Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 141.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{2} + 4 a + 10 + \left(7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11 + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{5} + 3\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{30} + 9\cdot 11^{31} + \left(8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{34} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{43} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{44} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{45} + \left(4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{46} + \left(9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{48} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{49} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{50} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{52} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{53} + \left(3 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{54} + \left(3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{55} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{56} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{57} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{58} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{59} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{60} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{61} + \left(2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{62} + \left(a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{63} + \left(6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{64} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{65} + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{66} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{67} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{68} + \left(6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{69} + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{70} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{71} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{72} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{73} + \left(6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{74} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{75} + \left(a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{76} + \left(3 a + 2\right)\cdot 11^{77} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{78} + \left(6 a + 9\right)\cdot 11^{79} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{80} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{81} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{82} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{83} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{84} + \left(5 a + 8\right)\cdot 11^{85} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{86} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{87} + \left(10 a + 1\right)\cdot 11^{88} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{89} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{90} + \left(5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{91} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{92} + \left(4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{93} + \left(2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{94} + \left(a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{95} + \left(5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{96} + \left(9 a + 7\right)\cdot 11^{97} + \left(10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{98} + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{99} + \left(6 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{100} + \left(9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{101} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{102} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{103} + \left(5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{104} + \left(a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{105} + 9\cdot 11^{106} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{107} + \left(5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{108} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{109} + \left(2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{110} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{111} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{112} + \left(10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{113} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{114} + \left(5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{115} + \left(8 a + 8\right)\cdot 11^{116} + \left(3 a + 6\right)\cdot 11^{117} + \left(10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{118} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{119} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{120} + \left(5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{121} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{122} + \left(3 a + 2\right)\cdot 11^{123} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{124} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{125} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{126} + \left(3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{127} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{128} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{129} + \left(4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{130} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{131} + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{132} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{133} + \left(5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{134} + \left(10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{135} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{136} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{137} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{138} + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{139} + \left(8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{140} +O\left(11^{ 141 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 4 a + 1 + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11 + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{29} + 8\cdot 11^{30} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{36} + \left(a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{40} + \left(a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{43} + \left(10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{46} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{48} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{49} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{50} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{51} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{52} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{53} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{54} + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{55} + \left(5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{56} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{57} + \left(2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{58} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{59} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{60} + \left(6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{61} + \left(5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{62} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{63} + \left(4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{64} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{65} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{66} + \left(2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{67} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{68} + \left(5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{69} + \left(5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{70} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{71} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{72} + \left(10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{73} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{74} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{75} + \left(9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{76} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{77} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{78} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{79} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{80} + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{81} + \left(6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{82} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{83} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{84} + 2 a\cdot 11^{85} + \left(3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{86} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{87} + \left(7 a + 1\right)\cdot 11^{88} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{89} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{90} + \left(10 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{91} + \left(4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{92} + \left(8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{93} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{94} + \left(9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{95} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{96} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{97} + \left(4 a + 6\right)\cdot 11^{98} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{99} + \left(8 a + 6\right)\cdot 11^{100} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{101} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{102} + \left(a^{2} + 5\right)\cdot 11^{103} + \left(10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{104} + \left(2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{105} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{106} + \left(7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{107} + \left(7 a + 8\right)\cdot 11^{108} + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{109} + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{110} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{111} + \left(4 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{112} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{113} + 2 a\cdot 11^{114} + \left(2 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{115} + \left(5 a + 4\right)\cdot 11^{116} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{117} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{118} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{119} + \left(2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{120} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{121} + \left(7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{122} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{123} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{124} + \left(9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{125} + \left(6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{126} + \left(7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{127} + \left(8 a + 1\right)\cdot 11^{128} + \left(6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{129} + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{130} + \left(a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{131} + \left(5 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{132} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{133} + \left(8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{134} + \left(10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{135} + \left(4 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{136} + \left(5 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{137} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{138} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{139} + \left(6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{140} +O\left(11^{ 141 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 4 a + 10 + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11 + \left(2 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a + 10\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{33} + \left(a + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a + 4\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{39} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{42} + \left(a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{45} + \left(7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{46} + \left(4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{47} + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{49} + \left(3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{50} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{52} + \left(3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{53} + \left(2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{54} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{55} + \left(7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{56} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{58} + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{59} + \left(4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{60} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{61} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{62} + \left(2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{63} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{64} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{65} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{66} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{67} + \left(3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{68} + \left(8 a + 6\right)\cdot 11^{69} + \left(10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{70} + \left(5 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{71} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{72} + \left(8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{73} + \left(10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{74} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{75} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{76} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{77} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{78} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{79} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{80} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{81} + \left(8 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{82} + \left(2 a + 7\right)\cdot 11^{83} + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{84} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{85} + \left(4 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{86} + \left(7 a + 4\right)\cdot 11^{87} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{88} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{89} + \left(7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{90} + \left(5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{91} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 11^{92} + \left(7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{93} + \left(3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{94} + \left(7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{95} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{96} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{97} + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{98} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{99} + \left(7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{100} + \left(a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{101} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{102} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{103} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{104} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{105} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{106} + \left(a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{107} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{108} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{109} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{110} + \left(9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{111} + \left(6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{112} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{113} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{114} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{115} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{116} + \left(3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{117} + \left(4 a + 7\right)\cdot 11^{118} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{119} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{120} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{121} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{122} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{123} + \left(7 a + 9\right)\cdot 11^{124} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{125} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{126} + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{127} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{128} + \left(10 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{129} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{130} + \left(a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{131} + \left(2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{132} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{133} + \left(6 a + 4\right)\cdot 11^{134} + \left(3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{135} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{136} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{137} + \left(3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{138} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{139} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{140} +O\left(11^{ 141 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 8 + 8\cdot 11 + 4\cdot 11^{2} + 11^{3} + 9\cdot 11^{4} + 11^{6} + 11^{9} + 8\cdot 11^{10} + 2\cdot 11^{11} + 11^{12} + 4\cdot 11^{13} + 7\cdot 11^{14} + 5\cdot 11^{15} + 8\cdot 11^{16} + 9\cdot 11^{17} + 8\cdot 11^{18} + 11^{19} + 6\cdot 11^{20} + 7\cdot 11^{21} + 6\cdot 11^{22} + 10\cdot 11^{23} + 3\cdot 11^{24} + 3\cdot 11^{25} + 11^{26} + 6\cdot 11^{27} + 9\cdot 11^{28} + 9\cdot 11^{29} + 9\cdot 11^{30} + 6\cdot 11^{31} + 3\cdot 11^{32} + 3\cdot 11^{34} + 8\cdot 11^{35} + 7\cdot 11^{36} + 6\cdot 11^{37} + 8\cdot 11^{39} + 2\cdot 11^{40} + 3\cdot 11^{41} + 8\cdot 11^{42} + 7\cdot 11^{43} + 6\cdot 11^{44} + 3\cdot 11^{45} + 8\cdot 11^{46} + 10\cdot 11^{47} + 5\cdot 11^{48} + 4\cdot 11^{49} + 5\cdot 11^{50} + 4\cdot 11^{52} + 6\cdot 11^{53} + 9\cdot 11^{54} + 7\cdot 11^{55} + 9\cdot 11^{56} + 7\cdot 11^{57} + 8\cdot 11^{58} + 10\cdot 11^{59} + 5\cdot 11^{60} + 9\cdot 11^{61} + 6\cdot 11^{62} + 6\cdot 11^{64} + 4\cdot 11^{65} + 9\cdot 11^{66} + 2\cdot 11^{67} + 10\cdot 11^{68} + 11^{69} + 5\cdot 11^{70} + 4\cdot 11^{71} + 4\cdot 11^{73} + 6\cdot 11^{74} + 11^{76} + 3\cdot 11^{77} + 4\cdot 11^{78} + 5\cdot 11^{79} + 6\cdot 11^{80} + 8\cdot 11^{81} + 4\cdot 11^{82} + 3\cdot 11^{83} + 6\cdot 11^{85} + 5\cdot 11^{86} + 9\cdot 11^{87} + 5\cdot 11^{88} + 6\cdot 11^{89} + 9\cdot 11^{90} + 10\cdot 11^{91} + 8\cdot 11^{92} + 2\cdot 11^{93} + 5\cdot 11^{94} + 10\cdot 11^{95} + 4\cdot 11^{96} + 7\cdot 11^{97} + 6\cdot 11^{98} + 8\cdot 11^{99} + 11^{100} + 2\cdot 11^{101} + 3\cdot 11^{102} + 10\cdot 11^{103} + 8\cdot 11^{105} + 6\cdot 11^{106} + 5\cdot 11^{107} + 2\cdot 11^{108} + 9\cdot 11^{109} + 2\cdot 11^{110} + 11^{111} + 6\cdot 11^{112} + 7\cdot 11^{113} + 4\cdot 11^{114} + 10\cdot 11^{115} + 3\cdot 11^{116} + 4\cdot 11^{117} + 9\cdot 11^{118} + 2\cdot 11^{119} + 11^{120} + 9\cdot 11^{121} + 10\cdot 11^{122} + 3\cdot 11^{123} + 6\cdot 11^{124} + 7\cdot 11^{125} + 2\cdot 11^{126} + 9\cdot 11^{127} + 2\cdot 11^{128} + 8\cdot 11^{129} + 7\cdot 11^{130} + 7\cdot 11^{131} + 8\cdot 11^{132} + 4\cdot 11^{133} + 8\cdot 11^{135} + 11^{136} + 3\cdot 11^{137} + 6\cdot 11^{138} + 5\cdot 11^{139} + 9\cdot 11^{140} +O\left(11^{ 141 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{2} + 3 a + 3 + \left(7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11 + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{12} + 5 a^{2}11^{13} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{28} + \left(a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a + 3\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{34} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a + 4\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{40} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{43} + \left(10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{46} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{47} + 8 a^{2}11^{48} + \left(7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{51} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{52} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a + 10\right)\cdot 11^{55} + \left(a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a + 2\right)\cdot 11^{57} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 11^{58} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{59} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{60} + \left(4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{61} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{62} + \left(a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{63} + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{65} + \left(5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{66} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{67} + \left(a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{68} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{69} + \left(7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{70} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 11^{71} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{72} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{73} + \left(6 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{74} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{75} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{76} + \left(7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{77} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{78} + \left(9 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{79} + \left(4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{80} + \left(3 a + 8\right)\cdot 11^{81} + \left(8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{82} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{83} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{84} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{85} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{86} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{87} + \left(9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{88} + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{89} + \left(4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{90} + \left(5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{91} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{92} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{93} + \left(5 a + 2\right)\cdot 11^{94} + \left(2 a + 2\right)\cdot 11^{95} + \left(a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{96} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{97} + \left(2 a + 10\right)\cdot 11^{98} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{99} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{100} + \left(3 a + 6\right)\cdot 11^{101} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{102} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{103} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{104} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{105} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{106} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{107} + \left(4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{108} + \left(8 a + 2\right)\cdot 11^{109} + \left(4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{110} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{111} + \left(10 a + 1\right)\cdot 11^{112} + \left(10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{113} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{114} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{115} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{116} + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{117} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{118} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{119} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{120} + \left(4 a + 6\right)\cdot 11^{121} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{122} + \left(2 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{123} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{124} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{125} + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{126} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{127} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{128} + \left(9 a + 4\right)\cdot 11^{129} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{130} + 4\cdot 11^{131} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{132} + \left(7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{133} + \left(7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{134} + \left(6 a + 6\right)\cdot 11^{135} + \left(3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{136} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{137} + \left(5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{138} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{139} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{140} +O\left(11^{ 141 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 8 a + 1 + \left(8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11 + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{9} + \left(a + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a + 9\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a + 9\right)\cdot 11^{20} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{30} + \left(9 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(4 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{36} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{39} + 10\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a + 8\right)\cdot 11^{43} + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{44} + \left(2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{45} + \left(4 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{48} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{50} + \left(a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{53} + \left(9 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{55} + \left(3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{56} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{57} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{58} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{59} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{60} + \left(5 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{61} + \left(8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{62} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{63} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{64} + \left(a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{65} + \left(a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{66} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 11^{67} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{68} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{69} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{71} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{72} + \left(7 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{73} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{74} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{75} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{76} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{77} + \left(9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{78} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{79} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{80} + \left(3 a + 8\right)\cdot 11^{81} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{82} + \left(3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{83} + \left(6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{84} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{85} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{86} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{87} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{88} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{89} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{90} + \left(6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{91} + \left(a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{92} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{93} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{94} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{95} + \left(8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{96} + \left(2 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{97} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{98} + \left(9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{99} + \left(8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{100} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{101} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{102} + \left(8 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{103} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{104} + \left(2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{105} + \left(8 a + 8\right)\cdot 11^{106} + \left(8 a + 10\right)\cdot 11^{107} + \left(7 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{108} + \left(9 a + 2\right)\cdot 11^{109} + \left(5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{110} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{111} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{112} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{113} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{114} + \left(a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{115} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{116} + \left(10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{117} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{118} + \left(a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{119} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{120} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{121} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{122} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{123} + \left(3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{124} + 4 a\cdot 11^{125} + \left(6 a^{2} + a\right)\cdot 11^{126} + \left(4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{127} + \left(9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{128} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{129} + \left(7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{130} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{131} + \left(8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{132} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{133} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{134} + \left(10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{135} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{136} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{137} + \left(a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{138} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{139} + \left(7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{140} +O\left(11^{ 141 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 9 + 7\cdot 11 + 7\cdot 11^{3} + 8\cdot 11^{4} + 4\cdot 11^{5} + 2\cdot 11^{6} + 3\cdot 11^{7} + 8\cdot 11^{8} + 10\cdot 11^{9} + 10\cdot 11^{11} + 2\cdot 11^{12} + 2\cdot 11^{13} + 7\cdot 11^{14} + 2\cdot 11^{15} + 11^{16} + 10\cdot 11^{17} + 4\cdot 11^{18} + 3\cdot 11^{19} + 2\cdot 11^{20} + 3\cdot 11^{21} + 2\cdot 11^{22} + 5\cdot 11^{23} + 4\cdot 11^{24} + 6\cdot 11^{25} + 8\cdot 11^{26} + 8\cdot 11^{27} + 2\cdot 11^{28} + 3\cdot 11^{29} + 7\cdot 11^{31} + 11^{32} + 6\cdot 11^{33} + 2\cdot 11^{34} + 9\cdot 11^{35} + 11^{36} + 4\cdot 11^{37} + 2\cdot 11^{38} + 11^{39} + 2\cdot 11^{40} + 8\cdot 11^{41} + 6\cdot 11^{42} + 4\cdot 11^{43} + 11^{44} + 5\cdot 11^{45} + 4\cdot 11^{46} + 6\cdot 11^{47} + 2\cdot 11^{48} + 5\cdot 11^{49} + 4\cdot 11^{50} + 11^{51} + 8\cdot 11^{52} + 7\cdot 11^{53} + 8\cdot 11^{54} + 6\cdot 11^{55} + 7\cdot 11^{56} + 8\cdot 11^{58} + 4\cdot 11^{59} + 9\cdot 11^{60} + 11^{61} + 4\cdot 11^{62} + 11^{63} + 3\cdot 11^{65} + 3\cdot 11^{66} + 8\cdot 11^{67} + 2\cdot 11^{68} + 8\cdot 11^{69} + 4\cdot 11^{70} + 5\cdot 11^{71} + 11^{72} + 9\cdot 11^{73} + 11^{74} + 2\cdot 11^{76} + 7\cdot 11^{77} + 5\cdot 11^{78} + 8\cdot 11^{79} + 4\cdot 11^{80} + 10\cdot 11^{81} + 7\cdot 11^{82} + 9\cdot 11^{84} + 11^{86} + 2\cdot 11^{87} + 2\cdot 11^{88} + 7\cdot 11^{89} + 2\cdot 11^{90} + 3\cdot 11^{91} + 10\cdot 11^{92} + 7\cdot 11^{93} + 9\cdot 11^{95} + 7\cdot 11^{96} + 2\cdot 11^{97} + 5\cdot 11^{98} + 10\cdot 11^{99} + 3\cdot 11^{100} + 2\cdot 11^{101} + 10\cdot 11^{102} + 2\cdot 11^{103} + 11^{104} + 6\cdot 11^{105} + 7\cdot 11^{106} + 2\cdot 11^{107} + 7\cdot 11^{108} + 2\cdot 11^{109} + 8\cdot 11^{110} + 6\cdot 11^{111} + 10\cdot 11^{112} + 7\cdot 11^{113} + 8\cdot 11^{114} + 11^{115} + 6\cdot 11^{116} + 10\cdot 11^{117} + 5\cdot 11^{118} + 4\cdot 11^{120} + 3\cdot 11^{121} + 2\cdot 11^{122} + 5\cdot 11^{123} + 2\cdot 11^{124} + 7\cdot 11^{125} + 7\cdot 11^{126} + 4\cdot 11^{129} + 10\cdot 11^{130} + 7\cdot 11^{131} + 3\cdot 11^{132} + 4\cdot 11^{134} + 3\cdot 11^{135} + 9\cdot 11^{136} + 7\cdot 11^{137} + 10\cdot 11^{139} + 2\cdot 11^{140} +O\left(11^{ 141 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{2} + 10 a + 5 + \left(9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{17} + 9 a\cdot 11^{18} + \left(a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(9 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{29} + \left(2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a + 1\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{33} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{36} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{39} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{41} + \left(8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{42} + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(8 a + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{46} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(5 a + 5\right)\cdot 11^{49} + \left(8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{50} + \left(4 a + 6\right)\cdot 11^{51} + \left(10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{52} + \left(2 a + 1\right)\cdot 11^{53} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{55} + \left(10 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a + 4\right)\cdot 11^{58} + \left(5 a + 2\right)\cdot 11^{59} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{60} + 10 a^{2}11^{61} + 4 a^{2}11^{62} + \left(3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{63} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{64} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{65} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{66} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{67} + \left(3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{68} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{69} + 6 a\cdot 11^{70} + \left(8 a + 1\right)\cdot 11^{71} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{72} + \left(6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{73} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{74} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{75} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{76} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{77} + \left(9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{78} + \left(8 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{79} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{80} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{81} + \left(9 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{82} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{83} + \left(5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{84} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{85} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{86} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{87} + \left(2 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{88} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{89} + \left(2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{90} + \left(10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{91} + \left(7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{92} + \left(2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{93} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{94} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{95} + \left(5 a + 3\right)\cdot 11^{96} + \left(9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{97} + \left(a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{98} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{99} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{100} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{101} + \left(4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{102} + 2\cdot 11^{103} + \left(3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{104} + \left(6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{105} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{106} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{107} + \left(a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{108} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{109} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{110} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{111} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{112} + \left(6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{113} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{114} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{115} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{116} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{117} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{118} + \left(7 a + 6\right)\cdot 11^{119} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{120} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{121} + \left(a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{122} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{123} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{124} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{125} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{126} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{127} + \left(9 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{128} + \left(3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{129} + \left(5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{130} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{131} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{132} + \left(2 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{133} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{134} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{135} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{136} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{137} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{138} + \left(7 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{139} + \left(4 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{140} +O\left(11^{ 141 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$ |
| $(3,6,7,8)$ |
| $(3,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$18$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,4)(2,5)$ |
$-6$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,4)(2,5)(3,7)(6,8)$ |
$2$ |
| $12$ |
$2$ |
$(3,6)$ |
$0$ |
| $24$ |
$2$ |
$(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$ |
$0$ |
| $36$ |
$2$ |
$(1,2)(3,6)$ |
$-2$ |
| $36$ |
$2$ |
$(1,4)(2,5)(3,6)$ |
$0$ |
| $16$ |
$3$ |
$(3,7,8)$ |
$0$ |
| $64$ |
$3$ |
$(2,4,5)(3,7,8)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,2,4,5)$ |
$0$ |
| $36$ |
$4$ |
$(1,2,4,5)(3,6,7,8)$ |
$-2$ |
| $36$ |
$4$ |
$(1,4)(2,5)(3,6,7,8)$ |
$0$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,7,4,3)(2,8,5,6)$ |
$0$ |
| $72$ |
$4$ |
$(1,2,4,5)(3,6)$ |
$2$ |
| $144$ |
$4$ |
$(1,3,2,6)(4,7)(5,8)$ |
$0$ |
| $48$ |
$6$ |
$(1,4)(2,5)(3,8,7)$ |
$0$ |
| $96$ |
$6$ |
$(2,5,4)(3,6)$ |
$0$ |
| $192$ |
$6$ |
$(1,6)(2,7,4,8,5,3)$ |
$0$ |
| $144$ |
$8$ |
$(1,6,2,7,4,8,5,3)$ |
$0$ |
| $96$ |
$12$ |
$(1,2,4,5)(3,7,8)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
