LMFDB - Artin representation 2.1287.12t18.b.b

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_6\times S_3$
Conductor:	$1287$$\medspace = 3^{2} \cdot 11 \cdot 13 $
Artin stem field:	Galois closure of 12.0.56103022943828289.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	$C_6\times S_3$
Parity:	odd
Determinant:	1.1287.6t1.d.a
Projective image:	$S_3$
Projective stem field:	Galois closure of 3.1.11583.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{12} - 5 x^{10} - 19 x^{9} + 25 x^{8} + 83 x^{7} + 239 x^{6} + 323 x^{5} + 381 x^{4} + 244 x^{3} + \cdots + 36 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 8.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{6} + 17x^{3} + 17x^{2} + 6x + 2 $ x^6 + 17*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 2

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 7 + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19 + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 16a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 4a + 7 + (4a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 14a + 17)19 + (6a^4 + 12a^3 + 18a^2 + 4a + 18)19^2 + (3a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 14a + 4)19^3 + (14a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 8a + 5)19^4 + (14a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 7a + 17)19^5 + (10a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 18a + 12)19^6 + (17a^5 + 16a^3 + 6a^2 + 17a + 14)19^7+O(19^8)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + a + 3 + \left(10 a^{5} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 13\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 8a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 13a^2 + a + 3 + (10a^5 + 15a^3 + 5a^2 + 13)19 + (12a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 5a + 11)19^2 + (17a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 2a + 7)19^3 + (11a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 15)19^4 + (13a^5 + 14a^4 + a^3 + 9a + 5)19^5 + (14a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 9a)19^6 + (11a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 10a + 18)*19^7+O(19^8)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 10 + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 10a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 5a + 10 + (5a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 10a + 2)19 + (3a^5 + 15a^4 + 8a^2 + 14a + 17)19^2 + (2a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 17a^2 + 10a + 9)19^3 + (17a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 10a + 4)19^4 + (15a^5 + 8a^3 + 13a^2 + 16a + 5)19^5 + (a^5 + 6a^4 + 4a^2 + 6a + 5)19^6 + (8a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 2a + 1)19^7+O(19^8)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 10 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 10 + \left(11 a^{4} + 10 a\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 10a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 4a + 10 + (11a^4 + 10a)19 + (15a^5 + 17a^4 + 12a^3 + a^2 + 6a)19^2 + (13a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 18a + 6)19^3 + (8a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 2a + 9)19^4 + (14a^5 + 4a^4 + 3a^2 + 3a + 17)19^5 + (9a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 3a + 1)19^6 + (12a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 8a + 14)*19^7+O(19^8)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 12 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 15 + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 12a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 2a^2 + a + 15 + (9a^5 + 4a^4 + 2a^3 + a^2 + 10a + 14)19 + (5a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 10a)19^2 + (5a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 17a^2 + 11a + 9)19^3 + (2a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 6a + 13)19^4 + (2a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 17a + 2)19^5 + (18a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 18a)19^6 + (15a^5 + 18a^4 + 11a^3 + a^2 + 17a + 10)19^7+O(19^8)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 18 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 18 + \left(17 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19 + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 18a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 10a + 18 + (17a^5 + 2a^4 + 11a^3 + a^2 + 17a + 15)19 + (5a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 16a + 1)19^2 + (3a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 8a + 3)19^3 + (12a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 5a + 5)19^4 + (7a^5 + 14a^4 + 10a^3 + a^2 + 18a + 15)19^5 + (7a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 8a + 11)19^6 + (17a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 8a + 3)19^7+O(19^8)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 18 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 1 + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19 + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 18a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 17a + 1 + (17a^5 + 14a^4 + 12a^2 + 8a + 10)19 + (a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 3a + 6)19^2 + (15a^5 + 17a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 5a + 2)19^3 + (4a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 12a + 9)19^4 + (3a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 11a + 10)19^5 + (5a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 9a + 18)19^6 + (10a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 9a + 9)19^7+O(19^8)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 18 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 12 + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 14\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 18a^5 + 15a^4 + a^3 + 10a^2 + 18a + 12 + (a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 14)19 + (9a^5 + 7a^4 + 3a^3 + a + 10)19^2 + (a^5 + 8a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 9a + 13)19^3 + (17a^4 + 4a^3 + 14a + 17)19^4 + (16a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 17a + 5)19^5 + (4a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 15a^2 + 12a + 8)19^6 + (a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 1)19^7+O(19^8)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 18 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 16 + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 4\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 18a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 4a + 16 + (17a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 4)19 + (12a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 18a + 6)19^2 + (15a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 9a + 17)19^3 + (2a^5 + a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 4a + 7)19^4 + (10a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 3a + 15)19^5 + (13a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 3a + 9)19^6 + (6a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 12a + 7)*19^7+O(19^8)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 14 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 14a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 10a + (5a^5 + 18a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 9a + 16)19 + (5a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 5a + 9)19^2 + (17a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 8a + 11)19^3 + (a^5 + 17a^4 + 2a^3 + a^2 + 15)19^4 + (6a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 14a + 11)19^5 + (18a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 6a + 5)19^6 + (11a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 4a + 11)19^7+O(19^8)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 4 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 4a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 16a + (12a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 3a + 6)19 + (9a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 13a + 8)19^2 + (14a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 14a)19^3 + (4a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 14a + 15)19^4 + (7a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 12a + 14)19^5 + (3a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 6a + 16)19^6 + (14a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 2)19^7+O(19^8)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 6 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 3 + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19 + \left(17 a^{4} + 16 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})$ 6a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 5a + 3 + (14a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 9a + 17)19 + (17a^4 + 16a^2 + 14a + 2)19^2 + (5a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 9)19^3 + (14a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 14a + 14)19^4 + (2a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 14a^2 + a + 10)19^5 + (6a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 9a + 3)19^6 + (7a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 2a)19^7+O(19^8)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Cycle notation
$(3,6,4)(9,12,10)$
$(1,8,11)(2,5,7)$
$(1,10)(2,3)(4,7)(5,6)(8,9)(11,12)$
$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 12 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12)$	$-2$
$3$	$2$	$(1,10)(2,3)(4,7)(5,6)(8,9)(11,12)$	$0$
$3$	$2$	$(1,4)(2,9)(3,8)(5,12)(6,11)(7,10)$	$0$
$1$	$3$	$(1,8,11)(2,5,7)(3,6,4)(9,12,10)$	$-2 \zeta_{3} - 2$
$1$	$3$	$(1,11,8)(2,7,5)(3,4,6)(9,10,12)$	$2 \zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,8,11)(2,5,7)$	$-\zeta_{3}$
$2$	$3$	$(1,11,8)(2,7,5)$	$\zeta_{3} + 1$
$2$	$3$	$(1,11,8)(2,7,5)(3,6,4)(9,12,10)$	$-1$
$1$	$6$	$(1,2,11,7,8,5)(3,12,4,9,6,10)$	$2 \zeta_{3} + 2$
$1$	$6$	$(1,5,8,7,11,2)(3,10,6,9,4,12)$	$-2 \zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,2,11,7,8,5)(3,9)(4,10)(6,12)$	$\zeta_{3}$
$2$	$6$	$(1,5,8,7,11,2)(3,9)(4,10)(6,12)$	$-\zeta_{3} - 1$
$2$	$6$	$(1,5,8,7,11,2)(3,12,4,9,6,10)$	$1$
$3$	$6$	$(1,9,8,12,11,10)(2,6,5,4,7,3)$	$0$
$3$	$6$	$(1,10,11,12,8,9)(2,3,7,4,5,6)$	$0$
$3$	$6$	$(1,3,8,6,11,4)(2,12,5,10,7,9)$	$0$
$3$	$6$	$(1,4,11,6,8,3)(2,9,7,10,5,12)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 12 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1287.12t18.b.b
Dimension	$2$
Group	$C_6\times S_3$
Conductor	$1287$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 7 + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19 + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 16a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 11a^2 + 4a + 7 + (4a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 14a + 17)19 + (6a^4 + 12a^3 + 18a^2 + 4a + 18)19^2 + (3a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 14a + 4)19^3 + (14a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 8a + 5)19^4 + (14a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 18a^2 + 7a + 17)19^5 + (10a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 18a + 12)19^6 + (17a^5 + 16a^3 + 6a^2 + 17a + 14)19^7+O(19^8)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + a + 3 + \left(10 a^{5} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 13\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{5} + 11 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 8a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 13a^2 + a + 3 + (10a^5 + 15a^3 + 5a^2 + 13)19 + (12a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 5a + 11)19^2 + (17a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 2a + 7)19^3 + (11a^5 + 11a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 15)19^4 + (13a^5 + 14a^4 + a^3 + 9a + 5)19^5 + (14a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 9a)19^6 + (11a^5 + 3a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 10a + 18)*19^7+O(19^8)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 10 + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19 + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{5} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 10a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 5a^2 + 5a + 10 + (5a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 10a + 2)19 + (3a^5 + 15a^4 + 8a^2 + 14a + 17)19^2 + (2a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 17a^2 + 10a + 9)19^3 + (17a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 10a + 4)19^4 + (15a^5 + 8a^3 + 13a^2 + 16a + 5)19^5 + (a^5 + 6a^4 + 4a^2 + 6a + 5)19^6 + (8a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 17a^2 + 2a + 1)19^7+O(19^8)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 10 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 10 + \left(11 a^{4} + 10 a\right)\cdot 19 + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{2} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 10a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 4a + 10 + (11a^4 + 10a)19 + (15a^5 + 17a^4 + 12a^3 + a^2 + 6a)19^2 + (13a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 18a + 6)19^3 + (8a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 2a + 9)19^4 + (14a^5 + 4a^4 + 3a^2 + 3a + 17)19^5 + (9a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 3a + 1)19^6 + (12a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 13a^2 + 8a + 14)*19^7+O(19^8)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 12 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + a + 15 + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 12a^5 + 8a^4 + 9a^3 + 2a^2 + a + 15 + (9a^5 + 4a^4 + 2a^3 + a^2 + 10a + 14)19 + (5a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 10a)19^2 + (5a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 17a^2 + 11a + 9)19^3 + (2a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 6a + 13)19^4 + (2a^5 + 9a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 17a + 2)19^5 + (18a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 18a)19^6 + (15a^5 + 18a^4 + 11a^3 + a^2 + 17a + 10)19^7+O(19^8)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 18 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 18 + \left(17 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19 + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(7 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{5} + 13 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 18a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 10a + 18 + (17a^5 + 2a^4 + 11a^3 + a^2 + 17a + 15)19 + (5a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 16a + 1)19^2 + (3a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 8a + 3)19^3 + (12a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 5a + 5)19^4 + (7a^5 + 14a^4 + 10a^3 + a^2 + 18a + 15)19^5 + (7a^5 + 17a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 8a + 11)19^6 + (17a^5 + 13a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 8a + 3)19^7+O(19^8)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 18 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 1 + \left(17 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19 + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 18a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 17a + 1 + (17a^5 + 14a^4 + 12a^2 + 8a + 10)19 + (a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 3a + 6)19^2 + (15a^5 + 17a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 5a + 2)19^3 + (4a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 12a + 9)19^4 + (3a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 11a + 10)19^5 + (5a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 4a^2 + 9a + 18)19^6 + (10a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 9a + 9)19^7+O(19^8)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 18 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 12 + \left(a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 14\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 18a^5 + 15a^4 + a^3 + 10a^2 + 18a + 12 + (a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 14)19 + (9a^5 + 7a^4 + 3a^3 + a + 10)19^2 + (a^5 + 8a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 9a + 13)19^3 + (17a^4 + 4a^3 + 14a + 17)19^4 + (16a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 17a + 5)19^5 + (4a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 15a^2 + 12a + 8)19^6 + (a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 1)19^7+O(19^8)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 18 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 16 + \left(17 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 4\right)\cdot 19 + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 18a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 4a + 16 + (17a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 4)19 + (12a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 18a + 6)19^2 + (15a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 9a + 17)19^3 + (2a^5 + a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 4a + 7)19^4 + (10a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 3a + 15)19^5 + (13a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 3a + 9)19^6 + (6a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 12a + 7)*19^7+O(19^8)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 14 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19 + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 14a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 10a + (5a^5 + 18a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 9a + 16)19 + (5a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 13a^2 + 5a + 9)19^2 + (17a^5 + 2a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 8a + 11)19^3 + (a^5 + 17a^4 + 2a^3 + a^2 + 15)19^4 + (6a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 14a + 11)19^5 + (18a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 6a + 5)19^6 + (11a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 4a + 11)19^7+O(19^8)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 4 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + \left(12 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19 + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(14 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 4a^5 + 10a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 16a + (12a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 3a + 6)19 + (9a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 13a + 8)19^2 + (14a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 14a)19^3 + (4a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 14a + 15)19^4 + (7a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 12a + 14)19^5 + (3a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 3a^2 + 6a + 16)19^6 + (14a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 2)19^7+O(19^8)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 6 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 3 + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19 + \left(17 a^{4} + 16 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(14 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{7} +O(19^{8})\) 6a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 17a^2 + 5a + 3 + (14a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 9a + 17)19 + (17a^4 + 16a^2 + 14a + 2)19^2 + (5a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 9)19^3 + (14a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 14a + 14)19^4 + (2a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 14a^2 + a + 10)19^5 + (6a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 9a + 3)19^6 + (7a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 2a)19^7+O(19^8)