Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{11}$ |
| Conductor: | $1297 $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{11} - 5 x^{10} - 4 x^{9} + 54 x^{8} - 53 x^{7} - 127 x^{6} + 208 x^{5} + 69 x^{4} - 222 x^{3} + 29 x^{2} + 56 x - 5 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 5 |
| Smallest containing permutation representation: | $D_{11}$ |
| Parity: | Even |
| Determinant: | 1.1297.2t1.1c1 |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 5.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{11} + 3 x + 11 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 10 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 4 + \left(a^{10} + 5 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13 + \left(2 a^{10} + 10 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{8} + 6 a^{7} + 5 a^{5} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 9 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 2 + \left(4 a^{10} + 2 a^{9} + a^{7} + a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13 + \left(5 a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{10} + 11 a^{9} + 6 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 2 a^{10} + 4 a^{9} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + \left(7 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 3\right)\cdot 13 + \left(11 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 4 a^{10} + 6 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9 + \left(9 a^{10} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13 + \left(11 a^{10} + 9 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 11 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{10} + 8 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{10} + 3 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 4 a^{10} + 10 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 9 + \left(7 a^{10} + 7 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13 + \left(9 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{10} + 4 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 5 a^{10} + 11 a^{9} + 11 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 7 + \left(3 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13 + \left(9 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 6 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + a + 5 + \left(7 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13 + \left(5 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{10} + 4 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 2 a^{6} + a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 10 a^{10} + 6 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 10 + \left(10 a^{10} + 2 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13 + \left(2 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 10 a^{10} + 7 a^{9} + 12 a^{8} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 10 + \left(6 a^{10} + 4 a^{9} + a^{8} + 8 a^{6} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13 + \left(3 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{10} + 6 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{10} + 7 a^{8} + 4 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 11 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 8 + \left(2 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13 + \left(8 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 6 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{10} + 3 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 12 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 6 + \left(7 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13 + \left(6 a^{10} + 12 a^{8} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{4} +O\left(13^{ 5 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 11 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 11 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $11$ | $2$ | $(1,9)(2,8)(3,5)(4,7)(6,10)$ | $0$ |
| $2$ | $11$ | $(1,7,10,8,11,2,6,4,9,3,5)$ | $\zeta_{11}^{8} + \zeta_{11}^{3}$ |
| $2$ | $11$ | $(1,10,11,6,9,5,7,8,2,4,3)$ | $\zeta_{11}^{6} + \zeta_{11}^{5}$ |
| $2$ | $11$ | $(1,8,6,3,7,11,4,5,10,2,9)$ | $\zeta_{11}^{9} + \zeta_{11}^{2}$ |
| $2$ | $11$ | $(1,11,9,7,2,3,10,6,5,8,4)$ | $-\zeta_{11}^{9} - \zeta_{11}^{8} - \zeta_{11}^{7} - \zeta_{11}^{6} - \zeta_{11}^{5} - \zeta_{11}^{4} - \zeta_{11}^{3} - \zeta_{11}^{2} - 1$ |
| $2$ | $11$ | $(1,2,5,11,3,8,9,10,4,7,6)$ | $\zeta_{11}^{7} + \zeta_{11}^{4}$ |