Basic invariants
Dimension: | $2$ |
Group: | 16T60 |
Conductor: | \(133\)\(\medspace = 7 \cdot 19 \) |
Artin stem field: | Galois closure of 16.0.97906861202319841.1 |
Galois orbit size: | $4$ |
Smallest permutation container: | 16T60 |
Parity: | odd |
Determinant: | 1.133.6t1.j.a |
Projective image: | $A_4$ |
Projective stem field: | Galois closure of 4.0.17689.1 |
Defining polynomial
$f(x)$ | $=$ | \( x^{16} - 3 x^{15} + 3 x^{14} - 3 x^{13} + 2 x^{12} - x^{11} + 13 x^{10} - 23 x^{9} + 19 x^{8} - 3 x^{7} + \cdots + 1 \) . |
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 9.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: \( x^{6} + 19x^{3} + 28x^{2} + 21x + 3 \)
Roots:
$r_{ 1 }$ | $=$ | \( 19 a^{5} + 41 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 24 a + 42 + \left(22 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 16 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 43^{4} + \left(12 a^{5} + 38 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 41 a + 41\right)\cdot 43^{5} + \left(20 a^{5} + 39 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 27 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{5} + 40 a^{4} + 11 a^{3} + 34 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 2 }$ | $=$ | \( 39 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 33 a + 24 + \left(20 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 43 + \left(8 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{5} + 27 a^{4} + 39 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(35 a^{5} + 19 a^{4} + 40 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 41 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(35 a^{5} + 37 a^{4} + 33 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 3 }$ | $=$ | \( 37 a^{5} + 33 a^{4} + 4 a^{3} + 32 a^{2} + 42 a + 4 + \left(41 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 43 + \left(24 a^{5} + 6 a^{4} + 42 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 33 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 43^{3} + \left(31 a^{5} + 4 a^{4} + a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{5} + 40 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{3} + 38 a^{2} + 4\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{5} + 16 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(35 a^{5} + 24 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 4 }$ | $=$ | \( 16 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 29 + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 43 + \left(4 a^{5} + 19 a^{4} + 31 a^{3} + a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 36 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{5} + 34 a^{4} + 33 a^{3} + 8 a + 15\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{5} + 8 a^{4} + 40 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(23 a^{5} + 26 a^{4} + 42 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 43^{7} + \left(21 a^{5} + 25 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 5 }$ | $=$ | \( 30 a^{5} + 2 a^{4} + 36 a^{3} + 35 a^{2} + 15 a + 8 + \left(22 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 33 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{5} + 5 a^{4} + 41 a^{3} + 7 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 43^{5} + \left(36 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{5} + 23 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a^{5} + 38 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 6 }$ | $=$ | \( 35 a^{5} + 26 a^{4} + 12 a^{3} + 30 a^{2} + 22 a + 36 + \left(29 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 43 + \left(31 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 43^{2} + \left(29 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 38 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 42 a^{2} + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{5} + 42 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(17 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{5} + 29 a^{4} + 41 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 41 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 7 }$ | $=$ | \( 14 a^{5} + 18 a^{4} + 35 a^{3} + 41 a^{2} + 13 a + 10 + \left(12 a^{5} + 19 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 43 + \left(14 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 33 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 41 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a^{5} + 10 a^{4} + 39 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 43^{5} + \left(37 a^{5} + 38 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{5} + 40 a^{4} + 29 a^{3} + 28 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 8 }$ | $=$ | \( 17 a^{5} + 5 a^{4} + 38 a^{3} + 19 a^{2} + 26 a + 39 + \left(42 a^{5} + 27 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 43 + \left(31 a^{5} + 32 a^{4} + 37 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{5} + 39 a^{4} + 36 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{5} + 12 a^{4} + 36 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{5} + 36 a^{4} + 26 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 38 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(38 a^{5} + 42 a^{4} + 32 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 9 }$ | $=$ | \( 24 a^{5} + 2 a^{4} + 41 a^{3} + 42 a^{2} + 19 a + 30 + \left(20 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 40 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 43 + \left(31 a^{5} + 26 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 33 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 43^{3} + \left(7 a^{5} + 34 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(30 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 24 a^{2} + a + 19\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{5} + 3 a^{4} + 33 a^{3} + 34 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 43^{6} + \left(8 a^{5} + 30 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 43^{7} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 10 }$ | $=$ | \( 26 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{2} + 34 a + 23 + \left(27 a^{5} + 30 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 43 + \left(19 a^{5} + 34 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a\right)\cdot 43^{2} + \left(6 a^{5} + 41 a^{4} + 24 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{5} + 35 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 31 a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{5} + 38 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 43^{5} + \left(32 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 43^{6} + \left(19 a^{5} + 41 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a^{5} + 35 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 11 }$ | $=$ | \( 42 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 34 a + 40 + \left(17 a^{5} + 23 a^{4} + 37 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 43 + \left(35 a^{5} + 14 a^{4} + 33 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(30 a^{5} + 38 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(23 a^{5} + 16 a^{4} + 38 a^{3} + 3 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(40 a^{5} + 26 a^{4} + 42 a^{3} + 33 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{5} + 33 a^{4} + 27 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{5} + 33 a^{4} + 21 a^{3} + 35 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 12 }$ | $=$ | \( 12 a^{5} + 34 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 7 + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 43 + \left(36 a^{5} + 41 a^{4} + 2 a^{3} + 35 a^{2} + 32 a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{5} + 30 a^{4} + 40 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(34 a^{5} + 40 a^{4} + 39 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 43^{4} + \left(7 a^{5} + 4 a^{4} + 39 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 43^{5} + \left(2 a^{5} + 24 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(36 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(42 a^{5} + 15 a^{4} + 41 a^{3} + a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 13 }$ | $=$ | \( a^{5} + 34 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 39 a + 28 + \left(18 a^{5} + 42 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43 + \left(3 a^{5} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{5} + 33 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{5} + 40 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 43^{4} + \left(10 a^{5} + 31 a^{4} + 36 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(31 a^{5} + 36 a^{4} + 25 a^{3} + 19 a^{2} + 14\right)\cdot 43^{6} + \left(16 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + 31 a^{2} + 20 a + 37\right)\cdot 43^{7} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 34 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 14 }$ | $=$ | \( 25 a^{5} + 37 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 13 a + 2 + \left(21 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 43 + \left(20 a^{5} + 23 a^{4} + 36 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(21 a^{5} + 39 a^{4} + 37 a^{3} + a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{5} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 43^{5} + \left(6 a^{5} + 9 a^{4} + 36 a^{3} + 20 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 43^{6} + \left(27 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 43^{7} + \left(13 a^{5} + 38 a^{4} + 38 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 36\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 15 }$ | $=$ | \( 24 a^{5} + 12 a^{4} + 34 a^{3} + 27 a + 42 + \left(24 a^{5} + 16 a^{4} + 25 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43 + \left(35 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{5} + 26 a^{4} + 38 a^{3} + 39 a^{2} + 41 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(41 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 43^{7} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 29 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
$r_{ 16 }$ | $=$ | \( 26 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 24 a^{2} + 17 a + 26 + \left(15 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 43 + \left(11 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{4} + 6 a^{3} + 39 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a^{5} + 11 a^{4} + 42 a^{3} + 25 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 43^{7} + \left(4 a^{5} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 43^{8} +O(43^{9})\) |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$
Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 16 }$ | Character value |
$1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
$1$ | $2$ | $(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$ | $-2$ |
$6$ | $2$ | $(1,3)(2,5)(4,15)(6,16)(7,12)(8,14)(9,11)(10,13)$ | $0$ |
$4$ | $3$ | $(1,15,6)(2,3,8)(7,14,9)(10,11,16)$ | $-\zeta_{12}^{2} + 1$ |
$4$ | $3$ | $(1,6,15)(2,8,3)(7,9,14)(10,16,11)$ | $\zeta_{12}^{2}$ |
$1$ | $4$ | $(1,8,9,16)(2,7,10,15)(3,14,11,6)(4,5,12,13)$ | $2 \zeta_{12}^{3}$ |
$1$ | $4$ | $(1,16,9,8)(2,15,10,7)(3,6,11,14)(4,13,12,5)$ | $-2 \zeta_{12}^{3}$ |
$6$ | $4$ | $(1,6,9,14)(2,4,10,12)(3,16,11,8)(5,15,13,7)$ | $0$ |
$4$ | $6$ | $(1,14,15,9,6,7)(2,16,3,10,8,11)(4,12)(5,13)$ | $-\zeta_{12}^{2}$ |
$4$ | $6$ | $(1,7,6,9,15,14)(2,11,8,10,3,16)(4,12)(5,13)$ | $\zeta_{12}^{2} - 1$ |
$4$ | $12$ | $(1,2,14,16,15,3,9,10,6,8,7,11)(4,5,12,13)$ | $\zeta_{12}$ |
$4$ | $12$ | $(1,3,7,16,6,2,9,11,15,8,14,10)(4,5,12,13)$ | $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ |
$4$ | $12$ | $(1,10,14,8,15,11,9,2,6,16,7,3)(4,13,12,5)$ | $-\zeta_{12}$ |
$4$ | $12$ | $(1,11,7,8,6,10,9,3,15,16,14,2)(4,13,12,5)$ | $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.