8 + 22a^7 + 4a^6 + 17a^5 + a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 14a + 1)31^2 + (15a^12 + 28a^11 + 11a^10 + 4a^9 + 6a^8 + 4a^7 + 28a^6 + 5a^5 + 14a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 28a + 5)31^3 + (10a^12 + 22a^11 + 11a^10 + 23a^9 + a^8 + 30a^7 + 2a^5 + 27a^4 + 19a^3 + 6a^2 + 14a + 1)31^4 + (6a^12 + 29a^11 + 4a^10 + 15a^9 + 25a^8 + 3a^7 + 9a^6 + 27a^5 + 2a^4 + 13a^3 + a^2 + 5a + 18)31^5 + (a^12 + 9a^11 + 18a^10 + 8a^9 + 13a^8 + 12a^7 + 18a^6 + a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 16a + 22)31^6 + (25a^12 + 28a^11 + 17a^10 + a^9 + 2a^8 + 16a^7 + 19a^6 + 27a^5 + 15a^4 + 22a^3 + 25a^2 + 15a + 4)31^7 + (28a^12 + 8a^11 + 21a^10 + 21a^9 + 23a^8 + 29a^7 + 15a^6 + 18a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 9a^2 + a + 21)31^8 + (10a^12 + 12a^11 + 2a^10 + 29a^9 + 30a^8 + 19a^7 + 19a^6 + 29a^5 + 8a^4 + 24a^3 + a^2 + 26a + 18)31^9+O(31^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 26 }$

Cycle notation
$(1,26)(2,25)(3,14)(4,20)(5,12)(6,23)(7,9)(10,18)(11,15)(13,19)(17,21)(22,24)$
$(1,2)(3,9)(4,23)(5,14)(6,13)(7,11)(8,15)(10,24)(12,17)(16,19)(18,26)(20,22)(21,25)$
$(1,2)(3,4)(5,22)(6,7)(8,16)(9,23)(10,17)(11,13)(12,24)(14,20)(15,19)(18,21)(25,26)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 26 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,22)(6,7)(8,16)(9,23)(10,17)(11,13)(12,24)(14,20)(15,19)(18,21)(25,26)$	$-2$
$13$	$2$	$(1,2)(3,9)(4,23)(5,14)(6,13)(7,11)(8,15)(10,24)(12,17)(16,19)(18,26)(20,22)(21,25)$	$0$
$13$	$2$	$(3,23)(4,9)(5,20)(6,11)(7,13)(8,19)(10,12)(14,22)(15,16)(17,24)(18,25)(21,26)$	$0$
$2$	$13$	$(1,17,3,15,11,14,21,26,22,6,16,23,24)(2,10,4,19,13,20,18,25,5,7,8,9,12)$	$\zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6}$
$2$	$13$	$(1,26,17,22,3,6,15,16,11,23,14,24,21)(2,25,10,5,4,7,19,8,13,9,20,12,18)$	$\zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{3}$
$2$	$13$	$(1,22,15,23,21,17,6,11,24,26,3,16,14)(2,5,19,9,18,10,7,13,12,25,4,8,20)$	$\zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{4}$
$2$	$13$	$(1,15,21,6,24,3,14,22,23,17,11,26,16)(2,19,18,7,12,4,20,5,9,10,13,25,8)$	$\zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{5}$
$2$	$13$	$(1,23,6,26,14,15,17,24,16,22,21,11,3)(2,9,7,25,20,19,10,12,8,5,18,13,4)$	$-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6} - \zeta_{13}^{5} - \zeta_{13}^{4} - \zeta_{13}^{3} - \zeta_{13}^{2} - 1$
$2$	$13$	$(1,6,14,17,16,21,3,23,26,15,24,22,11)(2,7,20,10,8,18,4,9,25,19,12,5,13)$	$\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{2}$
$2$	$26$	$(1,25,17,5,3,7,15,8,11,9,14,12,21,2,26,10,22,4,6,19,16,13,23,20,24,18)$	$-\zeta_{13}^{10} - \zeta_{13}^{3}$
$2$	$26$	$(1,5,15,9,21,10,6,13,24,25,3,8,14,2,22,19,23,18,17,7,11,12,26,4,16,20)$	$-\zeta_{13}^{9} - \zeta_{13}^{4}$
$2$	$26$	$(1,7,14,10,16,18,3,9,26,19,24,5,11,2,6,20,17,8,21,4,23,25,15,12,22,13)$	$-\zeta_{13}^{11} - \zeta_{13}^{2}$
$2$	$26$	$(1,8,26,13,17,9,22,20,3,12,6,18,15,2,16,25,11,10,23,5,14,4,24,7,21,19)$	$-\zeta_{13}^{8} - \zeta_{13}^{5}$
$2$	$26$	$(1,9,6,25,14,19,17,12,16,5,21,13,3,2,23,7,26,20,15,10,24,8,22,18,11,4)$	$\zeta_{13}^{11} + \zeta_{13}^{10} + \zeta_{13}^{9} + \zeta_{13}^{8} + \zeta_{13}^{7} + \zeta_{13}^{6} + \zeta_{13}^{5} + \zeta_{13}^{4} + \zeta_{13}^{3} + \zeta_{13}^{2} + 1$
$2$	$26$	$(1,12,23,8,6,5,26,18,14,13,15,4,17,2,24,9,16,7,22,25,21,20,11,19,3,10)$	$-\zeta_{13}^{7} - \zeta_{13}^{6}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 26 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.13775.26t3.b.f
Dimension	$2$
Group	$D_{26}$
Conductor	$13775$
Root number	$1$
Indicator	$1$