Properties

Label 16.604...088.17t5.a.a
Dimension $16$
Group $F_{17}$
Conductor $6.045\times 10^{23}$
Root number $1$
Indicator $1$

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Dimension: $16$
Group: $F_{17}$
Conductor: \(604\!\cdots\!088\)\(\medspace = 2^{79}\)
Frobenius-Schur indicator: $1$
Root number: $1$
Artin stem field: Galois closure of 17.1.604462909807314587353088.1
Galois orbit size: $1$
Smallest permutation container: $F_{17}$
Parity: even
Determinant: 1.8.2t1.a.a
Projective image: $F_{17}$
Projective stem field: Galois closure of 17.1.604462909807314587353088.1

Defining polynomial

$f(x)$$=$ \( x^{17} - 2 x^{16} + 8 x^{13} + 16 x^{12} - 16 x^{11} + 64 x^{9} - 32 x^{8} - 80 x^{7} + 32 x^{6} + 40 x^{5} + 80 x^{4} + 16 x^{3} - 128 x^{2} - 2 x + 68 \) Copy content Toggle raw display .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: \( x^{8} + 3x^{4} + 20x^{3} + 5x^{2} + 3x + 5 \) Copy content Toggle raw display

Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ \( 19 + 15\cdot 23 + 3\cdot 23^{2} + 2\cdot 23^{3} + 9\cdot 23^{4} + 21\cdot 23^{5} + 19\cdot 23^{6} + 16\cdot 23^{7} + 5\cdot 23^{8} + 11\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 2 }$ $=$ \( 18 a^{7} + a^{6} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 4 + \left(13 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a + 11\right)\cdot 23 + \left(6 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{7} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 3 }$ $=$ \( 21 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 3 a + 22 + \left(a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23 + \left(a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 4 }$ $=$ \( 11 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 16 + \left(14 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23 + \left(19 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 18 a\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 5 }$ $=$ \( 15 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 18 + \left(5 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23 + \left(7 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{7} + 4 a^{5} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 6 }$ $=$ \( 7 a^{7} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 21 + \left(8 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23 + \left(6 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 7 }$ $=$ \( 3 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 12 + \left(10 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23 + \left(2 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 8 }$ $=$ \( 19 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 11 + \left(20 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23 + \left(a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 9 }$ $=$ \( 5 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 4 + \left(10 a^{7} + 16 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23 + \left(4 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{3} + a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 10 }$ $=$ \( 21 a^{7} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 8 + \left(8 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23 + \left(13 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 11 }$ $=$ \( 3 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 21 + \left(10 a^{7} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23 + \left(12 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 12 }$ $=$ \( a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 22 + \left(2 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23 + \left(20 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{7} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 13 }$ $=$ \( 11 a^{7} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 12 + \left(17 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23 + \left(2 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{7} + 7 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 14 }$ $=$ \( 18 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 5 + \left(17 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23 + \left(12 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 15 }$ $=$ \( 11 a^{7} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 15 + \left(22 a^{7} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23 + \left(6 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{7} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 16 }$ $=$ \( 22 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 9 + \left(3 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23 + \left(a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{4} + 20 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display
$r_{ 17 }$ $=$ \( 19 a^{7} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 13 + \left(7 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23 + \left(4 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{7} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) Copy content Toggle raw display

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 17 }$

Cycle notation
$(1,8,3,6,10,5,17,4,15,7,12,9,13,2,14,11,16)$
$(2,5,11,9,16,14,15,4,10,13,3,17,8,6,7,12)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 17 }$ Character value
$1$$1$$()$$16$
$17$$2$$(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)(9,17)$$0$
$17$$4$$(2,16,10,8)(3,7,11,15)(4,17,12,9)(5,14,13,6)$$0$
$17$$4$$(2,8,10,16)(3,15,11,7)(4,9,12,17)(5,6,13,14)$$0$
$17$$8$$(2,11,16,15,10,3,8,7)(4,13,17,6,12,5,9,14)$$0$
$17$$8$$(2,15,8,11,10,7,16,3)(4,6,9,13,12,14,17,5)$$0$
$17$$8$$(2,3,16,7,10,11,8,15)(4,5,17,14,12,13,9,6)$$0$
$17$$8$$(2,7,8,3,10,15,16,11)(4,14,9,5,12,6,17,13)$$0$
$17$$16$$(2,5,11,9,16,14,15,4,10,13,3,17,8,6,7,12)$$0$
$17$$16$$(2,9,15,13,8,12,11,14,10,17,7,5,16,4,3,6)$$0$
$17$$16$$(2,14,3,12,16,13,7,9,10,6,11,4,8,5,15,17)$$0$
$17$$16$$(2,4,7,14,8,9,3,5,10,12,15,6,16,17,11,13)$$0$
$17$$16$$(2,13,11,17,16,6,15,12,10,5,3,9,8,14,7,4)$$0$
$17$$16$$(2,17,15,5,8,4,11,6,10,9,7,13,16,12,3,14)$$0$
$17$$16$$(2,6,3,4,16,5,7,17,10,14,11,12,8,13,15,9)$$0$
$17$$16$$(2,12,7,6,8,17,3,13,10,4,15,14,16,9,11,5)$$0$
$16$$17$$(1,8,3,6,10,5,17,4,15,7,12,9,13,2,14,11,16)$$-1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.