Basic invariants
| Dimension: | $16$ |
| Group: | $F_{17}$ |
| Conductor: | $604462909807314587353088= 2^{79} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{17} - 2 x^{16} + 8 x^{13} + 16 x^{12} - 16 x^{11} + 64 x^{9} - 32 x^{8} - 80 x^{7} + 32 x^{6} + 40 x^{5} + 80 x^{4} + 16 x^{3} - 128 x^{2} - 2 x + 68 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 1 |
| Smallest containing permutation representation: | $F_{17}$ |
| Parity: | Even |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 31.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{8} + 3 x^{4} + 20 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 19 + 15\cdot 23 + 3\cdot 23^{2} + 2\cdot 23^{3} + 9\cdot 23^{4} + 21\cdot 23^{5} + 19\cdot 23^{6} + 16\cdot 23^{7} + 5\cdot 23^{8} + 11\cdot 23^{9} + 11\cdot 23^{11} + 15\cdot 23^{12} + 14\cdot 23^{13} + 9\cdot 23^{14} + 9\cdot 23^{15} + 16\cdot 23^{16} + 5\cdot 23^{17} + 14\cdot 23^{18} + 3\cdot 23^{19} + 10\cdot 23^{20} + 7\cdot 23^{21} + 3\cdot 23^{22} + 18\cdot 23^{23} + 16\cdot 23^{24} + 8\cdot 23^{25} + 21\cdot 23^{26} + 13\cdot 23^{27} + 18\cdot 23^{28} + 15\cdot 23^{29} + 6\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 18 a^{7} + a^{6} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 4 + \left(13 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a + 11\right)\cdot 23 + \left(6 a^{7} + 14 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{7} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{7} + 22 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{9} + \left(8 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{10} + \left(3 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23^{11} + \left(18 a^{7} + 17 a^{6} + 9 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{12} + \left(11 a^{7} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{13} + \left(2 a^{7} + 19 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{14} + \left(12 a^{6} + 3 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{15} + \left(15 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{16} + \left(3 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(8 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(7 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{19} + \left(a^{7} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{20} + \left(19 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{22} + \left(17 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 13 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{23} + \left(4 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{24} + \left(5 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{25} + \left(a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{26} + \left(12 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{27} + \left(2 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{28} + \left(4 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{29} + \left(8 a^{7} + 2 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 21 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 3 a + 22 + \left(a^{7} + 5 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23 + \left(a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{7} + 20 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{7} + 9 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{9} + \left(18 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{10} + \left(2 a^{7} + 12 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 20\right)\cdot 23^{11} + \left(16 a^{7} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 17 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{14} + \left(22 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{15} + \left(15 a^{7} + 13 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{16} + \left(16 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{17} + \left(4 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{18} + \left(14 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{19} + \left(4 a^{7} + 14 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{20} + \left(17 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{21} + \left(2 a^{7} + 2 a^{6} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{22} + \left(4 a^{7} + 22 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{23} + \left(5 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{24} + \left(12 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{25} + \left(15 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{26} + \left(2 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{27} + \left(a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{28} + \left(5 a^{7} + 15 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{29} + \left(15 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 11 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 16 + \left(14 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23 + \left(19 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 18 a\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{4} + \left(9 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(18 a^{7} + 3 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{9} + \left(12 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{10} + \left(14 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{11} + \left(16 a^{7} + 14 a^{6} + 20 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{13} + \left(2 a^{7} + 16 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{14} + \left(6 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{15} + \left(22 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 19 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{16} + \left(7 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{17} + \left(5 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(20 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{19} + \left(7 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{20} + \left(22 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{21} + \left(3 a^{7} + 22 a^{6} + 18 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{22} + \left(6 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(11 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{24} + \left(5 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 23^{25} + \left(4 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{26} + \left(15 a^{7} + 18 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{27} + \left(11 a^{7} + 17 a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{28} + \left(9 a^{7} + 14 a^{6} + 8 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{7} + 19 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 15 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 18 + \left(5 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23 + \left(7 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{7} + 13 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{7} + 4 a^{5} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{9} + \left(4 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{10} + \left(10 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(8 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{12} + \left(9 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{13} + \left(13 a^{7} + 13 a^{6} + 21 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{14} + \left(18 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{15} + \left(2 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{16} + \left(20 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{17} + \left(7 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{18} + \left(21 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{19} + \left(15 a^{7} + 6 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{20} + \left(14 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{21} + \left(2 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{22} + \left(14 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{23} + \left(22 a^{7} + 16 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a\right)\cdot 23^{25} + \left(14 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a^{7} + 2 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{27} + \left(7 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(12 a^{7} + 5 a^{6} + 14 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 15\right)\cdot 23^{29} + \left(3 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 7 a^{7} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 20 a + 21 + \left(8 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23 + \left(6 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(18 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{7} + 2 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{7} + 15 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + a^{3} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 22 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{9} + \left(13 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{11} + \left(6 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{12} + \left(2 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a^{7} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{14} + \left(18 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a^{7} + a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{16} + \left(19 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{17} + \left(19 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(20 a^{7} + 8 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{19} + \left(4 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23^{20} + \left(4 a^{7} + 12 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(4 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{23} + \left(12 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 22 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(2 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{25} + \left(22 a^{7} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(4 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{27} + \left(15 a^{7} + 19 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{28} + \left(22 a^{7} + 12 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 23^{29} + \left(22 a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 3 a^{7} + 7 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 12 + \left(10 a^{7} + 16 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23 + \left(2 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a^{7} + 13 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{9} + \left(2 a^{7} + 4 a^{6} + 19 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{10} + \left(2 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{11} + \left(22 a^{7} + 18 a^{6} + 20 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{12} + \left(15 a^{7} + 14 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{14} + \left(14 a^{7} + 5 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{15} + \left(a^{7} + 9 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{16} + \left(a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{17} + \left(15 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{18} + \left(5 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{19} + \left(2 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{20} + \left(20 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{21} + \left(22 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(2 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{7} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{25} + \left(7 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{26} + \left(8 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{27} + \left(11 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{28} + \left(7 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 16 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{29} + \left(16 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 19 a^{7} + 17 a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 11 + \left(20 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23 + \left(a^{7} + 12 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{7} + 8 a^{6} + 3 a^{5} + 11 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{10} + \left(8 a^{7} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{11} + \left(7 a^{7} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{12} + \left(4 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{4} + 8 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{13} + \left(21 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{14} + \left(3 a^{7} + 12 a^{6} + 17 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{7} + 11 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{17} + \left(4 a^{7} + a^{6} + 2 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{18} + \left(15 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{19} + \left(18 a^{7} + 14 a^{6} + 6 a^{5} + a^{4} + 20 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{20} + \left(4 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 10 a^{3} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{21} + \left(10 a^{7} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(12 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{23} + \left(4 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{24} + \left(5 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 23^{26} + \left(6 a^{7} + 19 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{27} + \left(4 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(13 a^{7} + 3 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{29} + \left(8 a^{7} + 10 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 5 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 4 + \left(10 a^{7} + 16 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23 + \left(4 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{5} + 15 a^{3} + a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{7} + 22 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + a^{3} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 19 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(6 a^{7} + 18 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{9} + \left(18 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 22 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{11} + \left(11 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{12} + \left(3 a^{7} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{13} + \left(3 a^{7} + 6 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{14} + \left(6 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(16 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{17} + \left(8 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 3 a^{4} + 20 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{18} + \left(7 a^{7} + 5 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{19} + \left(20 a^{7} + 8 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{20} + \left(20 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{21} + \left(2 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{22} + \left(5 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{23} + \left(8 a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{24} + \left(4 a^{7} + a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 12 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{25} + \left(10 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{26} + \left(4 a^{7} + 15 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 4\right)\cdot 23^{27} + \left(10 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{28} + \left(19 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{29} + \left(15 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 21 a^{7} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 8 + \left(8 a^{7} + 19 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23 + \left(13 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{7} + 8 a^{6} + 15 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{7} + 22 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{7} + 19 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{7} + 11 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{9} + \left(9 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 22 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{10} + \left(22 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{11} + \left(2 a^{7} + 7 a^{6} + 3 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 17 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{12} + \left(12 a^{7} + 11 a^{6} + 6 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{13} + \left(20 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{14} + \left(6 a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{15} + \left(10 a^{7} + 19 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{16} + \left(8 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 5 a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{17} + \left(11 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 19 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{18} + \left(10 a^{7} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 21 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{19} + \left(14 a^{7} + 15 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{20} + \left(7 a^{7} + 12 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{21} + \left(3 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{22} + \left(4 a^{7} + 22 a^{6} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(20 a^{7} + 21 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{24} + \left(7 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{25} + \left(12 a^{7} + 18 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{26} + \left(19 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 19 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{27} + \left(11 a^{7} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 21 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{28} + \left(10 a^{7} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 23^{29} + \left(15 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 3 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 21 + \left(10 a^{7} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23 + \left(12 a^{7} + 15 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{7} + 17 a^{6} + 20 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{7} + a^{6} + 22 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(a^{7} + 9 a^{6} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{9} + \left(7 a^{7} + 21 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 6 a^{3} + 20 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{10} + \left(21 a^{7} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{11} + \left(12 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{12} + \left(16 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{13} + \left(3 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{14} + \left(10 a^{7} + 20 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{15} + \left(7 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{16} + \left(20 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{17} + \left(12 a^{7} + 18 a^{6} + 4 a^{5} + 10 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a^{6} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{19} + \left(16 a^{7} + 13 a^{6} + 19 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{20} + \left(17 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{21} + \left(a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{22} + \left(15 a^{7} + 7 a^{6} + 21 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{23} + \left(10 a^{7} + 7 a^{6} + 14 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{24} + \left(2 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{25} + \left(5 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{26} + \left(9 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{27} + \left(15 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{28} + \left(8 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{29} + \left(21 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 12 }$ | $=$ | $ a^{7} + 17 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 22 + \left(2 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23 + \left(20 a^{7} + 9 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{7} + 5 a^{6} + 8 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{7} + 4 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(17 a^{7} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{9} + \left(18 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{10} + \left(6 a^{7} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 21 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{11} + \left(10 a^{7} + 9 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{13} + \left(18 a^{7} + 15 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{14} + \left(10 a^{7} + 6 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{15} + \left(21 a^{7} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{16} + \left(2 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(19 a^{7} + 22 a^{6} + 11 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{18} + \left(13 a^{7} + 8 a^{6} + 6 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{19} + \left(3 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{20} + \left(21 a^{6} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{21} + \left(16 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(5 a^{7} + 10 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{23} + \left(a^{7} + 3 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{24} + \left(19 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{25} + \left(4 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23^{26} + \left(a^{7} + 10 a^{5} + 14 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{27} + \left(7 a^{7} + 8 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{28} + \left(13 a^{7} + 11 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 13 }$ | $=$ | $ 11 a^{7} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 12 + \left(17 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23 + \left(2 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 13 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{7} + 7 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{7} + 7 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{7} + 16 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{3} + 21 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a^{7} + a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{11} + \left(22 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{12} + \left(20 a^{7} + 14 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(13 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 17 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{14} + \left(14 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{15} + \left(18 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{16} + \left(14 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{17} + \left(4 a^{7} + a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{18} + \left(16 a^{7} + 6 a^{6} + 8 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{19} + \left(10 a^{7} + 19 a^{5} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{20} + \left(3 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{7} + 21 a^{6} + 18 a^{5} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 23^{22} + \left(13 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{23} + \left(7 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{24} + \left(13 a^{7} + 10 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{25} + \left(21 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{26} + \left(21 a^{7} + 20 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 11 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{27} + \left(19 a^{7} + 13 a^{6} + 16 a^{4} + 8 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(11 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{29} + \left(11 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 14 }$ | $=$ | $ 18 a^{6} + 13 a^{5} + 19 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 5 + \left(17 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23 + \left(12 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 21 a^{4} + 11 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{7} + 18 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{7} + 14 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{7} + 17 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{9} + \left(19 a^{7} + 13 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{10} + \left(14 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{11} + \left(21 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{12} + \left(18 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{13} + \left(20 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 18 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{14} + \left(13 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{15} + \left(13 a^{7} + 18 a^{6} + 22 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{16} + \left(9 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{17} + \left(3 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{18} + \left(7 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{19} + \left(a^{7} + 10 a^{6} + 20 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{20} + \left(21 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{21} + \left(7 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{22} + \left(7 a^{7} + 3 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{23} + \left(11 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{24} + \left(10 a^{7} + 3 a^{6} + 2 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{25} + \left(13 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{26} + \left(20 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{27} + \left(2 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{28} + \left(7 a^{7} + 15 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{29} + \left(7 a^{7} + 13 a^{6} + 22 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 15 }$ | $=$ | $ 11 a^{7} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 15 + \left(22 a^{7} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23 + \left(6 a^{7} + 17 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(a^{7} + 6 a^{6} + a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{7} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{4} + \left(16 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{7} + 17 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{9} + \left(12 a^{7} + 2 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{10} + \left(4 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{11} + \left(14 a^{7} + 18 a^{6} + 10 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{12} + \left(22 a^{7} + 12 a^{6} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{13} + \left(18 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{14} + \left(21 a^{7} + 6 a^{6} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(19 a^{7} + 17 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{16} + \left(20 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{17} + \left(5 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{18} + \left(21 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{19} + \left(18 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{20} + \left(5 a^{7} + 3 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 7 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{21} + \left(11 a^{7} + 20 a^{6} + 15 a^{5} + 21 a^{4} + a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{22} + \left(14 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{23} + \left(22 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 7 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{25} + \left(7 a^{7} + 6 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{26} + \left(a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{27} + \left(4 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{28} + \left(2 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 22 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(11 a^{7} + 15 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 16 }$ | $=$ | $ 22 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a + 9 + \left(3 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23 + \left(a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + a^{3} + 14 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{7} + 12 a^{6} + 7 a^{4} + 20 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{7} + 17 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{9} + \left(3 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{10} + \left(4 a^{7} + 8 a^{6} + 7 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{11} + \left(21 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{12} + \left(16 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 23^{14} + \left(12 a^{7} + 12 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23^{15} + \left(17 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{17} + \left(6 a^{7} + 19 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{18} + \left(17 a^{7} + 16 a^{6} + 17 a^{5} + a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{19} + \left(15 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{20} + \left(22 a^{7} + 22 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 21 a^{3} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{21} + \left(22 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 17 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{22} + \left(20 a^{7} + 12 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 17 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(4 a^{7} + 10 a^{5} + 9 a^{4} + 19 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{24} + \left(12 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 20 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{25} + \left(17 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{26} + \left(9 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{27} + \left(10 a^{7} + 2 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{28} + \left(18 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 14 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(16 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 17 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
| $r_{ 17 }$ | $=$ | $ 19 a^{7} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 13 + \left(7 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23 + \left(4 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{7} + 19 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{7} + 14 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 17 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{7} + 2 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a^{7} + 3 a^{6} + 15 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{9} + \left(22 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 20 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{10} + \left(15 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{7} + 18 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{12} + \left(8 a^{7} + 21 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{13} + \left(8 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{14} + \left(3 a^{7} + 19 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{16} + \left(21 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{17} + \left(19 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{18} + \left(8 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{19} + \left(4 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{20} + \left(3 a^{7} + 16 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{7} + 17 a^{6} + 6 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{22} + \left(11 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{23} + \left(5 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(15 a^{7} + 18 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{25} + \left(21 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{26} + \left(6 a^{7} + 20 a^{6} + 3 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{27} + \left(17 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{28} + \left(18 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(19 a^{7} + 14 a^{6} + 5 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{30} +O\left(23^{ 31 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 17 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 17 }$ | Character values |
| $c1$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $16$ |
| $17$ | $2$ | $(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)(9,17)$ | $0$ |
| $17$ | $4$ | $(2,16,10,8)(3,7,11,15)(4,17,12,9)(5,14,13,6)$ | $0$ |
| $17$ | $4$ | $(2,8,10,16)(3,15,11,7)(4,9,12,17)(5,6,13,14)$ | $0$ |
| $17$ | $8$ | $(2,11,16,15,10,3,8,7)(4,13,17,6,12,5,9,14)$ | $0$ |
| $17$ | $8$ | $(2,15,8,11,10,7,16,3)(4,6,9,13,12,14,17,5)$ | $0$ |
| $17$ | $8$ | $(2,3,16,7,10,11,8,15)(4,5,17,14,12,13,9,6)$ | $0$ |
| $17$ | $8$ | $(2,7,8,3,10,15,16,11)(4,14,9,5,12,6,17,13)$ | $0$ |
| $17$ | $16$ | $(2,5,11,9,16,14,15,4,10,13,3,17,8,6,7,12)$ | $0$ |
| $17$ | $16$ | $(2,9,15,13,8,12,11,14,10,17,7,5,16,4,3,6)$ | $0$ |
| $17$ | $16$ | $(2,14,3,12,16,13,7,9,10,6,11,4,8,5,15,17)$ | $0$ |
| $17$ | $16$ | $(2,4,7,14,8,9,3,5,10,12,15,6,16,17,11,13)$ | $0$ |
| $17$ | $16$ | $(2,13,11,17,16,6,15,12,10,5,3,9,8,14,7,4)$ | $0$ |
| $17$ | $16$ | $(2,17,15,5,8,4,11,6,10,9,7,13,16,12,3,14)$ | $0$ |
| $17$ | $16$ | $(2,6,3,4,16,5,7,17,10,14,11,12,8,13,15,9)$ | $0$ |
| $17$ | $16$ | $(2,12,7,6,8,17,3,13,10,4,15,14,16,9,11,5)$ | $0$ |
| $16$ | $17$ | $(1,8,3,6,10,5,17,4,15,7,12,9,13,2,14,11,16)$ | $-1$ |