Properties

Label 2.13456.28t10.a.c
Dimension $2$
Group $D_{28}$
Conductor $13456$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: $D_{28}$
Conductor: \(13456\)\(\medspace = 2^{4} \cdot 29^{2}\)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: 28.2.3356956934459190134013901917828042334392800598032384.1
Galois orbit size: $6$
Smallest permutation container: $D_{28}$
Parity: odd
Determinant: 1.4.2t1.a.a
Projective image: $D_{14}$
Projective stem field: 14.2.42027535208278434566144.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$\(x^{28} - 29 x^{26} + 319 x^{24} - 928 x^{22} - 2494 x^{20} - 21982 x^{18} + 156890 x^{16} - 105676 x^{14} - 41383 x^{12} - 3321805 x^{10} + 13163303 x^{8} - 22596220 x^{6} + 20965492 x^{4} - 8196560 x^{2} - 1114064\)  Toggle raw display.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$: \(x^{14} + x^{8} + 45 x^{7} + 23 x^{6} + 52 x^{5} + 37 x^{3} + 12 x^{2} + 23 x + 2\)  Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 10 a^{13} + 38 a^{12} + 35 a^{11} + 34 a^{10} + 13 a^{9} + 42 a^{8} + 38 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 45 a^{3} + 7 a^{2} + a + 16 + \left(35 a^{13} + 47 a^{12} + 19 a^{11} + 14 a^{10} + 20 a^{9} + 22 a^{8} + 43 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 25 a^{4} + 50 a^{3} + 24 a^{2} + 14 a + 48\right)\cdot 53 + \left(16 a^{13} + 23 a^{12} + 15 a^{11} + 19 a^{10} + 47 a^{9} + 5 a^{8} + 47 a^{7} + 25 a^{6} + 11 a^{5} + 39 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 53^{2} + \left(43 a^{13} + 12 a^{12} + 5 a^{11} + 32 a^{10} + 35 a^{9} + 21 a^{8} + 27 a^{7} + 47 a^{6} + 22 a^{5} + 48 a^{4} + 44 a^{3} + 14 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 53^{3} + \left(34 a^{13} + 43 a^{12} + 49 a^{11} + 48 a^{10} + 16 a^{9} + 15 a^{8} + 44 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 44 a^{3} + 38 a^{2} + 38 a + 36\right)\cdot 53^{4} + \left(49 a^{13} + 15 a^{12} + 35 a^{11} + 45 a^{10} + 47 a^{7} + 52 a^{6} + 42 a^{4} + 48 a^{3} + 38 a^{2} + 14 a + 49\right)\cdot 53^{5} + \left(44 a^{13} + 46 a^{12} + 14 a^{11} + 27 a^{10} + 44 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 44 a^{6} + 52 a^{5} + 35 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 41 a + 3\right)\cdot 53^{6} + \left(12 a^{13} + 41 a^{12} + 42 a^{11} + 51 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 39 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 53^{7} + \left(45 a^{13} + 9 a^{12} + 42 a^{11} + 41 a^{10} + 39 a^{9} + 52 a^{8} + 2 a^{7} + 40 a^{6} + 43 a^{5} + 28 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 51\right)\cdot 53^{8} + \left(33 a^{13} + 43 a^{12} + 25 a^{11} + 3 a^{10} + 30 a^{9} + 16 a^{8} + 35 a^{7} + 46 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 8 a^{13} + 47 a^{12} + 48 a^{11} + 35 a^{10} + 2 a^{9} + 5 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 14 a + 14 + \left(51 a^{13} + 6 a^{12} + 50 a^{11} + 31 a^{10} + 41 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 41 a^{6} + 4 a^{5} + 38 a^{4} + 2 a^{3} + 32 a^{2} + 32 a + 7\right)\cdot 53 + \left(5 a^{13} + 41 a^{12} + 51 a^{11} + 47 a^{10} + 12 a^{9} + 34 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 10 a^{4} + 48 a^{3} + 39 a^{2} + 44 a + 27\right)\cdot 53^{2} + \left(3 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + 30 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 35 a^{4} + 29 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 53^{3} + \left(49 a^{13} + 41 a^{12} + 24 a^{11} + 33 a^{10} + 17 a^{9} + 8 a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 43 a^{2} + 49 a + 6\right)\cdot 53^{4} + \left(26 a^{13} + 2 a^{12} + 13 a^{11} + 37 a^{10} + 50 a^{9} + 32 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 32 a^{3} + 49 a^{2} + 33 a\right)\cdot 53^{5} + \left(51 a^{13} + 49 a^{12} + 52 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + a^{8} + 29 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 51 a^{4} + 31 a^{3} + 11 a^{2} + a + 49\right)\cdot 53^{6} + \left(9 a^{13} + 45 a^{12} + 52 a^{11} + 42 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 40 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 53^{7} + \left(31 a^{13} + 31 a^{12} + 18 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 39 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 53^{8} + \left(30 a^{13} + 12 a^{12} + 7 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 49 a^{8} + 43 a^{7} + 8 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 48 a^{3} + 32 a^{2} + 48 a + 44\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 39 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + a^{10} + 43 a^{9} + 50 a^{8} + 39 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 40 a^{2} + 30 a + 45 + \left(19 a^{12} + 19 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 42 a^{4} + 9 a^{3} + 47 a^{2} + 50 a + 40\right)\cdot 53 + \left(40 a^{13} + 25 a^{12} + 43 a^{11} + 12 a^{10} + 25 a^{9} + 42 a^{8} + 15 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 53^{2} + \left(48 a^{13} + 37 a^{12} + 30 a^{11} + 31 a^{10} + 44 a^{9} + 26 a^{8} + 12 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 40 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 53^{3} + \left(21 a^{13} + 13 a^{12} + 22 a^{10} + 43 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 52 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 53^{4} + \left(6 a^{13} + 13 a^{12} + 41 a^{11} + 10 a^{10} + 47 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 51 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 11 a + 31\right)\cdot 53^{5} + \left(a^{13} + 37 a^{12} + a^{11} + 25 a^{10} + 44 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 49 a^{6} + 5 a^{5} + 28 a^{4} + 23 a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 53^{6} + \left(35 a^{13} + 5 a^{12} + 48 a^{11} + 32 a^{10} + 24 a^{9} + 7 a^{8} + 51 a^{7} + 33 a^{6} + 5 a^{5} + 48 a^{4} + 34 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 53^{7} + \left(40 a^{13} + 45 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 21 a^{9} + 43 a^{8} + 13 a^{7} + 31 a^{6} + 37 a^{5} + 45 a^{4} + 33 a^{3} + 34 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 53^{8} + \left(30 a^{13} + 27 a^{12} + 3 a^{11} + 16 a^{10} + 23 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 52 a^{5} + 48 a^{4} + 32 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 24 a^{13} + 49 a^{12} + 44 a^{11} + 18 a^{10} + 32 a^{9} + 9 a^{8} + 37 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 33 a^{3} + 19 a^{2} + 40 a + 17 + \left(3 a^{13} + 4 a^{12} + 22 a^{11} + 12 a^{10} + 21 a^{9} + 34 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 35 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 53 + \left(30 a^{13} + 26 a^{12} + 37 a^{11} + 48 a^{10} + 3 a^{9} + 38 a^{8} + 27 a^{7} + 21 a^{6} + 36 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 37 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 53^{2} + \left(16 a^{13} + 19 a^{12} + 36 a^{11} + 33 a^{10} + 49 a^{9} + 27 a^{8} + 45 a^{7} + 15 a^{6} + 37 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 53^{3} + \left(50 a^{13} + 15 a^{12} + 52 a^{11} + 35 a^{10} + 37 a^{9} + 8 a^{8} + 49 a^{7} + 32 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 34 a + 51\right)\cdot 53^{4} + \left(14 a^{13} + 14 a^{12} + 10 a^{11} + 7 a^{10} + 13 a^{9} + 43 a^{8} + 46 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{3} + 31 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 53^{5} + \left(12 a^{13} + 11 a^{12} + 11 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 50 a^{6} + 17 a^{5} + 42 a^{4} + 47 a^{3} + 32 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 53^{6} + \left(11 a^{13} + 22 a^{12} + 49 a^{11} + 4 a^{10} + 41 a^{9} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 31 a^{5} + 17 a^{4} + 31 a^{3} + 20 a^{2} + 46 a + 50\right)\cdot 53^{7} + \left(48 a^{13} + 27 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 27 a^{7} + 45 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 37 a^{2} + 49 a + 31\right)\cdot 53^{8} + \left(23 a^{13} + 49 a^{12} + 23 a^{11} + 24 a^{10} + 50 a^{9} + 30 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 30 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 19 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 49 a^{10} + 18 a^{9} + 32 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 25 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 51 a^{2} + 36 a + 1 + \left(22 a^{13} + 21 a^{12} + 8 a^{11} + 26 a^{10} + 27 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 8 a^{3} + 46 a^{2} + 25 a + 49\right)\cdot 53 + \left(20 a^{13} + 33 a^{12} + 23 a^{11} + 5 a^{10} + 34 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 51 a^{6} + 3 a^{5} + 46 a^{4} + 51 a^{3} + 22 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 53^{2} + \left(4 a^{13} + 51 a^{12} + 28 a^{11} + 37 a^{10} + a^{9} + 50 a^{8} + 10 a^{7} + 35 a^{6} + 14 a^{5} + 46 a^{4} + 24 a^{3} + 48 a^{2} + 29 a + 46\right)\cdot 53^{3} + \left(31 a^{13} + 44 a^{12} + 9 a^{11} + 33 a^{10} + 18 a^{9} + 24 a^{8} + 34 a^{7} + 36 a^{6} + 34 a^{5} + 26 a^{4} + a^{3} + 48 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 53^{4} + \left(4 a^{13} + 12 a^{12} + 31 a^{11} + 51 a^{10} + 50 a^{9} + 43 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 39 a^{4} + 12 a^{3} + 37 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 53^{5} + \left(28 a^{13} + 18 a^{12} + 18 a^{11} + 27 a^{10} + 29 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 41 a^{6} + 43 a^{5} + 37 a^{4} + 30 a^{3} + 11 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 53^{6} + \left(48 a^{13} + 43 a^{12} + 9 a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + 26 a^{7} + 42 a^{6} + a^{5} + 37 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 53^{7} + \left(20 a^{13} + 38 a^{12} + 5 a^{11} + 4 a^{10} + 43 a^{9} + 29 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 33 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 53^{8} + \left(13 a^{13} + 43 a^{12} + 44 a^{11} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 51 a^{6} + 26 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 46\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 14 a^{13} + 48 a^{12} + 51 a^{11} + 19 a^{10} + 52 a^{9} + 26 a^{7} + 44 a^{6} + 43 a^{5} + 15 a^{4} + 49 a^{3} + 30 a^{2} + 29 a + 18 + \left(29 a^{13} + 3 a^{12} + 36 a^{11} + 31 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 41 a^{7} + 7 a^{6} + 39 a^{5} + 30 a^{4} + 39 a^{3} + 32 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 53 + \left(4 a^{13} + 12 a^{12} + 47 a^{11} + 43 a^{10} + 26 a^{9} + 44 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 51 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 53^{2} + \left(5 a^{13} + 49 a^{12} + 9 a^{11} + 23 a^{10} + 37 a^{8} + 33 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 48 a^{4} + 9 a^{3} + 44 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 53^{3} + \left(5 a^{13} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 31 a^{8} + 18 a^{7} + 32 a^{6} + 15 a^{5} + 50 a^{4} + 44 a^{3} + 18 a^{2} + 51 a + 20\right)\cdot 53^{4} + \left(36 a^{13} + 34 a^{12} + 31 a^{11} + 39 a^{10} + 33 a^{9} + 43 a^{8} + 37 a^{7} + 34 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 37 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 53^{5} + \left(41 a^{13} + 29 a^{12} + 38 a^{11} + 47 a^{10} + 8 a^{9} + 48 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 49 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 33\right)\cdot 53^{6} + \left(22 a^{13} + a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 39 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 35 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 53^{7} + \left(32 a^{13} + 17 a^{12} + 27 a^{11} + 18 a^{10} + 41 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 44 a^{6} + 45 a^{5} + 21 a^{4} + 24 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 44\right)\cdot 53^{8} + \left(24 a^{13} + 29 a^{12} + 14 a^{11} + 20 a^{10} + 31 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 52 a^{5} + 43 a^{4} + 51 a^{3} + 25 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 15 a^{13} + 47 a^{12} + 34 a^{11} + 28 a^{10} + 24 a^{9} + 45 a^{8} + 50 a^{6} + 40 a^{5} + 45 a^{4} + 31 a^{3} + 30 a^{2} + 37 a + 24 + \left(22 a^{13} + 20 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 47 a^{9} + 47 a^{8} + 40 a^{7} + 34 a^{6} + 47 a^{5} + 46 a^{4} + 51 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 53 + \left(38 a^{13} + 26 a^{12} + 13 a^{11} + 6 a^{10} + 19 a^{9} + 45 a^{8} + 40 a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 44 a^{4} + 50 a^{3} + 45 a^{2} + 19 a + 51\right)\cdot 53^{2} + \left(50 a^{13} + 42 a^{12} + 29 a^{11} + 31 a^{10} + 25 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 37 a^{6} + 25 a^{5} + 36 a^{4} + 8 a^{2} + 45 a\right)\cdot 53^{3} + \left(18 a^{13} + 49 a^{12} + 6 a^{11} + 3 a^{10} + 39 a^{9} + 10 a^{8} + 33 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 40 a^{3} + 48 a^{2} + 37 a + 43\right)\cdot 53^{4} + \left(5 a^{13} + 37 a^{12} + 37 a^{11} + 19 a^{10} + 38 a^{9} + a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 52 a^{4} + 42 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 40\right)\cdot 53^{5} + \left(9 a^{13} + 8 a^{12} + 51 a^{11} + 43 a^{10} + 4 a^{9} + 45 a^{8} + 47 a^{7} + 27 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 31 a\right)\cdot 53^{6} + \left(44 a^{13} + 50 a^{12} + 12 a^{11} + 51 a^{10} + 45 a^{9} + 32 a^{8} + 39 a^{7} + 9 a^{6} + 34 a^{5} + 43 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 53^{7} + \left(26 a^{13} + 15 a^{12} + 50 a^{11} + 10 a^{10} + 13 a^{9} + 46 a^{8} + 49 a^{7} + 34 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 53^{8} + \left(28 a^{13} + 2 a^{12} + 35 a^{11} + 8 a^{10} + 38 a^{9} + 23 a^{8} + 44 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 28 a^{13} + 47 a^{12} + 31 a^{11} + 23 a^{10} + 27 a^{9} + 33 a^{8} + 3 a^{7} + 35 a^{6} + 37 a^{5} + 21 a^{4} + 52 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 8 + \left(36 a^{13} + 51 a^{12} + 32 a^{11} + 16 a^{10} + 29 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 46 a^{6} + 46 a^{5} + 40 a^{4} + 40 a^{3} + 28 a^{2} + 44 a + 16\right)\cdot 53 + \left(39 a^{13} + 29 a^{12} + 2 a^{11} + 49 a^{10} + 31 a^{9} + 17 a^{8} + 21 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 45 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 53^{2} + \left(41 a^{13} + 29 a^{12} + 30 a^{11} + 24 a^{10} + 51 a^{9} + 49 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 49 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 42 a + 5\right)\cdot 53^{3} + \left(33 a^{13} + 38 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 41 a^{8} + 47 a^{7} + 24 a^{6} + 41 a^{5} + 22 a^{4} + 52 a^{2} + 36 a + 39\right)\cdot 53^{4} + \left(43 a^{13} + 37 a^{11} + 46 a^{10} + a^{8} + 22 a^{7} + 23 a^{6} + 32 a^{5} + 16 a^{4} + 40 a^{3} + 51 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 53^{5} + \left(12 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 39 a^{10} + 27 a^{9} + 15 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 37 a^{4} + 7 a^{3} + 33 a^{2} + 45 a + 41\right)\cdot 53^{6} + \left(9 a^{13} + 31 a^{12} + 6 a^{11} + 2 a^{10} + 29 a^{9} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 41 a^{6} + 38 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 53^{7} + \left(29 a^{13} + 51 a^{12} + 10 a^{11} + 46 a^{10} + 20 a^{9} + 39 a^{8} + 28 a^{7} + 43 a^{6} + 11 a^{5} + 44 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 53^{8} + \left(8 a^{13} + 9 a^{12} + 3 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 36 a^{7} + 35 a^{5} + 16 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 41 a^{13} + 28 a^{12} + 3 a^{11} + 8 a^{10} + 15 a^{9} + 41 a^{8} + 22 a^{7} + 36 a^{6} + 44 a^{4} + 36 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 5 + \left(31 a^{13} + 23 a^{12} + 15 a^{11} + 37 a^{10} + 21 a^{9} + 26 a^{8} + 51 a^{7} + 50 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 42 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 53 + \left(12 a^{13} + 23 a^{12} + a^{11} + 5 a^{10} + 13 a^{9} + 27 a^{8} + 36 a^{7} + 9 a^{6} + 23 a^{5} + 28 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + 48 a + 51\right)\cdot 53^{2} + \left(4 a^{13} + 9 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 7 a^{8} + 32 a^{7} + 40 a^{6} + 37 a^{5} + 42 a^{4} + 28 a^{3} + 37 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 53^{3} + \left(20 a^{13} + 44 a^{12} + 50 a^{11} + 6 a^{10} + 42 a^{9} + 44 a^{8} + 12 a^{7} + 47 a^{6} + 39 a^{5} + 46 a^{4} + 32 a^{2} + 24 a + 49\right)\cdot 53^{4} + \left(41 a^{13} + 8 a^{12} + 19 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + a^{7} + 11 a^{6} + 51 a^{5} + 33 a^{4} + 40 a^{3} + 31 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 53^{5} + \left(49 a^{13} + 15 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 40 a^{9} + 24 a^{8} + 19 a^{7} + 45 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 50 a^{3} + a^{2} + a + 18\right)\cdot 53^{6} + \left(27 a^{13} + 39 a^{12} + 38 a^{11} + 19 a^{10} + 44 a^{9} + 46 a^{8} + 22 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + 45 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 53^{7} + \left(34 a^{13} + 41 a^{12} + 14 a^{11} + 14 a^{10} + 41 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + 32 a^{6} + 18 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 53^{8} + \left(9 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 8 a^{10} + 49 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{6} + 37 a^{5} + 20 a^{4} + 52 a^{3} + 26 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 17 a^{13} + 9 a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 41 a^{8} + 20 a^{7} + 45 a^{6} + 15 a^{5} + 34 a^{4} + 35 a^{3} + 46 a^{2} + 28 a + 33 + \left(28 a^{13} + 22 a^{12} + 48 a^{11} + 38 a^{10} + 5 a^{9} + 42 a^{8} + 27 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 34 a^{4} + 45 a^{3} + 37 a^{2} + 31 a + 8\right)\cdot 53 + \left(3 a^{13} + 12 a^{12} + 38 a^{11} + 42 a^{10} + 16 a^{9} + 36 a^{8} + 22 a^{7} + 36 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 41\right)\cdot 53^{2} + \left(25 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 12 a^{10} + 19 a^{9} + 29 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 50 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 53^{3} + \left(31 a^{13} + 42 a^{12} + 46 a^{11} + 47 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 34 a^{7} + 23 a^{6} + 43 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 53^{4} + \left(42 a^{13} + 48 a^{12} + 28 a^{11} + 35 a^{10} + 29 a^{9} + 35 a^{8} + 13 a^{7} + 34 a^{6} + 49 a^{5} + 16 a^{4} + 46 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 53^{5} + \left(27 a^{13} + 41 a^{12} + 7 a^{11} + 30 a^{10} + 51 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 45 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 34 a^{3} + 39 a^{2} + 47 a + 13\right)\cdot 53^{6} + \left(40 a^{13} + 6 a^{12} + 37 a^{11} + 13 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 50 a^{7} + 27 a^{6} + 51 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 39 a^{2} + 27 a + 51\right)\cdot 53^{7} + \left(9 a^{13} + 50 a^{12} + 31 a^{11} + 21 a^{10} + 28 a^{9} + 9 a^{8} + 23 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 45 a^{2} + 11 a + 31\right)\cdot 53^{8} + \left(23 a^{13} + 4 a^{12} + 15 a^{11} + 49 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 41 a^{7} + 45 a^{6} + 12 a^{5} + 29 a^{4} + 15 a^{3} + 44 a^{2} + 38 a + 10\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 30 a^{13} + 32 a^{12} + 41 a^{11} + 32 a^{10} + 44 a^{9} + a^{8} + 51 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 29 a^{4} + 44 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 15 + \left(20 a^{13} + 24 a^{12} + 5 a^{11} + 49 a^{9} + 39 a^{8} + 29 a^{7} + 50 a^{6} + 2 a^{5} + 33 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 40\right)\cdot 53 + \left(42 a^{13} + 36 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 37 a^{9} + 30 a^{8} + 38 a^{7} + 39 a^{6} + 41 a^{5} + 24 a^{4} + 31 a^{3} + 37 a^{2} + 42 a\right)\cdot 53^{2} + \left(37 a^{13} + 9 a^{12} + 27 a^{11} + 44 a^{10} + 46 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 47 a^{4} + 37 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 53^{3} + \left(43 a^{13} + 34 a^{12} + 29 a^{11} + 31 a^{10} + 25 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 41 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 44\right)\cdot 53^{4} + \left(48 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 7 a^{10} + 40 a^{9} + 31 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + 33 a + 29\right)\cdot 53^{5} + \left(47 a^{13} + 33 a^{12} + 35 a^{10} + 24 a^{9} + 24 a^{8} + 33 a^{7} + 13 a^{6} + 40 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 45 a^{2} + 51 a + 27\right)\cdot 53^{6} + \left(17 a^{13} + 13 a^{12} + 49 a^{11} + 49 a^{10} + 3 a^{9} + 24 a^{8} + 25 a^{7} + 43 a^{6} + 49 a^{5} + 49 a^{4} + 32 a^{3} + 11 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 53^{7} + \left(29 a^{13} + 35 a^{12} + 32 a^{11} + 25 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 18 a^{7} + 47 a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 25 a^{3} + 5 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 53^{8} + \left(13 a^{13} + 42 a^{12} + 5 a^{11} + 13 a^{10} + 10 a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 37 a^{6} + 51 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 46 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 28 a^{13} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 41 a^{10} + 3 a^{9} + 10 a^{8} + a^{7} + 50 a^{6} + 33 a^{5} + 32 a^{4} + 35 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 19 + \left(10 a^{13} + 50 a^{12} + 31 a^{11} + 41 a^{10} + 47 a^{9} + 9 a^{8} + 34 a^{7} + 27 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 46 a^{3} + 4 a^{2} + 47 a + 14\right)\cdot 53 + \left(12 a^{13} + 34 a^{12} + 37 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 35 a^{8} + 49 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 38 a^{4} + 50 a^{3} + 45 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 53^{2} + \left(42 a^{13} + 34 a^{12} + 21 a^{11} + 50 a^{10} + 19 a^{9} + 22 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 14 a^{4} + 49 a^{3} + 26 a^{2} + 49 a + 49\right)\cdot 53^{3} + \left(50 a^{13} + 34 a^{12} + 36 a^{11} + 2 a^{10} + 35 a^{9} + 51 a^{8} + 12 a^{7} + 37 a^{6} + 34 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 29 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 53^{4} + \left(16 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 48 a^{10} + 35 a^{9} + 17 a^{8} + 29 a^{7} + 40 a^{6} + 35 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 52 a + 3\right)\cdot 53^{5} + \left(27 a^{13} + 5 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 9 a^{9} + 6 a^{8} + 21 a^{7} + 24 a^{6} + 33 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 49 a + 49\right)\cdot 53^{6} + \left(50 a^{13} + 49 a^{12} + 22 a^{11} + 40 a^{10} + 22 a^{9} + 29 a^{8} + 11 a^{7} + 39 a^{6} + 37 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 46 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 53^{7} + \left(9 a^{13} + 3 a^{12} + 39 a^{11} + 49 a^{10} + 34 a^{9} + 31 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 33 a^{3} + 38 a^{2} + 46 a + 13\right)\cdot 53^{8} + \left(3 a^{13} + 20 a^{12} + 39 a^{11} + 11 a^{9} + 19 a^{8} + 40 a^{7} + 43 a^{6} + 41 a^{5} + 25 a^{4} + 52 a^{3} + 28 a^{2} + 33 a\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 5 a^{13} + 24 a^{12} + 24 a^{11} + 18 a^{10} + 16 a^{9} + 42 a^{7} + 46 a^{6} + 3 a^{5} + 50 a^{4} + 30 a^{3} + 13 a^{2} + 37 a + 30 + \left(45 a^{13} + 22 a^{12} + 44 a^{11} + 46 a^{10} + 31 a^{9} + 14 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 51 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 53 + \left(32 a^{13} + 8 a^{12} + 25 a^{11} + 44 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 41 a^{7} + 10 a^{6} + 35 a^{5} + 38 a^{4} + 36 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 53^{2} + \left(5 a^{13} + 46 a^{12} + 27 a^{11} + 33 a^{10} + 22 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 22 a^{6} + 43 a^{5} + 14 a^{4} + 31 a^{3} + 38 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 53^{3} + \left(20 a^{13} + 37 a^{12} + 49 a^{11} + 19 a^{10} + 22 a^{9} + 48 a^{8} + 43 a^{7} + 16 a^{6} + 35 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 35 a + 36\right)\cdot 53^{4} + \left(a^{13} + 40 a^{12} + 33 a^{11} + 51 a^{10} + 41 a^{9} + 5 a^{8} + 21 a^{7} + 42 a^{6} + 52 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 33\right)\cdot 53^{5} + \left(2 a^{13} + 24 a^{12} + 50 a^{11} + 3 a^{10} + 28 a^{9} + 4 a^{8} + 37 a^{7} + 48 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 42 a^{2} + 2 a + 40\right)\cdot 53^{6} + \left(30 a^{13} + 12 a^{12} + 50 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 4 a^{8} + 5 a^{7} + 13 a^{6} + 35 a^{5} + 46 a^{4} + 40 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 46\right)\cdot 53^{7} + \left(18 a^{13} + 15 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{10} + 32 a^{9} + 52 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 38 a^{4} + 3 a^{3} + 48 a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 53^{8} + \left(43 a^{13} + 39 a^{12} + 18 a^{11} + 9 a^{10} + 40 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 31 a^{5} + 52 a^{4} + 8 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 10 a^{13} + 18 a^{12} + 27 a^{11} + 7 a^{10} + 48 a^{9} + 23 a^{8} + 37 a^{7} + 44 a^{6} + 32 a^{5} + 37 a^{4} + 48 a^{3} + 14 a^{2} + 49 a + 41 + \left(27 a^{13} + 25 a^{12} + 11 a^{11} + 48 a^{10} + 30 a^{9} + 47 a^{8} + 13 a^{7} + 34 a^{6} + 6 a^{5} + 46 a^{4} + 49 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 53 + \left(49 a^{13} + 44 a^{12} + 13 a^{11} + 44 a^{10} + 6 a^{9} + 14 a^{8} + 46 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 39 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 53^{2} + \left(22 a^{13} + 43 a^{12} + 17 a^{11} + 40 a^{10} + 13 a^{9} + 37 a^{7} + 9 a^{6} + 34 a^{5} + 9 a^{4} + 46 a^{3} + 43 a^{2} + 43 a + 18\right)\cdot 53^{3} + \left(23 a^{13} + 28 a^{12} + 19 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 23 a^{8} + 42 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 43 a^{3} + 5 a^{2} + 34 a + 45\right)\cdot 53^{4} + \left(30 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 6 a^{9} + 34 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 36 a^{3} + 5 a^{2} + a + 14\right)\cdot 53^{5} + \left(34 a^{13} + 11 a^{12} + 30 a^{11} + 41 a^{10} + 31 a^{9} + 47 a^{8} + 33 a^{7} + 29 a^{6} + 6 a^{5} + 41 a^{4} + 17 a^{3} + 51 a^{2} + 51 a + 13\right)\cdot 53^{6} + \left(16 a^{13} + 38 a^{12} + 50 a^{11} + 20 a^{10} + 49 a^{9} + 31 a^{8} + 37 a^{7} + 40 a^{6} + 32 a^{5} + 48 a^{4} + 7 a^{3} + 31 a + 18\right)\cdot 53^{7} + \left(15 a^{13} + 52 a^{12} + 44 a^{11} + a^{10} + 47 a^{9} + 28 a^{8} + 12 a^{7} + 43 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 29 a^{3} + 44 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 53^{8} + \left(2 a^{13} + 43 a^{12} + 50 a^{11} + 28 a^{10} + 33 a^{9} + 18 a^{8} + 51 a^{7} + 29 a^{6} + 42 a^{5} + 23 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 43 a^{13} + 15 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 40 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 44 a^{6} + 49 a^{5} + 25 a^{4} + 8 a^{3} + 46 a^{2} + 52 a + 37 + \left(17 a^{13} + 5 a^{12} + 33 a^{11} + 38 a^{10} + 32 a^{9} + 30 a^{8} + 9 a^{7} + 46 a^{6} + 47 a^{5} + 27 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 53 + \left(36 a^{13} + 29 a^{12} + 37 a^{11} + 33 a^{10} + 5 a^{9} + 47 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 41 a^{5} + 13 a^{4} + 51 a^{3} + 30 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 53^{2} + \left(9 a^{13} + 40 a^{12} + 47 a^{11} + 20 a^{10} + 17 a^{9} + 31 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 38 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 53^{3} + \left(18 a^{13} + 9 a^{12} + 3 a^{11} + 4 a^{10} + 36 a^{9} + 37 a^{8} + 8 a^{7} + 48 a^{6} + 31 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 53^{4} + \left(3 a^{13} + 37 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 52 a^{9} + 52 a^{8} + 5 a^{7} + 52 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 53^{5} + \left(8 a^{13} + 6 a^{12} + 38 a^{11} + 25 a^{10} + 8 a^{9} + 29 a^{8} + 23 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 49\right)\cdot 53^{6} + \left(40 a^{13} + 11 a^{12} + 10 a^{11} + a^{10} + 32 a^{9} + 47 a^{8} + 22 a^{7} + 13 a^{6} + 46 a^{5} + 42 a^{4} + 28 a^{3} + 34 a^{2} + 47 a + 13\right)\cdot 53^{7} + \left(7 a^{13} + 43 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + 50 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 24 a^{4} + 36 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 53^{8} + \left(19 a^{13} + 9 a^{12} + 27 a^{11} + 49 a^{10} + 22 a^{9} + 36 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 44 a^{5} + 46 a^{4} + 49 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 45 a^{13} + 6 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 51 a^{9} + 48 a^{8} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 41 a^{5} + 36 a^{4} + 46 a^{3} + 26 a^{2} + 39 a + 39 + \left(a^{13} + 46 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 47 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 48 a^{5} + 14 a^{4} + 50 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 45\right)\cdot 53 + \left(47 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 5 a^{10} + 40 a^{9} + 18 a^{8} + 24 a^{7} + 33 a^{6} + 22 a^{5} + 42 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 53^{2} + \left(49 a^{13} + 45 a^{12} + 42 a^{11} + 32 a^{10} + 32 a^{9} + 22 a^{8} + 32 a^{7} + 37 a^{6} + 45 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 39 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 53^{3} + \left(3 a^{13} + 11 a^{12} + 28 a^{11} + 19 a^{10} + 35 a^{9} + 44 a^{8} + 24 a^{7} + 39 a^{6} + 40 a^{5} + 49 a^{4} + 40 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 46\right)\cdot 53^{4} + \left(26 a^{13} + 50 a^{12} + 39 a^{11} + 15 a^{10} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + 46 a^{7} + 27 a^{6} + 29 a^{5} + 32 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 52\right)\cdot 53^{5} + \left(a^{13} + 3 a^{12} + 31 a^{10} + 44 a^{9} + 51 a^{8} + 23 a^{7} + 33 a^{6} + 22 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 41 a^{2} + 51 a + 3\right)\cdot 53^{6} + \left(43 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{10} + 28 a^{9} + 51 a^{8} + 12 a^{7} + 50 a^{6} + 39 a^{5} + 52 a^{4} + 40 a^{3} + 26 a^{2} + a + 4\right)\cdot 53^{7} + \left(21 a^{13} + 21 a^{12} + 34 a^{11} + 36 a^{10} + 30 a^{9} + 35 a^{8} + 36 a^{7} + 35 a^{6} + 44 a^{5} + 13 a^{4} + 48 a^{3} + 43 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 53^{8} + \left(22 a^{13} + 40 a^{12} + 45 a^{11} + 48 a^{10} + 35 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 44 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 14 a^{13} + 51 a^{12} + 32 a^{11} + 52 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 46 a^{6} + 46 a^{5} + 35 a^{4} + 48 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 8 + \left(52 a^{13} + 33 a^{12} + 33 a^{11} + 34 a^{10} + 44 a^{9} + 50 a^{8} + 27 a^{7} + 41 a^{6} + 40 a^{5} + 10 a^{4} + 43 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 53 + \left(12 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + 40 a^{10} + 27 a^{9} + 10 a^{8} + 37 a^{7} + 41 a^{6} + 28 a^{5} + 46 a^{4} + 28 a^{3} + 50 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 53^{2} + \left(4 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 26 a^{8} + 40 a^{7} + 23 a^{6} + 45 a^{5} + 26 a^{4} + 37 a^{3} + 12 a^{2} + 39 a + 10\right)\cdot 53^{3} + \left(31 a^{13} + 39 a^{12} + 52 a^{11} + 30 a^{10} + 9 a^{9} + 42 a^{8} + 25 a^{7} + 35 a^{6} + 45 a^{5} + 42 a^{4} + 40 a^{3} + 26 a + 29\right)\cdot 53^{4} + \left(46 a^{13} + 39 a^{12} + 11 a^{11} + 42 a^{10} + 5 a^{9} + 38 a^{8} + 34 a^{7} + a^{6} + 42 a^{5} + 31 a^{4} + 43 a^{3} + 51 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 53^{5} + \left(51 a^{13} + 15 a^{12} + 51 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 40 a^{8} + 43 a^{7} + 3 a^{6} + 47 a^{5} + 24 a^{4} + 52 a^{3} + 29 a^{2} + 47 a + 19\right)\cdot 53^{6} + \left(17 a^{13} + 47 a^{12} + 4 a^{11} + 20 a^{10} + 28 a^{9} + 45 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 47 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 47 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 53^{7} + \left(12 a^{13} + 7 a^{12} + 38 a^{11} + 45 a^{10} + 31 a^{9} + 9 a^{8} + 39 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 53^{8} + \left(22 a^{13} + 25 a^{12} + 49 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{9} + 34 a^{8} + 49 a^{7} + 49 a^{6} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 29 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 35 a^{10} + 21 a^{9} + 44 a^{8} + 16 a^{7} + 37 a^{6} + 45 a^{5} + 27 a^{4} + 20 a^{3} + 34 a^{2} + 13 a + 36 + \left(49 a^{13} + 48 a^{12} + 30 a^{11} + 40 a^{10} + 31 a^{9} + 18 a^{8} + 51 a^{7} + 43 a^{6} + 39 a^{5} + 26 a^{4} + 35 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 53 + \left(22 a^{13} + 26 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 49 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 31 a^{6} + 16 a^{5} + 31 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 44 a + 43\right)\cdot 53^{2} + \left(36 a^{13} + 33 a^{12} + 16 a^{11} + 19 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 37 a^{6} + 15 a^{5} + 42 a^{4} + 38 a^{3} + 37 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 53^{3} + \left(2 a^{13} + 37 a^{12} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 44 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 26 a^{5} + 45 a^{4} + 28 a^{3} + 39 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 53^{4} + \left(38 a^{13} + 38 a^{12} + 42 a^{11} + 45 a^{10} + 39 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 45 a^{3} + 21 a^{2} + 48 a + 39\right)\cdot 53^{5} + \left(40 a^{13} + 41 a^{12} + 41 a^{11} + 32 a^{10} + 51 a^{9} + 22 a^{8} + 46 a^{7} + 2 a^{6} + 35 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 32 a + 49\right)\cdot 53^{6} + \left(41 a^{13} + 30 a^{12} + 3 a^{11} + 48 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 30 a^{7} + 48 a^{6} + 21 a^{5} + 35 a^{4} + 21 a^{3} + 32 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 53^{7} + \left(4 a^{13} + 25 a^{12} + 24 a^{11} + 39 a^{10} + 43 a^{9} + 48 a^{8} + 25 a^{7} + 7 a^{6} + 34 a^{5} + 47 a^{4} + 49 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 53^{8} + \left(29 a^{13} + 3 a^{12} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 2 a^{9} + 22 a^{8} + 37 a^{7} + 51 a^{6} + 42 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 32 a^{2} + 24 a + 46\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 34 a^{13} + 43 a^{12} + 34 a^{11} + 4 a^{10} + 35 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 49 a^{6} + 28 a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 52 + \left(30 a^{13} + 31 a^{12} + 44 a^{11} + 26 a^{10} + 25 a^{9} + 28 a^{8} + 34 a^{7} + 24 a^{6} + 50 a^{5} + 28 a^{4} + 44 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 53 + \left(32 a^{13} + 19 a^{12} + 29 a^{11} + 47 a^{10} + 18 a^{9} + 26 a^{8} + 37 a^{7} + a^{6} + 49 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 30 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 53^{2} + \left(48 a^{13} + a^{12} + 24 a^{11} + 15 a^{10} + 51 a^{9} + 2 a^{8} + 42 a^{7} + 17 a^{6} + 38 a^{5} + 6 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 53^{3} + \left(21 a^{13} + 8 a^{12} + 43 a^{11} + 19 a^{10} + 34 a^{9} + 28 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 51 a^{3} + 4 a^{2} + 44 a + 27\right)\cdot 53^{4} + \left(48 a^{13} + 40 a^{12} + 21 a^{11} + a^{10} + 2 a^{9} + 9 a^{8} + 46 a^{7} + 33 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 40 a^{3} + 15 a^{2} + 23 a + 40\right)\cdot 53^{5} + \left(24 a^{13} + 34 a^{12} + 34 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 39 a^{8} + 43 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 41 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 53^{6} + \left(4 a^{13} + 9 a^{12} + 43 a^{11} + 42 a^{10} + 41 a^{9} + 46 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 51 a^{5} + 15 a^{4} + 41 a^{3} + 30 a^{2} + 45 a + 26\right)\cdot 53^{7} + \left(32 a^{13} + 14 a^{12} + 47 a^{11} + 48 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 27 a^{7} + 29 a^{6} + 19 a^{5} + 24 a^{4} + 45 a^{3} + 19 a^{2} + 43 a + 34\right)\cdot 53^{8} + \left(39 a^{13} + 9 a^{12} + 8 a^{11} + 42 a^{10} + 24 a^{9} + 36 a^{8} + 42 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 38 a^{4} + 44 a^{3} + 42 a^{2} + 49 a + 6\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( 39 a^{13} + 5 a^{12} + 2 a^{11} + 34 a^{10} + a^{9} + 27 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 38 a^{4} + 4 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 35 + \left(23 a^{13} + 49 a^{12} + 16 a^{11} + 21 a^{10} + 40 a^{9} + 43 a^{8} + 11 a^{7} + 45 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 53 + \left(48 a^{13} + 40 a^{12} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + 26 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 39 a^{6} + 32 a^{5} + 48 a^{4} + a^{3} + 46 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 53^{2} + \left(47 a^{13} + 3 a^{12} + 43 a^{11} + 29 a^{10} + 52 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 35 a^{6} + 45 a^{5} + 4 a^{4} + 43 a^{3} + 8 a^{2} + 35 a + 43\right)\cdot 53^{3} + \left(47 a^{13} + 52 a^{12} + 44 a^{11} + 33 a^{10} + 40 a^{9} + 21 a^{8} + 34 a^{7} + 20 a^{6} + 37 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 34 a^{2} + a + 32\right)\cdot 53^{4} + \left(16 a^{13} + 18 a^{12} + 21 a^{11} + 13 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 43 a^{5} + 28 a^{4} + 36 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 53^{5} + \left(11 a^{13} + 23 a^{12} + 14 a^{11} + 5 a^{10} + 44 a^{9} + 4 a^{8} + 34 a^{7} + 49 a^{6} + 3 a^{5} + 38 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 50 a + 19\right)\cdot 53^{6} + \left(30 a^{13} + 51 a^{12} + 40 a^{11} + 31 a^{10} + 13 a^{9} + 47 a^{8} + 48 a^{7} + 48 a^{6} + 45 a^{5} + 50 a^{4} + 17 a^{3} + 31 a^{2} + 50 a + 43\right)\cdot 53^{7} + \left(20 a^{13} + 35 a^{12} + 25 a^{11} + 34 a^{10} + 11 a^{9} + 39 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 31 a^{4} + 28 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 53^{8} + \left(28 a^{13} + 23 a^{12} + 38 a^{11} + 32 a^{10} + 21 a^{9} + 33 a^{8} + 35 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 38 a^{13} + 6 a^{12} + 19 a^{11} + 25 a^{10} + 29 a^{9} + 8 a^{8} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 16 a + 29 + \left(30 a^{13} + 32 a^{12} + 39 a^{11} + 26 a^{10} + 5 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 32 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 53 + \left(14 a^{13} + 26 a^{12} + 39 a^{11} + 46 a^{10} + 33 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 25 a^{6} + 36 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 33 a + 1\right)\cdot 53^{2} + \left(2 a^{13} + 10 a^{12} + 23 a^{11} + 21 a^{10} + 27 a^{9} + 34 a^{8} + 40 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 52 a^{3} + 44 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 53^{3} + \left(34 a^{13} + 3 a^{12} + 46 a^{11} + 49 a^{10} + 13 a^{9} + 42 a^{8} + 19 a^{7} + 39 a^{6} + 35 a^{5} + 31 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 53^{4} + \left(47 a^{13} + 15 a^{12} + 15 a^{11} + 33 a^{10} + 14 a^{9} + 51 a^{8} + 34 a^{7} + 36 a^{6} + 45 a^{5} + 10 a^{3} + 36 a^{2} + 50 a + 12\right)\cdot 53^{5} + \left(43 a^{13} + 44 a^{12} + a^{11} + 9 a^{10} + 48 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 41 a^{5} + 33 a^{4} + 30 a^{3} + 43 a^{2} + 21 a + 52\right)\cdot 53^{6} + \left(8 a^{13} + 2 a^{12} + 40 a^{11} + a^{10} + 7 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 43 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 40 a^{3} + 22 a^{2} + 46 a + 51\right)\cdot 53^{7} + \left(26 a^{13} + 37 a^{12} + 2 a^{11} + 42 a^{10} + 39 a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 46 a^{5} + 46 a^{4} + 50 a^{3} + 42 a^{2} + 39 a + 32\right)\cdot 53^{8} + \left(24 a^{13} + 50 a^{12} + 17 a^{11} + 44 a^{10} + 14 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 40 a^{6} + 43 a^{5} + 44 a^{4} + 48 a^{3} + 27 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 25 a^{13} + 6 a^{12} + 22 a^{11} + 30 a^{10} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + 50 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + a^{3} + 32 a^{2} + 44 a + 45 + \left(16 a^{13} + a^{12} + 20 a^{11} + 36 a^{10} + 23 a^{9} + 48 a^{8} + 31 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 53 + \left(13 a^{13} + 23 a^{12} + 50 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 35 a^{8} + 31 a^{7} + 33 a^{6} + 33 a^{5} + 7 a^{4} + 46 a^{3} + 36 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 53^{2} + \left(11 a^{13} + 23 a^{12} + 22 a^{11} + 28 a^{10} + a^{9} + 3 a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 38 a^{3} + 49 a^{2} + 10 a + 47\right)\cdot 53^{3} + \left(19 a^{13} + 14 a^{12} + 46 a^{11} + 38 a^{10} + 49 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 52 a^{3} + 16 a + 13\right)\cdot 53^{4} + \left(9 a^{13} + 52 a^{12} + 15 a^{11} + 6 a^{10} + 52 a^{9} + 51 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 36 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 53^{5} + \left(40 a^{13} + 43 a^{12} + 50 a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{9} + 37 a^{8} + 51 a^{7} + 37 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 45 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 53^{6} + \left(43 a^{13} + 21 a^{12} + 46 a^{11} + 50 a^{10} + 23 a^{9} + 47 a^{8} + 35 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 50 a^{4} + 39 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 53^{7} + \left(23 a^{13} + a^{12} + 42 a^{11} + 6 a^{10} + 32 a^{9} + 13 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 41 a^{5} + 8 a^{4} + 45 a^{3} + 51 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 53^{8} + \left(44 a^{13} + 43 a^{12} + 49 a^{11} + 33 a^{10} + 44 a^{9} + 50 a^{8} + 16 a^{7} + 52 a^{6} + 17 a^{5} + 36 a^{4} + 51 a^{3} + 41 a^{2} + 47 a + 37\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 12 a^{13} + 25 a^{12} + 50 a^{11} + 45 a^{10} + 38 a^{9} + 12 a^{8} + 31 a^{7} + 17 a^{6} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 40 a^{2} + 37 a + 48 + \left(21 a^{13} + 29 a^{12} + 37 a^{11} + 15 a^{10} + 31 a^{9} + 26 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + 35 a^{5} + 38 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 53 + \left(40 a^{13} + 29 a^{12} + 51 a^{11} + 47 a^{10} + 39 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{7} + 43 a^{6} + 29 a^{5} + 24 a^{4} + 27 a^{3} + 45 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 53^{2} + \left(48 a^{13} + 43 a^{12} + 48 a^{11} + 31 a^{10} + 32 a^{9} + 45 a^{8} + 20 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 53^{3} + \left(32 a^{13} + 8 a^{12} + 2 a^{11} + 46 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 40 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 52 a^{3} + 20 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 53^{4} + \left(11 a^{13} + 44 a^{12} + 33 a^{11} + 39 a^{10} + 37 a^{9} + 35 a^{8} + 51 a^{7} + 41 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 53^{5} + \left(3 a^{13} + 37 a^{12} + 32 a^{11} + 41 a^{10} + 12 a^{9} + 28 a^{8} + 33 a^{7} + 7 a^{6} + 45 a^{5} + 35 a^{4} + 2 a^{3} + 51 a^{2} + 51 a + 34\right)\cdot 53^{6} + \left(25 a^{13} + 13 a^{12} + 14 a^{11} + 33 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 30 a^{7} + 40 a^{6} + 36 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 33 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 53^{7} + \left(18 a^{13} + 11 a^{12} + 38 a^{11} + 38 a^{10} + 11 a^{9} + 29 a^{8} + 50 a^{7} + 20 a^{6} + 34 a^{5} + 16 a^{4} + 50 a^{3} + 36 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 53^{8} + \left(43 a^{13} + 39 a^{12} + 47 a^{11} + 44 a^{10} + 3 a^{9} + 34 a^{8} + 52 a^{7} + 49 a^{6} + 15 a^{5} + 32 a^{4} + 26 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 36 a^{13} + 44 a^{12} + 47 a^{11} + 43 a^{10} + 45 a^{9} + 12 a^{8} + 33 a^{7} + 8 a^{6} + 38 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 20 + \left(24 a^{13} + 30 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 47 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 51 a^{6} + 42 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 44\right)\cdot 53 + \left(49 a^{13} + 40 a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 36 a^{9} + 16 a^{8} + 30 a^{7} + 16 a^{6} + 33 a^{5} + 42 a^{4} + 25 a^{3} + 37 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 53^{2} + \left(27 a^{13} + 44 a^{12} + 30 a^{11} + 40 a^{10} + 33 a^{9} + 23 a^{8} + 49 a^{7} + 36 a^{6} + 48 a^{5} + 2 a^{4} + 37 a^{3} + 22 a^{2} + 50 a + 28\right)\cdot 53^{3} + \left(21 a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 5 a^{10} + 32 a^{9} + 37 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 46 a^{3} + 35 a^{2} + 30 a + 32\right)\cdot 53^{4} + \left(10 a^{13} + 4 a^{12} + 24 a^{11} + 17 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 36 a^{4} + 6 a^{3} + 38 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 53^{5} + \left(25 a^{13} + 11 a^{12} + 45 a^{11} + 22 a^{10} + a^{9} + 29 a^{8} + 43 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 41 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 53^{6} + \left(12 a^{13} + 46 a^{12} + 15 a^{11} + 39 a^{10} + 47 a^{9} + 40 a^{8} + 2 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 43 a^{4} + 31 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 53^{7} + \left(43 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 31 a^{10} + 24 a^{9} + 43 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 7 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 53^{8} + \left(29 a^{13} + 48 a^{12} + 37 a^{11} + 3 a^{10} + 46 a^{9} + 51 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 40 a^{5} + 23 a^{4} + 37 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 25 }$ $=$ \( 23 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 52 a^{8} + 2 a^{7} + 48 a^{6} + 45 a^{5} + 24 a^{4} + 9 a^{3} + 42 a^{2} + 31 a + 38 + \left(32 a^{13} + 28 a^{12} + 47 a^{11} + 52 a^{10} + 3 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{6} + 50 a^{5} + 19 a^{4} + 36 a^{3} + 39 a^{2} + 48 a + 12\right)\cdot 53 + \left(10 a^{13} + 16 a^{12} + 23 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + 22 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 52\right)\cdot 53^{2} + \left(15 a^{13} + 43 a^{12} + 25 a^{11} + 8 a^{10} + 6 a^{9} + 41 a^{8} + 35 a^{7} + 24 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 38 a^{2} + 48 a + 25\right)\cdot 53^{3} + \left(9 a^{13} + 18 a^{12} + 23 a^{11} + 21 a^{10} + 27 a^{9} + 39 a^{8} + 34 a^{7} + 30 a^{6} + 11 a^{5} + 44 a^{4} + 44 a^{3} + 43 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 53^{4} + \left(4 a^{13} + 22 a^{12} + 24 a^{11} + 45 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 38 a^{7} + 26 a^{6} + 32 a^{5} + 32 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 53^{5} + \left(5 a^{13} + 19 a^{12} + 52 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 28 a^{8} + 19 a^{7} + 39 a^{6} + 12 a^{5} + 51 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + a + 25\right)\cdot 53^{6} + \left(35 a^{13} + 39 a^{12} + 3 a^{11} + 3 a^{10} + 49 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 41 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 53^{7} + \left(23 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 27 a^{10} + 50 a^{9} + 25 a^{8} + 34 a^{7} + 5 a^{6} + 31 a^{5} + 39 a^{4} + 27 a^{3} + 47 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 53^{8} + \left(39 a^{13} + 10 a^{12} + 47 a^{11} + 39 a^{10} + 42 a^{9} + 26 a^{8} + 33 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 28 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 26 }$ $=$ \( 25 a^{13} + 33 a^{12} + 35 a^{11} + 12 a^{10} + 50 a^{9} + 43 a^{8} + 52 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 34 a^{2} + 47 a + 34 + \left(42 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 43 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 49 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 48 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 53 + \left(40 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 35 a^{10} + 42 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 42 a^{6} + 51 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 31 a + 51\right)\cdot 53^{2} + \left(10 a^{13} + 18 a^{12} + 31 a^{11} + 2 a^{10} + 33 a^{9} + 30 a^{8} + 50 a^{7} + 42 a^{6} + 22 a^{5} + 38 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 53^{3} + \left(2 a^{13} + 18 a^{12} + 16 a^{11} + 50 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 40 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 39 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 53^{4} + \left(36 a^{13} + 38 a^{12} + 50 a^{11} + 4 a^{10} + 17 a^{9} + 35 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 34 a^{4} + 44 a^{3} + 51 a^{2} + 49\right)\cdot 53^{5} + \left(25 a^{13} + 47 a^{12} + 30 a^{11} + 34 a^{10} + 43 a^{9} + 46 a^{8} + 31 a^{7} + 28 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 32 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 53^{6} + \left(2 a^{13} + 3 a^{12} + 30 a^{11} + 12 a^{10} + 30 a^{9} + 23 a^{8} + 41 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 38 a + 43\right)\cdot 53^{7} + \left(43 a^{13} + 49 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 18 a^{9} + 21 a^{8} + 41 a^{7} + 34 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 53^{8} + \left(49 a^{13} + 32 a^{12} + 13 a^{11} + 52 a^{10} + 41 a^{9} + 33 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 11 a^{5} + 27 a^{4} + 24 a^{2} + 19 a + 52\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 27 }$ $=$ \( 48 a^{13} + 29 a^{12} + 29 a^{11} + 35 a^{10} + 37 a^{9} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 50 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 40 a^{2} + 16 a + 23 + \left(7 a^{13} + 30 a^{12} + 8 a^{11} + 6 a^{10} + 21 a^{9} + 39 a^{8} + 50 a^{7} + 41 a^{6} + 22 a^{5} + a^{4} + 24 a^{3} + 29 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 53 + \left(20 a^{13} + 44 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 36 a^{9} + 42 a^{8} + 11 a^{7} + 42 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 25 a + 51\right)\cdot 53^{2} + \left(47 a^{13} + 6 a^{12} + 25 a^{11} + 19 a^{10} + 30 a^{9} + 28 a^{8} + 48 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + 38 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 45\right)\cdot 53^{3} + \left(32 a^{13} + 15 a^{12} + 3 a^{11} + 33 a^{10} + 30 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 17 a^{5} + 40 a^{4} + 34 a^{3} + 52 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 53^{4} + \left(51 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 47 a^{8} + 31 a^{7} + 10 a^{6} + 51 a^{4} + 37 a^{3} + 50 a^{2} + 52 a + 19\right)\cdot 53^{5} + \left(50 a^{13} + 28 a^{12} + 2 a^{11} + 49 a^{10} + 24 a^{9} + 48 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 49 a^{5} + 33 a^{4} + 39 a^{3} + 10 a^{2} + 50 a + 12\right)\cdot 53^{6} + \left(22 a^{13} + 40 a^{12} + 2 a^{11} + 35 a^{10} + 24 a^{9} + 48 a^{8} + 47 a^{7} + 39 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 39 a^{2} + 46 a + 6\right)\cdot 53^{7} + \left(34 a^{13} + 37 a^{12} + 36 a^{11} + 37 a^{10} + 20 a^{9} + 23 a^{7} + 35 a^{6} + 35 a^{5} + 14 a^{4} + 49 a^{3} + 4 a^{2} + 43 a + 12\right)\cdot 53^{8} + \left(9 a^{13} + 13 a^{12} + 34 a^{11} + 43 a^{10} + 12 a^{9} + 27 a^{8} + 44 a^{7} + 49 a^{6} + 21 a^{5} + 52 a^{3} + 44 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 28 }$ $=$ \( 43 a^{13} + 35 a^{12} + 26 a^{11} + 46 a^{10} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 16 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 39 a^{2} + 4 a + 12 + \left(25 a^{13} + 27 a^{12} + 41 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 46 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 26 a^{2} + 47 a + 43\right)\cdot 53 + \left(3 a^{13} + 8 a^{12} + 39 a^{11} + 8 a^{10} + 46 a^{9} + 38 a^{8} + 6 a^{7} + 47 a^{6} + 33 a^{5} + 13 a^{4} + 36 a^{3} + 33 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 53^{2} + \left(30 a^{13} + 9 a^{12} + 35 a^{11} + 12 a^{10} + 39 a^{9} + 52 a^{8} + 15 a^{7} + 43 a^{6} + 18 a^{5} + 43 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 53^{3} + \left(29 a^{13} + 24 a^{12} + 33 a^{11} + 47 a^{10} + 38 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 47 a^{5} + 37 a^{4} + 9 a^{3} + 47 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 53^{4} + \left(22 a^{13} + 32 a^{12} + 42 a^{11} + 46 a^{10} + 46 a^{9} + 18 a^{8} + 36 a^{7} + 32 a^{6} + 43 a^{5} + 39 a^{4} + 16 a^{3} + 47 a^{2} + 51 a + 38\right)\cdot 53^{5} + \left(18 a^{13} + 41 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 21 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + 46 a^{5} + 11 a^{4} + 35 a^{3} + a^{2} + a + 39\right)\cdot 53^{6} + \left(36 a^{13} + 14 a^{12} + 2 a^{11} + 32 a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 45 a^{3} + 52 a^{2} + 21 a + 34\right)\cdot 53^{7} + \left(37 a^{13} + 8 a^{11} + 51 a^{10} + 5 a^{9} + 24 a^{8} + 40 a^{7} + 9 a^{6} + 39 a^{5} + 47 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 53^{8} + \left(50 a^{13} + 9 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 19 a^{9} + 34 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 29 a^{4} + 44 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\)  Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 28 }$

Cycle notation
$(1,15)(2,16)(3,17)(4,18)(5,19)(6,20)(7,21)(8,22)(9,23)(10,24)(11,25)(12,26)(13,27)(14,28)$
$(1,21)(2,25)(3,26)(4,28)(5,22)(6,13)(7,15)(8,19)(9,10)(11,16)(12,17)(14,18)(20,27)(23,24)$
$(1,16,15,2)(3,9,17,23)(4,28,18,14)(5,20,19,6)(7,11,21,25)(8,27,22,13)(10,26,24,12)$
$(1,26)(2,24)(3,8)(4,19)(5,18)(6,14)(7,11)(9,13)(10,16)(12,15)(17,22)(20,28)(21,25)(23,27)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 28 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$1$$2$$(1,15)(2,16)(3,17)(4,18)(5,19)(6,20)(7,21)(8,22)(9,23)(10,24)(11,25)(12,26)(13,27)(14,28)$$-2$
$14$$2$$(1,21)(2,25)(3,26)(4,28)(5,22)(6,13)(7,15)(8,19)(9,10)(11,16)(12,17)(14,18)(20,27)(23,24)$$0$
$14$$2$$(1,25)(2,7)(3,24)(4,18)(5,13)(6,8)(9,26)(10,17)(11,15)(12,23)(16,21)(19,27)(20,22)$$0$
$2$$4$$(1,16,15,2)(3,9,17,23)(4,28,18,14)(5,20,19,6)(7,11,21,25)(8,27,22,13)(10,26,24,12)$$0$
$2$$7$$(1,3,19,28,27,24,25)(2,23,20,4,8,26,21)(5,14,13,10,11,15,17)(6,18,22,12,7,16,9)$$\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6} - \zeta_{28}^{4} - 1$
$2$$7$$(1,19,27,25,3,28,24)(2,20,8,21,23,4,26)(5,13,11,17,14,10,15)(6,22,7,9,18,12,16)$$-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{4}$
$2$$7$$(1,28,25,19,24,3,27)(2,4,21,20,26,23,8)(5,10,17,13,15,14,11)(6,12,9,22,16,18,7)$$\zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6}$
$2$$14$$(1,17,19,14,27,10,25,15,3,5,28,13,24,11)(2,9,20,18,8,12,21,16,23,6,4,22,26,7)$$-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6} + \zeta_{28}^{4} + 1$
$2$$14$$(1,14,25,5,24,17,27,15,28,11,19,10,3,13)(2,18,21,6,26,9,8,16,4,7,20,12,23,22)$$-\zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6}$
$2$$14$$(1,10,28,17,25,13,19,15,24,14,3,11,27,5)(2,12,4,9,21,22,20,16,26,18,23,7,8,6)$$\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{4}$
$2$$28$$(1,9,5,4,27,12,11,2,3,6,14,8,24,7,15,23,19,18,13,26,25,16,17,20,28,22,10,21)$$-\zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{5}$
$2$$28$$(1,4,11,6,24,23,13,16,28,21,5,12,3,8,15,18,25,20,10,9,27,2,14,7,19,26,17,22)$$\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{7} - \zeta_{28}^{5} + \zeta_{28}^{3} - 2 \zeta_{28}$
$2$$28$$(1,12,14,23,25,22,5,2,24,18,17,21,27,6,15,26,28,9,11,8,19,16,10,4,3,7,13,20)$$-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{3}$
$2$$28$$(1,6,13,21,3,18,10,2,19,22,11,23,28,12,15,20,27,7,17,4,24,16,5,8,25,9,14,26)$$\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{3}$
$2$$28$$(1,8,17,12,19,21,14,16,27,23,10,6,25,4,15,22,3,26,5,7,28,2,13,9,24,20,11,18)$$-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{7} + \zeta_{28}^{5} - \zeta_{28}^{3} + 2 \zeta_{28}$
$2$$28$$(1,7,10,8,28,6,17,2,25,12,13,4,19,9,15,21,24,22,14,20,3,16,11,26,27,18,5,23)$$\zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{5}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.