# Properties

 Label 2.124.16t60.a.a Dimension 2 Group $\SL(2,3):C_2$ Conductor $2^{2} \cdot 31$ Root number not computed Frobenius-Schur indicator 0

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $2$ Group: 16T60 Conductor: $124= 2^{2} \cdot 31$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{16} - 2 x^{14} + x^{12} + 6 x^{10} + 12 x^{8} - 6 x^{6} + x^{4} + 2 x^{2} + 1$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 4 Smallest containing permutation representation: 16T60 Parity: Odd Determinant: 1.124.6t1.a.b Projective image: $A_4$ Projective field: Galois closure of 4.0.15376.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 17.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $x^{6} + 2 x^{4} + 10 x^{2} + 3 x + 3$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $14 a^{5} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 9\right)\cdot 17 + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{9} + \left(a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{10} + \left(12 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 17^{11} + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{12} + \left(2 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 17^{13} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{14} + \left(2 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{15} + \left(8 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $8 a^{5} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + \left(5 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17 + \left(15 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(13 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 17^{5} + \left(3 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(15 a^{5} + 4 a^{3} + 10 a + 12\right)\cdot 17^{7} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{8} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{9} + \left(13 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{11} + \left(12 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{12} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{13} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 8 a + 6\right)\cdot 17^{14} + \left(4 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{15} + \left(3 a^{5} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $14 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 15 + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17 + \left(5 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{8} + \left(16 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{9} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{10} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{11} + \left(16 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{12} + \left(15 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 10\right)\cdot 17^{13} + \left(10 a^{3} + 3 a + 5\right)\cdot 17^{14} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{15} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $13 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 5 + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17 + \left(14 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(2 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + \frac{61}{4} a^{3} + 12 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{5} + 2 a^{3} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{10} + \left(13 a^{5} + 13 a^{4} + a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{11} + \left(3 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{12} + \left(13 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{13} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(5 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{15} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $11 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 7 + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17 + \left(4 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{6} + \left(3 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{9} + \left(11 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{10} + \left(2 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{11} + \left(13 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{12} + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{13} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{14} + \left(14 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{15} + \left(9 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $15 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a + 7 + \left(16 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17 + \left(2 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{7} + \left(16 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{8} + \left(7 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{9} + \left(13 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{10} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{11} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{12} + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{13} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{14} + \left(6 a^{5} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $11 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 16 + \left(8 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17 + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{4} + \left(15 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(2 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{8} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{9} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{11} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{12} + \left(4 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{13} + \left(8 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{14} + \left(5 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{15} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $16 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 9 + \left(15 a^{5} + 5 a^{4} + 10 a^{2} + 14 a\right)\cdot 17 + \left(a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + a\right)\cdot 17^{2} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(8 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{5} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{5} + a^{3} + a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{8} + \left(11 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17^{9} + \left(5 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{10} + \left(5 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{11} + \left(6 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{12} + \left(4 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{13} + \left(4 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(16 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{5} + 12 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 9 }$ $=$ $3 a^{5} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + \left(15 a^{5} + a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17 + \left(8 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(13 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{5} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(10 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{7} + \left(2 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17^{8} + \left(a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 14 a\right)\cdot 17^{10} + \left(4 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{11} + \left(10 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{12} + \left(16 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{13} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{14} + \left(14 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{15} + \left(8 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 10 }$ $=$ $9 a^{5} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17 + \left(14 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{4} + \left(3 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(13 a^{5} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{8} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{9} + \left(3 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{10} + \left(5 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 17^{11} + \left(4 a^{5} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{12} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{13} + \left(6 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{14} + \left(12 a^{5} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 11 }$ $=$ $3 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 2 + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17 + \left(a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(13 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(10 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + \frac{241}{16} a + 13\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{6} + \left(15 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 17^{9} + \left(11 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{10} + \left(10 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{11} + \left(4 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 17^{12} + \left(a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{13} + \left(16 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{14} + \left(11 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{15} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 12 }$ $=$ $4 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 12 + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(\frac{65}{16} a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{5} + \left(8 a^{4} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{8} + \left(6 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{10} + \left(3 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 17^{11} + \left(13 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{12} + \left(3 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{13} + \left(2 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{14} + \left(11 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{15} + \left(15 a^{5} + 3 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 13 }$ $=$ $6 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 10 + \left(10 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17 + \left(12 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{2} + a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{5} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + a + \frac{33}{16}\right)\cdot 17^{5} + \left(9 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(13 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{8} + \left(a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{10} + \left(14 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{11} + \left(3 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 17^{12} + \left(14 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{13} + \left(7 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{14} + \left(2 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 17^{15} + \left(7 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 14 }$ $=$ $2 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a + 10 + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a + 11\right)\cdot 17 + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{3} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{5} + \left(15 a^{5} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{6} + \left(16 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{7} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17^{8} + \left(9 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{9} + \left(3 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{10} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{11} + \left(2 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{12} + \left(9 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{13} + \left(14 a^{5} + 8 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{14} + \left(10 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{15} + \left(3 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 15 }$ $=$ $6 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 1 + \left(15 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17 + \left(a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{5} + \left(9 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{5} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{8} + \left(14 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{9} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{10} + \left(5 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{11} + \left(16 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{12} + \left(12 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{13} + \left(8 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{14} + \left(11 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$ $r_{ 16 }$ $=$ $a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 8 + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17 + \left(14 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(6 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(8 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(7 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 17^{8} + \left(5 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{9} + \left(11 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{11} + \left(10 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{12} + \left(12 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 17^{13} + \left(12 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{14} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{15} + \left(4 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{16} +O\left(17^{ 17 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 16 }$

 Cycle notation $(1,13,12)(2,6,7)(4,9,5)(10,14,15)$ $(1,2,9,10)(3,16,11,8)(4,15,12,7)(5,14,13,6)$ $(1,3,9,11)(2,16,10,8)(4,13,12,5)(6,7,14,15)$ $(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$ $(1,13,9,5)(2,6,10,14)(3,4,11,12)(7,16,15,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 16 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $2$ $1$ $2$ $(1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)$ $-2$ $6$ $2$ $(1,6)(2,5)(3,15)(4,8)(7,11)(9,14)(10,13)(12,16)$ $0$ $4$ $3$ $(3,5,12)(4,11,13)(6,15,8)(7,16,14)$ $\zeta_{12}^{2}$ $4$ $3$ $(3,12,5)(4,13,11)(6,8,15)(7,14,16)$ $-\zeta_{12}^{2} + 1$ $1$ $4$ $(1,2,9,10)(3,16,11,8)(4,15,12,7)(5,14,13,6)$ $2 \zeta_{12}^{3}$ $1$ $4$ $(1,10,9,2)(3,8,11,16)(4,7,12,15)(5,6,13,14)$ $-2 \zeta_{12}^{3}$ $6$ $4$ $(1,13,9,5)(2,6,10,14)(3,4,11,12)(7,16,15,8)$ $0$ $4$ $6$ $(1,9)(2,10)(3,4,5,11,12,13)(6,16,15,14,8,7)$ $\zeta_{12}^{2} - 1$ $4$ $6$ $(1,9)(2,10)(3,13,12,11,5,4)(6,7,8,14,15,16)$ $-\zeta_{12}^{2}$ $4$ $12$ $(1,2,9,10)(3,14,4,8,5,7,11,6,12,16,13,15)$ $\zeta_{12}^{3} - \zeta_{12}$ $4$ $12$ $(1,2,9,10)(3,7,13,8,12,14,11,15,5,16,4,6)$ $\zeta_{12}$ $4$ $12$ $(1,10,9,2)(3,6,4,16,5,15,11,14,12,8,13,7)$ $-\zeta_{12}^{3} + \zeta_{12}$ $4$ $12$ $(1,10,9,2)(3,15,13,16,12,6,11,7,5,8,4,14)$ $-\zeta_{12}$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.