Basic invariants
| Dimension: | $2$ |
| Group: | $D_{28}$ |
| Conductor: | \(113600\)\(\medspace = 2^{6} \cdot 5^{2} \cdot 71 \) |
| Frobenius-Schur indicator: | $1$ |
| Root number: | $1$ |
| Artin stem field: | Galois closure of 28.2.2443365527501925442977500495872000000000000000000000.1 |
| Galois orbit size: | $6$ |
| Smallest permutation container: | $D_{28}$ |
| Parity: | odd |
| Determinant: | 1.71.2t1.a.a |
| Projective image: | $D_{14}$ |
| Projective stem field: | Galois closure of 14.2.10007834681328125.1 |
Defining polynomial
| $f(x)$ | $=$ |
\( x^{28} + 10 x^{26} - 280 x^{24} - 2600 x^{22} + 24800 x^{20} + 288000 x^{18} - 1128000 x^{16} + \cdots - 90880000000 \)
|
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 29 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 29 }$:
\( x^{14} + x^{8} + 3x^{7} + 14x^{6} + 10x^{5} + 21x^{4} + 18x^{3} + 27x^{2} + 5x + 2 \)
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ |
\( 13 a^{13} + a^{12} + 4 a^{11} + 24 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 25 a^{2} + a + 18 + \left(7 a^{13} + 7 a^{12} + 5 a^{11} + 28 a^{10} + 20 a^{9} + 26 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 29 + \left(11 a^{13} + 4 a^{12} + 6 a^{11} + 5 a^{10} + 23 a^{9} + a^{8} + 8 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{13} + 22 a^{12} + 14 a^{11} + 12 a^{10} + 5 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(20 a^{13} + 20 a^{12} + 5 a^{10} + 27 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 29^{4} + \left(5 a^{13} + 18 a^{12} + 2 a^{11} + 21 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{13} + 9 a^{12} + 18 a^{11} + 26 a^{10} + 12 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 23 a + 1\right)\cdot 29^{6} + \left(10 a^{13} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{13} + 16 a^{12} + 21 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + 7 a^{10} + 19 a^{9} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 2 }$ | $=$ |
\( 25 a^{13} + 25 a^{12} + a^{11} + 23 a^{10} + 14 a^{9} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 25 a + 8 + \left(11 a^{13} + 3 a^{12} + 9 a^{11} + a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 6 a^{7} + 13 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 29 + \left(2 a^{12} + 28 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{13} + 17 a^{12} + 11 a^{11} + 2 a^{10} + 4 a^{9} + 15 a^{8} + a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{13} + 7 a^{12} + 14 a^{11} + 21 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(16 a^{13} + 5 a^{12} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 19 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 28 a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 16\right)\cdot 29^{5} + \left(10 a^{13} + 17 a^{12} + 12 a^{11} + 24 a^{9} + 22 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{13} + 15 a^{12} + 5 a^{11} + 3 a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 26 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{13} + 22 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 3 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 28 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 29^{8} + \left(2 a^{13} + 6 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 18 a^{9} + 16 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 3 }$ | $=$ |
\( 11 a^{13} + 28 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 24 a^{6} + 6 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 20 a + 24 + \left(3 a^{13} + 4 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 20 a^{9} + 26 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 7 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 29 + \left(21 a^{13} + 6 a^{12} + 15 a^{11} + 2 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{8} + 28 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{13} + 26 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 24 a^{9} + 6 a^{8} + 21 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{13} + 27 a^{12} + 22 a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 29^{4} + \left(25 a^{13} + 16 a^{12} + 9 a^{11} + 28 a^{10} + 2 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(27 a^{13} + 28 a^{12} + 24 a^{11} + a^{10} + 15 a^{9} + 6 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 29^{6} + \left(12 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 27 a^{8} + 4 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{13} + 20 a^{12} + 12 a^{11} + 6 a^{10} + 18 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 29^{8} + \left(8 a^{13} + 27 a^{12} + 26 a^{11} + 14 a^{10} + 13 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 4 }$ | $=$ |
\( 8 a^{13} + 14 a^{12} + a^{11} + 11 a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 3 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 13 + \left(13 a^{13} + 28 a^{12} + 7 a^{11} + 2 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 23 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 19 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 29 + \left(10 a^{13} + 21 a^{12} + 22 a^{11} + 12 a^{10} + 17 a^{9} + 24 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{13} + 19 a^{12} + 8 a^{11} + 16 a^{10} + 21 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(21 a^{13} + 27 a^{12} + 12 a^{11} + 23 a^{10} + 14 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 7 a^{2} + a + 16\right)\cdot 29^{4} + \left(27 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 26 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{13} + 21 a^{12} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{13} + 14 a^{12} + 15 a^{11} + 25 a^{10} + 27 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + 24 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{13} + a^{12} + 10 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 29^{8} + \left(16 a^{13} + a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 5 }$ | $=$ |
\( 19 a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{11} + 15 a^{10} + 17 a^{9} + 27 a^{8} + 11 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 15 + \left(17 a^{13} + 2 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 26 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 29 + \left(16 a^{13} + 28 a^{12} + 19 a^{11} + 9 a^{10} + 9 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{13} + 26 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 26 a^{9} + 25 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(19 a^{13} + 15 a^{12} + 16 a^{11} + 12 a^{10} + 27 a^{9} + 7 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 29^{4} + \left(18 a^{13} + 27 a^{12} + 6 a^{11} + 26 a^{10} + 10 a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{7} + 26 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a + 26\right)\cdot 29^{5} + \left(2 a^{13} + 18 a^{12} + 25 a^{11} + 18 a^{10} + 13 a^{9} + 23 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 29^{6} + \left(22 a^{13} + 10 a^{12} + 13 a^{11} + 15 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 23 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{13} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{13} + 27 a^{12} + 20 a^{11} + 6 a^{10} + 27 a^{9} + 9 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 6 }$ | $=$ |
\( 27 a^{13} + 25 a^{12} + 20 a^{11} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 7 + \left(19 a^{13} + 24 a^{12} + 28 a^{11} + 24 a^{10} + 11 a^{9} + 14 a^{8} + 24 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 29 + \left(22 a^{13} + 9 a^{12} + a^{11} + 20 a^{10} + 25 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(28 a^{13} + 17 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 16 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 27 a^{3} + a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{13} + 28 a^{12} + 19 a^{11} + 17 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{13} + 3 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + 23 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 29^{5} + \left(28 a^{13} + 22 a^{12} + 23 a^{11} + 27 a^{10} + 11 a^{8} + 26 a^{7} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{13} + 7 a^{12} + 27 a^{11} + 27 a^{10} + 24 a^{9} + 25 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 24 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 28 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{13} + a^{12} + 5 a^{11} + 13 a^{10} + 12 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 29^{8} + \left(17 a^{13} + 16 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 27 a^{7} + 28 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 25 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 7 }$ | $=$ |
\( 3 a^{13} + 26 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 4 a + 13 + \left(a^{13} + 19 a^{12} + 19 a^{11} + 23 a^{10} + 16 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 27 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 29 + \left(27 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 25 a^{10} + 9 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 29^{2} + \left(10 a^{13} + 25 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 12 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(22 a^{13} + 24 a^{12} + 2 a^{11} + 15 a^{10} + 2 a^{9} + 8 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 29^{4} + \left(28 a^{13} + 8 a^{12} + 18 a^{11} + 20 a^{10} + 24 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + 14 a^{2} + 22\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{13} + 11 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 21 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(4 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 24 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 29^{7} + \left(17 a^{13} + 25 a^{12} + 12 a^{11} + 27 a^{10} + a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 29^{8} + \left(13 a^{13} + 12 a^{11} + 11 a^{10} + 4 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 23 a + 18\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 8 }$ | $=$ |
\( 12 a^{13} + 16 a^{12} + 11 a^{11} + 25 a^{10} + 19 a^{9} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 4 + \left(9 a^{13} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 11 a^{8} + 28 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 27 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 29 + \left(22 a^{13} + 17 a^{12} + 15 a^{11} + 26 a^{10} + 2 a^{9} + 16 a^{7} + 23 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(20 a^{13} + 8 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 19 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a\right)\cdot 29^{3} + \left(12 a^{13} + 12 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 17 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 23 a\right)\cdot 29^{4} + \left(4 a^{13} + 2 a^{12} + 28 a^{11} + 25 a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 27 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{13} + 18 a^{12} + 19 a^{11} + 5 a^{10} + 2 a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 29^{6} + \left(19 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 7 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 27 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 29^{7} + \left(25 a^{13} + 4 a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(24 a^{13} + 27 a^{12} + 20 a^{11} + 26 a^{10} + 14 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 9 }$ | $=$ |
\( 26 a^{13} + 2 a^{12} + 20 a^{11} + 20 a^{10} + 20 a^{9} + 28 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a + 24 + \left(9 a^{13} + 19 a^{12} + 11 a^{11} + 27 a^{10} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 19 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 29 + \left(6 a^{13} + 19 a^{12} + 6 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 7 a^{8} + 4 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(19 a^{13} + 18 a^{12} + 12 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{13} + 3 a^{12} + 14 a^{11} + 11 a^{10} + 3 a^{9} + 22 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a\right)\cdot 29^{4} + \left(9 a^{13} + 22 a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 27 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{13} + 23 a^{12} + 22 a^{11} + 27 a^{10} + 23 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 26 a^{6} + 18 a^{5} + 25 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(8 a^{13} + 13 a^{12} + 17 a^{11} + 27 a^{10} + 9 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + a + 14\right)\cdot 29^{7} + \left(6 a^{13} + 12 a^{12} + 28 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 11 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{13} + a^{12} + 11 a^{11} + 16 a^{10} + 27 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 10 }$ | $=$ |
\( 7 a^{13} + 14 a^{12} + 19 a^{11} + 24 a^{10} + 5 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 26 + \left(19 a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + 10 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a + 20\right)\cdot 29 + \left(5 a^{13} + 18 a^{12} + 21 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{13} + 27 a^{12} + 8 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 21 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 29^{3} + \left(13 a^{13} + 11 a^{12} + 25 a^{11} + 11 a^{10} + 19 a^{9} + 5 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(28 a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 4 a^{10} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 29^{5} + \left(4 a^{13} + 20 a^{11} + 3 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{13} + 8 a^{12} + 25 a^{11} + 14 a^{10} + 18 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 29^{7} + \left(21 a^{13} + 7 a^{12} + 4 a^{11} + 11 a^{10} + 7 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 29^{8} + \left(14 a^{13} + 18 a^{12} + 8 a^{11} + 17 a^{10} + 4 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 11 }$ | $=$ |
\( 12 a^{13} + 25 a^{12} + 25 a^{11} + 21 a^{10} + 20 a^{9} + 15 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9 + \left(18 a^{13} + 13 a^{12} + 10 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a + 13\right)\cdot 29 + \left(9 a^{13} + 8 a^{12} + 13 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 28 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(7 a^{13} + 26 a^{12} + 24 a^{11} + 14 a^{10} + 26 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{13} + 20 a^{11} + 16 a^{10} + 19 a^{9} + a^{8} + 20 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{4} + 26 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 29^{4} + \left(6 a^{13} + 14 a^{12} + 14 a^{11} + 4 a^{10} + 9 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{13} + 16 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(27 a^{13} + 18 a^{12} + 16 a^{11} + 2 a^{10} + 27 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 29^{7} + \left(2 a^{13} + 25 a^{12} + 4 a^{11} + 17 a^{10} + 20 a^{9} + 8 a^{8} + 20 a^{7} + 25 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 29^{8} + \left(14 a^{12} + 2 a^{11} + 20 a^{10} + 13 a^{9} + 16 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 27 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 12 }$ | $=$ |
\( 14 a^{13} + 16 a^{12} + 6 a^{10} + 26 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 8 + \left(9 a^{13} + a^{11} + 8 a^{10} + 21 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 29 + \left(17 a^{13} + 5 a^{11} + 15 a^{10} + 28 a^{9} + 14 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{13} + 27 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{10} + 16 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 26 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{13} + 13 a^{12} + 3 a^{11} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{13} + 9 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 25 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 27 a^{4} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(11 a^{13} + 14 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(10 a^{13} + a^{12} + 19 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 29^{7} + \left(4 a^{13} + 5 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 9 a^{9} + 12 a^{8} + 27 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(10 a^{13} + 22 a^{12} + 22 a^{11} + 20 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 13 }$ | $=$ |
\( 11 a^{12} + 21 a^{11} + 21 a^{10} + a^{9} + 24 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 23 a^{3} + a^{2} + 7 a + 5 + \left(7 a^{13} + 15 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 7 a^{9} + 11 a^{8} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 29 + \left(9 a^{13} + 24 a^{12} + 26 a^{11} + 4 a^{10} + 2 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{13} + 19 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 21 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{13} + 23 a^{12} + 6 a^{11} + 25 a^{10} + 4 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{13} + 12 a^{12} + 8 a^{11} + 3 a^{10} + 4 a^{9} + 27 a^{8} + 9 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{13} + 25 a^{12} + 8 a^{11} + a^{10} + 26 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + a + 22\right)\cdot 29^{6} + \left(21 a^{13} + 25 a^{12} + 23 a^{11} + 7 a^{10} + 21 a^{9} + 27 a^{8} + 22 a^{7} + 4 a^{6} + 23 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 29^{7} + \left(17 a^{13} + 14 a^{12} + 27 a^{11} + 2 a^{10} + 8 a^{9} + 14 a^{8} + 26 a^{7} + 16 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{13} + 25 a^{12} + 3 a^{11} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 14 }$ | $=$ |
\( 3 a^{13} + 9 a^{12} + 11 a^{11} + 5 a^{10} + 26 a^{9} + 6 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 28 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 14 + \left(13 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 14 a^{10} + 23 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 29 + \left(8 a^{13} + 23 a^{12} + 2 a^{11} + 23 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 19 a^{7} + 26 a^{6} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{13} + 20 a^{12} + a^{11} + 17 a^{10} + 23 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 29^{3} + \left(23 a^{13} + 7 a^{12} + 28 a^{11} + 28 a^{10} + 5 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 29^{4} + \left(15 a^{13} + 12 a^{12} + 2 a^{11} + 19 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 8 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 29^{5} + \left(12 a^{13} + 20 a^{12} + 17 a^{11} + 24 a^{10} + 16 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 28 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{13} + 9 a^{12} + 27 a^{11} + 16 a^{10} + 22 a^{9} + 24 a^{8} + 20 a^{7} + 26 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{13} + 10 a^{12} + 17 a^{11} + 14 a^{10} + 3 a^{9} + 12 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 29^{8} + \left(12 a^{13} + 16 a^{12} + 12 a^{11} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 15 }$ | $=$ |
\( 16 a^{13} + 28 a^{12} + 25 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 26 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 11 + \left(21 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{11} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 29 + \left(17 a^{13} + 24 a^{12} + 22 a^{11} + 23 a^{10} + 5 a^{9} + 27 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 27 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{13} + 6 a^{12} + 14 a^{11} + 16 a^{10} + 23 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(8 a^{13} + 8 a^{12} + 28 a^{11} + 23 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(23 a^{13} + 10 a^{12} + 26 a^{11} + 7 a^{10} + 18 a^{9} + 27 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{13} + 19 a^{12} + 10 a^{11} + 2 a^{10} + 16 a^{9} + 10 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{13} + 8 a^{12} + 10 a^{11} + 15 a^{10} + 6 a^{9} + 23 a^{8} + 16 a^{7} + 25 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 24 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{13} + 12 a^{12} + 7 a^{11} + 12 a^{10} + 28 a^{9} + 23 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{13} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 9 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 16 }$ | $=$ |
\( 4 a^{13} + 4 a^{12} + 28 a^{11} + 6 a^{10} + 15 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 21 + \left(17 a^{13} + 25 a^{12} + 19 a^{11} + 27 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 29 + \left(28 a^{13} + 26 a^{12} + 8 a^{10} + 13 a^{9} + 25 a^{8} + 26 a^{7} + 13 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(26 a^{13} + 11 a^{12} + 17 a^{11} + 26 a^{10} + 24 a^{9} + 13 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 29^{3} + \left(4 a^{13} + 21 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 23 a^{9} + 27 a^{8} + 26 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(12 a^{13} + 23 a^{12} + 20 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 11 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 3 a^{3} + 28 a + 12\right)\cdot 29^{5} + \left(18 a^{13} + 11 a^{12} + 16 a^{11} + 28 a^{10} + 4 a^{9} + 6 a^{8} + 25 a^{7} + 23 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 29^{6} + \left(10 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{11} + 25 a^{10} + 23 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 29^{7} + \left(9 a^{13} + 6 a^{12} + 9 a^{11} + 6 a^{10} + 25 a^{9} + 23 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 29^{8} + \left(26 a^{13} + 22 a^{12} + a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 17 }$ | $=$ |
\( 18 a^{13} + a^{12} + 20 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 5 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 5 + \left(25 a^{13} + 24 a^{12} + 16 a^{11} + 27 a^{10} + 8 a^{9} + 2 a^{8} + 26 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 29 + \left(7 a^{13} + 22 a^{12} + 13 a^{11} + 26 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{8} + 27 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 26 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{13} + 2 a^{12} + 18 a^{11} + 26 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(18 a^{13} + a^{12} + 6 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 29^{4} + \left(3 a^{13} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 26 a^{9} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 29^{5} + \left(a^{13} + 4 a^{11} + 27 a^{10} + 13 a^{9} + 22 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 29^{6} + \left(16 a^{13} + 25 a^{12} + 10 a^{11} + 9 a^{10} + 16 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{13} + 8 a^{12} + 16 a^{11} + 22 a^{10} + 10 a^{9} + 20 a^{8} + 18 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 29^{8} + \left(20 a^{13} + a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 15 a^{9} + 4 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 18 }$ | $=$ |
\( 21 a^{13} + 15 a^{12} + 28 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 26 a^{6} + 2 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 23 a + 16 + \left(15 a^{13} + 21 a^{11} + 26 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 8\right)\cdot 29 + \left(18 a^{13} + 7 a^{12} + 6 a^{11} + 16 a^{10} + 11 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{13} + 9 a^{12} + 20 a^{11} + 12 a^{10} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 29^{3} + \left(7 a^{13} + a^{12} + 16 a^{11} + 5 a^{10} + 14 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 29^{4} + \left(a^{13} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 13 a^{10} + 8 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{13} + 7 a^{12} + 28 a^{11} + 14 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{3} + 22 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 29^{6} + \left(19 a^{13} + 14 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + a^{9} + 11 a^{8} + 19 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{13} + 27 a^{12} + 18 a^{11} + 21 a^{10} + 23 a^{9} + 25 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 27 a^{2} + 25\right)\cdot 29^{8} + \left(12 a^{13} + 27 a^{12} + 15 a^{11} + 28 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 19 }$ | $=$ |
\( 10 a^{13} + 22 a^{12} + 25 a^{11} + 14 a^{10} + 12 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 14 + \left(11 a^{13} + 26 a^{12} + 12 a^{11} + a^{10} + 16 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a + 11\right)\cdot 29 + \left(12 a^{13} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 12 a^{8} + 25 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{13} + 2 a^{12} + 24 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 29^{3} + \left(9 a^{13} + 13 a^{12} + 12 a^{11} + 16 a^{10} + a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(10 a^{13} + a^{12} + 22 a^{11} + 2 a^{10} + 18 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 29^{5} + \left(26 a^{13} + 10 a^{12} + 3 a^{11} + 10 a^{10} + 15 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 10 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 29^{6} + \left(6 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 13 a^{10} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 29^{7} + \left(19 a^{13} + a^{12} + 13 a^{11} + 15 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 2 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{13} + a^{12} + 8 a^{11} + 22 a^{10} + a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 19 a^{6} + 28 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 20 }$ | $=$ |
\( 2 a^{13} + 4 a^{12} + 9 a^{11} + 14 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 22 + \left(9 a^{13} + 4 a^{12} + 5 a^{10} + 17 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 29 + \left(6 a^{13} + 19 a^{12} + 27 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 23 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 29^{2} + \left(11 a^{12} + 24 a^{11} + 23 a^{10} + 17 a^{9} + 12 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 23 a^{5} + 27 a^{4} + a^{3} + 27 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{13} + 9 a^{11} + 11 a^{10} + 22 a^{9} + 13 a^{8} + 12 a^{7} + 25 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 29^{4} + \left(26 a^{13} + 25 a^{12} + 27 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 29^{5} + \left(6 a^{12} + 5 a^{11} + a^{10} + 28 a^{9} + 17 a^{8} + 2 a^{7} + 28 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{13} + 21 a^{12} + a^{11} + a^{10} + 4 a^{9} + 3 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a + 11\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{13} + 27 a^{12} + 23 a^{11} + 15 a^{10} + 16 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 24 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 29^{8} + \left(11 a^{13} + 12 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 21 }$ | $=$ |
\( 26 a^{13} + 3 a^{12} + 10 a^{11} + 28 a^{10} + 7 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 16 + \left(27 a^{13} + 9 a^{12} + 9 a^{11} + 5 a^{10} + 12 a^{9} + 23 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 29 + \left(a^{13} + 20 a^{12} + 10 a^{11} + 3 a^{10} + 19 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 29^{2} + \left(18 a^{13} + 3 a^{12} + 18 a^{11} + 26 a^{10} + 16 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 24 a^{2} + 28 a\right)\cdot 29^{3} + \left(6 a^{13} + 4 a^{12} + 26 a^{11} + 13 a^{10} + 26 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 9\right)\cdot 29^{4} + \left(20 a^{12} + 10 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 29^{5} + \left(9 a^{13} + 28 a^{12} + 17 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(24 a^{13} + 11 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 6 a^{9} + 17 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 29^{7} + \left(11 a^{13} + 3 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 27 a^{9} + 24 a^{8} + 13 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 29^{8} + \left(15 a^{13} + 28 a^{12} + 16 a^{11} + 17 a^{10} + 24 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 23 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 22 }$ | $=$ |
\( 17 a^{13} + 13 a^{12} + 18 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{7} + 25 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 25 + \left(19 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{10} + 18 a^{8} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 29 + \left(6 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 2 a^{10} + 26 a^{9} + 28 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + 5\right)\cdot 29^{2} + \left(8 a^{13} + 20 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 29^{3} + \left(16 a^{13} + 16 a^{12} + 25 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{9} + 21 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{13} + 26 a^{12} + 3 a^{10} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 27 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 29^{5} + \left(20 a^{13} + 10 a^{12} + 9 a^{11} + 23 a^{10} + 26 a^{9} + 3 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a + 24\right)\cdot 29^{6} + \left(9 a^{13} + 20 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 29^{7} + \left(3 a^{13} + 24 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 29^{8} + \left(4 a^{13} + a^{12} + 8 a^{11} + 2 a^{10} + 14 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 24 a^{2} + 23 a\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 23 }$ | $=$ |
\( 3 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a + 5 + \left(19 a^{13} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + a^{10} + 14 a^{9} + 16 a^{8} + 22 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 18 a\right)\cdot 29 + \left(22 a^{13} + 9 a^{12} + 22 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 21 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 29^{2} + \left(9 a^{13} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + 13 a^{10} + 22 a^{9} + 23 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + a + 18\right)\cdot 29^{3} + \left(10 a^{13} + 25 a^{12} + 14 a^{11} + 17 a^{10} + 25 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 29^{4} + \left(19 a^{13} + 6 a^{12} + 26 a^{11} + 12 a^{10} + 15 a^{9} + 19 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 29^{5} + \left(19 a^{13} + 5 a^{12} + 6 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 7 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 29^{6} + \left(20 a^{13} + 15 a^{12} + 11 a^{11} + a^{10} + 19 a^{9} + 3 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 24 a^{5} + 24 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 29^{7} + \left(22 a^{13} + 16 a^{12} + 13 a^{10} + 15 a^{9} + 17 a^{8} + 6 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a\right)\cdot 29^{8} + \left(27 a^{13} + 27 a^{12} + 17 a^{11} + 12 a^{10} + a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 24 }$ | $=$ |
\( 22 a^{13} + 15 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 24 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 3 + \left(9 a^{13} + 27 a^{12} + 22 a^{11} + 18 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 28 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 29 + \left(23 a^{13} + 10 a^{12} + 7 a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 8 a^{8} + 7 a^{7} + 23 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 29^{2} + \left(16 a^{13} + a^{12} + 20 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 7 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 27 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 29^{3} + \left(15 a^{13} + 17 a^{12} + 3 a^{11} + 17 a^{10} + 9 a^{9} + 23 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 29^{4} + \left(24 a^{12} + 26 a^{11} + 24 a^{10} + 28 a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 29^{5} + \left(24 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 25 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + a + 20\right)\cdot 29^{6} + \left(14 a^{13} + 20 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 10 a^{9} + 19 a^{8} + 24 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 25 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 29^{7} + \left(7 a^{13} + 21 a^{12} + 24 a^{11} + 17 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 29^{8} + \left(14 a^{13} + 10 a^{12} + 20 a^{11} + 11 a^{10} + 24 a^{9} + 26 a^{8} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 2 a^{4} + 24 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 25 }$ | $=$ |
\( 17 a^{13} + 4 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 27 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 20 + \left(10 a^{13} + 15 a^{12} + 18 a^{11} + 22 a^{10} + 28 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 29 + \left(19 a^{13} + 20 a^{12} + 15 a^{11} + 8 a^{10} + 28 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{3} + 24 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 29^{2} + \left(21 a^{13} + 2 a^{12} + 4 a^{11} + 14 a^{10} + 2 a^{9} + 11 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + a + 2\right)\cdot 29^{3} + \left(24 a^{13} + 28 a^{12} + 8 a^{11} + 12 a^{10} + 9 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 29^{4} + \left(22 a^{13} + 14 a^{12} + 14 a^{11} + 24 a^{10} + 19 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{6} + 7 a^{5} + 26 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 29^{5} + \left(8 a^{13} + 12 a^{12} + 20 a^{11} + 15 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 10 a^{7} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 27 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 29^{6} + \left(a^{13} + 10 a^{12} + 12 a^{11} + 26 a^{10} + a^{9} + 25 a^{8} + 14 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 29^{7} + \left(26 a^{13} + 3 a^{12} + 24 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 29^{8} + \left(28 a^{13} + 14 a^{12} + 26 a^{11} + 8 a^{10} + 15 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 26 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 26 }$ | $=$ |
\( 15 a^{13} + 13 a^{12} + 23 a^{10} + 3 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 5 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 21 + \left(19 a^{13} + 28 a^{12} + 28 a^{11} + 20 a^{10} + 7 a^{9} + 26 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 16 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 29 + \left(11 a^{13} + 28 a^{12} + 23 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a + 6\right)\cdot 29^{2} + \left(12 a^{13} + a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 29^{3} + \left(2 a^{13} + 15 a^{12} + 25 a^{11} + 15 a^{10} + 13 a^{9} + 4 a^{8} + a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{13} + 19 a^{12} + 6 a^{11} + 25 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 29^{5} + \left(17 a^{13} + 28 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 26 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 22 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 29^{6} + \left(18 a^{13} + 27 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + 25 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 29^{7} + \left(24 a^{13} + 23 a^{12} + 14 a^{11} + 15 a^{10} + 19 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 28 a^{2} + 24\right)\cdot 29^{8} + \left(18 a^{13} + 6 a^{12} + 6 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 24 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 27 }$ | $=$ |
\( 18 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 28 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 22 a + 24 + \left(22 a^{13} + 13 a^{12} + 9 a^{11} + 27 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 29 + \left(19 a^{13} + 4 a^{12} + 2 a^{11} + 24 a^{10} + 26 a^{9} + 2 a^{8} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 29^{2} + \left(2 a^{13} + 9 a^{12} + 18 a^{11} + 23 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 2 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 28 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 29^{3} + \left(26 a^{13} + 5 a^{12} + 22 a^{11} + 3 a^{10} + 24 a^{9} + 2 a^{8} + 5 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 29^{4} + \left(2 a^{13} + 16 a^{12} + 20 a^{11} + 25 a^{10} + 24 a^{9} + a^{8} + 19 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + a^{2} + a + 24\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{13} + 3 a^{12} + 20 a^{11} + 27 a^{10} + 2 a^{9} + 20 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 29^{6} + \left(7 a^{13} + 3 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 7 a^{9} + a^{8} + 6 a^{7} + 24 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 29^{7} + \left(11 a^{13} + 14 a^{12} + a^{11} + 26 a^{10} + 20 a^{9} + 14 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 15 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 29^{8} + \left(a^{13} + 3 a^{12} + 25 a^{11} + 21 a^{10} + 11 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
| $r_{ 28 }$ | $=$ |
\( 26 a^{13} + 20 a^{12} + 18 a^{11} + 24 a^{10} + 3 a^{9} + 23 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 27 a + 15 + \left(15 a^{13} + 25 a^{12} + 8 a^{11} + 14 a^{10} + 5 a^{9} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 29 + \left(20 a^{13} + 5 a^{12} + 26 a^{11} + 5 a^{10} + 17 a^{9} + 25 a^{8} + 9 a^{7} + 2 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a\right)\cdot 29^{2} + \left(14 a^{13} + 8 a^{12} + 27 a^{11} + 11 a^{10} + 5 a^{9} + 14 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 29^{3} + \left(5 a^{13} + 21 a^{12} + 23 a^{9} + 17 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 29^{4} + \left(13 a^{13} + 16 a^{12} + 26 a^{11} + 9 a^{10} + 20 a^{9} + 24 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 20\right)\cdot 29^{5} + \left(16 a^{13} + 8 a^{12} + 11 a^{11} + 4 a^{10} + 12 a^{9} + 17 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 29^{6} + \left(10 a^{13} + 19 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 8 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 26 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 29^{7} + \left(14 a^{13} + 18 a^{12} + 11 a^{11} + 14 a^{10} + 25 a^{9} + 16 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 29^{8} + \left(16 a^{13} + 12 a^{12} + 16 a^{11} + 20 a^{10} + 15 a^{9} + 16 a^{8} + 19 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 29^{9} +O(29^{10})\)
|
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 28 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 28 }$ | Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $2$ |
| $1$ | $2$ | $(1,15)(2,16)(3,17)(4,18)(5,19)(6,20)(7,21)(8,22)(9,23)(10,24)(11,25)(12,26)(13,27)(14,28)$ | $-2$ |
| $14$ | $2$ | $(1,16)(2,15)(3,27)(4,5)(6,28)(7,25)(8,10)(9,26)(11,21)(12,23)(13,17)(14,20)(18,19)(22,24)$ | $0$ |
| $14$ | $2$ | $(1,13)(2,17)(3,16)(4,12)(5,9)(7,10)(8,11)(14,28)(15,27)(18,26)(19,23)(21,24)(22,25)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,3,15,17)(2,27,16,13)(4,9,18,23)(5,12,19,26)(6,14,20,28)(7,22,21,8)(10,11,24,25)$ | $0$ |
| $2$ | $7$ | $(1,10,21,27,26,14,4)(2,19,6,23,17,25,22)(3,11,8,16,5,20,9)(7,13,12,28,18,15,24)$ | $\zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6}$ |
| $2$ | $7$ | $(1,27,4,21,14,10,26)(2,23,22,6,25,19,17)(3,16,9,8,20,11,5)(7,28,24,12,15,13,18)$ | $-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{4}$ |
| $2$ | $7$ | $(1,21,26,4,10,27,14)(2,6,17,22,19,23,25)(3,8,5,9,11,16,20)(7,12,18,24,13,28,15)$ | $\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6} - \zeta_{28}^{4} - 1$ |
| $2$ | $14$ | $(1,12,10,28,21,18,27,15,26,24,14,7,4,13)(2,3,19,11,6,8,23,16,17,5,25,20,22,9)$ | $\zeta_{28}^{10} - \zeta_{28}^{4}$ |
| $2$ | $14$ | $(1,28,27,24,4,12,21,15,14,13,10,18,26,7)(2,11,23,5,22,3,6,16,25,9,19,8,17,20)$ | $-\zeta_{28}^{10} + \zeta_{28}^{8} - \zeta_{28}^{6} + \zeta_{28}^{4} + 1$ |
| $2$ | $14$ | $(1,18,14,12,27,7,10,15,4,28,26,13,21,24)(2,8,25,3,23,20,19,16,22,11,17,9,6,5)$ | $-\zeta_{28}^{8} + \zeta_{28}^{6}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,19,24,20,21,23,13,3,26,25,28,8,4,2,15,5,10,6,7,9,27,17,12,11,14,22,18,16)$ | $\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{3}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,20,13,25,4,5,7,17,14,16,24,23,26,8,15,6,27,11,18,19,21,3,28,2,10,9,12,22)$ | $-\zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{5}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,23,28,5,27,22,24,3,4,6,12,16,21,25,15,9,14,19,13,8,10,17,18,20,26,2,7,11)$ | $-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{7} + \zeta_{28}^{5} - \zeta_{28}^{3} + 2 \zeta_{28}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,25,7,16,26,6,18,3,10,22,13,5,14,23,15,11,21,2,12,20,4,17,24,8,27,19,28,9)$ | $\zeta_{28}^{11} - \zeta_{28}^{9} + \zeta_{28}^{7} - \zeta_{28}^{5} + \zeta_{28}^{3} - 2 \zeta_{28}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,8,12,23,10,16,28,17,21,5,18,25,27,20,15,22,26,9,24,2,14,3,7,19,4,11,13,6)$ | $\zeta_{28}^{9} - \zeta_{28}^{5}$ |
| $2$ | $28$ | $(1,2,18,8,14,25,12,3,27,23,7,20,10,19,15,16,4,22,28,11,26,17,13,9,21,6,24,5)$ | $-\zeta_{28}^{11} + \zeta_{28}^{3}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.