Properties

Label 2.13100.30t14.a.c
Dimension $2$
Group $D_{30}$
Conductor $13100$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension: $2$
Group: $D_{30}$
Conductor: \(13100\)\(\medspace = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 131 \)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: 30.2.14026461290181639205847118647072000000000000000.1
Galois orbit size: $4$
Smallest permutation container: $D_{30}$
Parity: odd
Determinant: 1.131.2t1.a.a
Projective image: $D_{15}$
Projective stem field: 15.1.677952124826430464.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$\(x^{30} - x^{29} + 11 x^{28} + 4 x^{27} + 44 x^{26} - 6 x^{25} - 74 x^{24} - 446 x^{23} - 1543 x^{22} + 183 x^{21} - 1721 x^{20} + 7116 x^{19} + 11884 x^{18} - 3168 x^{17} + 7664 x^{16} - 18756 x^{15} + 17109 x^{14} - 3363 x^{13} - 2431 x^{12} + 11594 x^{11} - 15080 x^{10} + 6868 x^{9} + 3884 x^{8} - 3768 x^{7} + 2512 x^{6} - 1864 x^{5} - 1696 x^{4} + 656 x^{3} + 448 x^{2} + 16 x - 16\)  Toggle raw display.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 41 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 41 }$: \(x^{15} + 29 x^{6} + 16 x^{5} + 2 x^{4} + 35 x^{3} + 10 x^{2} + 21 x + 35\)  Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 33 a^{13} + 37 a^{12} + 16 a^{11} + 30 a^{10} + 23 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 39 a^{6} + 38 a^{5} + 37 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 18 + \left(23 a^{14} + 18 a^{13} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 4 a^{9} + 20 a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 41 + \left(21 a^{14} + 39 a^{13} + 15 a^{12} + 8 a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 21 a^{6} + 34 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 41^{2} + \left(8 a^{14} + 15 a^{13} + 28 a^{12} + 34 a^{11} + 4 a^{10} + a^{9} + 31 a^{8} + 38 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 36 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 41^{3} + \left(12 a^{14} + 5 a^{13} + 8 a^{12} + 25 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 39 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 32 a^{4} + 34 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 41^{4} + \left(30 a^{14} + 32 a^{13} + 36 a^{12} + 10 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 38 a^{8} + 30 a^{7} + 38 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 41^{5} + \left(35 a^{14} + 4 a^{13} + 35 a^{12} + 10 a^{11} + 17 a^{10} + 19 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 24 a^{2} + 19 a + 33\right)\cdot 41^{6} + \left(29 a^{14} + 8 a^{13} + a^{12} + 5 a^{11} + 32 a^{9} + 35 a^{8} + 6 a^{7} + 34 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 41^{7} + \left(23 a^{14} + 33 a^{13} + 15 a^{12} + 32 a^{11} + 32 a^{10} + 7 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 25 a^{6} + 33 a^{5} + 33 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 41^{8} + \left(21 a^{14} + 15 a^{13} + 23 a^{12} + 2 a^{11} + 30 a^{10} + 22 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 40 a^{4} + 15 a^{3} + 29 a^{2} + 39 a + 37\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 40 a^{14} + 11 a^{13} + 34 a^{12} + 12 a^{11} + 34 a^{10} + 5 a^{9} + 32 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 14 + \left(15 a^{14} + 18 a^{12} + 33 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 41 + \left(36 a^{14} + 9 a^{13} + 36 a^{12} + 24 a^{11} + 40 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 2 a^{7} + 33 a^{6} + 24 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 32 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{14} + 19 a^{13} + 33 a^{12} + 3 a^{11} + 29 a^{10} + 12 a^{9} + 36 a^{8} + 25 a^{7} + 38 a^{6} + 34 a^{5} + 39 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 41^{3} + \left(5 a^{14} + 10 a^{13} + 9 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 31 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 41^{4} + \left(35 a^{14} + 37 a^{13} + 3 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 10 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 37 a^{5} + 34 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 41^{5} + \left(8 a^{14} + 5 a^{13} + 6 a^{12} + 15 a^{11} + 20 a^{10} + 3 a^{9} + 20 a^{8} + 26 a^{7} + 29 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 33 a^{2} + 40 a + 19\right)\cdot 41^{6} + \left(10 a^{14} + 28 a^{13} + 9 a^{12} + 33 a^{11} + 14 a^{10} + 27 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 26 a^{3} + 22 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 41^{7} + \left(12 a^{14} + 3 a^{13} + 14 a^{12} + 23 a^{11} + 38 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 41^{8} + \left(37 a^{14} + 4 a^{13} + 18 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{6} + a^{5} + 40 a^{4} + 2 a^{3} + 40 a^{2} + 35 a + 9\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 37 a^{14} + 8 a^{13} + 36 a^{12} + 11 a^{11} + 22 a^{10} + 4 a^{9} + 39 a^{8} + 37 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 37 + \left(5 a^{14} + 31 a^{13} + 33 a^{12} + 5 a^{11} + 33 a^{10} + 28 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 33 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 41 + \left(24 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 31 a^{10} + 17 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 37 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 36 a^{2} + 24\right)\cdot 41^{2} + \left(35 a^{13} + 7 a^{12} + 33 a^{11} + 29 a^{10} + 35 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 40 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 31 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 41^{3} + \left(26 a^{14} + a^{13} + 18 a^{12} + 24 a^{11} + 28 a^{10} + 10 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 13 a^{4} + 35 a^{3} + 37 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 41^{4} + \left(28 a^{14} + 11 a^{13} + 28 a^{12} + 3 a^{11} + 13 a^{10} + 30 a^{9} + 7 a^{7} + 39 a^{6} + 20 a^{5} + 31 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 41^{5} + \left(40 a^{14} + 12 a^{13} + 23 a^{12} + 16 a^{11} + 38 a^{10} + 35 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 28 a^{6} + 31 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 31 a + 27\right)\cdot 41^{6} + \left(11 a^{14} + 8 a^{13} + 2 a^{12} + 22 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 34 a^{7} + 19 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 37 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 41^{7} + \left(2 a^{14} + 14 a^{13} + 12 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 37 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 20 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 32 a^{3} + 33 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 41^{8} + \left(22 a^{14} + 17 a^{13} + 36 a^{12} + 22 a^{11} + 16 a^{10} + 17 a^{9} + 34 a^{8} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 32 a^{14} + 9 a^{13} + 35 a^{12} + 18 a^{11} + 36 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 40 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 5 + \left(9 a^{14} + 8 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 34 a^{9} + 32 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 4 a^{5} + 32 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 41 + \left(36 a^{14} + 21 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 15 a^{10} + 39 a^{9} + 22 a^{8} + 35 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 41^{2} + \left(16 a^{14} + 28 a^{13} + 24 a^{12} + 14 a^{11} + 22 a^{10} + 31 a^{9} + 29 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 36 a^{3} + 2 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 41^{3} + \left(6 a^{14} + 13 a^{13} + 31 a^{12} + 11 a^{11} + 19 a^{10} + 25 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + 40 a^{6} + 22 a^{5} + 12 a^{4} + 35 a^{3} + 29 a^{2} + 2\right)\cdot 41^{4} + \left(12 a^{14} + 2 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 25 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 34\right)\cdot 41^{5} + \left(22 a^{14} + 7 a^{13} + 18 a^{12} + 7 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 32 a^{5} + 12 a^{4} + 38 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 41^{6} + \left(18 a^{13} + 29 a^{12} + 35 a^{11} + 36 a^{10} + 29 a^{9} + 6 a^{8} + 14 a^{7} + 31 a^{6} + 3 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 41^{7} + \left(15 a^{14} + 24 a^{13} + 29 a^{12} + a^{11} + 36 a^{10} + 22 a^{9} + 12 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 25 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 41^{8} + \left(13 a^{14} + 18 a^{13} + 4 a^{12} + 24 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 40\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 8 a^{13} + 30 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 19 a^{8} + 21 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 34 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 17 + \left(13 a^{14} + 27 a^{13} + 19 a^{12} + 34 a^{11} + 24 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 41 + \left(11 a^{14} + 35 a^{13} + 10 a^{12} + 40 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 2 a^{8} + 17 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 35 a^{4} + 27 a^{3} + 32 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 41^{2} + \left(20 a^{14} + 14 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 32 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 37 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 41^{3} + \left(23 a^{14} + 33 a^{13} + 31 a^{12} + 35 a^{11} + 38 a^{10} + 40 a^{9} + 39 a^{8} + 39 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 41^{4} + \left(39 a^{14} + 13 a^{13} + 27 a^{12} + 14 a^{11} + 37 a^{10} + 7 a^{9} + 3 a^{8} + 36 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 24 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 41^{5} + \left(11 a^{14} + 28 a^{13} + 26 a^{12} + 13 a^{11} + 24 a^{10} + 15 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 39 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 2\right)\cdot 41^{6} + \left(34 a^{14} + 29 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 27 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 41^{7} + \left(18 a^{14} + 14 a^{13} + 27 a^{12} + 6 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 11 a^{8} + 33 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 27\right)\cdot 41^{8} + \left(28 a^{14} + 11 a^{13} + 35 a^{12} + 29 a^{11} + 33 a^{10} + 2 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 32 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 26 a^{13} + 6 a^{12} + 29 a^{11} + 26 a^{10} + 32 a^{9} + 20 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 35 + \left(31 a^{14} + 9 a^{13} + 15 a^{12} + 27 a^{11} + 40 a^{10} + 32 a^{9} + 15 a^{8} + 32 a^{7} + 28 a^{6} + 35 a^{5} + 32 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + a + 31\right)\cdot 41 + \left(40 a^{14} + 37 a^{13} + 11 a^{12} + 3 a^{11} + 39 a^{10} + 11 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 36 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 41^{2} + \left(26 a^{14} + 17 a^{13} + 35 a^{12} + 7 a^{11} + 19 a^{10} + 21 a^{9} + 22 a^{8} + 29 a^{7} + 24 a^{6} + 19 a^{5} + 37 a^{4} + 35 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 41^{3} + \left(22 a^{14} + 36 a^{13} + 28 a^{12} + 27 a^{11} + 7 a^{10} + 24 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 4 a^{3} + 35 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 41^{4} + \left(34 a^{14} + 39 a^{13} + 39 a^{12} + 40 a^{11} + 31 a^{10} + 2 a^{9} + 13 a^{8} + 27 a^{7} + 4 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 2 a^{3} + 34 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 41^{5} + \left(34 a^{14} + 34 a^{13} + 2 a^{12} + 37 a^{11} + 39 a^{10} + 28 a^{9} + 33 a^{8} + 37 a^{7} + 27 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 16 a^{3} + 40 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 41^{6} + \left(7 a^{14} + 16 a^{13} + 36 a^{12} + 13 a^{11} + 32 a^{10} + 29 a^{9} + 10 a^{8} + 30 a^{7} + 23 a^{6} + 38 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 41^{7} + \left(18 a^{14} + 38 a^{13} + 24 a^{12} + 13 a^{11} + 14 a^{10} + 9 a^{9} + 35 a^{8} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 41^{8} + \left(20 a^{14} + 24 a^{13} + 39 a^{12} + a^{11} + 8 a^{10} + 36 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 39 a^{5} + 17 a^{4} + 39 a^{3} + 28 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 17 a^{14} + 23 a^{12} + 13 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + a + 6 + \left(28 a^{14} + 28 a^{13} + 33 a^{12} + 32 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 25 a^{8} + 39 a^{6} + 10 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 41 + \left(23 a^{14} + 19 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 41^{2} + \left(29 a^{13} + 23 a^{12} + 7 a^{11} + 9 a^{10} + 37 a^{9} + 9 a^{8} + 29 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 41^{3} + \left(29 a^{14} + 26 a^{13} + 13 a^{12} + 36 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 35 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 19 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 41^{4} + \left(16 a^{14} + 34 a^{13} + 12 a^{11} + 4 a^{10} + 22 a^{9} + 6 a^{8} + 40 a^{7} + 18 a^{6} + 30 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 33 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 41^{5} + \left(8 a^{14} + 14 a^{13} + 5 a^{12} + 4 a^{11} + 23 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{8} + 33 a^{7} + 16 a^{6} + 32 a^{5} + 36 a^{4} + 40 a^{3} + 27 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 41^{6} + \left(10 a^{14} + 10 a^{13} + 27 a^{12} + 5 a^{11} + 40 a^{10} + 33 a^{9} + 30 a^{8} + 33 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 27 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 36 a + 6\right)\cdot 41^{7} + \left(29 a^{14} + 30 a^{13} + 26 a^{12} + 25 a^{11} + 34 a^{10} + 6 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 25 a^{6} + 34 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 37 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 41^{8} + \left(39 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + 17 a^{11} + 35 a^{10} + 9 a^{9} + 26 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 27 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 31 a^{14} + 5 a^{13} + 22 a^{11} + 17 a^{10} + 40 a^{9} + 11 a^{8} + 33 a^{7} + 16 a^{6} + 40 a^{5} + 9 a^{4} + 29 a^{3} + 23 a^{2} + 12 a + 24 + \left(34 a^{14} + 4 a^{13} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 35 a^{9} + 35 a^{8} + 2 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 41 + \left(38 a^{14} + 32 a^{13} + 34 a^{12} + 15 a^{11} + a^{10} + 7 a^{9} + 28 a^{8} + 28 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 41^{2} + \left(35 a^{14} + 19 a^{13} + 36 a^{12} + 26 a^{11} + 5 a^{10} + 19 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 38 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 41^{3} + \left(21 a^{14} + 9 a^{13} + 9 a^{12} + 13 a^{11} + 23 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 15 a^{5} + 34 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 41^{4} + \left(26 a^{14} + 37 a^{13} + 28 a^{12} + 38 a^{11} + 19 a^{10} + 32 a^{9} + 33 a^{8} + 22 a^{7} + 36 a^{6} + 31 a^{5} + 9 a^{4} + 33 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 41^{5} + \left(30 a^{14} + 8 a^{13} + 39 a^{12} + 37 a^{11} + 9 a^{10} + 15 a^{9} + 20 a^{8} + 26 a^{7} + 39 a^{6} + 36 a^{5} + 17 a^{4} + 29 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 41^{6} + \left(31 a^{14} + 32 a^{13} + 29 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 14 a^{9} + 26 a^{8} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 39 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 41^{7} + \left(19 a^{14} + 34 a^{13} + 27 a^{12} + 36 a^{11} + 16 a^{10} + 28 a^{9} + 38 a^{8} + 19 a^{7} + 33 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 32 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 41^{8} + \left(39 a^{14} + 38 a^{13} + 9 a^{12} + 34 a^{11} + 34 a^{10} + 20 a^{9} + 6 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 37 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 25 a^{14} + 7 a^{12} + a^{11} + 20 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 20 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 35 a^{2} + 8 a + 15 + \left(22 a^{14} + 9 a^{13} + 32 a^{12} + 14 a^{11} + 16 a^{10} + 25 a^{9} + 2 a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 40 a^{5} + 36 a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 41 + \left(16 a^{14} + 15 a^{13} + 30 a^{12} + 26 a^{11} + 15 a^{10} + 26 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 41^{2} + \left(32 a^{13} + a^{12} + 23 a^{11} + 37 a^{10} + 2 a^{9} + 23 a^{8} + 12 a^{7} + 40 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 39 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 41^{3} + \left(7 a^{14} + 18 a^{13} + 35 a^{12} + 9 a^{11} + 39 a^{10} + 21 a^{9} + 33 a^{8} + 31 a^{7} + 15 a^{6} + 37 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 41^{4} + \left(18 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 13 a^{11} + 6 a^{10} + 35 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 39 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 41^{5} + \left(25 a^{14} + 3 a^{13} + 37 a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 37 a^{9} + a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 41^{6} + \left(11 a^{14} + 38 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{11} + 16 a^{10} + 3 a^{9} + 37 a^{8} + 16 a^{7} + 33 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 35 a^{3} + 24 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 41^{7} + \left(39 a^{14} + 16 a^{13} + 6 a^{12} + 3 a^{11} + 31 a^{10} + 31 a^{9} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 39 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 41^{8} + \left(29 a^{14} + 7 a^{13} + 20 a^{12} + 37 a^{11} + 23 a^{10} + 5 a^{9} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 37 a^{4} + 34 a^{3} + 16 a^{2} + 39 a + 3\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 21 a^{14} + 8 a^{13} + 7 a^{12} + 26 a^{11} + 37 a^{10} + 18 a^{9} + 20 a^{8} + 32 a^{7} + 15 a^{6} + 33 a^{5} + 39 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + a + 13 + \left(7 a^{14} + 34 a^{13} + 9 a^{12} + 37 a^{11} + 35 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 36 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 35 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 41 + \left(36 a^{14} + 36 a^{13} + 21 a^{12} + 16 a^{11} + 32 a^{10} + 20 a^{9} + 8 a^{8} + 38 a^{7} + 39 a^{6} + 21 a^{5} + 32 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 41^{2} + \left(30 a^{14} + 3 a^{13} + 37 a^{12} + 24 a^{11} + 40 a^{10} + 12 a^{9} + 34 a^{8} + 30 a^{7} + 40 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 26 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{14} + 7 a^{13} + 26 a^{12} + 26 a^{11} + 32 a^{10} + 36 a^{9} + 24 a^{8} + 39 a^{7} + 38 a^{6} + 26 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 41^{4} + \left(35 a^{14} + 20 a^{13} + 29 a^{12} + 25 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 33 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 41^{5} + \left(33 a^{14} + 16 a^{13} + 11 a^{12} + 17 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 31 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 41^{6} + \left(17 a^{14} + 6 a^{13} + 25 a^{12} + 4 a^{11} + 19 a^{10} + 37 a^{9} + 8 a^{8} + 38 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 41^{7} + \left(9 a^{14} + 22 a^{13} + 36 a^{12} + 20 a^{11} + 22 a^{10} + 15 a^{9} + 40 a^{8} + 7 a^{7} + 35 a^{6} + 33 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 41^{8} + \left(a^{14} + 18 a^{13} + 22 a^{12} + 26 a^{11} + 24 a^{10} + a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 37 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 10 a^{14} + 16 a^{13} + 15 a^{12} + 39 a^{11} + 20 a^{10} + 32 a^{9} + 38 a^{8} + 3 a^{7} + 29 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 19 + \left(39 a^{14} + 3 a^{13} + 20 a^{12} + 2 a^{11} + 32 a^{10} + 40 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 9 a^{6} + 20 a^{5} + 28 a^{4} + 20 a^{3} + 37 a^{2} + a + 14\right)\cdot 41 + \left(14 a^{14} + 26 a^{13} + 37 a^{12} + 28 a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 39 a^{4} + 19 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{14} + 27 a^{13} + 15 a^{12} + 10 a^{11} + 30 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 15 a^{7} + 29 a^{6} + 9 a^{5} + 31 a^{4} + 12 a^{3} + 38 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 41^{3} + \left(12 a^{14} + 30 a^{13} + 16 a^{12} + 9 a^{11} + 24 a^{10} + 16 a^{9} + 35 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 41^{4} + \left(30 a^{14} + 3 a^{13} + 23 a^{12} + 21 a^{10} + 25 a^{9} + 29 a^{8} + 16 a^{7} + 33 a^{6} + 23 a^{5} + 16 a^{4} + 31 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 41^{5} + \left(15 a^{13} + 35 a^{12} + 32 a^{11} + 38 a^{10} + 19 a^{9} + 39 a^{8} + 38 a^{7} + 15 a^{6} + 34 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 41^{6} + \left(17 a^{14} + 14 a^{13} + 7 a^{12} + 15 a^{11} + 30 a^{10} + 28 a^{9} + 16 a^{8} + 32 a^{7} + 32 a^{6} + 31 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 41^{7} + \left(24 a^{14} + 14 a^{13} + 22 a^{12} + 26 a^{11} + 5 a^{10} + 32 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 33 a^{4} + 39 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 41^{8} + \left(34 a^{14} + 17 a^{13} + 32 a^{12} + 28 a^{11} + 24 a^{10} + 16 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{6} + 39 a^{5} + 19 a^{4} + 32 a^{3} + 38 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( 4 a^{14} + 30 a^{13} + 27 a^{12} + 19 a^{11} + 27 a^{10} + 38 a^{9} + 39 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 38 a^{3} + 25 a^{2} + 28 a + 11 + \left(9 a^{14} + 2 a^{13} + 23 a^{12} + 27 a^{11} + 33 a^{10} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 40 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 41 + \left(15 a^{14} + 36 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 31 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 4 a^{6} + 37 a^{5} + a^{4} + 34 a^{3} + 40 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 41^{2} + \left(10 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 18 a^{11} + 12 a^{10} + 34 a^{9} + 23 a^{8} + 2 a^{7} + 34 a^{6} + 21 a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + a^{2} + 14 a + 33\right)\cdot 41^{3} + \left(26 a^{14} + 35 a^{13} + 19 a^{12} + 4 a^{11} + 18 a^{10} + 39 a^{9} + 5 a^{8} + 33 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 35 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 41^{4} + \left(23 a^{14} + 36 a^{13} + 24 a^{12} + 22 a^{11} + 35 a^{10} + 35 a^{9} + 16 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 38 a^{5} + 24 a^{4} + 30 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 41^{5} + \left(4 a^{14} + 9 a^{13} + 17 a^{12} + 31 a^{11} + 11 a^{10} + 34 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 31 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 41^{6} + \left(16 a^{14} + 18 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 8 a^{6} + 33 a^{5} + 39 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 41^{7} + \left(14 a^{14} + 11 a^{13} + 33 a^{12} + 24 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 30 a^{6} + 32 a^{5} + 8 a^{4} + 35 a^{3} + 27 a^{2} + 34 a + 36\right)\cdot 41^{8} + \left(28 a^{14} + 37 a^{13} + 7 a^{12} + 7 a^{11} + 29 a^{10} + 11 a^{9} + 35 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + 35 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 7 a^{14} + 30 a^{13} + 15 a^{12} + 27 a^{11} + 4 a^{10} + 33 a^{9} + 33 a^{8} + 23 a^{7} + 36 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 20 + \left(39 a^{14} + 9 a^{13} + 21 a^{12} + 31 a^{11} + 6 a^{10} + 13 a^{9} + 26 a^{8} + 8 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 30 a^{2} + 31 a + 40\right)\cdot 41 + \left(25 a^{14} + 16 a^{13} + 18 a^{12} + 4 a^{11} + 38 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{6} + a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 41^{2} + \left(30 a^{14} + 24 a^{13} + 31 a^{12} + 26 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 27 a^{8} + 39 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 30 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 41^{3} + \left(15 a^{14} + 21 a^{13} + 30 a^{12} + 15 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{8} + 39 a^{7} + 7 a^{6} + 37 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 41^{4} + \left(20 a^{14} + 38 a^{13} + 31 a^{12} + 33 a^{11} + 32 a^{10} + 39 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 36 a^{6} + 18 a^{5} + 31 a^{4} + 9 a^{3} + 24 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 41^{5} + \left(25 a^{14} + 37 a^{13} + 3 a^{12} + 19 a^{11} + 30 a^{10} + 9 a^{9} + 25 a^{8} + 34 a^{7} + 17 a^{6} + 34 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 41^{6} + \left(19 a^{14} + 8 a^{13} + 5 a^{12} + 9 a^{11} + 21 a^{10} + 34 a^{9} + 38 a^{8} + 37 a^{7} + 40 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 37 a + 21\right)\cdot 41^{7} + \left(22 a^{14} + 39 a^{13} + 7 a^{12} + 33 a^{11} + 9 a^{10} + 37 a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 37 a^{6} + 40 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{3} + 34 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 41^{8} + \left(27 a^{14} + 6 a^{13} + 8 a^{12} + 15 a^{11} + 38 a^{10} + 26 a^{9} + 34 a^{8} + 5 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 9 a^{14} + 22 a^{13} + 28 a^{12} + 28 a^{11} + 22 a^{10} + 18 a^{9} + 33 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 25 a^{5} + 38 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 5 a + 34 + \left(30 a^{14} + 17 a^{13} + 13 a^{12} + 4 a^{11} + 4 a^{10} + 37 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 12 a^{6} + 31 a^{5} + 38 a^{4} + 12 a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 36\right)\cdot 41 + \left(a^{14} + 34 a^{13} + 21 a^{12} + 37 a^{11} + 20 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 41^{2} + \left(3 a^{14} + 27 a^{13} + 13 a^{12} + 4 a^{11} + 34 a^{10} + 25 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 40 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 41^{3} + \left(24 a^{14} + 23 a^{13} + 33 a^{12} + 32 a^{11} + 16 a^{10} + 12 a^{9} + 34 a^{8} + 19 a^{7} + 40 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 41^{4} + \left(21 a^{14} + 37 a^{13} + 20 a^{12} + 31 a^{11} + 38 a^{10} + 23 a^{9} + 38 a^{8} + 7 a^{7} + 29 a^{6} + 34 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 41^{5} + \left(33 a^{14} + 10 a^{13} + 12 a^{12} + 36 a^{11} + 31 a^{10} + 12 a^{9} + 19 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 41^{6} + \left(5 a^{14} + 9 a^{13} + 37 a^{12} + 27 a^{11} + 23 a^{10} + 24 a^{9} + 31 a^{8} + 34 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 41^{7} + \left(16 a^{14} + 6 a^{13} + 3 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 35 a^{9} + 38 a^{8} + 18 a^{7} + 26 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 39 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 41^{8} + \left(38 a^{14} + 4 a^{13} + 28 a^{12} + 16 a^{11} + 39 a^{10} + 32 a^{9} + 21 a^{8} + 39 a^{7} + 27 a^{6} + 35 a^{5} + 32 a^{4} + 40 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 9\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 40 a^{14} + 26 a^{13} + 7 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 30 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 27 a^{3} + 39 a^{2} + 5 a + 24 + \left(36 a^{14} + 11 a^{13} + 37 a^{12} + 9 a^{11} + 25 a^{10} + 6 a^{9} + 40 a^{8} + 36 a^{7} + 17 a^{6} + 39 a^{5} + 32 a^{4} + 31 a^{3} + 31 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 41 + \left(30 a^{14} + 15 a^{12} + 27 a^{11} + 24 a^{10} + 20 a^{9} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + 40 a^{6} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 41^{2} + \left(12 a^{14} + 24 a^{13} + 13 a^{12} + 19 a^{11} + 14 a^{10} + 37 a^{9} + 32 a^{8} + 37 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 38 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a\right)\cdot 41^{3} + \left(17 a^{14} + 30 a^{13} + 31 a^{11} + 33 a^{10} + 8 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 31 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 39 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 41^{4} + \left(39 a^{14} + 9 a^{13} + 30 a^{12} + 34 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 39 a^{8} + 7 a^{7} + 36 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 22 a^{3} + 33 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 41^{5} + \left(18 a^{14} + 2 a^{13} + 4 a^{12} + 38 a^{11} + 39 a^{10} + 40 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 38 a^{6} + 19 a^{5} + 31 a^{4} + 5 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 41^{6} + \left(39 a^{14} + 22 a^{13} + 37 a^{12} + 2 a^{11} + 34 a^{10} + 15 a^{9} + 40 a^{8} + 37 a^{7} + 28 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 35 a^{2} + 4 a + 28\right)\cdot 41^{7} + \left(26 a^{14} + 27 a^{13} + 25 a^{12} + 4 a^{11} + 38 a^{10} + 19 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 34 a^{6} + 33 a^{5} + 22 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 9 a\right)\cdot 41^{8} + \left(24 a^{14} + 5 a^{13} + 32 a^{12} + 38 a^{11} + 32 a^{10} + 30 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + 36 a^{6} + 36 a^{5} + 34 a^{4} + 35 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 23 a^{13} + 32 a^{12} + 36 a^{11} + 6 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 16 a^{6} + 24 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 34 a^{2} + 12 a + 20 + \left(21 a^{14} + 25 a^{13} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 31 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 26 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 41 + \left(18 a^{14} + 37 a^{13} + a^{12} + 21 a^{11} + 40 a^{10} + 29 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + 35 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 41^{2} + \left(4 a^{14} + 38 a^{13} + 8 a^{12} + 36 a^{11} + 39 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 34 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 26 a^{4} + 32 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 41^{3} + \left(18 a^{14} + 39 a^{13} + 3 a^{12} + 13 a^{10} + 25 a^{9} + 5 a^{8} + 2 a^{7} + 36 a^{6} + 38 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 40 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 41^{4} + \left(25 a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 13 a^{11} + 31 a^{10} + 39 a^{9} + 40 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 36 a^{2} + 28 a\right)\cdot 41^{5} + \left(39 a^{14} + 6 a^{13} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 37 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 32 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 41^{6} + \left(21 a^{14} + 13 a^{13} + 39 a^{12} + 13 a^{11} + 4 a^{10} + 24 a^{9} + 29 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 28 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 41^{7} + \left(29 a^{14} + 22 a^{13} + 13 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 4 a^{9} + 13 a^{8} + 29 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 41^{8} + \left(32 a^{14} + 40 a^{13} + 39 a^{12} + 18 a^{11} + 16 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 35 a^{3} + 8 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 32 a^{14} + 18 a^{13} + 40 a^{12} + 35 a^{11} + 29 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 32 a^{7} + 9 a^{6} + 33 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 38 a^{2} + 36 a + 32 + \left(40 a^{14} + 25 a^{13} + 2 a^{12} + 2 a^{11} + 26 a^{10} + 15 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 36 a^{5} + 16 a^{4} + 39 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 41 + \left(26 a^{14} + 29 a^{13} + 21 a^{12} + 15 a^{11} + 24 a^{10} + 25 a^{9} + 25 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 39 a^{5} + 22 a^{4} + 32 a^{3} + 15 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 41^{2} + \left(6 a^{14} + 14 a^{13} + 22 a^{12} + 15 a^{11} + 8 a^{10} + 24 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 33 a^{6} + 29 a^{5} + 5 a^{4} + 25 a^{3} + 29 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 41^{3} + \left(6 a^{14} + 40 a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{11} + 19 a^{10} + 3 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 22 a^{6} + 35 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 41^{4} + \left(22 a^{14} + 28 a^{13} + 26 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 8 a^{9} + 15 a^{8} + 30 a^{7} + 25 a^{6} + 39 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 41^{5} + \left(10 a^{14} + 29 a^{13} + a^{12} + 21 a^{11} + a^{10} + 3 a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 18 a^{6} + 34 a^{5} + 36 a^{4} + 39 a^{3} + 12 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 41^{6} + \left(11 a^{14} + 36 a^{13} + 2 a^{12} + 21 a^{11} + 32 a^{10} + 32 a^{9} + 29 a^{8} + 2 a^{7} + 37 a^{5} + 26 a^{4} + 39 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 41^{7} + \left(32 a^{14} + 30 a^{13} + 28 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 37 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 41^{8} + \left(16 a^{14} + 28 a^{13} + 38 a^{12} + 5 a^{11} + 2 a^{10} + 30 a^{9} + 36 a^{8} + 30 a^{7} + 25 a^{6} + 13 a^{5} + 37 a^{4} + 7 a^{3} + 25 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 18 }$ $=$ \( 31 a^{14} + 10 a^{13} + 7 a^{12} + 20 a^{11} + 40 a^{10} + 10 a^{9} + 30 a^{8} + 8 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 9 a + 1 + \left(37 a^{14} + 23 a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 6 a^{10} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 38 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 41 + \left(34 a^{14} + 11 a^{13} + 38 a^{12} + 13 a^{11} + 17 a^{10} + 28 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 33 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 41^{2} + \left(37 a^{14} + 2 a^{13} + 36 a^{12} + 35 a^{11} + 27 a^{10} + 13 a^{9} + 38 a^{8} + 28 a^{7} + 37 a^{6} + 33 a^{5} + 23 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 41^{3} + \left(26 a^{14} + 2 a^{13} + 36 a^{12} + 32 a^{11} + 14 a^{10} + 35 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 41^{4} + \left(27 a^{14} + 31 a^{13} + 34 a^{12} + 6 a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 32 a^{8} + 10 a^{7} + 34 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 24 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 41^{5} + \left(11 a^{13} + 14 a^{12} + 33 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 39 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 31 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 41^{6} + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 22 a^{12} + 24 a^{11} + 12 a^{10} + 26 a^{9} + a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 41^{7} + \left(37 a^{14} + 2 a^{13} + 37 a^{12} + 11 a^{11} + 40 a^{10} + 39 a^{9} + 17 a^{8} + 23 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 35 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 41^{8} + \left(12 a^{14} + 24 a^{13} + 12 a^{12} + 28 a^{11} + 36 a^{10} + 36 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 37 a^{6} + 37 a^{5} + 14 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + a + 33\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 19 }$ $=$ \( 18 a^{13} + 6 a^{12} + 2 a^{11} + 18 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 37 a^{7} + 33 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 28 + \left(19 a^{14} + 16 a^{13} + 2 a^{12} + 39 a^{11} + 40 a^{10} + 37 a^{9} + 40 a^{8} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 37 a^{5} + 33 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 41 + \left(33 a^{14} + 30 a^{13} + 19 a^{12} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 39 a^{8} + 34 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 33 a + 11\right)\cdot 41^{2} + \left(38 a^{14} + 16 a^{13} + 30 a^{12} + 28 a^{11} + 4 a^{10} + 7 a^{9} + 9 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 40 a^{4} + 19 a^{3} + 30 a + 23\right)\cdot 41^{3} + \left(4 a^{14} + 36 a^{13} + 40 a^{12} + 28 a^{11} + 29 a^{10} + 12 a^{9} + 33 a^{8} + 27 a^{7} + 40 a^{6} + 8 a^{5} + 40 a^{4} + 29 a^{3} + 33 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 41^{4} + \left(26 a^{14} + 38 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 39 a^{10} + 40 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 36 a^{6} + 16 a^{5} + 37 a^{4} + 36 a^{3} + 28 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(36 a^{14} + 10 a^{13} + 2 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 38 a^{4} + 24 a^{3} + 40 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 41^{6} + \left(a^{14} + 13 a^{13} + 5 a^{12} + 36 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 35 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 41^{7} + \left(16 a^{14} + 29 a^{13} + 6 a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 19 a^{9} + 35 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 32 a + 14\right)\cdot 41^{8} + \left(35 a^{14} + 31 a^{13} + 2 a^{12} + 10 a^{11} + 31 a^{10} + 29 a^{9} + 33 a^{8} + 16 a^{7} + 37 a^{6} + 39 a^{5} + a^{4} + 36 a^{3} + 6 a^{2} + 35 a\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 20 }$ $=$ \( 36 a^{14} + 14 a^{13} + 6 a^{12} + 19 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 37 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 35 a^{2} + 18 a + 29 + \left(16 a^{14} + 38 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 35 a^{8} + 30 a^{7} + 37 a^{6} + 34 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 41 + \left(22 a^{14} + 13 a^{13} + 12 a^{12} + 26 a^{11} + 36 a^{10} + 39 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 35 a^{2} + 1\right)\cdot 41^{2} + \left(14 a^{14} + 40 a^{13} + 29 a^{12} + 15 a^{11} + 21 a^{10} + 30 a^{9} + 26 a^{8} + 39 a^{7} + 3 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 41^{3} + \left(20 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 33 a^{11} + 22 a^{10} + 39 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 40 a^{6} + 37 a^{5} + 26 a^{4} + 40 a^{3} + 10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 41^{4} + \left(26 a^{14} + 14 a^{13} + 15 a^{12} + 8 a^{11} + 35 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 14 a^{6} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 39 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 41^{5} + \left(a^{14} + 39 a^{13} + 31 a^{12} + 25 a^{11} + a^{10} + 40 a^{9} + 34 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 39 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 41^{6} + \left(5 a^{13} + 34 a^{12} + 8 a^{11} + 37 a^{10} + 2 a^{9} + 23 a^{8} + 23 a^{7} + 39 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 16 a^{2} + 24 a + 32\right)\cdot 41^{7} + \left(38 a^{14} + 29 a^{13} + 32 a^{12} + 18 a^{11} + a^{10} + 38 a^{9} + 36 a^{8} + 26 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 33 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 41^{8} + \left(14 a^{14} + 5 a^{13} + 30 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 21 }$ $=$ \( 28 a^{14} + 21 a^{12} + 19 a^{11} + 33 a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 34 a^{6} + 37 a^{5} + 29 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 33 a + 34 + \left(13 a^{14} + 22 a^{13} + 4 a^{12} + 29 a^{11} + 36 a^{10} + 5 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 35 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 41 + \left(10 a^{14} + 5 a^{13} + 33 a^{12} + 30 a^{11} + 26 a^{10} + 15 a^{9} + 21 a^{8} + 35 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 41^{2} + \left(35 a^{14} + 29 a^{13} + 4 a^{12} + 19 a^{11} + 5 a^{10} + 3 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 36 a^{6} + 30 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 41^{3} + \left(20 a^{14} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 27 a^{10} + 32 a^{9} + 2 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + a + 27\right)\cdot 41^{4} + \left(24 a^{14} + 13 a^{13} + 30 a^{12} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 37 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 39\right)\cdot 41^{5} + \left(26 a^{14} + 19 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 33 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{4} + 35 a^{3} + 32 a^{2} + 32 a + 21\right)\cdot 41^{6} + \left(39 a^{14} + 24 a^{13} + 5 a^{12} + 37 a^{11} + 26 a^{10} + 13 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + 35 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 41^{7} + \left(24 a^{14} + 30 a^{13} + 21 a^{12} + 37 a^{11} + 34 a^{10} + 12 a^{9} + 35 a^{8} + 32 a^{7} + 39 a^{6} + 35 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 11 a + 39\right)\cdot 41^{8} + \left(7 a^{14} + 29 a^{13} + 34 a^{12} + 30 a^{11} + 25 a^{10} + 37 a^{9} + 27 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 29 a^{5} + 37 a^{4} + 39 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 22 }$ $=$ \( 39 a^{14} + a^{13} + 29 a^{11} + 28 a^{10} + 8 a^{9} + 35 a^{8} + 23 a^{7} + 36 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 13 + \left(23 a^{14} + 21 a^{13} + 33 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 8 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 41 + \left(16 a^{14} + 8 a^{13} + 15 a^{12} + 39 a^{11} + 15 a^{10} + 25 a^{9} + 14 a^{8} + 29 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 36 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 41^{2} + \left(19 a^{14} + 32 a^{13} + 23 a^{12} + 12 a^{11} + 13 a^{10} + 12 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 35 a^{5} + 11 a^{4} + 35 a^{3} + 23 a^{2} + 37 a + 6\right)\cdot 41^{3} + \left(32 a^{14} + 9 a^{13} + 22 a^{12} + 7 a^{11} + 23 a^{10} + 33 a^{9} + 40 a^{8} + 37 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 30 a^{4} + 32 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 41^{4} + \left(23 a^{14} + 6 a^{13} + 33 a^{12} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 36 a^{8} + a^{6} + 29 a^{5} + 7 a^{4} + 33 a^{3} + 37 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(36 a^{14} + 34 a^{13} + 12 a^{12} + 39 a^{11} + 26 a^{10} + 21 a^{9} + 34 a^{8} + 37 a^{7} + 35 a^{6} + 6 a^{5} + 24 a^{4} + a^{3} + 26 a + 5\right)\cdot 41^{6} + \left(32 a^{14} + 27 a^{13} + 39 a^{12} + 5 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 32 a^{7} + 32 a^{6} + 34 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 41^{7} + \left(9 a^{14} + 7 a^{13} + 9 a^{12} + 36 a^{11} + 32 a^{10} + 23 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 28 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 20 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 41^{8} + \left(4 a^{14} + 9 a^{13} + 10 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 40 a^{9} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 35 a^{4} + 35 a^{3} + 32 a^{2} + 38 a + 32\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 23 }$ $=$ \( 7 a^{13} + 30 a^{12} + 22 a^{11} + 7 a^{10} + 37 a^{9} + 18 a^{8} + 38 a^{7} + 15 a^{6} + 34 a^{5} + 36 a^{4} + 14 a^{3} + 39 a^{2} + 24 a + 11 + \left(32 a^{14} + 5 a^{13} + 2 a^{12} + 38 a^{11} + 37 a^{10} + 6 a^{9} + 25 a^{8} + 34 a^{7} + a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 41 + \left(24 a^{14} + 31 a^{13} + 12 a^{12} + 30 a^{11} + 29 a^{10} + 35 a^{9} + 27 a^{8} + 35 a^{7} + 31 a^{6} + 8 a^{5} + 37 a^{4} + 9 a^{3} + 36 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{14} + 39 a^{13} + 36 a^{12} + 30 a^{11} + 2 a^{10} + 37 a^{9} + 17 a^{8} + 38 a^{7} + 17 a^{6} + 35 a^{5} + 40 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 40\right)\cdot 41^{3} + \left(28 a^{14} + 16 a^{13} + 20 a^{12} + 15 a^{11} + 34 a^{10} + 29 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 32 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 41^{4} + \left(40 a^{14} + 13 a^{13} + 8 a^{11} + 21 a^{10} + 31 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{7} + 8 a^{6} + 26 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 6 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 41^{5} + \left(13 a^{14} + 9 a^{13} + 35 a^{12} + 21 a^{11} + 30 a^{10} + a^{9} + 31 a^{8} + 27 a^{7} + 4 a^{5} + 40 a^{4} + 40 a^{3} + 31 a + 14\right)\cdot 41^{6} + \left(12 a^{14} + 15 a^{13} + 24 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 18 a^{9} + 16 a^{8} + 39 a^{7} + 21 a^{6} + 23 a^{5} + 17 a^{4} + 37 a^{3} + 39 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 41^{7} + \left(33 a^{14} + 23 a^{13} + 27 a^{12} + 40 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 40 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 41^{8} + \left(6 a^{14} + 36 a^{13} + 34 a^{12} + 35 a^{11} + 30 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 33 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 32 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 24 }$ $=$ \( 2 a^{14} + 35 a^{12} + 5 a^{11} + 18 a^{10} + 24 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 5 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 40 a^{3} + 11 a^{2} + 40 a + 34 + \left(7 a^{14} + 4 a^{13} + 27 a^{12} + 10 a^{11} + 30 a^{10} + 2 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 37 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 39 a + 12\right)\cdot 41 + \left(30 a^{14} + 28 a^{13} + 10 a^{12} + 8 a^{11} + 40 a^{10} + 35 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 26 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 41^{2} + \left(20 a^{14} + 11 a^{13} + 14 a^{12} + 31 a^{11} + 13 a^{10} + 20 a^{9} + 18 a^{8} + 36 a^{6} + 38 a^{5} + 21 a^{4} + 36 a^{3} + 36 a^{2} + 38 a + 34\right)\cdot 41^{3} + \left(13 a^{14} + 37 a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{11} + 30 a^{10} + 15 a^{9} + 26 a^{8} + 14 a^{7} + 35 a^{6} + 6 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{3} + 33 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 41^{4} + \left(2 a^{14} + 2 a^{13} + 18 a^{12} + 10 a^{11} + 13 a^{10} + 25 a^{9} + 39 a^{8} + 30 a^{7} + 39 a^{6} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 41^{5} + \left(5 a^{14} + 25 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{10} + 28 a^{9} + 32 a^{8} + 26 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 33 a^{2} + 40 a + 6\right)\cdot 41^{6} + \left(23 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 39 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 21 a^{6} + 40 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 41^{7} + \left(2 a^{14} + 15 a^{13} + 38 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 35 a^{9} + 36 a^{8} + 33 a^{7} + 40 a^{6} + 25 a^{5} + 17 a^{4} + 33 a^{3} + 34 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 41^{8} + \left(25 a^{14} + 26 a^{13} + 9 a^{12} + 23 a^{10} + a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 40 a^{6} + 36 a^{5} + 7 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 25 }$ $=$ \( 23 a^{14} + 40 a^{13} + 35 a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 8 a^{9} + 18 a^{8} + 37 a^{7} + 34 a^{6} + a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 24 + \left(7 a^{14} + 18 a^{13} + 35 a^{12} + 22 a^{11} + 9 a^{10} + 18 a^{9} + 36 a^{8} + 38 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 36 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 41 + \left(7 a^{14} + 22 a^{13} + 30 a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 14 a^{8} + 30 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 24 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 41^{2} + \left(32 a^{14} + a^{13} + 37 a^{12} + 34 a^{11} + 11 a^{10} + 29 a^{9} + 35 a^{8} + 33 a^{7} + 27 a^{6} + 35 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 33\right)\cdot 41^{3} + \left(12 a^{14} + 34 a^{13} + 10 a^{12} + 4 a^{11} + 7 a^{10} + 13 a^{9} + 6 a^{8} + 29 a^{7} + 21 a^{6} + 30 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 24 a^{2} + 24\right)\cdot 41^{4} + \left(31 a^{14} + 28 a^{13} + 26 a^{12} + 20 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 29 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 41^{5} + \left(33 a^{14} + 13 a^{13} + 37 a^{12} + 23 a^{11} + 24 a^{10} + 18 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 36 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 41^{6} + \left(11 a^{14} + 21 a^{13} + 39 a^{12} + 2 a^{11} + 2 a^{10} + 31 a^{9} + 40 a^{8} + 17 a^{7} + 33 a^{6} + 38 a^{5} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 34 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 41^{7} + \left(28 a^{14} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + 18 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 40 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 40 a^{4} + 36 a^{3} + 14 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 41^{8} + \left(2 a^{14} + 39 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 38 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{5} + 32 a^{4} + 29 a^{3} + 36 a^{2} + 6 a + 31\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 26 }$ $=$ \( 10 a^{14} + 29 a^{13} + 22 a^{12} + 22 a^{11} + 29 a^{10} + 20 a^{9} + 23 a^{8} + 20 a^{7} + 29 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + a + 15 + \left(11 a^{14} + 31 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 12 a^{10} + a^{9} + 30 a^{8} + 16 a^{7} + 30 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 23\right)\cdot 41 + \left(11 a^{14} + 27 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 18 a^{10} + 28 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 28 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 41^{2} + \left(11 a^{14} + 24 a^{13} + 30 a^{12} + 5 a^{11} + 24 a^{9} + 18 a^{8} + 4 a^{7} + 26 a^{6} + 37 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 41^{3} + \left(14 a^{14} + 7 a^{13} + 36 a^{12} + 26 a^{11} + 31 a^{10} + 8 a^{9} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 41^{4} + \left(23 a^{14} + 36 a^{13} + 8 a^{12} + 27 a^{10} + 32 a^{9} + 31 a^{8} + 25 a^{7} + 34 a^{6} + 40 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 41^{5} + \left(24 a^{14} + 7 a^{13} + 24 a^{12} + 28 a^{11} + 38 a^{10} + 13 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 38 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 36 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 41^{6} + \left(35 a^{14} + 16 a^{13} + 19 a^{12} + 36 a^{11} + 22 a^{10} + 14 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 34 a^{6} + 30 a^{5} + 32 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 41^{7} + \left(10 a^{14} + 31 a^{13} + 40 a^{12} + 9 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 15 a^{7} + 40 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 41^{8} + \left(14 a^{14} + 7 a^{12} + 16 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 39 a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 27 }$ $=$ \( 9 a^{14} + 39 a^{13} + 34 a^{12} + 31 a^{11} + 18 a^{10} + 37 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 24 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 40 a^{2} + 39 a + 13 + \left(6 a^{14} + 40 a^{13} + 21 a^{12} + 11 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 30 a^{8} + 14 a^{7} + 30 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 34 a^{3} + 33 a^{2} + 30 a + 39\right)\cdot 41 + \left(21 a^{14} + 16 a^{13} + 18 a^{12} + 3 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 12 a^{8} + 39 a^{7} + 30 a^{6} + 8 a^{5} + 35 a^{3} + 22 a^{2} + 37\right)\cdot 41^{2} + \left(23 a^{14} + 34 a^{13} + 6 a^{12} + 10 a^{11} + a^{10} + 8 a^{9} + 25 a^{8} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 32 a^{3} + a^{2} + 30 a + 32\right)\cdot 41^{3} + \left(23 a^{14} + 16 a^{13} + 5 a^{12} + 9 a^{11} + 11 a^{10} + 32 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{3} + 27 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 41^{4} + \left(7 a^{14} + 40 a^{13} + 5 a^{12} + 30 a^{11} + 10 a^{10} + 18 a^{9} + 17 a^{8} + 23 a^{7} + 34 a^{6} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 41^{5} + \left(28 a^{14} + 38 a^{13} + 8 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 36 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 31 a^{4} + 12 a^{3} + 32 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 41^{6} + \left(40 a^{14} + 17 a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 38 a^{10} + 27 a^{9} + 18 a^{8} + 14 a^{7} + 38 a^{6} + 32 a^{5} + 18 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 41^{7} + \left(13 a^{14} + 22 a^{13} + 5 a^{12} + 26 a^{11} + 38 a^{10} + 34 a^{9} + 29 a^{8} + 25 a^{7} + 32 a^{6} + 38 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 39 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 41^{8} + \left(11 a^{14} + 23 a^{13} + 5 a^{12} + 34 a^{11} + 18 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 38 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{5} + 36 a^{3} + 37 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 28 }$ $=$ \( 20 a^{14} + 27 a^{13} + 12 a^{12} + 13 a^{11} + 12 a^{10} + 26 a^{9} + 31 a^{8} + 17 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 12 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 14 + \left(10 a^{14} + 17 a^{13} + 15 a^{12} + 22 a^{11} + 24 a^{10} + 17 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 30 a^{6} + 28 a^{5} + 18 a^{4} + 40 a^{3} + 25 a^{2} + 35 a + 17\right)\cdot 41 + \left(24 a^{14} + 31 a^{13} + 5 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 34 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{7} + 35 a^{6} + 36 a^{5} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 39\right)\cdot 41^{2} + \left(25 a^{14} + 14 a^{13} + 36 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 40 a^{8} + 35 a^{7} + 18 a^{6} + 32 a^{5} + 6 a^{4} + 36 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 41^{3} + \left(31 a^{14} + 35 a^{13} + 8 a^{12} + 6 a^{11} + 29 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 32 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 31 a^{4} + 38 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 41^{4} + \left(34 a^{14} + 20 a^{13} + 29 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 17 a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 20 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 41^{5} + \left(3 a^{14} + 39 a^{13} + 17 a^{12} + 15 a^{11} + 17 a^{10} + 33 a^{9} + 20 a^{8} + 30 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 36 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 41^{6} + \left(19 a^{14} + 3 a^{13} + 11 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + 31 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 40 a^{5} + 18 a^{4} + 37 a^{3} + 16 a^{2} + 24\right)\cdot 41^{7} + \left(23 a^{14} + 21 a^{13} + 10 a^{11} + 7 a^{10} + 10 a^{9} + 4 a^{8} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 41^{8} + \left(8 a^{14} + 26 a^{13} + 30 a^{12} + 13 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 2 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 37 a^{2} + 29 a + 36\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 29 }$ $=$ \( 35 a^{14} + 27 a^{13} + 34 a^{12} + 12 a^{11} + 20 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 33 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 2 a + 18 + \left(21 a^{14} + 11 a^{13} + 26 a^{12} + 14 a^{11} + 36 a^{10} + 16 a^{9} + 40 a^{8} + 15 a^{7} + 39 a^{6} + 29 a^{5} + 20 a^{4} + 31 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 41 + \left(17 a^{14} + 4 a^{13} + 27 a^{12} + 3 a^{11} + 5 a^{10} + 15 a^{9} + 8 a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 38 a^{4} + 40 a^{2} + 6 a + 40\right)\cdot 41^{2} + \left(21 a^{14} + 21 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{10} + 4 a^{9} + 24 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 37 a^{2} + 6 a\right)\cdot 41^{3} + \left(29 a^{14} + 4 a^{13} + 27 a^{12} + 12 a^{11} + 35 a^{10} + 19 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 25 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 36 a + 4\right)\cdot 41^{4} + \left(39 a^{14} + 12 a^{13} + 4 a^{12} + 34 a^{11} + 14 a^{10} + 33 a^{9} + 5 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 41^{5} + \left(3 a^{14} + 6 a^{13} + 34 a^{12} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 2 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 6 a^{4} + 23 a^{3} + 34 a + 3\right)\cdot 41^{6} + \left(3 a^{14} + 15 a^{13} + 4 a^{12} + 36 a^{11} + 10 a^{10} + 21 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 29 a^{5} + 31 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 41^{7} + \left(27 a^{14} + 6 a^{13} + 29 a^{12} + 34 a^{11} + 17 a^{10} + 24 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 28 a^{6} + 40 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 41^{8} + \left(9 a^{14} + 32 a^{13} + 10 a^{12} + 39 a^{11} + 29 a^{10} + 12 a^{9} + 22 a^{8} + 13 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 33 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display
$r_{ 30 }$ $=$ \( 36 a^{14} + 7 a^{13} + 35 a^{12} + 19 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 40 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 31 a^{2} + 25 a + 38 + \left(39 a^{14} + 15 a^{13} + 11 a^{12} + 23 a^{11} + 31 a^{10} + 40 a^{9} + 2 a^{8} + 25 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 24 a^{4} + 14 a^{3} + 33 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 41 + \left(5 a^{14} + 13 a^{13} + 5 a^{12} + 35 a^{11} + 40 a^{10} + 29 a^{9} + 12 a^{8} + 33 a^{7} + 35 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 16 a^{2} + 31 a + 24\right)\cdot 41^{2} + \left(a^{14} + 33 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 30 a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 32 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 41^{3} + \left(25 a^{14} + 13 a^{13} + 18 a^{12} + 19 a^{11} + 33 a^{10} + 4 a^{9} + 9 a^{8} + 22 a^{7} + 37 a^{5} + 40 a^{4} + 23 a^{3} + 32 a + 36\right)\cdot 41^{4} + \left(10 a^{14} + 28 a^{13} + 2 a^{12} + 27 a^{11} + 37 a^{10} + 3 a^{9} + 23 a^{8} + 33 a^{7} + 12 a^{6} + 40 a^{5} + 39 a^{4} + 36 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 33\right)\cdot 41^{5} + \left(13 a^{14} + 27 a^{13} + 18 a^{12} + 40 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{9} + 30 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 37 a^{5} + 37 a^{4} + 5 a^{3} + 32 a + 22\right)\cdot 41^{6} + \left(11 a^{14} + 33 a^{13} + 6 a^{12} + 15 a^{11} + 38 a^{10} + 22 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 40 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 41^{7} + \left(36 a^{14} + 36 a^{13} + 40 a^{12} + 39 a^{11} + 4 a^{10} + 16 a^{9} + 35 a^{8} + 40 a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 41^{8} + \left(4 a^{14} + 6 a^{13} + 6 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 33 a^{9} + 36 a^{8} + 27 a^{7} + 34 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 38 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 41^{9} +O(41^{10})\)  Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 30 }$

Cycle notation
$(1,5,8)(2,12,11)(3,25,29)(4,30,14)(6,21,9)(7,24,23)(10,13,17)(15,26,18)(16,19,22)(20,28,27)$
$(1,16)(2,20)(3,17)(4,18)(5,19)(6,23)(7,21)(8,22)(9,24)(10,25)(11,27)(12,28)(13,29)(14,26)(15,30)$
$(2,17)(3,20)(4,24)(5,8)(6,26)(7,30)(9,18)(10,11)(12,13)(14,23)(15,21)(19,22)(25,27)(28,29)$
$(1,3,23,14,20)(2,16,17,6,26)(4,28,5,25,7)(8,29,24,30,27)(9,15,11,22,13)(10,21,18,12,19)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 30 }$ Character value
$1$$1$$()$$2$
$1$$2$$(1,16)(2,20)(3,17)(4,18)(5,19)(6,23)(7,21)(8,22)(9,24)(10,25)(11,27)(12,28)(13,29)(14,26)(15,30)$$-2$
$15$$2$$(2,17)(3,20)(4,24)(5,8)(6,26)(7,30)(9,18)(10,11)(12,13)(14,23)(15,21)(19,22)(25,27)(28,29)$$0$
$15$$2$$(1,16)(2,3)(4,9)(5,22)(6,14)(7,15)(8,19)(10,27)(11,25)(12,29)(13,28)(17,20)(18,24)(21,30)(23,26)$$0$
$2$$3$$(1,5,8)(2,12,11)(3,25,29)(4,30,14)(6,21,9)(7,24,23)(10,13,17)(15,26,18)(16,19,22)(20,28,27)$$-1$
$2$$5$$(1,3,23,14,20)(2,16,17,6,26)(4,28,5,25,7)(8,29,24,30,27)(9,15,11,22,13)(10,21,18,12,19)$$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$
$2$$5$$(1,23,20,3,14)(2,17,26,16,6)(4,5,7,28,25)(8,24,27,29,30)(9,11,13,15,22)(10,18,19,21,12)$$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$
$2$$6$$(1,19,8,16,5,22)(2,28,11,20,12,27)(3,10,29,17,25,13)(4,15,14,18,30,26)(6,7,9,23,21,24)$$1$
$2$$10$$(1,17,23,26,20,16,3,6,14,2)(4,12,5,10,7,18,28,19,25,21)(8,13,24,15,27,22,29,9,30,11)$$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + 1$
$2$$10$$(1,26,3,2,23,16,14,17,20,6)(4,10,28,21,5,18,25,12,7,19)(8,15,29,11,24,22,30,13,27,9)$$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2}$
$2$$15$$(1,25,24,14,28,8,3,7,30,20,5,29,23,4,27)(2,19,13,6,18,11,16,10,9,26,12,22,17,21,15)$$-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$
$2$$15$$(1,24,28,3,30,5,23,27,25,14,8,7,20,29,4)(2,13,18,16,9,12,17,15,19,6,11,10,26,22,21)$$2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$
$2$$15$$(1,28,30,23,25,8,20,4,24,3,5,27,14,7,29)(2,18,9,17,19,11,26,21,13,16,12,15,6,10,22)$$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$
$2$$15$$(1,7,27,3,4,8,23,28,29,14,5,24,20,25,30)(2,10,15,16,21,11,17,18,22,6,12,13,26,19,9)$$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$
$2$$30$$(1,10,24,26,28,22,3,21,30,2,5,13,23,18,27,16,25,9,14,12,8,17,7,15,20,19,29,6,4,11)$$\zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}$
$2$$30$$(1,21,27,17,4,22,23,12,29,26,5,9,20,10,30,16,7,11,3,18,8,6,28,13,14,19,24,2,25,15)$$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} - 1$
$2$$30$$(1,13,7,26,27,19,3,9,4,2,8,10,23,15,28,16,29,21,14,11,5,17,24,18,20,22,25,6,30,12)$$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} - 1$
$2$$30$$(1,18,29,2,7,22,14,10,27,6,5,15,3,12,24,16,4,13,20,21,8,26,25,11,23,19,30,17,28,9)$$-2 \zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15} + 1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.