LMFDB - Galois orbit of Artin representations 17.861526607800060221948166144.120.a

Basic invariants

Dimension:	$17$
Group:	$\PSL(2,16)$
Conductor:	$861\!\cdots\!144$$\medspace = 2^{30} \cdot 173^{8} $
Frobenius-Schur indicator:	$1$
Root number:	$1$
Artin number field:	Galois closure of 17.1.861526607800060221948166144.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	120
Parity:	even
Projective image:	$\PSL(2,16)$
Projective field:	Galois closure of 17.1.861526607800060221948166144.1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{15} + 2x^{6} + 8x^{5} + 15x^{4} + 9x^{3} + 7x^{2} + 18x + 18 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 1 + 3\cdot 23 + 5\cdot 23^{2} + 14\cdot 23^{3} + 12\cdot 23^{4} + 17\cdot 23^{5} + 7\cdot 23^{6} + 9\cdot 23^{7} + 14\cdot 23^{8} + 14\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 1 + 323 + 523^2 + 1423^3 + 1223^4 + 1723^5 + 723^6 + 923^7 + 1423^8 + 14*23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 10 + 11\cdot 23 + 15\cdot 23^{2} + 18\cdot 23^{3} + 20\cdot 23^{4} + 7\cdot 23^{5} + 20\cdot 23^{6} + 6\cdot 23^{7} + 22\cdot 23^{8} + 22\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 10 + 1123 + 1523^2 + 1823^3 + 2023^4 + 723^5 + 2023^6 + 623^7 + 2223^8 + 22*23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 16 a^{14} + 19 a^{13} + 2 a^{12} + 14 a^{11} + 4 a^{10} + 5 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 21 + \left(9 a^{14} + 13 a^{13} + 4 a^{12} + 21 a^{11} + 5 a^{10} + 20 a^{9} + 7 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23 + \left(8 a^{14} + 20 a^{13} + 15 a^{12} + 21 a^{11} + 7 a^{10} + 11 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{14} + a^{13} + 13 a^{12} + 21 a^{11} + 19 a^{10} + 9 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 22 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{14} + 9 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 5 a^{10} + a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 13 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{14} + 2 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{14} + 11 a^{13} + 5 a^{12} + 14 a^{11} + 16 a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 10 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{14} + 12 a^{13} + 10 a^{12} + 2 a^{11} + 17 a^{10} + 20 a^{9} + 10 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{14} + 18 a^{13} + 19 a^{12} + 3 a^{11} + 20 a^{10} + 9 a^{9} + a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{14} + 9 a^{13} + 4 a^{12} + 11 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 16a^14 + 19a^13 + 2a^12 + 14a^11 + 4a^10 + 5a^9 + 17a^8 + 5a^7 + 15a^6 + 11a^4 + 11a^3 + 19a^2 + 3a + 21 + (9a^14 + 13a^13 + 4a^12 + 21a^11 + 5a^10 + 20a^9 + 7a^8 + 20a^7 + 9a^6 + 13a^5 + 9a^4 + 21a^3 + a^2 + 8a + 18)23 + (8a^14 + 20a^13 + 15a^12 + 21a^11 + 7a^10 + 11a^9 + a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 19a^3 + 5a^2 + 9a + 16)23^2 + (17a^14 + a^13 + 13a^12 + 21a^11 + 19a^10 + 9a^9 + 13a^8 + 17a^7 + 17a^6 + 22a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 7a + 14)23^3 + (20a^14 + 9a^13 + 11a^12 + 13a^11 + 5a^10 + a^9 + 9a^8 + 4a^7 + 13a^6 + 17a^5 + 21a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 22a + 16)23^4 + (a^14 + 2a^12 + 5a^11 + 20a^10 + 5a^9 + 15a^8 + 9a^7 + 9a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 19a^3 + 17a^2 + 5a + 8)23^5 + (21a^14 + 11a^13 + 5a^12 + 14a^11 + 16a^10 + 5a^9 + 8a^8 + 10a^7 + 18a^6 + 8a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 19a^2 + 12a + 17)23^6 + (5a^14 + 12a^13 + 10a^12 + 2a^11 + 17a^10 + 20a^9 + 10a^8 + 13a^7 + 6a^6 + 19a^5 + 10a^3 + 12a^2 + 5a + 2)23^7 + (15a^14 + 18a^13 + 19a^12 + 3a^11 + 20a^10 + 9a^9 + a^8 + 15a^7 + 17a^6 + 4a^5 + 21a^3 + 10a^2 + 6a + 13)23^8 + (7a^14 + 9a^13 + 4a^12 + 11a^11 + 15a^10 + a^9 + 6a^8 + 7a^7 + 16a^6 + 17a^5 + 19a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 6a + 12)23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 5 a^{14} + 17 a^{13} + 2 a^{12} + 18 a^{11} + 22 a^{10} + 13 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 12 + \left(19 a^{14} + 5 a^{13} + 14 a^{12} + 3 a^{11} + 12 a^{10} + 10 a^{9} + 22 a^{8} + 19 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23 + \left(13 a^{14} + 11 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 22 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{14} + 13 a^{13} + 19 a^{12} + 8 a^{11} + 8 a^{10} + 7 a^{9} + 6 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{14} + 6 a^{13} + 4 a^{12} + 19 a^{11} + 15 a^{10} + 7 a^{9} + 17 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 14 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{14} + 4 a^{13} + 9 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 9 a^{9} + 20 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{14} + 21 a^{13} + 21 a^{12} + 2 a^{11} + 22 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + 18 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{14} + 5 a^{13} + 20 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{12} + 8 a^{11} + 17 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a^{14} + 2 a^{13} + 7 a^{12} + 3 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 5a^14 + 17a^13 + 2a^12 + 18a^11 + 22a^10 + 13a^9 + 8a^8 + 9a^7 + 22a^6 + 15a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 11a + 12 + (19a^14 + 5a^13 + 14a^12 + 3a^11 + 12a^10 + 10a^9 + 22a^8 + 19a^7 + 2a^6 + 12a^5 + 19a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 14a + 6)23 + (13a^14 + 11a^13 + 9a^12 + 5a^11 + 22a^9 + 20a^8 + 17a^7 + 10a^6 + 21a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 6a + 18)23^2 + (5a^14 + 13a^13 + 19a^12 + 8a^11 + 8a^10 + 7a^9 + 6a^8 + 17a^7 + 6a^6 + 8a^5 + a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 22a + 14)23^3 + (14a^14 + 6a^13 + 4a^12 + 19a^11 + 15a^10 + 7a^9 + 17a^8 + 5a^7 + 16a^6 + 13a^5 + 14a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 14a)23^4 + (6a^14 + 4a^13 + 9a^12 + a^11 + 7a^10 + 9a^9 + 20a^8 + 12a^7 + 3a^6 + 8a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 15)23^5 + (20a^14 + 21a^13 + 21a^12 + 2a^11 + 22a^10 + 22a^9 + 5a^8 + 18a^7 + 10a^6 + 15a^5 + 9a^4 + 11a^3 + a^2 + 16a + 17)23^6 + (13a^14 + 5a^13 + 20a^12 + 3a^11 + 14a^10 + 21a^9 + 13a^8 + 10a^7 + 8a^6 + 18a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 9a^2 + 11a + 20)23^7 + (15a^14 + 4a^13 + 4a^12 + 8a^11 + 17a^10 + 19a^9 + 21a^8 + 6a^7 + 22a^6 + 6a^5 + 20a^3 + 4a^2 + 20a + 20)23^8 + (12a^14 + 2a^13 + 7a^12 + 3a^11 + 13a^10 + 14a^9 + 9a^8 + 15a^7 + 6a^6 + 14a^4 + 16a^3 + 16a^2 + 10a + 15)23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 9 a^{14} + 2 a^{13} + 19 a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 20 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11 + \left(20 a^{14} + 4 a^{13} + 6 a^{12} + 19 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23 + \left(15 a^{14} + 21 a^{13} + 22 a^{12} + 9 a^{11} + 9 a^{10} + 4 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{14} + 6 a^{13} + 17 a^{12} + 5 a^{11} + 21 a^{10} + 14 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{13} + a^{12} + 21 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{9} + 21 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{14} + 8 a^{13} + 21 a^{12} + 17 a^{11} + 6 a^{10} + 21 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{14} + 9 a^{13} + 7 a^{12} + 15 a^{10} + 18 a^{9} + 14 a^{8} + 4 a^{7} + 16 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{14} + 2 a^{13} + 15 a^{11} + 8 a^{10} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{14} + 10 a^{13} + 13 a^{12} + 5 a^{11} + 5 a^{10} + 5 a^{9} + 12 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{14} + 3 a^{13} + 2 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 6 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^14 + 2a^13 + 19a^12 + 14a^11 + 10a^10 + 20a^9 + 7a^8 + 9a^7 + 19a^6 + 6a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 5a + 11 + (20a^14 + 4a^13 + 6a^12 + 19a^11 + 19a^10 + 2a^9 + 2a^8 + 6a^7 + 4a^6 + 7a^5 + 5a^3 + 2a^2 + 18a + 8)23 + (15a^14 + 21a^13 + 22a^12 + 9a^11 + 9a^10 + 4a^9 + 10a^8 + 20a^7 + 6a^6 + 17a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 6a + 7)23^2 + (17a^14 + 6a^13 + 17a^12 + 5a^11 + 21a^10 + 14a^9 + 20a^8 + 13a^7 + 8a^6 + 8a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 17a + 10)23^3 + (16a^13 + a^12 + 21a^11 + 18a^10 + 14a^9 + 21a^8 + 15a^7 + 18a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 17a + 11)23^4 + (15a^14 + 8a^13 + 21a^12 + 17a^11 + 6a^10 + 21a^9 + a^8 + 7a^7 + 17a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 14a + 3)23^5 + (12a^14 + 9a^13 + 7a^12 + 15a^10 + 18a^9 + 14a^8 + 4a^7 + 16a^6 + 11a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 18a + 8)23^6 + (4a^14 + 2a^13 + 15a^11 + 8a^10 + 19a^8 + 22a^7 + 11a^6 + 2a^5 + 22a^3 + 7a^2 + 11a + 21)23^7 + (15a^14 + 10a^13 + 13a^12 + 5a^11 + 5a^10 + 5a^9 + 12a^8 + 4a^7 + 9a^6 + 12a^5 + 18a^4 + 20a^3 + 22a^2 + 17a + 4)23^8 + (5a^14 + 3a^13 + 2a^12 + 3a^11 + 2a^10 + 6a^9 + 21a^8 + 14a^7 + 5a^6 + 4a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 21a^2 + 19a + 12)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 2 a^{14} + 14 a^{13} + 11 a^{12} + 15 a^{11} + 20 a^{9} + 22 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 15 + \left(15 a^{14} + 12 a^{13} + 13 a^{12} + 3 a^{11} + 8 a^{10} + 3 a^{9} + 8 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 13\right)\cdot 23 + \left(18 a^{14} + a^{13} + 3 a^{12} + 9 a^{11} + 17 a^{10} + 2 a^{9} + 18 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{14} + 4 a^{13} + 5 a^{12} + 2 a^{11} + 11 a^{10} + a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{14} + 19 a^{13} + 17 a^{12} + 14 a^{11} + 11 a^{10} + 13 a^{9} + 17 a^{8} + 18 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{14} + 17 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 7 a^{10} + 20 a^{9} + 2 a^{8} + 6 a^{7} + 2 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{14} + 3 a^{13} + 19 a^{12} + 5 a^{11} + 16 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{14} + 11 a^{13} + a^{11} + 10 a^{10} + 6 a^{9} + 15 a^{8} + 12 a^{7} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{13} + 22 a^{12} + 16 a^{11} + 3 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{14} + 14 a^{13} + 14 a^{12} + 19 a^{11} + a^{10} + 22 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 2a^14 + 14a^13 + 11a^12 + 15a^11 + 20a^9 + 22a^8 + 18a^7 + 8a^6 + 13a^5 + 4a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 7a + 15 + (15a^14 + 12a^13 + 13a^12 + 3a^11 + 8a^10 + 3a^9 + 8a^8 + 4a^7 + 17a^6 + 16a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 13)23 + (18a^14 + a^13 + 3a^12 + 9a^11 + 17a^10 + 2a^9 + 18a^8 + 9a^7 + 5a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 19a + 12)23^2 + (a^14 + 4a^13 + 5a^12 + 2a^11 + 11a^10 + a^9 + 18a^8 + 10a^7 + 10a^6 + 18a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 19a^2 + 7a + 2)23^3 + (3a^14 + 19a^13 + 17a^12 + 14a^11 + 11a^10 + 13a^9 + 17a^8 + 18a^7 + 15a^6 + 10a^5 + a^4 + a^3 + 12a^2 + 2a + 19)23^4 + (4a^14 + 17a^13 + 18a^12 + 13a^11 + 7a^10 + 20a^9 + 2a^8 + 6a^7 + 2a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 10a + 17)23^5 + (8a^14 + 3a^13 + 19a^12 + 5a^11 + 16a^10 + 9a^9 + 18a^8 + 12a^7 + 2a^5 + 14a^4 + 9a^2 + 8a + 10)23^6 + (13a^14 + 11a^13 + a^11 + 10a^10 + 6a^9 + 15a^8 + 12a^7 + 5a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 6a + 18)23^7 + (6a^13 + 22a^12 + 16a^11 + 3a^10 + 21a^9 + 17a^8 + 22a^7 + 8a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 10a + 5)23^8 + (20a^14 + 14a^13 + 14a^12 + 19a^11 + a^10 + 22a^9 + 8a^8 + a^7 + a^6 + 10a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 19a^2 + a + 4)*23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 9 a^{14} + 10 a^{13} + 16 a^{12} + 15 a^{11} + 11 a^{10} + 2 a^{9} + 4 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 2 + \left(3 a^{14} + 13 a^{13} + 18 a^{12} + 13 a^{11} + 11 a^{10} + 8 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23 + \left(6 a^{14} + 14 a^{13} + 13 a^{12} + 3 a^{11} + 18 a^{10} + 19 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{14} + a^{13} + 12 a^{12} + 5 a^{10} + 2 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{13} + 18 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{9} + 19 a^{8} + 2 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{14} + 19 a^{13} + a^{12} + 22 a^{11} + 20 a^{10} + 9 a^{9} + 14 a^{8} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + a^{11} + 7 a^{10} + 17 a^{9} + 4 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{14} + 22 a^{13} + 18 a^{12} + 14 a^{11} + 13 a^{10} + 12 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{14} + 17 a^{13} + 17 a^{12} + 20 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 17 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{14} + 5 a^{12} + 9 a^{11} + 15 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^14 + 10a^13 + 16a^12 + 15a^11 + 11a^10 + 2a^9 + 4a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 12a^2 + 16a + 2 + (3a^14 + 13a^13 + 18a^12 + 13a^11 + 11a^10 + 8a^9 + 9a^8 + 5a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 5a^2 + 15a + 4)23 + (6a^14 + 14a^13 + 13a^12 + 3a^11 + 18a^10 + 19a^9 + 14a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 15a^5 + 13a^4 + 5a^3 + 9a + 11)23^2 + (17a^14 + a^13 + 12a^12 + 5a^10 + 2a^8 + 2a^7 + 18a^6 + 21a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 10a^2 + 10a + 20)23^3 + (10a^13 + 18a^12 + 15a^11 + 14a^10 + 11a^9 + 19a^8 + 2a^7 + 4a^6 + 20a^5 + a^4 + 3a^3 + 20a^2 + 12a)23^4 + (21a^14 + 19a^13 + a^12 + 22a^11 + 20a^10 + 9a^9 + 14a^8 + 20a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 8a^2 + a + 22)23^5 + (22a^14 + 17a^13 + 4a^12 + a^11 + 7a^10 + 17a^9 + 4a^8 + 15a^7 + 22a^6 + 15a^5 + 3a^4 + a^3 + 13a^2 + 13a + 2)23^6 + (12a^14 + 22a^13 + 18a^12 + 14a^11 + 13a^10 + 12a^9 + 9a^8 + 3a^7 + 15a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 21a^3 + a^2 + 14a + 10)23^7 + (20a^14 + 17a^13 + 17a^12 + 20a^10 + 8a^9 + 3a^8 + 17a^7 + 19a^6 + 6a^5 + 18a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 20a + 12)23^8 + (22a^14 + 5a^12 + 9a^11 + 15a^10 + a^9 + 7a^8 + 3a^6 + 15a^5 + 16a^4 + 7a^3 + a^2 + 21a + 11)*23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 4 a^{14} + 10 a^{13} + 11 a^{12} + 19 a^{11} + 6 a^{10} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 15 + \left(6 a^{14} + 12 a^{13} + 12 a^{12} + 20 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 12 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23 + \left(17 a^{14} + 18 a^{13} + 2 a^{12} + 9 a^{11} + 19 a^{10} + a^{9} + 13 a^{8} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 20 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{14} + 19 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 19 a^{10} + 19 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 17 a^{5} + 15 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 18 a^{11} + 20 a^{10} + 4 a^{9} + 16 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{14} + 13 a^{13} + 3 a^{12} + 19 a^{11} + 6 a^{10} + 11 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 11 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{14} + 7 a^{13} + 20 a^{12} + 21 a^{11} + 6 a^{10} + 21 a^{9} + 21 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{14} + 10 a^{13} + 18 a^{12} + 9 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{9} + 8 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{14} + 5 a^{13} + 18 a^{12} + 17 a^{11} + 15 a^{10} + 14 a^{9} + 18 a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{14} + 9 a^{12} + 17 a^{11} + 20 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 4a^14 + 10a^13 + 11a^12 + 19a^11 + 6a^10 + 12a^8 + 6a^7 + 17a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 18a + 15 + (6a^14 + 12a^13 + 12a^12 + 20a^11 + 21a^10 + 6a^9 + 12a^8 + 17a^7 + 21a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 21a + 16)23 + (17a^14 + 18a^13 + 2a^12 + 9a^11 + 19a^10 + a^9 + 13a^8 + 2a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 20a^3 + 20a^2 + 13)23^2 + (7a^14 + 19a^13 + 11a^12 + a^11 + 19a^10 + 19a^9 + 21a^8 + 22a^7 + 10a^6 + 17a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 19a + 6)23^3 + (a^14 + 10a^13 + 4a^12 + 18a^11 + 20a^10 + 4a^9 + 16a^8 + 10a^7 + 8a^6 + a^5 + 12a^4 + 8a^3 + 22a^2 + 6a + 3)23^4 + (20a^14 + 13a^13 + 3a^12 + 19a^11 + 6a^10 + 11a^9 + 9a^8 + 16a^7 + 14a^6 + 18a^5 + 11a^3 + 21a^2 + 15a + 4)23^5 + (21a^14 + 7a^13 + 20a^12 + 21a^11 + 6a^10 + 21a^9 + 21a^8 + 7a^7 + 16a^6 + 19a^5 + 3a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 6a + 16)23^6 + (7a^14 + 10a^13 + 18a^12 + 9a^11 + 16a^10 + 14a^9 + 8a^8 + 7a^7 + 9a^6 + 21a^5 + 11a^4 + a^3 + 2a^2 + 20a + 14)23^7 + (15a^14 + 5a^13 + 18a^12 + 17a^11 + 15a^10 + 14a^9 + 18a^8 + 5a^7 + 3a^6 + 9a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 12a + 8)23^8 + (21a^14 + 9a^12 + 17a^11 + 20a^9 + 5a^8 + 7a^7 + 6a^6 + 21a^5 + 20a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 5a + 13)23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 8 a^{14} + 2 a^{13} + 9 a^{12} + 14 a^{11} + 5 a^{10} + 7 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 21 + \left(21 a^{13} + 14 a^{12} + 4 a^{11} + 21 a^{10} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 23 + \left(a^{14} + 9 a^{13} + 14 a^{12} + 7 a^{11} + a^{10} + 5 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{13} + 12 a^{11} + 3 a^{10} + 20 a^{9} + 7 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{14} + 10 a^{13} + 18 a^{12} + 4 a^{11} + 11 a^{10} + 9 a^{9} + 4 a^{8} + 22 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{14} + 2 a^{13} + 13 a^{12} + 10 a^{11} + 19 a^{10} + 5 a^{9} + 21 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{14} + 17 a^{12} + 18 a^{11} + 6 a^{10} + 16 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{14} + 2 a^{13} + 10 a^{12} + 6 a^{11} + 21 a^{10} + 17 a^{9} + a^{8} + 19 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{14} + 17 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + a^{10} + a^{9} + 6 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{13} + 3 a^{12} + 4 a^{11} + 5 a^{10} + 11 a^{9} + 2 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 8a^14 + 2a^13 + 9a^12 + 14a^11 + 5a^10 + 7a^9 + 19a^8 + 16a^7 + 13a^6 + 15a^5 + 20a^4 + 13a^3 + 12a^2 + 10a + 21 + (21a^13 + 14a^12 + 4a^11 + 21a^10 + 21a^9 + 7a^8 + 21a^7 + 15a^6 + 4a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 8a^2 + 19a + 14)23 + (a^14 + 9a^13 + 14a^12 + 7a^11 + a^10 + 5a^9 + 8a^8 + 6a^7 + 18a^6 + 9a^5 + 22a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 5a + 21)23^2 + (13a^13 + 12a^11 + 3a^10 + 20a^9 + 7a^8 + 13a^7 + 10a^6 + 14a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 8a^2 + 18a + 13)23^3 + (a^14 + 10a^13 + 18a^12 + 4a^11 + 11a^10 + 9a^9 + 4a^8 + 22a^7 + 20a^6 + 4a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 20a + 1)23^4 + (22a^14 + 2a^13 + 13a^12 + 10a^11 + 19a^10 + 5a^9 + 21a^8 + 5a^7 + 21a^6 + 18a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 2a)23^5 + (14a^14 + 17a^12 + 18a^11 + 6a^10 + 16a^9 + 21a^8 + 21a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 8a + 7)23^6 + (3a^14 + 2a^13 + 10a^12 + 6a^11 + 21a^10 + 17a^9 + a^8 + 19a^7 + 9a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 8a^2 + 11a + 2)23^7 + (19a^14 + 17a^13 + 4a^12 + 20a^11 + a^10 + a^9 + 6a^8 + 3a^7 + 21a^6 + 2a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 20a^2 + 14a + 10)23^8 + (a^13 + 3a^12 + 4a^11 + 5a^10 + 11a^9 + 2a^8 + 21a^7 + 15a^6 + 18a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 13a^2 + 19a + 13)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 5 a^{14} + 18 a^{13} + 3 a^{12} + 15 a^{11} + 3 a^{10} + 7 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 11 + \left(7 a^{13} + 2 a^{12} + 19 a^{11} + 22 a^{10} + 4 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23 + \left(14 a^{14} + 11 a^{13} + 16 a^{12} + a^{11} + 22 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{14} + 20 a^{13} + 10 a^{12} + a^{11} + 20 a^{10} + 12 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{14} + 8 a^{13} + 19 a^{12} + 7 a^{11} + 22 a^{10} + 21 a^{9} + a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{14} + 22 a^{13} + 22 a^{12} + 16 a^{10} + 13 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{14} + 3 a^{13} + 14 a^{12} + 14 a^{11} + 9 a^{10} + 5 a^{8} + 17 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{14} + 16 a^{13} + 7 a^{12} + 10 a^{10} + 17 a^{9} + 20 a^{8} + a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{13} + 14 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 12 a^{9} + 14 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{14} + 13 a^{13} + 4 a^{12} + 17 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 5a^14 + 18a^13 + 3a^12 + 15a^11 + 3a^10 + 7a^9 + 2a^8 + 20a^7 + 10a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 20a + 11 + (7a^13 + 2a^12 + 19a^11 + 22a^10 + 4a^9 + 22a^8 + 17a^7 + 2a^6 + 10a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 14a^2 + 7a + 7)23 + (14a^14 + 11a^13 + 16a^12 + a^11 + 22a^10 + 22a^9 + 11a^8 + 6a^6 + 15a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 16a + 22)23^2 + (9a^14 + 20a^13 + 10a^12 + a^11 + 20a^10 + 12a^9 + a^8 + 7a^7 + 19a^6 + a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 5a^2 + 11a + 13)23^3 + (20a^14 + 8a^13 + 19a^12 + 7a^11 + 22a^10 + 21a^9 + a^8 + 20a^7 + 19a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 20a + 7)23^4 + (7a^14 + 22a^13 + 22a^12 + 16a^10 + 13a^9 + a^8 + 3a^7 + 16a^6 + 22a^5 + 22a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 16a + 11)23^5 + (8a^14 + 3a^13 + 14a^12 + 14a^11 + 9a^10 + 5a^8 + 17a^7 + 17a^6 + 12a^5 + a^4 + a^2 + 22a + 9)23^6 + (18a^14 + 16a^13 + 7a^12 + 10a^10 + 17a^9 + 20a^8 + a^7 + 7a^6 + 19a^5 + 5a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 10a + 17)23^7 + (6a^13 + 14a^12 + 11a^11 + 10a^10 + 12a^9 + 14a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 10a^2 + 10a + 6)23^8 + (5a^14 + 13a^13 + 4a^12 + 17a^11 + 21a^10 + 19a^9 + 2a^8 + 4a^7 + 18a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 4a + 3)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( a^{14} + 19 a^{13} + 15 a^{12} + 10 a^{11} + 11 a^{10} + 11 a^{9} + 3 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 18 + \left(22 a^{14} + 14 a^{12} + 20 a^{11} + 3 a^{10} + a^{9} + a^{8} + 17 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23 + \left(5 a^{14} + 8 a^{12} + 10 a^{11} + 5 a^{10} + 9 a^{9} + 9 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{14} + 17 a^{13} + 12 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 10 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{14} + 16 a^{13} + 13 a^{12} + 7 a^{11} + 21 a^{10} + 6 a^{9} + 4 a^{8} + 20 a^{7} + 7 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{14} + 10 a^{12} + 14 a^{11} + 10 a^{10} + 22 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{14} + 15 a^{13} + 22 a^{12} + 14 a^{10} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{14} + 19 a^{13} + 18 a^{12} + 8 a^{11} + 4 a^{10} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{14} + 9 a^{13} + 5 a^{12} + 20 a^{11} + 14 a^{10} + 20 a^{9} + 22 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{14} + 5 a^{13} + 11 a^{12} + 9 a^{11} + 10 a^{10} + 19 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) a^14 + 19a^13 + 15a^12 + 10a^11 + 11a^10 + 11a^9 + 3a^8 + 16a^7 + 14a^6 + 9a^5 + 6a^4 + 9a^3 + 18a^2 + 18a + 18 + (22a^14 + 14a^12 + 20a^11 + 3a^10 + a^9 + a^8 + 17a^7 + 11a^6 + 18a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 7a + 2)23 + (5a^14 + 8a^12 + 10a^11 + 5a^10 + 9a^9 + 9a^8 + 19a^7 + a^6 + 3a^5 + a^4 + 16a^3 + 13a^2 + 18a + 14)23^2 + (4a^14 + 17a^13 + 12a^12 + 12a^11 + 18a^10 + 10a^9 + a^8 + 3a^7 + 15a^6 + 20a^5 + a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 17a + 8)23^3 + (13a^14 + 16a^13 + 13a^12 + 7a^11 + 21a^10 + 6a^9 + 4a^8 + 20a^7 + 7a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 21a + 10)23^4 + (4a^14 + 10a^12 + 14a^11 + 10a^10 + 22a^9 + 17a^8 + 11a^6 + 5a^5 + a^4 + a^3 + 9a^2 + 20a + 4)23^5 + (7a^14 + 15a^13 + 22a^12 + 14a^10 + 4a^8 + 13a^7 + 20a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 7a + 20)23^6 + (12a^14 + 19a^13 + 18a^12 + 8a^11 + 4a^10 + 10a^8 + 17a^7 + 18a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 18a^2 + 5a + 8)23^7 + (11a^14 + 9a^13 + 5a^12 + 20a^11 + 14a^10 + 20a^9 + 22a^8 + 21a^7 + 2a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 4a + 6)23^8 + (21a^14 + 5a^13 + 11a^12 + 9a^11 + 10a^10 + 19a^9 + 19a^8 + 9a^7 + a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 19a^2 + 22a + 13)23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 6 a^{14} + 2 a^{13} + 18 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 9 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + \left(22 a^{14} + 8 a^{13} + 8 a^{12} + 4 a^{11} + 18 a^{10} + 14 a^{8} + a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23 + \left(16 a^{14} + 7 a^{12} + 13 a^{11} + 18 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 16 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{14} + 22 a^{13} + 18 a^{12} + 18 a^{11} + 19 a^{10} + 4 a^{9} + 18 a^{8} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{14} + 16 a^{13} + 18 a^{12} + 4 a^{11} + 8 a^{10} + 22 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{14} + 3 a^{13} + 8 a^{12} + 22 a^{11} + 8 a^{10} + 20 a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{14} + 12 a^{12} + 19 a^{11} + 11 a^{10} + 3 a^{9} + 3 a^{8} + a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{14} + 6 a^{13} + 15 a^{12} + 11 a^{11} + 7 a^{10} + a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{14} + 10 a^{13} + 6 a^{12} + 8 a^{11} + 19 a^{10} + 12 a^{9} + 13 a^{8} + 21 a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{14} + 16 a^{13} + 6 a^{12} + 4 a^{11} + 13 a^{10} + 17 a^{9} + 5 a^{8} + 13 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 6a^14 + 2a^13 + 18a^12 + 3a^11 + 14a^10 + 9a^9 + 18a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 19a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 10a + (22a^14 + 8a^13 + 8a^12 + 4a^11 + 18a^10 + 14a^8 + a^7 + 22a^6 + 9a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 20a + 11)23 + (16a^14 + 7a^12 + 13a^11 + 18a^10 + 4a^9 + 18a^8 + 19a^7 + 16a^6 + 11a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 21a^2 + 16a + 9)23^2 + (5a^14 + 22a^13 + 18a^12 + 18a^11 + 19a^10 + 4a^9 + 18a^8 + 4a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 17a + 18)23^3 + (21a^14 + 16a^13 + 18a^12 + 4a^11 + 8a^10 + 22a^9 + 5a^8 + a^7 + 20a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 16a^2 + 15a + 9)23^4 + (18a^14 + 3a^13 + 8a^12 + 22a^11 + 8a^10 + 20a^9 + 19a^8 + 22a^7 + 7a^6 + 15a^5 + 15a^4 + 5a^3 + 19a^2 + 3a + 20)23^5 + (7a^14 + 12a^12 + 19a^11 + 11a^10 + 3a^9 + 3a^8 + a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 2a + 10)23^6 + (5a^14 + 6a^13 + 15a^12 + 11a^11 + 7a^10 + a^9 + 7a^8 + 12a^7 + a^6 + 15a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 12a + 22)23^7 + (15a^14 + 10a^13 + 6a^12 + 8a^11 + 19a^10 + 12a^9 + 13a^8 + 21a^7 + 3a^6 + 3a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 5a + 22)23^8 + (5a^14 + 16a^13 + 6a^12 + 4a^11 + 13a^10 + 17a^9 + 5a^8 + 13a^7 + 13a^6 + 14a^5 + 10a^4 + 8a^3 + a + 7)23^9+O(23^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 2 a^{14} + 10 a^{12} + 19 a^{11} + 18 a^{10} + 15 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 4 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 17 + \left(14 a^{14} + 21 a^{13} + 15 a^{12} + 21 a^{11} + 14 a^{10} + 14 a^{9} + 20 a^{8} + 11 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23 + \left(20 a^{14} + 9 a^{13} + 22 a^{11} + 11 a^{10} + 14 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{14} + 22 a^{13} + 5 a^{12} + 17 a^{11} + 11 a^{10} + 15 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{14} + 21 a^{13} + 5 a^{12} + 13 a^{11} + 6 a^{10} + 3 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{14} + 10 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 18 a^{10} + 8 a^{9} + 4 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(17 a^{14} + 12 a^{13} + 21 a^{12} + 7 a^{11} + 12 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{14} + 19 a^{13} + 16 a^{12} + 16 a^{11} + a^{10} + 11 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{14} + 13 a^{13} + a^{12} + 5 a^{11} + 6 a^{10} + 7 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{14} + 3 a^{13} + 13 a^{12} + 17 a^{11} + 21 a^{10} + 19 a^{9} + 9 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 2a^14 + 10a^12 + 19a^11 + 18a^10 + 15a^9 + 14a^8 + 11a^7 + 4a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 12a + 17 + (14a^14 + 21a^13 + 15a^12 + 21a^11 + 14a^10 + 14a^9 + 20a^8 + 11a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 5a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 21a + 5)23 + (20a^14 + 9a^13 + 22a^11 + 11a^10 + 14a^9 + 12a^8 + 10a^7 + 17a^6 + 17a^5 + 4a^3 + 8a^2 + 10a + 18)23^2 + (13a^14 + 22a^13 + 5a^12 + 17a^11 + 11a^10 + 15a^9 + 15a^8 + 21a^7 + 15a^6 + a^5 + 22a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 4a + 20)23^3 + (21a^14 + 21a^13 + 5a^12 + 13a^11 + 6a^10 + 3a^9 + 2a^8 + 9a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 20a^4 + 14a^3 + a^2 + 12a + 13)23^4 + (a^14 + 10a^13 + 21a^12 + 12a^11 + 18a^10 + 8a^9 + 4a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 15a^5 + 20a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 5a + 14)23^5 + (17a^14 + 12a^13 + 21a^12 + 7a^11 + 12a^10 + 4a^9 + 12a^8 + 13a^7 + 6a^6 + 13a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 18a + 6)23^6 + (22a^14 + 19a^13 + 16a^12 + 16a^11 + a^10 + 11a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 10a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 5a^3 + 12a^2 + 2a + 10)23^7 + (6a^14 + 13a^13 + a^12 + 5a^11 + 6a^10 + 7a^9 + 8a^8 + 14a^7 + 5a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 5a^3 + 2a^2 + 17a + 7)23^8 + (9a^14 + 3a^13 + 13a^12 + 17a^11 + 21a^10 + 19a^9 + 9a^8 + 16a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 2a^2 + 21a + 7)*23^9+O(23^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 8 a^{14} + 17 a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 14 a^{10} + 21 a^{9} + 17 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 4 + \left(5 a^{14} + 4 a^{13} + 20 a^{12} + 16 a^{11} + 16 a^{10} + 8 a^{9} + 15 a^{8} + 9 a^{7} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23 + \left(19 a^{14} + 18 a^{13} + 13 a^{12} + 12 a^{10} + 18 a^{9} + 3 a^{8} + 18 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{14} + 14 a^{13} + 7 a^{12} + 18 a^{11} + 5 a^{10} + 7 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{14} + 12 a^{13} + 10 a^{12} + 16 a^{11} + 7 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{14} + 2 a^{13} + 4 a^{12} + 11 a^{11} + 8 a^{10} + 4 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{14} + 10 a^{13} + 5 a^{12} + 3 a^{11} + 19 a^{10} + 2 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 5 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(18 a^{14} + 9 a^{13} + 18 a^{12} + 16 a^{11} + 9 a^{10} + 21 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{14} + 20 a^{13} + 11 a^{12} + a^{11} + 13 a^{10} + 13 a^{9} + 2 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{13} + 10 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 10 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 8a^14 + 17a^13 + 11a^12 + 2a^11 + 14a^10 + 21a^9 + 17a^8 + 20a^7 + 5a^6 + 22a^5 + 2a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 7a + 4 + (5a^14 + 4a^13 + 20a^12 + 16a^11 + 16a^10 + 8a^9 + 15a^8 + 9a^7 + 6a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 12a + 6)23 + (19a^14 + 18a^13 + 13a^12 + 12a^10 + 18a^9 + 3a^8 + 18a^7 + 7a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 19a + 7)23^2 + (14a^14 + 14a^13 + 7a^12 + 18a^11 + 5a^10 + 7a^9 + 10a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 22a^2 + 20a + 6)23^3 + (5a^14 + 12a^13 + 10a^12 + 16a^11 + 7a^9 + 15a^8 + 7a^7 + 3a^6 + 14a^5 + 22a^4 + 16a^3 + 17a^2 + 9a + 18)23^4 + (17a^14 + 2a^13 + 4a^12 + 11a^11 + 8a^10 + 4a^9 + 9a^8 + 5a^7 + 7a^6 + 5a^5 + 20a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 5a + 21)23^5 + (16a^14 + 10a^13 + 5a^12 + 3a^11 + 19a^10 + 2a^9 + 3a^8 + 20a^7 + 5a^6 + 15a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 16a + 5)23^6 + (18a^14 + 9a^13 + 18a^12 + 16a^11 + 9a^10 + 21a^9 + 16a^8 + 6a^7 + 4a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 9a + 9)23^7 + (17a^14 + 20a^13 + 11a^12 + a^11 + 13a^10 + 13a^9 + 2a^8 + 22a^7 + 15a^6 + 19a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 5a + 5)23^8 + (4a^13 + 10a^12 + 5a^11 + 20a^10 + 10a^9 + 8a^8 + 12a^6 + 20a^5 + 11a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 13a + 21)*23^9+O(23^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 10 a^{14} + 21 a^{13} + 15 a^{12} + 21 a^{11} + 15 a^{10} + 3 a^{9} + 12 a^{8} + 22 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 12 + \left(5 a^{14} + 2 a^{13} + 7 a^{12} + 16 a^{11} + 7 a^{9} + 16 a^{8} + 22 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23 + \left(4 a^{14} + 18 a^{13} + 21 a^{12} + 12 a^{11} + 20 a^{10} + 11 a^{9} + 21 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{14} + 5 a^{13} + 4 a^{12} + 14 a^{11} + 17 a^{10} + 7 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{14} + a^{13} + 21 a^{12} + 22 a^{11} + 21 a^{10} + 12 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 19 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{14} + 6 a^{13} + 17 a^{12} + 4 a^{11} + 17 a^{9} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{14} + 9 a^{13} + 5 a^{12} + 3 a^{11} + 21 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{14} + 21 a^{13} + 9 a^{12} + 5 a^{11} + 20 a^{10} + 13 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{14} + 17 a^{13} + 10 a^{12} + 15 a^{11} + 14 a^{10} + 11 a^{9} + 18 a^{8} + 4 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{14} + 22 a^{13} + a^{12} + 12 a^{11} + 17 a^{10} + 17 a^{9} + 4 a^{8} + 18 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 10a^14 + 21a^13 + 15a^12 + 21a^11 + 15a^10 + 3a^9 + 12a^8 + 22a^7 + 6a^6 + 7a^5 + 9a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 13a + 12 + (5a^14 + 2a^13 + 7a^12 + 16a^11 + 7a^9 + 16a^8 + 22a^6 + a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 21a^2 + 2a + 8)23 + (4a^14 + 18a^13 + 21a^12 + 12a^11 + 20a^10 + 11a^9 + 21a^8 + 14a^7 + 9a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 4a^2 + 9a + 20)23^2 + (8a^14 + 5a^13 + 4a^12 + 14a^11 + 17a^10 + 7a^9 + 5a^8 + 14a^7 + 16a^6 + 20a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 6a + 14)23^3 + (14a^14 + a^13 + 21a^12 + 22a^11 + 21a^10 + 12a^9 + 3a^8 + 9a^7 + 21a^6 + 21a^5 + 19a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 14a + 18)23^4 + (3a^14 + 6a^13 + 17a^12 + 4a^11 + 17a^9 + 2a^8 + 13a^7 + 8a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 19a + 3)23^5 + (18a^14 + 9a^13 + 5a^12 + 3a^11 + 21a^9 + 7a^8 + 5a^7 + a^6 + 2a^5 + 19a^4 + 18a^3 + 20a^2 + a + 1)23^6 + (20a^14 + 21a^13 + 9a^12 + 5a^11 + 20a^10 + 13a^9 + 7a^8 + 14a^7 + 10a^6 + 15a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 21a + 10)23^7 + (9a^14 + 17a^13 + 10a^12 + 15a^11 + 14a^10 + 11a^9 + 18a^8 + 4a^7 + 3a^6 + 9a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 22a^2 + 12a + 16)23^8 + (21a^14 + 22a^13 + a^12 + 12a^11 + 17a^10 + 17a^9 + 4a^8 + 18a^7 + 6a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 18a + 7)23^9+O(23^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 4 a^{14} + 16 a^{13} + 11 a^{12} + 2 a^{11} + 3 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 21 a + 21 + \left(16 a^{14} + 18 a^{13} + a^{12} + 2 a^{11} + 16 a^{10} + 6 a^{9} + 9 a^{8} + 6 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23 + \left(6 a^{14} + 10 a^{13} + 4 a^{12} + 20 a^{11} + 6 a^{10} + 8 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{14} + 15 a^{13} + 17 a^{12} + 6 a^{11} + 13 a^{10} + 14 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{14} + 22 a^{13} + 22 a^{12} + 3 a^{11} + 14 a^{10} + 22 a^{9} + 11 a^{8} + 11 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{14} + 5 a^{13} + 20 a^{11} + 9 a^{10} + 11 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 6 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{14} + 22 a^{13} + 20 a^{12} + 22 a^{11} + 13 a^{10} + 4 a^{9} + 12 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{14} + 10 a^{13} + 5 a^{11} + 9 a^{10} + 14 a^{9} + a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{14} + 19 a^{13} + 11 a^{12} + 13 a^{11} + 16 a^{10} + 14 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{14} + 15 a^{13} + 12 a^{12} + 14 a^{11} + 7 a^{10} + 5 a^{9} + a^{8} + 5 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 4a^14 + 16a^13 + 11a^12 + 2a^11 + 3a^10 + 2a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 8a^6 + 14a^5 + 10a^4 + 10a^3 + a^2 + 21a + 21 + (16a^14 + 18a^13 + a^12 + 2a^11 + 16a^10 + 6a^9 + 9a^8 + 6a^7 + 4a^6 + 22a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 4a^2 + 3a + 18)23 + (6a^14 + 10a^13 + 4a^12 + 20a^11 + 6a^10 + 8a^9 + 3a^8 + 20a^7 + 9a^6 + 7a^5 + a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 3a + 15)23^2 + (18a^14 + 15a^13 + 17a^12 + 6a^11 + 13a^10 + 14a^9 + 3a^8 + 11a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 4a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 8a + 11)23^3 + (13a^14 + 22a^13 + 22a^12 + 3a^11 + 14a^10 + 22a^9 + 11a^8 + 11a^7 + 18a^6 + 4a^5 + 10a^4 + 2a^2 + 16a + 3)23^4 + (4a^14 + 5a^13 + 20a^11 + 9a^10 + 11a^9 + 13a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 6a^3 + 22a^2 + 19a + 6)23^5 + (7a^14 + 22a^13 + 20a^12 + 22a^11 + 13a^10 + 4a^9 + 12a^8 + 10a^7 + 4a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 20a)23^6 + (22a^14 + 10a^13 + 5a^11 + 9a^10 + 14a^9 + a^8 + 11a^7 + 2a^6 + 20a^5 + a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 21)23^7 + (11a^14 + 19a^13 + 11a^12 + 13a^11 + 16a^10 + 14a^9 + 7a^8 + 5a^7 + 2a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 13a + 10)23^8 + (5a^14 + 15a^13 + 12a^12 + 14a^11 + 7a^10 + 5a^9 + a^8 + 5a^7 + 3a^6 + 10a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 16a + 1)*23^9+O(23^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 3 a^{14} + 17 a^{13} + 8 a^{12} + 3 a^{11} + 2 a^{10} + 3 a^{9} + 22 a^{8} + a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 17 + \left(a^{14} + 13 a^{13} + 6 a^{12} + 18 a^{11} + 15 a^{10} + 22 a^{9} + 12 a^{8} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23 + \left(15 a^{14} + 17 a^{13} + 7 a^{12} + 11 a^{11} + 10 a^{10} + 5 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{14} + 4 a^{13} + 4 a^{12} + 19 a^{11} + 10 a^{10} + 15 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{14} + 19 a^{12} + a^{11} + 12 a^{10} + 2 a^{9} + 10 a^{8} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 18 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{14} + 19 a^{13} + 3 a^{12} + 6 a^{11} + 21 a^{10} + 2 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{14} + 16 a^{13} + 8 a^{12} + a^{11} + 10 a^{10} + 11 a^{9} + 17 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{4} + 17 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{14} + 13 a^{13} + 16 a^{12} + 21 a^{11} + 17 a^{10} + 10 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{14} + 5 a^{13} + 21 a^{12} + 13 a^{11} + 3 a^{10} + 10 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{12} + 10 a^{11} + 16 a^{10} + 18 a^{9} + a^{8} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 20 a^{2}\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 3a^14 + 17a^13 + 8a^12 + 3a^11 + 2a^10 + 3a^9 + 22a^8 + a^7 + 3a^6 + 8a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 13a + 17 + (a^14 + 13a^13 + 6a^12 + 18a^11 + 15a^10 + 22a^9 + 12a^8 + 21a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 17a^3 + a^2 + 9a + 2)23 + (15a^14 + 17a^13 + 7a^12 + 11a^11 + 10a^10 + 5a^9 + 15a^8 + 3a^7 + 4a^6 + 11a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 8a)23^2 + (18a^14 + 4a^13 + 4a^12 + 19a^11 + 10a^10 + 15a^9 + 13a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 20a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 17a + 19)23^3 + (8a^14 + 19a^12 + a^11 + 12a^10 + 2a^9 + 10a^8 + 11a^6 + 3a^5 + 13a^4 + 21a^3 + 18a^2 + 21a + 14)23^4 + (11a^14 + 19a^13 + 3a^12 + 6a^11 + 21a^10 + 2a^9 + 7a^8 + 12a^7 + 8a^6 + 17a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 17a + 4)23^5 + (2a^14 + 16a^13 + 8a^12 + a^11 + 10a^10 + 11a^9 + 17a^8 + 12a^7 + 22a^6 + 8a^4 + 17a^2 + 10a + 21)23^6 + (a^14 + 13a^13 + 16a^12 + 21a^11 + 17a^10 + 10a^9 + 11a^8 + 14a^7 + 15a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 19a^3 + 2a^2 + 16a)23^7 + (8a^14 + 5a^13 + 21a^12 + 13a^11 + 3a^10 + 10a^9 + 15a^8 + 2a^7 + 12a^6 + 6a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 12a + 18)23^8 + (6a^12 + 10a^11 + 16a^10 + 18a^9 + a^8 + 4a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 20a^2)*23^9+O(23^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 17 }$

Cycle notation
$(1,6)(2,7)(3,16)(4,11)(5,8)(9,12)(10,17)(13,14)$
$(1,12,5)(3,13,17)(4,14,6)(7,16,8)(9,10,15)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 17 }$	Character values
			$c1$	$c2$	$c3$	$c4$
$1$	$1$	$()$	$17$	$17$	$17$	$17$
$255$	$2$	$(1,6)(2,7)(3,16)(4,11)(5,8)(9,12)(10,17)(13,14)$	$1$	$1$	$1$	$1$
$272$	$3$	$(1,12,5)(3,13,17)(4,14,6)(7,16,8)(9,10,15)$	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$
$272$	$5$	$(1,3,11,10,14)(2,5,17,16,15)(4,9,8,6,7)$	$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$	$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$
$272$	$5$	$(1,11,14,3,10)(2,17,15,5,16)(4,8,7,9,6)$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$	$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2}$	$\zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15}^{2} - 1$
$272$	$15$	$(1,5,11,4,3,12,17,16,6,10,14,13,2,9,15)$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$	$-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$	$2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$
$272$	$15$	$(1,11,3,17,6,14,2,15,5,4,12,16,10,13,9)$	$-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$	$2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$
$272$	$15$	$(1,3,6,2,5,12,10,9,11,17,14,15,4,16,13)$	$2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$	$-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$
$272$	$15$	$(1,16,15,17,9,12,2,3,13,4,14,11,10,5,6)$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{6} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{3} - \zeta_{15}^{2} + \zeta_{15} + 1$	$-\zeta_{15}^{7} + \zeta_{15}^{5} - \zeta_{15}^{4} + \zeta_{15}^{2} - \zeta_{15} + 1$	$-\zeta_{15}^{6} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}$	$2 \zeta_{15}^{7} - \zeta_{15}^{5} + \zeta_{15}^{4} - \zeta_{15}^{3} + \zeta_{15} - 1$
$240$	$17$	$(1,9,17,16,5,6,11,4,13,10,15,12,8,2,7,3,14)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$240$	$17$	$(1,17,5,11,13,15,8,7,14,9,16,6,4,10,12,2,3)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$240$	$17$	$(1,16,11,10,8,3,9,5,4,15,2,14,17,6,13,12,7)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$240$	$17$	$(1,5,13,8,14,16,4,12,3,17,11,15,7,9,6,10,2)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$240$	$17$	$(1,6,15,3,16,13,2,9,11,12,14,5,10,7,17,4,8)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$240$	$17$	$(1,11,8,9,4,2,17,13,7,16,10,3,5,15,14,6,12)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$240$	$17$	$(1,4,7,5,12,9,13,3,6,8,17,10,14,11,2,16,15)$	$0$	$0$	$0$	$0$
$240$	$17$	$(1,13,14,4,3,11,7,6,2,5,8,16,12,17,15,9,10)$	$0$	$0$	$0$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Galois action

Roots of defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 17 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	17.861...144.120.a
Dimension	$17$
Group	$\PSL(2,16)$
Conductor	$8.615\times 10^{26}$
Indicator	$1$