LMFDB - Artin representation 2.100.10t6.a.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	25T3
Conductor:	$100$$\medspace = 2^{2} \cdot 5^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 25.5.9536743164062500000000000000000000.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	$D_5\times C_5$
Parity:	odd
Determinant:	1.100.10t1.a.a
Projective image:	$D_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.6250000.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{25} - 5 x^{24} + 10 x^{23} - 10 x^{22} + 17 x^{20} - 25 x^{19} + 10 x^{18} + 55 x^{17} - 150 x^{16} + \cdots - 1 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 9.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{10} + 30x^{5} + 26x^{4} + 13x^{3} + 13x^{2} + 13x + 3 $ x^10 + 30*x^5 + 26*x^4 + 13*x^3 + 13*x^2 + 13*x + 3

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 25 a + 19 + \left(10 a^{8} + 14 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31 + \left(14 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{9} + 6 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 7 a^{5} + 23 a^{4} + 6 a^{3} + 28 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{9} + 29 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 25 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{9} + 9 a^{8} + 27 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{5} + \left(3 a^{9} + 11 a^{8} + 11 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{6} + \left(10 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 31^{7} + \left(14 a^{9} + 21 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + 25 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 15a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 6a^5 + 23a^4 + 29a^3 + a^2 + 25a + 19 + (10a^8 + 14a^7 + 24a^6 + 13a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 8a + 16)31 + (14a^9 + 15a^8 + 23a^7 + 7a^6 + 9a^5 + 14a^4 + 25a^3 + 14a^2 + 20a + 29)31^2 + (7a^9 + 6a^8 + 16a^7 + 21a^6 + 7a^5 + 23a^4 + 6a^3 + 28a^2 + 20a + 17)31^3 + (13a^9 + 29a^8 + 18a^7 + 19a^6 + 20a^5 + 25a^4 + 19a^3 + 19a^2 + 30a + 10)31^4 + (4a^9 + 9a^8 + 27a^7 + 8a^6 + 19a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 26a + 9)31^5 + (3a^9 + 11a^8 + 11a^7 + 27a^6 + 8a^5 + 25a^4 + 24a^3 + 11a + 22)31^6 + (10a^9 + 19a^8 + 3a^7 + a^6 + 11a^5 + 6a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 3a + 4)31^7 + (14a^9 + 21a^8 + 28a^7 + 30a^6 + 25a^5 + a^4 + a^3 + 23a^2 + 22a + 10)*31^8+O(31^9)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 17 a^{9} + 12 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 30 a^{2} + a + 9 + \left(11 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 31 + \left(2 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{9} + 4 a^{8} + 29 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 31^{4} + \left(9 a^{9} + 26 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 26 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 17a^9 + 12a^8 + a^7 + 16a^6 + 7a^5 + 14a^4 + 20a^3 + 30a^2 + a + 9 + (11a^9 + 9a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 16a + 13)31 + (2a^9 + 5a^8 + 3a^7 + 6a^6 + 18a^5 + 7a^4 + a^3 + 28a^2 + 18a + 22)31^2 + (3a^9 + 7a^8 + 9a^7 + 18a^6 + 26a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 19a + 18)31^3 + (20a^9 + 4a^8 + 29a^7 + 8a^6 + 14a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 14a^2 + 28a + 23)31^4 + (9a^9 + 26a^8 + 19a^7 + 21a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 11a^2 + a + 14)31^5 + (10a^9 + 19a^8 + 3a^7 + 26a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 29a^3 + 5a^2 + 12a + 9)31^6 + (5a^9 + 5a^8 + 22a^7 + 24a^6 + 2a^5 + 27a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 9a + 19)31^7 + (11a^9 + 10a^8 + 25a^7 + 7a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 28a^3 + 14a + 11)31^8+O(31^9)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 20 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 2 + \left(22 a^{9} + 15 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 26 a^{3} + 20 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31 + \left(6 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 24 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{9} + 22 a^{8} + 30 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 23 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(19 a^{9} + 8 a^{8} + 23 a^{7} + 2 a^{5} + 27 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{8} + 2 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{9} + 12 a^{8} + 12 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 20a^9 + 15a^8 + 4a^7 + 30a^6 + 7a^5 + 27a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 24a + 2 + (22a^9 + 15a^8 + 4a^7 + 17a^6 + 22a^5 + 27a^4 + 26a^3 + 20a^2 + 27a + 18)31 + (6a^9 + 4a^8 + 14a^7 + 5a^6 + 18a^5 + 24a^4 + 29a^3 + 29a^2 + 22a + 15)31^2 + (7a^9 + 22a^8 + 30a^7 + a^6 + 21a^5 + 28a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 25a + 24)31^3 + (4a^9 + 23a^8 + 12a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 27a^4 + 25a^3 + 21a^2 + 4a + 12)31^4 + (19a^9 + 8a^8 + 23a^7 + 2a^5 + 27a^3 + 10a^2 + 22a + 8)31^5 + (15a^8 + 2a^7 + 15a^6 + 14a^5 + 15a^4 + 29a^3 + 15a^2 + 7a + 23)31^6 + (15a^9 + 13a^8 + 5a^7 + 17a^6 + 8a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 13a^2 + 29a + 9)31^7 + (24a^9 + 12a^8 + 12a^7 + 6a^6 + 12a^5 + 27a^4 + 12a^3 + 17a + 18)31^8+O(31^9)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 6 a^{9} + 16 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 3 + \left(a^{8} + 11 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31 + \left(18 a^{9} + 4 a^{8} + 4 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{9} + 24 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(18 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{9} + 29 a^{8} + 9 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 24 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 28\right)\cdot 31^{5} + \left(4 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a\right)\cdot 31^{6} + \left(7 a^{9} + 26 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 27 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 26 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 6a^9 + 16a^8 + 24a^7 + 7a^6 + 26a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 7a + 3 + (a^8 + 11a^7 + 17a^6 + 12a^5 + 4a^4 + a^3 + 18a^2 + 23a)31 + (18a^9 + 4a^8 + 4a^7 + 4a^6 + 22a^4 + 10a^3 + 29a^2 + 4a + 30)31^2 + (23a^9 + 24a^8 + 22a^7 + 7a^6 + 8a^4 + 25a^3 + 4a^2 + 3a + 3)31^3 + (18a^9 + 15a^8 + 28a^7 + 19a^6 + 3a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 10a + 10)31^4 + (15a^9 + 29a^8 + 9a^7 + 15a^6 + a^5 + 24a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 28)31^5 + (4a^9 + 8a^8 + 13a^7 + 11a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 19a)31^6 + (7a^9 + 26a^8 + 9a^7 + 19a^6 + 3a^5 + 16a^4 + 27a^2 + 7a + 21)31^7 + (16a^8 + 8a^7 + 15a^6 + 26a^5 + 8a^4 + a^3 + 6a^2 + 16a + 4)31^8+O(31^9)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 20 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 25 + \left(10 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 31 + \left(18 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(14 a^{9} + 3 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(7 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 30 a^{3} + 24 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{9} + 11 a^{8} + 23 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{6} + \left(18 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 14 a^{5} + 24 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 20a^9 + 21a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 24a^5 + 26a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 18a + 25 + (10a^9 + 18a^8 + 2a^6 + 12a^5 + 27a^4 + 22a^3 + 12a^2 + 27a + 16)31 + (18a^9 + 12a^8 + 11a^7 + 9a^6 + 2a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 16a + 4)31^2 + (14a^9 + 3a^8 + 15a^7 + 3a^6 + 19a^5 + 19a^4 + 25a^3 + 18a^2 + 4a + 27)31^3 + (7a^9 + 29a^8 + 22a^7 + 25a^6 + 21a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 16a)31^4 + (4a^9 + 20a^8 + 21a^7 + 15a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 30a^3 + 24a^2 + 9a + 22)31^5 + (20a^9 + 11a^8 + 23a^7 + 18a^6 + 3a^5 + 21a^4 + 10a^3 + 26a^2 + 17a + 12)31^6 + (18a^8 + 18a^7 + 14a^6 + 6a^5 + 23a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 8a + 25)31^7 + (27a^9 + 7a^7 + 26a^6 + 14a^5 + 24a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 16a + 27)31^8+O(31^9)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 26 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 7 + \left(25 a^{9} + 13 a^{8} + 16 a^{7} + 19 a^{6} + 30 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 23 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(24 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{9} + 23 a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 24 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{9} + 16 a^{8} + 30 a^{7} + 16 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 9 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(25 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 4 a^{4} + 25 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 26a^9 + 27a^8 + 14a^7 + 14a^6 + a^5 + 3a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 3a + 7 + (25a^9 + 13a^8 + 16a^7 + 19a^6 + 30a^5 + 13a^4 + 26a^3 + 14a^2 + 18a + 1)31 + (21a^9 + 7a^8 + 10a^7 + 23a^6 + 6a^5 + 10a^4 + 6a^2 + 4a + 7)31^2 + (24a^9 + 26a^8 + 10a^7 + 12a^6 + 18a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 4a + 7)31^3 + (25a^9 + 23a^8 + 7a^7 + 3a^6 + 4a^5 + 27a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 13a + 2)31^4 + (30a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 24a^5 + a^4 + 17a^3 + 28a^2 + 11a + 24)31^5 + (22a^9 + 16a^8 + 30a^7 + 16a^6 + 29a^5 + 9a^4 + 23a^3 + 9a^2 + 22a + 18)31^6 + (13a^9 + 27a^8 + 5a^7 + 18a^6 + 2a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 9a^2 + 9a + 3)31^7 + (25a^9 + 27a^8 + 16a^7 + 22a^6 + a^5 + 4a^4 + 25a^3 + 3a^2 + 12)*31^8+O(31^9)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 30 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 4 + \left(2 a^{9} + 11 a^{8} + 4 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31 + \left(2 a^{9} + 26 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 19 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 30 a^{7} + 17 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 30\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 24 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{5} + \left(23 a^{9} + 11 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 29 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 3 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{6} + \left(29 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 6 a^{6} + 29 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{7} + \left(7 a^{9} + 13 a^{8} + 22 a^{7} + 26 a^{6} + 27 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 30a^9 + 15a^8 + 7a^7 + 5a^6 + 20a^5 + 9a^4 + 7a^3 + 11a^2 + 28a + 4 + (2a^9 + 11a^8 + 4a^7 + 29a^6 + 27a^5 + 17a^4 + 6a^3 + 19a^2 + 14a + 6)31 + (2a^9 + 26a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 19a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 19a^2 + 5a + 12)31^2 + (10a^9 + 14a^8 + 30a^7 + 17a^6 + 9a^5 + 25a^4 + 29a^3 + 12a^2 + 26a + 30)31^3 + (30a^9 + 6a^8 + 2a^7 + 18a^6 + 14a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 13a + 4)31^4 + (27a^9 + 8a^8 + 15a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 24a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 8a + 21)31^5 + (23a^9 + 11a^8 + 17a^7 + 6a^6 + 29a^5 + 3a^4 + 23a^3 + 3a^2 + 29a + 16)31^6 + (29a^9 + 6a^8 + 27a^7 + 6a^6 + 29a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 12a + 12)31^7 + (7a^9 + 13a^8 + 22a^7 + 26a^6 + 27a^5 + 2a^4 + 26a^3 + 2a^2 + 23a + 10)*31^8+O(31^9)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 14 a^{9} + 11 a^{8} + 16 a^{7} + 24 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 23 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 23 + \left(18 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31 + \left(25 a^{9} + 22 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{9} + 25 a^{8} + 25 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{9} + 6 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{7} + 5 a^{6} + 27 a^{5} + 24 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{9} + 25 a^{8} + 19 a^{7} + 23 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(4 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 14a^9 + 11a^8 + 16a^7 + 24a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 23a^3 + 13a^2 + 8a + 23 + (18a^9 + 22a^8 + 9a^7 + 18a^6 + a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 22a + 4)31 + (25a^9 + 22a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 12a^4 + 22a^3 + 15a^2 + 7a + 19)31^2 + (11a^9 + 25a^8 + 25a^7 + 16a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 19a + 3)31^3 + (28a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 3a^6 + 17a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 4a + 5)31^4 + (29a^9 + 6a^8 + a^7 + 5a^6 + 28a^5 + 12a^3 + 5a^2 + 29a + 10)31^5 + (25a^7 + 5a^6 + 27a^5 + 24a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 22a + 9)31^6 + (14a^9 + 25a^8 + 19a^7 + 23a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 24a + 27)31^7 + (4a^9 + 15a^8 + 7a^7 + 25a^6 + 22a^5 + 25a^4 + 2a^3 + 8a + 7)31^8+O(31^9)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 2 a^{9} + 27 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 8 + \left(23 a^{9} + 6 a^{8} + 28 a^{7} + 3 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 31 + \left(14 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 29 a^{8} + 2 a^{7} + 16 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(12 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 27 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + 24 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{6} + \left(2 a^{9} + 14 a^{8} + 13 a^{7} + 28 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 27 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{9} + 14 a^{8} + 25 a^{7} + 13 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 2a^9 + 27a^8 + 14a^7 + 23a^6 + 4a^5 + 21a^3 + 17a^2 + 24a + 8 + (23a^9 + 6a^8 + 28a^7 + 3a^6 + 25a^5 + 9a^4 + 23a^3 + 7a^2 + 9a + 4)31 + (14a^9 + 26a^8 + 17a^7 + 28a^6 + 24a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 8a + 19)31^2 + (9a^9 + 30a^8 + a^7 + 15a^6 + 28a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 9a + 8)31^3 + (26a^9 + 29a^8 + 2a^7 + 16a^6 + 14a^5 + 26a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 8a + 13)31^4 + (12a^9 + 27a^8 + 8a^7 + 17a^6 + 4a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 9a + 23)31^5 + (24a^9 + 29a^8 + 22a^7 + 27a^6 + 2a^5 + 22a^4 + 29a^3 + 24a^2 + 21a + 24)31^6 + (2a^9 + 14a^8 + 13a^7 + 28a^6 + 24a^5 + 25a^4 + 17a^3 + 27a^2 + 4a + 6)31^7 + (19a^9 + 14a^8 + 25a^7 + 13a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 26a^3 + 17a^2 + 19a + 3)*31^8+O(31^9)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 19 a^{9} + 8 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 10 a^{5} + 28 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + \left(a^{9} + 9 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 27 a^{4} + 25 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{9} + 6 a^{8} + 2 a^{7} + 7 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(14 a^{9} + 21 a^{8} + 13 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{9} + 12 a^{8} + 24 a^{7} + 3 a^{6} + 20 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{5} + \left(26 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 28 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{6} + \left(a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 19a^9 + 8a^8 + 16a^7 + 29a^6 + 10a^5 + 28a^4 + a^3 + 12a^2 + 14a + (a^9 + 9a^8 + 18a^7 + 28a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 7a^3 + 26a^2 + 25a + 27)31 + (21a^9 + 15a^8 + 10a^7 + 14a^6 + 9a^5 + 27a^4 + 25a^3 + 4a^2 + 11a + 17)31^2 + (a^9 + 6a^8 + 2a^7 + 7a^6 + 11a^5 + 30a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 23)31^3 + (14a^9 + 21a^8 + 13a^7 + 27a^6 + 9a^5 + 20a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 26a + 13)31^4 + (27a^9 + 12a^8 + 24a^7 + 3a^6 + 20a^5 + 9a^4 + a^3 + 21a^2 + 23a + 19)31^5 + (26a^9 + 11a^8 + 15a^7 + 28a^6 + 30a^5 + 8a^4 + a^3 + 8a^2 + 29a + 3)31^6 + (a^8 + 12a^7 + 17a^6 + 12a^5 + 9a^4 + a^3 + a^2 + 14a + 23)31^7 + (a^9 + 25a^8 + a^7 + 12a^6 + 27a^5 + 12a^4 + a^3 + 15a^2 + 25a + 14)31^8+O(31^9)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 5 a^{9} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 10 + \left(4 a^{9} + 22 a^{8} + 29 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 23 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 31 + \left(10 a^{9} + 18 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 26 a^{3} + 24 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{9} + 19 a^{8} + a^{7} + 2 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 24 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{9} + 14 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(20 a^{9} + 4 a^{7} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(17 a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 29 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{9} + 17 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 30 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a\right)\cdot 31^{7} + \left(17 a^{8} + 14 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 23 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 5a^9 + 20a^8 + 7a^7 + 12a^6 + 12a^5 + 20a^4 + 19a^3 + 12a^2 + 18a + 10 + (4a^9 + 22a^8 + 29a^7 + 14a^6 + 18a^5 + 26a^4 + 23a^3 + 17a^2 + 8a + 25)31 + (10a^9 + 18a^8 + 25a^7 + 12a^6 + 13a^5 + 21a^4 + 26a^3 + 24a^2 + 12)31^2 + (4a^9 + 19a^8 + a^7 + 2a^6 + a^5 + 16a^4 + 24a^3 + 3a^2 + 11a + 9)31^3 + (11a^9 + 14a^8 + 22a^7 + 6a^6 + 16a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 17a^2 + 16a + 28)31^4 + (20a^9 + 4a^7 + 11a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 24a + 1)31^5 + (17a^9 + 17a^8 + 14a^7 + 2a^6 + 18a^5 + 29a^4 + 28a^3 + 14a^2 + 20a + 1)31^6 + (20a^9 + 17a^8 + 19a^7 + 21a^6 + 30a^5 + 8a^4 + 27a^3 + 21a^2 + 6a)31^7 + (17a^8 + 14a^7 + 22a^6 + 11a^5 + 14a^4 + 23a^3 + 12a^2 + 9a + 16)*31^8+O(31^9)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 25 a^{9} + 9 a^{8} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 3 + \left(29 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 23 a^{5} + 26 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 31 + \left(10 a^{9} + 11 a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(23 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{5} + \left(30 a^{9} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{9} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 25a^9 + 9a^8 + 19a^7 + 12a^6 + 9a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 5a + 3 + (29a^8 + 5a^7 + 18a^6 + 23a^5 + 26a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 15a + 9)31 + (10a^9 + 11a^8 + 24a^7 + 10a^6 + 9a^5 + 16a^4 + 11a^3 + 28a^2 + 29a + 2)31^2 + (23a^9 + 30a^8 + 18a^7 + 24a^6 + 7a^5 + 10a^3 + 6a^2 + 27a + 20)31^3 + (15a^9 + 18a^8 + 10a^6 + 13a^5 + 19a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 15a + 28)31^4 + (29a^9 + 19a^8 + 11a^7 + 18a^6 + 29a^5 + 13a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 23a + 8)31^5 + (30a^9 + 22a^7 + 11a^6 + 24a^3 + 14a^2 + a + 17)31^6 + (5a^9 + 4a^8 + 22a^7 + 15a^6 + 2a^5 + 25a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 11a + 13)31^7 + (22a^9 + 26a^7 + 27a^6 + 18a^5 + a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 20a + 3)*31^8+O(31^9)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 20 a^{9} + 26 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 13 + \left(20 a^{9} + 28 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31 + \left(26 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 29 a^{3} + a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 28 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{9} + 22 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{9} + 26 a^{8} + 18 a^{7} + 29 a^{6} + 27 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{5} + \left(22 a^{9} + 4 a^{8} + 24 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 31^{7} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 25 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 20a^9 + 26a^8 + 7a^7 + 7a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 3a + 13 + (20a^9 + 28a^8 + 28a^7 + 21a^6 + 19a^5 + 28a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 26a + 26)31 + (26a^9 + 16a^8 + 7a^7 + 9a^6 + 14a^5 + 22a^4 + 29a^3 + a^2 + 17a + 10)31^2 + (5a^9 + 18a^8 + a^7 + 28a^6 + 19a^5 + 27a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 5a + 9)31^3 + (23a^9 + 22a^8 + 18a^7 + 9a^6 + 28a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 28a^2 + 18a + 25)31^4 + (25a^9 + 26a^8 + 18a^7 + 29a^6 + 27a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 24a + 20)31^5 + (22a^9 + 4a^8 + 24a^7 + 11a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 20a^2 + 24a + 8)31^6 + (5a^9 + 16a^8 + 3a^7 + 6a^6 + 18a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 25a^2 + 17a + 30)31^7 + (28a^9 + 27a^8 + 24a^7 + 25a^6 + 9a^5 + 6a^4 + 18a^3 + 21a^2 + 29a + 7)*31^8+O(31^9)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 27 a^{9} + 26 a^{8} + 30 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 10 + \left(10 a^{9} + 30 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 30 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31 + \left(15 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 27 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(2 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 12 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + 26 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{9} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{9} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 23 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{7} + \left(24 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 27a^9 + 26a^8 + 30a^7 + 7a^6 + 27a^5 + 21a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 10 + (10a^9 + 30a^8 + 11a^7 + 18a^6 + 4a^5 + 30a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 25a + 2)31 + (15a^9 + 27a^8 + 12a^7 + 27a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 17a + 26)31^2 + (19a^9 + 15a^8 + 7a^7 + 6a^6 + a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 24a + 12)31^3 + (2a^9 + 15a^8 + 26a^7 + 21a^6 + 14a^5 + 21a^4 + 15a^3 + 25a^2 + 24a + 22)31^4 + (a^9 + 25a^8 + a^7 + 12a^6 + 26a^5 + 13a^4 + 26a^3 + 9a^2 + 3a + 1)31^5 + (5a^9 + 28a^8 + 29a^7 + 17a^6 + 13a^5 + 6a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 26a + 15)31^6 + (17a^9 + 2a^8 + 2a^7 + 21a^6 + 20a^5 + 23a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 2a + 23)31^7 + (24a^9 + 5a^8 + a^7 + 10a^6 + 13a^5 + 14a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 6a + 23)31^8+O(31^9)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 25 a^{9} + 8 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 10 + \left(8 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31 + \left(29 a^{8} + 13 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{9} + 12 a^{8} + 23 a^{7} + 30 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(30 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{9} + 17 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 26 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{6} + \left(26 a^{9} + 8 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 30 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{7} + \left(6 a^{9} + 23 a^{8} + 15 a^{7} + 26 a^{6} + 21 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 25a^9 + 8a^8 + 26a^7 + 7a^6 + 29a^5 + 13a^3 + 21a^2 + 11a + 10 + (8a^9 + 28a^8 + a^7 + 30a^6 + 4a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 26a + 18)31 + (29a^8 + 13a^7 + 14a^6 + 26a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 29a + 10)31^2 + (13a^9 + 12a^8 + 23a^7 + 30a^6 + 7a^5 + 17a^4 + 23a^3 + 18a^2 + 12a + 12)31^3 + (30a^9 + 15a^8 + 16a^7 + 17a^6 + 6a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 24a + 18)31^4 + (6a^9 + 17a^8 + 17a^7 + 22a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 26a^3 + 13a^2 + 28a + 6)31^5 + (5a^9 + 13a^8 + 15a^7 + 17a^6 + 19a^5 + 28a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 12a + 21)31^6 + (26a^9 + 8a^8 + 7a^7 + 2a^6 + 30a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 21a^2 + 16a)31^7 + (6a^9 + 23a^8 + 15a^7 + 26a^6 + 21a^5 + 28a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 13a + 25)*31^8+O(31^9)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 15 + \left(4 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 2 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31 + \left(19 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{4} + 24 a^{3} + 25 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(28 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 29 a^{5} + 5 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(16 a^{9} + 17 a^{8} + 16 a^{7} + 10 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{9} + 22 a^{8} + 30 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 26 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 27 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 25 a^{4} + 11 a^{3} + 23 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 15a^9 + 29a^8 + 10a^7 + 30a^6 + 22a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 9a + 15 + (4a^9 + 22a^8 + 12a^7 + 23a^6 + 10a^5 + 20a^4 + 16a^3 + 2a^2 + a + 16)31 + (19a^9 + 4a^8 + 20a^7 + 23a^6 + 23a^4 + 24a^3 + 25a^2 + 10a + 14)31^2 + (28a^9 + 19a^8 + 26a^7 + 21a^6 + 29a^5 + 5a^4 + 20a^3 + 14a^2 + 20a + 8)31^3 + (16a^9 + 17a^8 + 16a^7 + 10a^6 + 27a^5 + 28a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 18a + 12)31^4 + (17a^9 + 22a^8 + 30a^7 + 18a^6 + 17a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 21a^2 + 11a + 25)31^5 + (29a^9 + 17a^8 + 24a^7 + 19a^6 + 21a^5 + 15a^4 + 26a^3 + 14a^2 + 25a + 29)31^6 + (23a^9 + 13a^8 + 21a^7 + 27a^6 + 4a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 7a^2 + 11a + 1)31^7 + (21a^9 + 20a^8 + 17a^7 + 5a^6 + 29a^5 + 25a^4 + 11a^3 + 23a^2 + 16)31^8+O(31^9)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 8 + \left(9 a^{9} + 7 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31 + \left(22 a^{9} + 22 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{9} + 2 a^{8} + 30 a^{7} + 28 a^{6} + 30 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31^{4} + \left(26 a^{9} + 24 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{5} + \left(8 a^{9} + 28 a^{8} + 19 a^{7} + 15 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(24 a^{9} + 17 a^{8} + 19 a^{7} + 27 a^{6} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{9} + 21 a^{8} + 25 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 23 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 22a^9 + 18a^8 + 28a^7 + 21a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 17a + 8 + (9a^9 + 7a^8 + 2a^7 + 20a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 29a^2 + 22a + 7)31 + (22a^9 + 22a^8 + 28a^7 + 8a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 24a + 9)31^2 + (27a^9 + 27a^8 + 5a^7 + 10a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 3a + 22)31^3 + (8a^9 + 2a^8 + 30a^7 + 28a^6 + 30a^5 + 5a^4 + 14a^3 + a^2 + 2a + 1)31^4 + (26a^9 + 24a^8 + 30a^7 + 29a^6 + 15a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 30a^2 + 23a + 23)31^5 + (8a^9 + 28a^8 + 19a^7 + 15a^6 + 25a^5 + 2a^4 + 26a^3 + 19a^2 + 19a + 4)31^6 + (24a^9 + 17a^8 + 19a^7 + 27a^6 + 14a^4 + 20a^3 + 12a^2 + 6a + 10)31^7 + (16a^9 + 21a^8 + 25a^7 + 12a^6 + 14a^5 + 29a^4 + 2a^3 + 23a^2 + 13a + 7)*31^8+O(31^9)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 30 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 5 a^{6} + 29 a^{5} + 22 a^{4} + 6 a^{3} + 23 a^{2} + 22 a + 7 + \left(7 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31 + \left(5 a^{9} + 26 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 25 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 30 a^{5} + 9 a^{4} + 25 a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{9} + 19 a^{8} + 6 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 24 a^{4} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{9} + 15 a^{8} + 13 a^{7} + 30 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 2 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 30a^9 + 4a^8 + 21a^7 + 5a^6 + 29a^5 + 22a^4 + 6a^3 + 23a^2 + 22a + 7 + (7a^9 + 5a^8 + 7a^7 + 21a^6 + 28a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 20a^2 + 7a + 9)31 + (5a^9 + 26a^8 + 16a^7 + 5a^6 + 2a^5 + 11a^4 + 25a^3 + 27a^2 + 5a + 14)31^2 + (11a^9 + 27a^8 + 2a^7 + 14a^6 + 14a^5 + 5a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 17a + 18)31^3 + (12a^9 + 4a^8 + 25a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 23a^2 + 28a + 27)31^4 + (24a^9 + 15a^8 + 9a^7 + 21a^6 + 30a^5 + 9a^4 + 25a^3 + 22a^2 + 18a + 10)31^5 + (7a^9 + 19a^8 + 6a^7 + 25a^6 + 21a^5 + 24a^4 + 16a^3 + 23a^2 + 6a + 7)31^6 + (14a^9 + 15a^8 + 13a^7 + 30a^6 + 3a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 28a + 20)31^7 + (27a^9 + 2a^8 + 21a^7 + 12a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 12a + 9)*31^8+O(31^9)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 6 + \left(29 a^{9} + 22 a^{8} + 13 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 25 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 31 + \left(11 a^{9} + 30 a^{8} + 30 a^{7} + 20 a^{6} + 28 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 20 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{9} + 20 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 15 a^{6} + 28 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(7 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{9} + 3 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 26 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{7} + \left(8 a^{9} + 29 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 25 a^{4} + 23 a^{3} + 15 a^{2} + a + 4\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 11a^9 + 13a^8 + 23a^7 + 4a^6 + 2a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 27a + 6 + (29a^9 + 22a^8 + 13a^7 + 12a^6 + 7a^5 + a^4 + 25a^3 + 15a^2 + 27a + 28)31 + (11a^9 + 30a^8 + 30a^7 + 20a^6 + 28a^5 + 20a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 22a + 21)31^2 + (20a^9 + 20a^8 + 5a^7 + 18a^6 + 21a^5 + a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 28a + 9)31^3 + (26a^9 + 20a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 27a^5 + 25a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 5a + 9)31^4 + (15a^9 + 22a^8 + 7a^7 + 15a^6 + 28a^5 + 25a^4 + 23a^3 + 23a^2 + 8a + 12)31^5 + (7a^9 + 21a^8 + 5a^7 + 18a^6 + 19a^5 + a^4 + a^3 + 29a^2 + 27a + 10)31^6 + (23a^9 + 3a^8 + 19a^7 + a^6 + 21a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 26a^2 + 24a + 3)31^7 + (8a^9 + 29a^8 + 6a^7 + 2a^6 + 8a^5 + 25a^4 + 23a^3 + 15a^2 + a + 4)31^8+O(31^9)
$r_{ 20 }$	$=$	$ 26 a^{9} + 20 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 24 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 26 a^{2} + 4 + \left(25 a^{9} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 18 a^{3} + 16 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31 + \left(23 a^{9} + 7 a^{8} + a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 26 a^{4} + 16 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{2} + \left(3 a^{9} + 17 a^{8} + 24 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{9} + 30 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(10 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{9} + 10 a^{8} + 3 a^{7} + 19 a^{6} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{6} + \left(27 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{6} + 27 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{9} + a^{7} + 7 a^{6} + 29 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})$ 26a^9 + 20a^8 + 19a^7 + 21a^6 + 24a^5 + 25a^4 + 28a^3 + 26a^2 + 4 + (25a^9 + 8a^7 + 5a^6 + a^5 + 18a^3 + 16a^2 + 23a + 24)31 + (23a^9 + 7a^8 + a^7 + 16a^6 + 12a^5 + 26a^4 + 16a^3 + 24a^2 + 29a + 4)31^2 + (3a^9 + 17a^8 + 24a^7 + 19a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 21a^3 + 6a^2 + a + 3)31^3 + (9a^9 + 30a^8 + 18a^7 + 8a^6 + 19a^5 + 22a^4 + 28a^3 + 3a^2 + 4a + 14)31^4 + (10a^9 + 18a^8 + 21a^7 + 17a^6 + 2a^5 + 29a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 4a + 12)31^5 + (5a^9 + 10a^8 + 3a^7 + 19a^6 + 15a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 12a + 30)31^6 + (27a^9 + 23a^8 + 29a^7 + 22a^6 + 27a^5 + 8a^4 + 7a^3 + 26a^2 + 21a + 28)31^7 + (10a^9 + a^7 + 7a^6 + 29a^5 + 14a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 14a + 11)31^8+O(31^9)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 19 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 2 + \left(14 a^{9} + 29 a^{8} + 6 a^{7} + a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 31 + \left(21 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(2 a^{9} + 24 a^{8} + 14 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{9} + 28 a^{8} + 26 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 31^{4} + \left(15 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(28 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(15 a^{9} + 8 a^{8} + 25 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(10 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 19a^9 + 2a^8 + 24a^7 + 7a^6 + 23a^5 + 24a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 3a + 2 + (14a^9 + 29a^8 + 6a^7 + a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 10a^3 + 21a^2 + 14a + 18)31 + (21a^9 + 19a^8 + 9a^7 + 18a^6 + 14a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 10a^2 + 25a + 5)31^2 + (2a^9 + 24a^8 + 14a^7 + a^6 + 7a^5 + 30a^4 + 28a^3 + 11a^2 + 12a + 4)31^3 + (28a^9 + 28a^8 + 26a^7 + 18a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 14a^3 + a^2 + 19a + 17)31^4 + (15a^9 + 6a^8 + 27a^7 + 19a^6 + a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 13a + 2)31^5 + (28a^9 + 27a^8 + 23a^7 + 7a^6 + 23a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 24a^2 + 29a + 25)31^6 + (15a^9 + 8a^8 + 25a^7 + 6a^6 + 5a^5 + 23a^4 + 3a^3 + 10a^2 + 27a + 15)31^7 + (10a^9 + 13a^8 + 9a^7 + 23a^6 + 12a^5 + a^4 + 21a^3 + 9a^2 + 18a + 1)31^8+O(31^9)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 3 + \left(22 a^{9} + 29 a^{8} + 17 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a\right)\cdot 31 + \left(29 a^{9} + 29 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 29 a^{5} + 28 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(24 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 31^{5} + \left(29 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 31^{6} + \left(17 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 27 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(12 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 22a^9 + 14a^8 + 12a^7 + 28a^6 + 4a^5 + 28a^4 + 28a^3 + 16a^2 + 19a + 3 + (22a^9 + 29a^8 + 17a^7 + a^6 + 21a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 8a^2 + 15a)31 + (29a^9 + 29a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 29a^5 + 28a^4 + 14a^3 + 21a^2 + 28a + 5)31^2 + (27a^9 + 23a^8 + 19a^7 + 22a^6 + 17a^5 + 20a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 28a + 8)31^3 + (6a^9 + 18a^8 + 22a^7 + 24a^6 + 15a^5 + 13a^4 + 8a^3 + 22a^2 + a + 19)31^4 + (24a^9 + 7a^8 + 17a^7 + 2a^6 + 12a^5 + 18a^3 + 17a^2 + 8a + 24)31^5 + (29a^9 + 18a^8 + 12a^7 + 17a^6 + 11a^5 + 15a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 24a + 15)31^6 + (17a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 27a^6 + 12a^5 + 9a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 29a + 5)31^7 + (12a^9 + 24a^8 + 12a^7 + 28a^6 + 25a^5 + 3a^3 + 20a^2 + 20a + 10)*31^8+O(31^9)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 30 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 25 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 24 a + 29 + \left(5 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 22 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31 + \left(7 a^{9} + 30 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 19 a^{5} + 27 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(4 a^{9} + 29 a^{8} + 23 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(3 a^{9} + 16 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 3 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{9} + 29 a^{8} + 21 a^{7} + 29 a^{6} + 11 a^{5} + 26 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{6} + \left(11 a^{9} + 3 a^{8} + 26 a^{7} + 21 a^{6} + 30 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{7} + \left(26 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 30a^9 + 25a^8 + 27a^7 + 12a^6 + 4a^5 + 25a^4 + 20a^3 + 4a^2 + 24a + 29 + (5a^9 + 19a^8 + 2a^7 + 21a^6 + 22a^5 + 23a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 5a + 19)31 + (7a^9 + 30a^8 + 22a^7 + 8a^6 + 19a^5 + 27a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 22a + 22)31^2 + (20a^9 + 22a^8 + 17a^7 + 28a^6 + 11a^5 + 4a^4 + 21a^3 + 4a^2 + 20a + 29)31^3 + (4a^9 + 29a^8 + 23a^7 + 23a^6 + 11a^5 + 28a^4 + 22a^3 + 30a^2 + 4a + 5)31^4 + (3a^9 + 16a^8 + 26a^7 + 4a^6 + 3a^5 + 29a^4 + 30a^3 + 23a^2 + 8a + 10)31^5 + (25a^9 + 29a^8 + 21a^7 + 29a^6 + 11a^5 + 26a^4 + 22a^3 + 23a^2 + 24a + 17)31^6 + (11a^9 + 3a^8 + 26a^7 + 21a^6 + 30a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 7a + 27)31^7 + (26a^9 + 19a^8 + 28a^7 + 11a^6 + 17a^5 + 25a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 21a + 24)31^8+O(31^9)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 17 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 30 a^{5} + 26 a^{4} + 2 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 21 + \left(5 a^{9} + 16 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 31 + \left(20 a^{9} + 14 a^{8} + 16 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 23 a^{3} + 22 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{9} + 9 a^{8} + 7 a^{7} + 2 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 25 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{9} + 10 a^{8} + 16 a^{7} + 12 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{5} + \left(15 a^{9} + 2 a^{8} + 27 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{6} + \left(23 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 26 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{7} + \left(27 a^{9} + 12 a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 17a^8 + 26a^7 + 24a^6 + 30a^5 + 26a^4 + 2a^3 + 27a^2 + 27a + 21 + (5a^9 + 16a^8 + 13a^7 + 8a^6 + 27a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 6a + 6)31 + (20a^9 + 14a^8 + 16a^7 + 29a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 5a^2 + 9a + 16)31^2 + (11a^9 + 17a^8 + 30a^7 + 15a^6 + 9a^5 + 30a^4 + 23a^3 + 22a^2 + 24a + 20)31^3 + (20a^9 + 9a^8 + 7a^7 + 2a^6 + 15a^5 + 19a^4 + 25a^3 + 23a^2 + 27a + 6)31^4 + (29a^9 + 10a^8 + 16a^7 + 12a^6 + 27a^5 + 18a^4 + 22a^3 + 30a^2 + 3a + 26)31^5 + (15a^9 + 2a^8 + 27a^7 + 3a^6 + 19a^5 + 12a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 7a + 7)31^6 + (23a^9 + 17a^8 + 28a^7 + 10a^6 + 7a^5 + 25a^4 + 27a^3 + 26a^2 + 10a + 25)31^7 + (27a^9 + 12a^8 + 28a^7 + 13a^6 + 6a^4 + 7a^3 + 24a^2 + 22a + 6)*31^8+O(31^9)
$r_{ 25 }$	$=$	\( 19 a^{9} + 13 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 27 a^{4} + 13 a^{3} + 24 a^{2} + 4 a + 12 + \left(21 a^{9} + 21 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31 + \left(3 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 23 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(28 a^{9} + 17 a^{8} + 30 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 24 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(4 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 22 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 25 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{5} + \left(25 a^{9} + 26 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(14 a^{9} + 11 a^{8} + 5 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{8} +O(31^{9})\) 19a^9 + 13a^8 + 9a^7 + 9a^6 + 15a^5 + 27a^4 + 13a^3 + 24a^2 + 4a + 12 + (21a^9 + 21a^8 + 30a^7 + 9a^6 + 24a^5 + 14a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 14a + 21)31 + (3a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 11a^6 + 9a^5 + 16a^4 + 23a^3 + 10a^2 + 8a + 17)31^2 + (7a^9 + 29a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 27a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 29a + 17)31^3 + (28a^9 + 17a^8 + 30a^7 + 9a^6 + 8a^5 + 26a^4 + 7a^3 + 24a^2 + 2a + 6)31^4 + (4a^8 + 5a^7 + 23a^6 + 22a^5 + 26a^4 + 15a^3 + 25a^2 + 24a + 3)31^5 + (25a^9 + 26a^8 + 16a^7 + 3a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 8a + 18)31^6 + (14a^9 + 11a^8 + 5a^7 + 18a^6 + 19a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 23a + 11)31^7 + (22a^9 + 27a^8 + 12a^7 + 15a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 15a^3 + a^2 + 2a + 20)31^8+O(31^9)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$

Cycle notation
$(1,13,3,25,10)(2,22,14,7,12)(4,9,8,6,24)(5,21,23,15,18)(11,17,16,20,19)$
$(2,14)(3,25)(4,6)(5,15)(7,12)(8,9)(10,13)(11,17)(16,19)(21,23)$
$(1,24,22,20,18)(2,16,15,10,6)(3,9,7,11,21)(4,14,19,5,13)(8,12,17,23,25)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 25 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$5$	$2$	$(2,14)(3,25)(4,6)(5,15)(7,12)(8,9)(10,13)(11,17)(16,19)(21,23)$	$0$
$1$	$5$	$(1,24,22,20,18)(2,16,15,10,6)(3,9,7,11,21)(4,14,19,5,13)(8,12,17,23,25)$	$2 \zeta_{5}$
$1$	$5$	$(1,22,18,24,20)(2,15,6,16,10)(3,7,21,9,11)(4,19,13,14,5)(8,17,25,12,23)$	$2 \zeta_{5}^{2}$
$1$	$5$	$(1,20,24,18,22)(2,10,16,6,15)(3,11,9,21,7)(4,5,14,13,19)(8,23,12,25,17)$	$2 \zeta_{5}^{3}$
$1$	$5$	$(1,18,20,22,24)(2,6,10,15,16)(3,21,11,7,9)(4,13,5,19,14)(8,25,23,17,12)$	$-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$
$2$	$5$	$(1,13,3,25,10)(2,22,14,7,12)(4,9,8,6,24)(5,21,23,15,18)(11,17,16,20,19)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$
$2$	$5$	$(1,3,10,13,25)(2,14,12,22,7)(4,8,24,9,6)(5,23,18,21,15)(11,16,19,17,20)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$
$2$	$5$	$(1,4,7,17,15)(2,20,5,3,8)(6,22,19,21,25)(9,12,16,18,13)(10,24,14,11,23)$	$\zeta_{5}^{2} + 1$
$2$	$5$	$(1,7,15,4,17)(2,5,8,20,3)(6,19,25,22,21)(9,16,13,12,18)(10,14,23,24,11)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - \zeta_{5}$
$2$	$5$	$(1,17,4,15,7)(2,3,20,8,5)(6,21,22,25,19)(9,18,12,13,16)(10,11,24,23,14)$	$\zeta_{5} + 1$
$2$	$5$	$(1,15,17,7,4)(2,8,3,5,20)(6,25,21,19,22)(9,13,18,16,12)(10,23,11,14,24)$	$\zeta_{5}^{3} + 1$
$2$	$5$	$(1,9,2,19,23)(3,6,14,17,18)(4,12,20,21,10)(5,25,24,7,16)(8,22,11,15,13)$	$-\zeta_{5}^{2} - \zeta_{5} - 1$
$2$	$5$	$(1,2,23,9,19)(3,14,18,6,17)(4,20,10,12,21)(5,24,16,25,7)(8,11,13,22,15)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}$
$2$	$5$	$(1,19,9,23,2)(3,17,6,18,14)(4,21,12,10,20)(5,7,25,16,24)(8,15,22,13,11)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5} - 1$
$2$	$5$	$(1,23,19,2,9)(3,18,17,14,6)(4,10,21,20,12)(5,16,7,24,25)(8,13,15,11,22)$	$\zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}$
$5$	$10$	$(1,24,22,20,18)(2,19,15,13,6,14,16,5,10,4)(3,8,7,17,21,25,9,12,11,23)$	$0$
$5$	$10$	$(1,20,24,18,22)(2,13,16,4,15,14,10,19,6,5)(3,17,9,23,7,25,11,8,21,12)$	$0$
$5$	$10$	$(1,22,18,24,20)(2,5,6,19,10,14,15,4,16,13)(3,12,21,8,11,25,7,23,9,17)$	$0$
$5$	$10$	$(1,18,20,22,24)(2,4,10,5,16,14,6,13,15,19)(3,23,11,12,9,25,21,17,7,8)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 25 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.100.10t6.a.a
Dimension	$2$
Group	$C_5\times D_5$
Conductor	$100$
Root number	not computed
Indicator	$0$