Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 181.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{3} + x + 28 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 26 a^{2} + 3 a + 28 + \left(2 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31 + \left(23 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{4} + \left(25 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{5} + \left(14 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{6} + \left(5 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{7} + \left(15 a + 21\right)\cdot 31^{8} + \left(2 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{9} + \left(16 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 31^{10} + \left(13 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 31^{11} + \left(15 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{12} + \left(23 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 31^{13} + \left(20 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{14} + \left(15 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{15} + \left(26 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 31^{16} + \left(13 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{17} + \left(6 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 31^{18} + \left(12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{19} + \left(2 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{20} + \left(11 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 31^{21} + \left(13 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{22} + \left(17 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 31^{23} + \left(5 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{24} + \left(21 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 31^{25} + 18 a\cdot 31^{26} + \left(17 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{27} + \left(2 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 31^{28} + \left(13 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{29} + \left(2 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 31^{30} + \left(a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{31} + \left(21 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{32} + \left(15 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{33} + \left(24 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{34} + \left(4 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{35} + \left(19 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{36} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{37} + \left(15 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{38} + \left(14 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{39} + \left(27 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 31^{40} + \left(3 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31^{41} + \left(21 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{42} + \left(18 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{43} + \left(20 a^{2} + 9\right)\cdot 31^{44} + \left(12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{45} + \left(6 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{46} + \left(8 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{47} + \left(7 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 31^{48} + \left(3 a + 8\right)\cdot 31^{49} + \left(11 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 31^{50} + \left(19 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{51} + \left(6 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{52} + \left(23 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 31^{53} + \left(26 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{54} + \left(5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{55} + \left(23 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{56} + \left(4 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{57} + \left(16 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 31^{58} + \left(9 a^{2} + 10\right)\cdot 31^{59} + \left(9 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 31^{60} + \left(28 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31^{61} + \left(13 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{62} + \left(6 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{63} + \left(27 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{64} + \left(19 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{65} + \left(26 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 31^{66} + \left(20 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 31^{67} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{68} + \left(19 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{69} + \left(4 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{70} + \left(23 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{71} + \left(17 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{72} + \left(a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{73} + \left(23 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{74} + \left(26 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{75} + \left(a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{76} + \left(17 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{77} + \left(18 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 31^{78} + \left(8 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{79} + \left(26 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{80} + \left(15 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{81} + \left(22 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{82} + \left(30 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{83} + \left(28 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{84} + \left(28 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 31^{85} + \left(18 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 31^{86} + \left(26 a^{2} + a + 26\right)\cdot 31^{87} + \left(20 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 31^{88} + \left(17 a^{2} + 14\right)\cdot 31^{89} + \left(7 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{90} + \left(12 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 31^{91} + \left(27 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{92} + \left(18 a + 13\right)\cdot 31^{93} + \left(14 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{94} + \left(22 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{95} + \left(11 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 31^{96} + \left(22 a^{2} + 11 a\right)\cdot 31^{97} + \left(27 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{98} + \left(16 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{99} + \left(15 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{100} + \left(14 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{101} + \left(4 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{102} + \left(5 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{103} + \left(28 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{104} + \left(16 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{105} + \left(14 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 31^{106} + \left(21 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{107} + \left(3 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 31^{108} + \left(14 a^{2} + 19 a\right)\cdot 31^{109} + \left(21 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{110} + \left(5 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{111} + \left(6 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 31^{112} + \left(8 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 31^{113} + \left(6 a^{2} + a + 12\right)\cdot 31^{114} + \left(14 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{115} + \left(18 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{116} + \left(3 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 31^{117} + \left(28 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{118} + \left(27 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{119} + \left(23 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{120} + \left(25 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{121} + \left(27 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{122} + \left(2 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{123} + \left(10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{124} + \left(11 a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31^{125} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{126} + \left(26 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 31^{127} + \left(28 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{128} + \left(4 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{129} + \left(24 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{130} + \left(15 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{131} + \left(28 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{132} + \left(21 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{133} + \left(21 a + 3\right)\cdot 31^{134} + \left(4 a + 3\right)\cdot 31^{135} + \left(4 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{136} + \left(18 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{137} + \left(20 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{138} + \left(13 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 31^{139} + \left(28 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{140} + \left(12 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{141} + \left(20 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{142} + \left(5 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31^{143} + \left(27 a^{2} + 23\right)\cdot 31^{144} + \left(9 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{145} + \left(a + 1\right)\cdot 31^{146} + \left(19 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 31^{147} + \left(23 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{148} + \left(27 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{149} + \left(9 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{150} + \left(15 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31^{151} + \left(11 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31^{152} + \left(12 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 31^{153} + \left(11 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{154} + \left(10 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31^{155} + \left(3 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{156} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{157} + \left(24 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 31^{158} + \left(11 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 31^{159} + \left(19 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 31^{160} + \left(11 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{161} + \left(17 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{162} + \left(12 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{163} + \left(26 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{164} + \left(8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 31^{165} + \left(16 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{166} + \left(28 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{167} + \left(22 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{168} + \left(22 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 31^{169} + \left(2 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{170} + \left(10 a^{2} + 6 a\right)\cdot 31^{171} + 18\cdot 31^{172} + \left(16 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 31^{173} + \left(9 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{174} + \left(27 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{175} + \left(18 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{176} + \left(18 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 31^{177} + \left(28 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 31^{178} + \left(14 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{179} + \left(13 a + 11\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 2 a + 24 + \left(14 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31 + \left(20 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{5} + \left(20 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 31^{6} + \left(12 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(21 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31^{8} + \left(24 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{9} + \left(8 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{10} + \left(6 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{11} + \left(28 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{12} + \left(25 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{13} + \left(27 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 31^{14} + \left(a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31^{15} + \left(21 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{16} + \left(24 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{17} + \left(25 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{18} + \left(28 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 31^{19} + \left(9 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 31^{20} + \left(8 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{21} + \left(6 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 31^{22} + \left(16 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 31^{23} + \left(24 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{24} + \left(12 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 31^{25} + \left(16 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31^{26} + \left(13 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{27} + \left(18 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{28} + \left(4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{29} + \left(27 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{30} + \left(22 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{31} + \left(19 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{32} + \left(29 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 31^{33} + \left(10 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{34} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{35} + \left(13 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 31^{36} + \left(16 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 31^{37} + \left(6 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 31^{38} + \left(30 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{39} + \left(7 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{40} + \left(6 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 31^{41} + \left(24 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{42} + \left(24 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{43} + \left(28 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{44} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{45} + \left(22 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{46} + \left(17 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{47} + \left(5 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 31^{48} + \left(6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{49} + \left(2 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{50} + \left(28 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 31^{51} + \left(11 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{52} + \left(25 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{53} + \left(24 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{54} + \left(9 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{55} + \left(11 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 31^{56} + \left(15 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{57} + \left(9 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{58} + \left(28 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 31^{59} + \left(30 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{60} + \left(7 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 31^{61} + \left(29 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{62} + \left(16 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 31^{63} + \left(24 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 31^{64} + \left(6 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{65} + \left(8 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{66} + \left(27 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 31^{67} + \left(20 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{68} + \left(15 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{69} + \left(a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 31^{70} + \left(17 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{71} + \left(24 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 31^{72} + \left(2 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{73} + \left(14 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 31^{74} + \left(28 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{75} + \left(27 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 31^{76} + \left(9 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 31^{77} + \left(23 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31^{78} + \left(a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{79} + \left(13 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 31^{80} + \left(27 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 31^{81} + \left(11 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{82} + \left(16 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 31^{83} + \left(5 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{84} + \left(5 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 31^{85} + \left(30 a^{2} + a + 14\right)\cdot 31^{86} + \left(7 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31^{87} + \left(20 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 31^{88} + \left(19 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{89} + \left(29 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{90} + \left(13 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{91} + \left(27 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 31^{92} + \left(13 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{93} + \left(12 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 31^{94} + \left(8 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{95} + \left(a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{96} + \left(28 a^{2} + a + 9\right)\cdot 31^{97} + \left(11 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{98} + \left(13 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 31^{99} + \left(22 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{100} + \left(a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 31^{101} + \left(23 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{102} + \left(14 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 31^{103} + \left(30 a^{2} + 14\right)\cdot 31^{104} + \left(15 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 31^{105} + \left(21 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{106} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{107} + \left(26 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 31^{108} + \left(a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{109} + \left(12 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 31^{110} + \left(20 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{111} + \left(27 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{112} + \left(18 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 31^{113} + \left(a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{114} + \left(29 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 31^{115} + \left(20 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{116} + \left(20 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{117} + \left(19 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{118} + \left(18 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 31^{119} + \left(4 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 31^{120} + \left(22 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 31^{121} + \left(16 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{122} + \left(18 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 31^{123} + \left(16 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 31^{124} + \left(27 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{125} + \left(5 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{126} + \left(25 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 31^{127} + \left(8 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{128} + \left(12 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31^{129} + \left(3 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 31^{130} + \left(18 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{131} + \left(8 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 31^{132} + \left(16 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{133} + \left(4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{134} + \left(25 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 31^{135} + \left(6 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{136} + \left(9 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 31^{137} + \left(17 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{138} + \left(16 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{139} + \left(21 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{140} + \left(23 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{141} + \left(25 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{142} + \left(30 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{143} + \left(3 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{144} + \left(26 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{145} + \left(18 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{146} + \left(22 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{147} + \left(19 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{148} + \left(12 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{149} + \left(14 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{150} + \left(18 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 31^{151} + \left(13 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31^{152} + \left(28 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 31^{153} + \left(11 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{154} + \left(13 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{155} + \left(23 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{156} + \left(14 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{157} + \left(26 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{158} + \left(4 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{159} + \left(19 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{160} + \left(14 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 31^{161} + \left(13 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{162} + \left(21 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{163} + \left(13 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{164} + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{165} + \left(28 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{166} + \left(7 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 31^{167} + \left(20 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 31^{168} + \left(23 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 31^{169} + \left(6 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{170} + \left(2 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{171} + \left(26 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{172} + \left(3 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{173} + \left(4 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 31^{174} + \left(27 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{175} + \left(3 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{176} + \left(5 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{177} + \left(2 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{178} + \left(10 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 31^{179} + \left(14 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 13 a + 7 + \left(a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31 + \left(18 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{2} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{5} + \left(21 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(13 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(20 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{8} + \left(13 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{9} + \left(15 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 31^{10} + \left(7 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{11} + \left(7 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 31^{12} + \left(3 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{13} + \left(17 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{14} + \left(3 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{15} + \left(8 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 31^{16} + \left(24 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{17} + \left(8 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{18} + \left(18 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{19} + \left(18 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 31^{20} + \left(5 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{21} + \left(4 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{22} + \left(29 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{23} + \left(26 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{24} + \left(20 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31^{25} + \left(4 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 31^{26} + \left(5 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{27} + \left(6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 31^{28} + \left(10 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{29} + \left(3 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 31^{30} + \left(13 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{31} + \left(13 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{32} + \left(9 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{33} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{34} + \left(5 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{35} + \left(19 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{36} + \left(23 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 31^{37} + \left(19 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{38} + \left(a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{39} + \left(12 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{40} + \left(10 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{41} + \left(28 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 31^{42} + \left(19 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{43} + \left(18 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{44} + \left(16 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{45} + \left(20 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{46} + \left(15 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{47} + \left(10 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{48} + \left(18 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{49} + \left(16 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{50} + \left(22 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{51} + \left(30 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 31^{52} + \left(8 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 31^{53} + \left(11 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{54} + \left(9 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{55} + \left(17 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{56} + \left(19 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{57} + \left(15 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 31^{58} + \left(25 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{59} + \left(15 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 31^{60} + \left(26 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{61} + \left(21 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31^{62} + \left(23 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{63} + \left(6 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 31^{64} + \left(9 a^{2} + 16\right)\cdot 31^{65} + \left(22 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{66} + \left(11 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{67} + \left(3 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{68} + \left(7 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{69} + \left(23 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{70} + \left(5 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 31^{71} + \left(20 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{72} + \left(7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{73} + \left(12 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{74} + \left(30 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{75} + \left(30 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{76} + \left(22 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{77} + \left(12 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{78} + \left(18 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{79} + \left(19 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{80} + \left(23 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{81} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{82} + \left(23 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31^{83} + \left(24 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 31^{84} + \left(12 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 31^{85} + \left(24 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{86} + \left(5 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{87} + \left(29 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 31^{88} + \left(28 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 31^{89} + \left(9 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{90} + \left(22 a + 23\right)\cdot 31^{91} + \left(8 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{92} + \left(24 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{93} + \left(28 a + 24\right)\cdot 31^{94} + \left(28 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{95} + \left(14 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{96} + \left(25 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{97} + \left(a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 31^{98} + \left(a^{2} + 29 a + 14\right)\cdot 31^{99} + \left(15 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 31^{100} + \left(26 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 31^{101} + \left(8 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{102} + \left(21 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 31^{103} + \left(24 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{104} + \left(6 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{105} + \left(28 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 31^{106} + \left(20 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{107} + \left(28 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 31^{108} + \left(23 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 31^{109} + \left(8 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{110} + \left(13 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{111} + \left(14 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{112} + \left(2 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{113} + \left(26 a + 17\right)\cdot 31^{114} + \left(21 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{115} + \left(10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{116} + \left(11 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31^{117} + \left(17 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 31^{118} + \left(12 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 31^{119} + \left(7 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{120} + \left(11 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{121} + \left(13 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{122} + \left(19 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 31^{123} + \left(22 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 31^{124} + \left(16 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 31^{125} + \left(20 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{126} + \left(10 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 31^{127} + \left(8 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{128} + \left(3 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 31^{129} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{130} + \left(25 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31^{131} + \left(19 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{132} + \left(18 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{133} + \left(27 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{134} + \left(11 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{135} + \left(2 a^{2} + a + 23\right)\cdot 31^{136} + \left(26 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 31^{137} + \left(29 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 31^{138} + \left(18 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{139} + \left(15 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 31^{140} + \left(9 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{141} + \left(17 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 31^{142} + \left(2 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 31^{143} + \left(28 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{144} + \left(24 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{145} + \left(7 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 31^{146} + \left(17 a + 13\right)\cdot 31^{147} + \left(16 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 31^{148} + \left(23 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{149} + 19 a\cdot 31^{150} + \left(20 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{151} + \left(29 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{152} + \left(18 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{153} + \left(2 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{154} + \left(8 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{155} + \left(14 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 31^{156} + \left(a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{157} + \left(20 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{158} + \left(26 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 31^{159} + \left(26 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 31^{160} + \left(12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{161} + \left(2 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 31^{162} + \left(13 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 31^{163} + \left(18 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{164} + \left(30 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{165} + \left(26 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{166} + \left(13 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31^{167} + \left(11 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 31^{168} + \left(17 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{169} + \left(a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{170} + \left(22 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{171} + \left(19 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{172} + \left(16 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{173} + \left(14 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 31^{174} + \left(12 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{175} + \left(5 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 31^{176} + \left(27 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 31^{177} + \left(17 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{178} + \left(7 a + 4\right)\cdot 31^{179} + \left(8 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 23 a + 5 + \left(28 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 31 + \left(6 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(9 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 31^{6} + \left(3 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{7} + \left(19 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 31^{8} + \left(29 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 31^{9} + \left(18 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 31^{10} + \left(5 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{11} + \left(19 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 31^{12} + \left(23 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 31^{13} + \left(12 a^{2} + 20\right)\cdot 31^{14} + \left(5 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 31^{15} + \left(21 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{16} + \left(20 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{17} + \left(19 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{18} + \left(14 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 31^{19} + \left(3 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 31^{20} + \left(22 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 31^{21} + \left(9 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{22} + \left(10 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{23} + \left(16 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 31^{24} + \left(10 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{25} + \left(a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{26} + \left(14 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{27} + \left(28 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{28} + \left(10 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 31^{29} + \left(4 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{30} + \left(11 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{31} + \left(30 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 31^{32} + \left(9 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 31^{33} + \left(23 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{34} + \left(18 a + 15\right)\cdot 31^{35} + \left(17 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 31^{36} + \left(30 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 31^{37} + \left(22 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 31^{38} + \left(17 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{39} + \left(13 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 31^{40} + \left(28 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{41} + \left(29 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{42} + \left(9 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 31^{43} + \left(13 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 31^{44} + \left(30 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{45} + \left(7 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{46} + \left(24 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 31^{47} + \left(22 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 31^{48} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31^{49} + \left(5 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 31^{50} + \left(a^{2} + 21\right)\cdot 31^{51} + \left(11 a + 6\right)\cdot 31^{52} + \left(10 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 31^{53} + \left(4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 31^{54} + \left(14 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{55} + \left(6 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{56} + \left(8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{57} + \left(a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 31^{58} + \left(7 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{59} + \left(17 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 31^{60} + \left(18 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{61} + \left(23 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{62} + \left(30 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{63} + \left(26 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 31^{64} + \left(6 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 31^{65} + \left(30 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{66} + \left(27 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 31^{67} + \left(20 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{68} + \left(5 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 31^{69} + \left(3 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 31^{70} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 31^{71} + \left(19 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{72} + \left(21 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 31^{73} + \left(10 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{74} + \left(29 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{75} + \left(22 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{76} + \left(17 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{77} + \left(14 a^{2} + 24\right)\cdot 31^{78} + \left(18 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{79} + \left(7 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{80} + \left(29 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 31^{81} + \left(25 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{82} + \left(27 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 31^{83} + \left(7 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31^{84} + \left(8 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{85} + \left(20 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{86} + \left(20 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{87} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{88} + \left(30 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 31^{89} + \left(14 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{90} + \left(6 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{91} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{92} + \left(18 a + 19\right)\cdot 31^{93} + \left(23 a + 23\right)\cdot 31^{94} + \left(6 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{95} + \left(10 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 31^{96} + \left(27 a^{2} + 1\right)\cdot 31^{97} + \left(21 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{98} + \left(19 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 31^{99} + \left(3 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{100} + \left(24 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 31^{101} + \left(10 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{102} + \left(5 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{103} + \left(20 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{104} + \left(30 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 31^{105} + \left(23 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{106} + \left(9 a^{2} + 16 a\right)\cdot 31^{107} + \left(15 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 31^{108} + \left(4 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{109} + \left(14 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{110} + \left(29 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{111} + \left(28 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 31^{112} + \left(15 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{113} + \left(4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 31^{114} + \left(6 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 31^{115} + \left(2 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{116} + \left(16 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 31^{117} + \left(13 a^{2} + 11 a\right)\cdot 31^{118} + \left(20 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{119} + \left(20 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{120} + \left(9 a + 8\right)\cdot 31^{121} + \left(8 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 31^{122} + \left(25 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{123} + \left(4 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 31^{124} + \left(2 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{125} + \left(2 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 31^{126} + \left(27 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{127} + \left(28 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{128} + \left(10 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{129} + \left(17 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31^{130} + \left(8 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{131} + \left(4 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{132} + \left(28 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 31^{133} + \left(15 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{134} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{135} + \left(30 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 31^{136} + \left(17 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{137} + \left(19 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{138} + \left(6 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 31^{139} + \left(28 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{140} + \left(22 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{141} + \left(25 a^{2} + a\right)\cdot 31^{142} + \left(30 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{143} + \left(6 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{144} + \left(28 a + 2\right)\cdot 31^{145} + \left(7 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 31^{146} + \left(11 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{147} + \left(23 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 31^{148} + \left(11 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{149} + \left(23 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 31^{150} + \left(23 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 31^{151} + \left(16 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{152} + \left(11 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{153} + \left(12 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{154} + \left(11 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 31^{155} + \left(26 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 31^{156} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{157} + \left(25 a + 2\right)\cdot 31^{158} + \left(7 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 31^{159} + \left(22 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{160} + \left(6 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 31^{161} + \left(23 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 31^{162} + \left(19 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{163} + \left(20 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 31^{164} + \left(3 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 31^{165} + \left(9 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{166} + \left(7 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{167} + \left(23 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 31^{168} + \left(12 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 31^{169} + \left(17 a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 31^{170} + \left(28 a + 20\right)\cdot 31^{171} + \left(28 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 31^{172} + \left(30 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{173} + \left(24 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{174} + \left(9 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{175} + \left(12 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{176} + \left(29 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 31^{177} + \left(16 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{178} + \left(24 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 31^{179} + \left(2 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{2} + 28 a + 6 + \left(13 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 31 + \left(15 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 31^{2} + \left(15 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(12 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 31^{4} + \left(21 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{5} + \left(24 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(16 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{9} + \left(10 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{10} + \left(15 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{11} + \left(4 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{12} + \left(29 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{13} + \left(4 a^{2} + 11 a\right)\cdot 31^{14} + \left(19 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{15} + \left(29 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{16} + \left(6 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 31^{17} + \left(27 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 31^{18} + \left(22 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{19} + \left(6 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{20} + \left(23 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 31^{21} + \left(7 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{22} + \left(3 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 31^{23} + \left(18 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{24} + \left(17 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 31^{25} + \left(5 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 31^{26} + \left(3 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{27} + \left(17 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{28} + \left(2 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 31^{29} + \left(3 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 31^{30} + \left(30 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{31} + \left(11 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 31^{32} + \left(28 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{33} + \left(19 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{34} + \left(8 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{35} + \left(27 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 31^{36} + \left(30 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 31^{37} + \left(6 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{38} + \left(22 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{39} + \left(2 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 31^{40} + \left(27 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 31^{41} + \left(13 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 31^{42} + \left(5 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{43} + \left(11 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{44} + 9 a^{2}31^{45} + \left(13 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{46} + \left(2 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 31^{47} + \left(24 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 31^{48} + \left(25 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{49} + \left(12 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 31^{50} + \left(19 a^{2} + a + 19\right)\cdot 31^{51} + \left(17 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 31^{52} + \left(5 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{53} + \left(19 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 31^{54} + \left(25 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{55} + \left(7 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31^{56} + \left(12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{57} + \left(22 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{58} + \left(23 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{59} + \left(23 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{60} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 31^{61} + \left(28 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{62} + \left(14 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{63} + \left(30 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 31^{64} + \left(18 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{65} + \left(17 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 31^{66} + \left(30 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{67} + \left(20 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{68} + \left(6 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{69} + \left(18 a^{2} + 4\right)\cdot 31^{70} + \left(5 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{71} + \left(21 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 31^{72} + \left(18 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 31^{73} + \left(22 a^{2} + a + 18\right)\cdot 31^{74} + \left(23 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 31^{75} + \left(5 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{76} + \left(10 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{77} + \left(4 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 31^{78} + \left(2 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 31^{79} + \left(13 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{80} + \left(5 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{81} + \left(19 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{82} + \left(10 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{83} + \left(11 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 31^{84} + \left(3 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{85} + \left(16 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{86} + \left(28 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 31^{87} + \left(a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 31^{88} + \left(9 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 31^{89} + \left(26 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 31^{90} + \left(24 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 31^{91} + \left(13 a^{2} + a + 5\right)\cdot 31^{92} + \left(30 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 31^{93} + \left(16 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{94} + \left(5 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 31^{95} + \left(13 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{96} + \left(24 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{97} + \left(13 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 31^{98} + \left(8 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{99} + \left(6 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 31^{100} + \left(23 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 31^{101} + \left(19 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{102} + \left(3 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{103} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{104} + \left(2 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 31^{105} + \left(25 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{106} + \left(20 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{107} + \left(15 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{108} + \left(30 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{109} + \left(10 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 31^{110} + \left(29 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{111} + \left(29 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 31^{112} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 31^{113} + \left(16 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{114} + \left(3 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 31^{115} + \left(25 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{116} + \left(19 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{117} + \left(13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{118} + \left(30 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 31^{119} + \left(14 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{120} + \left(21 a + 16\right)\cdot 31^{121} + \left(12 a + 18\right)\cdot 31^{122} + \left(28 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{123} + \left(20 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 31^{124} + \left(24 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{125} + \left(9 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 31^{126} + \left(24 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{127} + \left(8 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{128} + \left(5 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 31^{129} + \left(16 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{130} + \left(11 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{131} + \left(12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 31^{132} + \left(14 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{133} + \left(16 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 31^{134} + \left(10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 31^{135} + \left(11 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 31^{136} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 31^{137} + \left(28 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{138} + \left(10 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 31^{139} + \left(10 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 31^{140} + \left(15 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{141} + \left(27 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{142} + \left(21 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{143} + \left(25 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{144} + \left(17 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 31^{145} + \left(15 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{146} + \left(4 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 31^{147} + \left(3 a^{2} + a + 29\right)\cdot 31^{148} + \left(22 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 31^{149} + \left(9 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 31^{150} + \left(12 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 31^{151} + \left(8 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 31^{152} + \left(7 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{153} + \left(7 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 31^{154} + \left(7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{155} + \left(22 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 31^{156} + \left(21 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{157} + \left(6 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{158} + \left(29 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 31^{159} + \left(20 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{160} + \left(29 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 31^{161} + \left(4 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{162} + \left(a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 31^{163} + \left(8 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{164} + \left(13 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{165} + \left(21 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 31^{166} + \left(20 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 31^{167} + \left(21 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 31^{168} + \left(a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 31^{169} + \left(15 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 31^{170} + \left(28 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 31^{171} + \left(9 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 31^{172} + \left(14 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 31^{173} + \left(25 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 31^{174} + \left(6 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 31^{175} + \left(21 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 31^{176} + \left(22 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{177} + \left(3 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{178} + \left(24 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{179} + \left(27 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 17 a^{2} + 3 a + 22 + \left(23 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31 + \left(4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 31^{3} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 31^{5} + \left(5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 31^{7} + \left(11 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 31^{8} + \left(8 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 31^{9} + \left(6 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{10} + \left(18 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 31^{11} + \left(6 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{12} + \left(7 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{13} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 31^{14} + \left(24 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{15} + \left(a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{16} + \left(21 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{17} + \left(24 a^{2} + 25\right)\cdot 31^{18} + \left(28 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 31^{19} + \left(28 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{20} + \left(28 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{21} + \left(17 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{22} + \left(14 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 31^{23} + \left(14 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{24} + \left(7 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{25} + \left(3 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 31^{26} + \left(22 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 31^{27} + \left(7 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 31^{28} + \left(10 a + 9\right)\cdot 31^{29} + \left(9 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{30} + \left(7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 31^{31} + \left(19 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 31^{32} + \left(17 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 31^{33} + \left(11 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{34} + \left(2 a + 11\right)\cdot 31^{35} + \left(15 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{36} + \left(27 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 31^{37} + \left(2 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{38} + \left(5 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 31^{39} + \left(20 a^{2} + 21\right)\cdot 31^{40} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{41} + \left(29 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{42} + \left(14 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 31^{43} + \left(12 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 31^{44} + \left(11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 31^{45} + \left(24 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{46} + \left(13 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 31^{47} + \left(7 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 31^{48} + \left(30 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 31^{49} + \left(10 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{50} + \left(24 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{51} + \left(11 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{52} + \left(a + 21\right)\cdot 31^{53} + \left(12 a + 6\right)\cdot 31^{54} + \left(12 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 31^{55} + \left(26 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 31^{56} + \left(23 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 31^{57} + \left(27 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{58} + \left(16 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 31^{59} + \left(30 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{60} + \left(28 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 31^{61} + \left(19 a^{2} + 3 a\right)\cdot 31^{62} + \left(2 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 31^{63} + \left(15 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{64} + \left(27 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{65} + \left(13 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 31^{66} + \left(8 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 31^{67} + \left(11 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 31^{68} + \left(4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{69} + \left(15 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 31^{70} + \left(26 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 31^{71} + \left(18 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 31^{72} + \left(2 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{73} + \left(26 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{74} + \left(14 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 31^{75} + \left(20 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{76} + \left(9 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 31^{77} + \left(14 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 31^{78} + \left(21 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 31^{79} + \left(26 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 31^{80} + \left(27 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{81} + \left(29 a^{2} + 29 a + 25\right)\cdot 31^{82} + \left(24 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{83} + \left(18 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 31^{84} + \left(11 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{85} + \left(30 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{86} + \left(30 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{87} + \left(16 a^{2} + 27 a\right)\cdot 31^{88} + \left(12 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{89} + \left(26 a^{2} + 26 a\right)\cdot 31^{90} + \left(16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{91} + \left(22 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 31^{92} + \left(19 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 31^{93} + \left(12 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 31^{94} + \left(19 a^{2} + a + 2\right)\cdot 31^{95} + \left(24 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{96} + \left(16 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{97} + \left(8 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{98} + \left(26 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 31^{99} + \left(16 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 31^{100} + \left(12 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{101} + \left(25 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{102} + \left(30 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 31^{103} + \left(29 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 31^{104} + \left(22 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 31^{105} + \left(10 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 31^{106} + \left(4 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{107} + \left(22 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{108} + \left(5 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{109} + \left(5 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{110} + \left(21 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{111} + \left(14 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{112} + \left(15 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 31^{113} + \left(5 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 31^{114} + \left(22 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{115} + \left(27 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 31^{116} + \left(10 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 31^{117} + \left(29 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 31^{118} + \left(13 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{119} + \left(5 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 31^{120} + \left(13 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 31^{121} + \left(30 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 31^{122} + \left(16 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{123} + \left(10 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 31^{124} + \left(7 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 31^{125} + \left(2 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{126} + \left(7 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 31^{127} + \left(16 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{128} + \left(27 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{129} + \left(23 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{130} + \left(9 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 31^{131} + \left(23 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 31^{132} + \left(23 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 31^{133} + \left(16 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 31^{134} + \left(19 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{135} + \left(8 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{136} + \left(19 a^{2} + 8\right)\cdot 31^{137} + \left(5 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 31^{138} + \left(21 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 31^{139} + \left(20 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 31^{140} + \left(19 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31^{141} + \left(30 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{142} + \left(4 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 31^{143} + \left(17 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 31^{144} + \left(2 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 31^{145} + \left(21 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 31^{146} + \left(14 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 31^{147} + \left(21 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 31^{148} + \left(2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 31^{149} + \left(20 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 31^{150} + \left(11 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 31^{151} + \left(23 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 31^{152} + \left(2 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{153} + \left(25 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{154} + \left(17 a + 25\right)\cdot 31^{155} + \left(8 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{156} + \left(5 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 31^{157} + \left(2 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 31^{158} + \left(12 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{159} + \left(5 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{160} + \left(11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 31^{161} + \left(8 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 31^{162} + \left(9 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 31^{163} + \left(13 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{164} + \left(28 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 31^{165} + \left(18 a + 10\right)\cdot 31^{166} + \left(a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 31^{167} + \left(21 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 31^{168} + \left(18 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{169} + \left(14 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 31^{170} + \left(3 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{171} + \left(4 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 31^{172} + \left(19 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 31^{173} + \left(10 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{174} + \left(16 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 31^{175} + \left(a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{176} + \left(20 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 31^{177} + \left(27 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{178} + \left(28 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{179} + \left(7 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 19 a^{2} + 25 a + 13 + \left(4 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31 + \left(3 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 31^{3} + \left(13 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 31^{4} + \left(29 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{5} + \left(10 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{6} + \left(28 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 31^{7} + \left(18 a^{2} + a + 2\right)\cdot 31^{8} + \left(20 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31^{9} + \left(8 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{10} + \left(30 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 31^{11} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{12} + \left(2 a + 9\right)\cdot 31^{13} + \left(2 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 31^{14} + \left(22 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{15} + \left(2 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{16} + \left(27 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 31^{17} + \left(30 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 31^{18} + \left(20 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{19} + \left(30 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 31^{20} + \left(21 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 31^{21} + \left(30 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{22} + \left(29 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 31^{23} + \left(10 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 31^{24} + \left(2 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{25} + \left(27 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 31^{26} + \left(22 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{27} + \left(20 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{28} + \left(17 a^{2} + 7 a\right)\cdot 31^{29} + \left(19 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 31^{30} + \left(22 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 31^{31} + \left(21 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 31^{32} + \left(28 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{33} + \left(25 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 31^{34} + \left(25 a^{2} + 3 a + 28\right)\cdot 31^{35} + \left(27 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{36} + \left(25 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{37} + \left(12 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 31^{38} + \left(11 a^{2} + 15 a\right)\cdot 31^{39} + \left(14 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 31^{40} + \left(16 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{41} + \left(11 a^{2} + a + 23\right)\cdot 31^{42} + \left(28 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 31^{43} + \left(28 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{44} + \left(6 a^{2} + a + 17\right)\cdot 31^{45} + \left(2 a + 20\right)\cdot 31^{46} + \left(9 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 31^{47} + \left(16 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 31^{48} + \left(13 a + 8\right)\cdot 31^{49} + \left(9 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 31^{50} + \left(18 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 31^{51} + \left(12 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 31^{52} + \left(7 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{53} + \left(4 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 31^{54} + \left(13 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 31^{55} + \left(12 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 31^{56} + \left(2 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 31^{57} + \left(18 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{58} + \left(4 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{59} + \left(22 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{60} + \left(4 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 31^{61} + \left(28 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 31^{62} + \left(21 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 31^{63} + \left(19 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 31^{64} + \left(14 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{65} + \left(21 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{66} + \left(a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 31^{67} + \left(13 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 31^{68} + \left(7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 31^{69} + \left(11 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 31^{70} + \left(12 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 31^{71} + \left(25 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 31^{72} + \left(26 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 31^{73} + \left(12 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 31^{74} + \left(20 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 31^{75} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 31^{76} + \left(4 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 31^{77} + \left(29 a^{2} + 25 a\right)\cdot 31^{78} + \left(27 a + 15\right)\cdot 31^{79} + \left(9 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 31^{80} + \left(18 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 31^{81} + \left(9 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{82} + \left(6 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 31^{83} + \left(14 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 31^{84} + \left(21 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{85} + \left(12 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 31^{86} + \left(4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{87} + \left(24 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 31^{88} + \left(2 a + 13\right)\cdot 31^{89} + \left(28 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{90} + \left(a^{2} + 5 a\right)\cdot 31^{91} + \left(12 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{92} + \left(10 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 31^{93} + \left(4 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 31^{94} + \left(20 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 31^{95} + \left(25 a^{2} + 3 a\right)\cdot 31^{96} + \left(22 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 31^{97} + \left(25 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 31^{98} + \left(18 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 31^{99} + \left(29 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{100} + \left(3 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 31^{101} + \left(a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 31^{102} + \left(26 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 31^{103} + \left(3 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 31^{104} + \left(22 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31^{105} + \left(5 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 31^{106} + \left(5 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31^{107} + \left(5 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 31^{108} + \left(11 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 31^{109} + \left(4 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 31^{110} + \left(4 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 31^{111} + \left(10 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 31^{112} + \left(7 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{113} + \left(19 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{114} + \left(25 a^{2} + 6\right)\cdot 31^{115} + \left(15 a^{2} + 3\right)\cdot 31^{116} + \left(16 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{117} + \left(4 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 31^{118} + \left(20 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 31^{119} + \left(a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 31^{120} + \left(23 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{121} + \left(3 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 31^{122} + \left(11 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{123} + \left(10 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 31^{124} + \left(12 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 31^{125} + \left(20 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 31^{126} + \left(28 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{127} + \left(16 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 31^{128} + \left(29 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 31^{129} + \left(13 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 31^{130} + \left(5 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 31^{131} + \left(10 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{132} + \left(16 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 31^{133} + \left(13 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{134} + \left(11 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{135} + \left(18 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{136} + \left(24 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 31^{137} + \left(4 a^{2} + 23 a + 26\right)\cdot 31^{138} + \left(27 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{139} + \left(12 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31^{140} + \left(29 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 31^{141} + \left(10 a^{2} + a + 25\right)\cdot 31^{142} + \left(20 a^{2} + a + 7\right)\cdot 31^{143} + \left(17 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 31^{144} + \left(18 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 31^{145} + \left(9 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 31^{146} + \left(28 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{147} + \left(16 a^{2} + 3 a\right)\cdot 31^{148} + 17 a\cdot 31^{149} + \left(a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 31^{150} + \left(4 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 31^{151} + \left(27 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{152} + \left(15 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 31^{153} + \left(25 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31^{154} + \left(19 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 31^{155} + \left(19 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{156} + \left(22 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{157} + \left(4 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{158} + \left(7 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31^{159} + \left(6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{160} + \left(8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 31^{161} + \left(5 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 31^{162} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 31^{163} + \left(22 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 31^{164} + \left(24 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 31^{165} + \left(13 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{166} + \left(a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 31^{167} + \left(18 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 31^{168} + \left(20 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 31^{169} + \left(13 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{170} + \left(17 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 31^{171} + \left(26 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{172} + \left(26 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 31^{173} + \left(10 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{174} + \left(18 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 31^{175} + \left(10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 31^{176} + \left(23 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 31^{177} + \left(5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{178} + \left(18 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 31^{179} + \left(22 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 15 a^{2} + a + 30 + \left(3 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 31 + \left(26 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(13 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 31^{4} + \left(23 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{5} + \left(16 a^{2} + 3 a\right)\cdot 31^{6} + \left(20 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{7} + \left(23 a^{2} + 8 a\right)\cdot 31^{8} + \left(16 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 31^{9} + \left(11 a^{2} + a + 30\right)\cdot 31^{10} + \left(9 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 31^{11} + \left(29 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 31^{12} + \left(6 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{13} + \left(29 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 31^{14} + \left(9 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 31^{15} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{16} + \left(30 a^{2} + 5 a\right)\cdot 31^{17} + \left(8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{18} + \left(10 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 31^{19} + \left(14 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 31^{20} + \left(30 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 31^{21} + \left(16 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 31^{22} + \left(11 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 31^{23} + \left(19 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 31^{24} + \left(22 a + 22\right)\cdot 31^{25} + \left(9 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 31^{26} + \left(14 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 31^{27} + \left(26 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 31^{28} + \left(23 a^{2} + 24\right)\cdot 31^{29} + \left(7 a + 27\right)\cdot 31^{30} + \left(9 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 31^{31} + \left(30 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 31^{32} + \left(3 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 31^{33} + \left(4 a + 24\right)\cdot 31^{34} + \left(19 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 31^{35} + \left(21 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 31^{36} + \left(14 a^{2} + 28 a\right)\cdot 31^{37} + \left(17 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 31^{38} + \left(9 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{39} + \left(20 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{40} + \left(28 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 31^{41} + \left(23 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 31^{42} + \left(13 a + 11\right)\cdot 31^{43} + \left(22 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 31^{44} + \left(16 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 31^{45} + \left(26 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{46} + \left(10 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 31^{47} + \left(a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 31^{48} + \left(30 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 31^{49} + \left(15 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 31^{50} + \left(14 a^{2} + 26\right)\cdot 31^{51} + \left(a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{52} + 17\cdot 31^{53} + \left(18 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 31^{54} + \left(26 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 31^{55} + \left(11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{56} + \left(3 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 31^{57} + \left(30 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 31^{58} + \left(9 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31^{59} + \left(7 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{60} + \left(15 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 31^{61} + \left(4 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 31^{62} + \left(30 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 31^{63} + \left(6 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 31^{64} + \left(5 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31^{65} + \left(5 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 31^{66} + \left(4 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{67} + \left(20 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 31^{68} + \left(8 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 31^{69} + \left(11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 31^{70} + \left(8 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 31^{71} + \left(16 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{72} + \left(9 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 31^{73} + \left(25 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 31^{74} + \left(9 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 31^{75} + \left(28 a^{2} + a + 28\right)\cdot 31^{76} + \left(10 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 31^{77} + \left(3 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 31^{78} + \left(27 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 31^{79} + \left(4 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{80} + \left(29 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{81} + \left(30 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{82} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 31^{83} + \left(14 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 31^{84} + \left(22 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 31^{85} + \left(15 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 31^{86} + \left(25 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{87} + \left(8 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 31^{88} + \left(2 a^{2} + 11\right)\cdot 31^{89} + \left(6 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 31^{90} + \left(23 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 31^{91} + \left(20 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 31^{92} + \left(17 a^{2} + a + 10\right)\cdot 31^{93} + \left(a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 31^{94} + \left(17 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{95} + \left(16 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{96} + \left(9 a^{2} + a + 27\right)\cdot 31^{97} + \left(5 a^{2} + a + 20\right)\cdot 31^{98} + \left(9 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 31^{99} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{100} + \left(6 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{101} + \left(19 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 31^{102} + \left(12 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 31^{103} + \left(26 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 31^{104} + \left(12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 31^{105} + \left(15 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 31^{106} + \left(5 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 31^{107} + \left(20 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 31^{108} + \left(29 a^{2} + a + 4\right)\cdot 31^{109} + \left(7 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 31^{110} + \left(12 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 31^{111} + \left(4 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 31^{112} + \left(5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{113} + \left(13 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 31^{114} + \left(29 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{115} + \left(15 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{116} + \left(21 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 31^{117} + \left(28 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 31^{118} + \left(12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 31^{119} + \left(11 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 31^{120} + \left(8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 31^{121} + \left(14 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 31^{122} + \left(15 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 31^{123} + \left(24 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 31^{124} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 31^{125} + \left(15 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 31^{126} + \left(12 a^{2} + 22\right)\cdot 31^{127} + \left(13 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 31^{128} + \left(13 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 31^{129} + \left(11 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{130} + \left(a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 31^{131} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 31^{132} + \left(12 a + 25\right)\cdot 31^{133} + \left(10 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 31^{134} + \left(26 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{135} + \left(12 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 31^{136} + \left(13 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 31^{137} + \left(16 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 31^{138} + \left(3 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 31^{139} + \left(30 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 31^{140} + \left(22 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 31^{141} + \left(8 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 31^{142} + \left(9 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 31^{143} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 31^{144} + \left(18 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{145} + \left(27 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 31^{146} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{147} + \left(8 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 31^{148} + \left(27 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 31^{149} + \left(6 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 31^{150} + \left(29 a + 15\right)\cdot 31^{151} + \left(9 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 31^{152} + \left(26 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 31^{153} + \left(11 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{154} + \left(10 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{155} + \left(16 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{156} + \left(25 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 31^{157} + \left(28 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 31^{158} + \left(27 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 31^{159} + \left(21 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31^{160} + \left(17 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 31^{161} + \left(12 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 31^{162} + \left(8 a^{2} + 21\right)\cdot 31^{163} + \left(9 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 31^{164} + \left(10 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{165} + \left(12 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{166} + \left(2 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 31^{167} + \left(20 a^{2} + a + 16\right)\cdot 31^{168} + \left(5 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 31^{169} + \left(9 a^{2} + 22 a\right)\cdot 31^{170} + \left(29 a + 6\right)\cdot 31^{171} + \left(26 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 31^{172} + \left(12 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 31^{173} + \left(a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 31^{174} + \left(28 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 31^{175} + \left(5 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 31^{176} + \left(3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31^{177} + \left(25 a^{2} + a + 21\right)\cdot 31^{178} + \left(27 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{179} + \left(19 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{2} + 26 a + 22 + \left(a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 31 + \left(6 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 31^{2} + \left(30 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 31^{5} + 10 a\cdot 31^{6} + \left(14 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 31^{7} + \left(22 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{8} + \left(18 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 31^{9} + \left(27 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 31^{10} + \left(17 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 31^{11} + \left(4 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{12} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 31^{13} + \left(a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 31^{14} + \left(22 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 31^{15} + \left(a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 31^{16} + \left(17 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 31^{17} + \left(2 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 31^{18} + \left(29 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{19} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 31^{20} + \left(3 a^{2} + 17 a\right)\cdot 31^{21} + \left(17 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 31^{22} + \left(22 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 31^{23} + \left(18 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 31^{24} + \left(30 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 31^{25} + \left(24 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 31^{26} + \left(11 a^{2} + a + 6\right)\cdot 31^{27} + \left(27 a^{2} + 29\right)\cdot 31^{28} + \left(9 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 31^{29} + \left(23 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 31^{30} + \left(6 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 31^{31} + \left(18 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 31^{32} + \left(11 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 31^{33} + \left(2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 31^{34} + \left(25 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{35} + \left(25 a^{2} + 15\right)\cdot 31^{36} + \left(7 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 31^{37} + \left(19 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 31^{38} + \left(11 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 31^{39} + \left(5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 31^{40} + \left(23 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{41} + \left(3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 31^{42} + \left(a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{43} + \left(30 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{44} + \left(14 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 31^{45} + \left(2 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 31^{46} + \left(22 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 31^{47} + \left(28 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 31^{48} + \left(6 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 31^{49} + \left(9 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 31^{50} + \left(7 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 31^{51} + \left(22 a + 27\right)\cdot 31^{52} + \left(12 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 31^{53} + \left(15 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 31^{54} + \left(7 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{55} + \left(7 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 31^{56} + \left(3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{57} + \left(14 a^{2} + 12\right)\cdot 31^{58} + \left(29 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 31^{59} + \left(28 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 31^{60} + \left(16 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 31^{61} + \left(16 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 31^{62} + \left(7 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 31^{63} + \left(28 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 31^{64} + \left(14 a^{2} + 24 a\right)\cdot 31^{65} + \left(9 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{66} + \left(22 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 31^{67} + \left(6 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 31^{68} + \left(18 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 31^{69} + \left(4 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 31^{70} + \left(24 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 31^{71} + \left(22 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 31^{72} + \left(a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 31^{73} + \left(8 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{74} + \left(2 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 31^{75} + \left(8 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{76} + \left(21 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 31^{77} + \left(3 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 31^{78} + \left(25 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{79} + \left(3 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 31^{80} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{81} + \left(26 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 31^{82} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 31^{83} + \left(29 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 31^{84} + \left(9 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 31^{85} + \left(17 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 31^{86} + \left(4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 31^{87} + \left(24 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{88} + \left(2 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 31^{89} + \left(6 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 31^{90} + \left(24 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 31^{91} + \left(18 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 31^{92} + \left(6 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 31^{93} + \left(30 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 31^{94} + \left(27 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 31^{95} + \left(5 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31^{96} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 31^{97} + \left(7 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 31^{98} + \left(10 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{99} + \left(12 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 31^{100} + \left(11 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 31^{101} + \left(11 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{102} + \left(4 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 31^{103} + \left(17 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 31^{104} + \left(24 a^{2} + 20 a\right)\cdot 31^{105} + \left(9 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 31^{106} + \left(27 a + 25\right)\cdot 31^{107} + \left(18 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 31^{108} + \left(2 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 31^{109} + \left(8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 31^{110} + \left(19 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 31^{111} + \left(18 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 31^{112} + \left(12 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{113} + \left(26 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{114} + \left(3 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 31^{115} + \left(18 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 31^{116} + \left(3 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 31^{117} + \left(30 a + 11\right)\cdot 31^{118} + \left(29 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 31^{119} + \left(2 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 31^{120} + \left(19 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 31^{121} + \left(9 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 31^{122} + \left(17 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 31^{123} + \left(3 a^{2} + 2\right)\cdot 31^{124} + \left(12 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 31^{125} + \left(8 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 31^{126} + \left(24 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 31^{127} + \left(24 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 31^{128} + \left(16 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 31^{129} + \left(7 a^{2} + 30 a\right)\cdot 31^{130} + \left(28 a^{2} + a + 8\right)\cdot 31^{131} + \left(6 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 31^{132} + \left(15 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 31^{133} + \left(18 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 31^{134} + \left(9 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 31^{135} + \left(29 a^{2} + 13 a\right)\cdot 31^{136} + \left(17 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 31^{137} + \left(12 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 31^{138} + \left(5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 31^{139} + \left(18 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{140} + \left(29 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 31^{141} + \left(18 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 31^{142} + \left(28 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 31^{143} + \left(26 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 31^{144} + \left(5 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 31^{145} + \left(16 a^{2} + a + 14\right)\cdot 31^{146} + \left(19 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 31^{147} + \left(22 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 31^{148} + \left(26 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 31^{149} + \left(6 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 31^{150} + \left(18 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{151} + \left(15 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 31^{152} + \left(23 a + 7\right)\cdot 31^{153} + \left(16 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 31^{154} + \left(11 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 31^{155} + \left(21 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 31^{156} + \left(19 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 31^{157} + \left(10 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 31^{158} + \left(28 a^{2} + 17\right)\cdot 31^{159} + \left(12 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 31^{160} + \left(11 a^{2} + 27\right)\cdot 31^{161} + \left(5 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 31^{162} + \left(29 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 31^{163} + \left(22 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 31^{164} + \left(27 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 31^{165} + \left(25 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 31^{166} + \left(9 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 31^{167} + \left(27 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 31^{168} + \left(20 a + 14\right)\cdot 31^{169} + \left(12 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 31^{170} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 31^{171} + \left(14 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 31^{172} + \left(14 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 31^{173} + \left(22 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 31^{174} + \left(8 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 31^{175} + \left(13 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 31^{176} + \left(5 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 31^{177} + \left(27 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 31^{178} + \left(5 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 31^{179} + \left(20 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 31^{180} +O\left(31^{ 181 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,2)(3,4)(7,8)$ |
| $(1,2,5)(3,6,4)(7,9,8)$ |
| $(5,6,9)$ |
| $(1,4,8)$ |
| $(2,3,7)$ |
| $(1,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$16$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,4)$ |
$0$ |
| $18$ |
$2$ |
$(1,2)(3,4)(7,8)$ |
$0$ |
| $27$ |
$2$ |
$(1,4)(2,3)(5,6)$ |
$0$ |
| $27$ |
$2$ |
$(1,4)(2,3)$ |
$0$ |
| $54$ |
$2$ |
$(1,4)(2,5)(3,6)(7,9)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(5,6,9)$ |
$-8$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,4,8)(2,3,7)(5,6,9)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$3$ |
$(1,4,8)(5,6,9)$ |
$4$ |
| $72$ |
$3$ |
$(1,2,5)(3,6,4)(7,9,8)$ |
$-2$ |
| $54$ |
$4$ |
$(1,3,4,2)(7,8)$ |
$0$ |
| $162$ |
$4$ |
$(1,6,4,5)(3,7)(8,9)$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,2)(3,4)(5,6,9)(7,8)$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,5,4,6,8,9)$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,4)(5,6,9)$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,4)(2,3,7)(5,6,9)$ |
$0$ |
| $54$ |
$6$ |
$(1,4)(2,3)(5,9,6)$ |
$0$ |
| $72$ |
$6$ |
$(1,2,4,3,8,7)(5,6,9)$ |
$0$ |
| $108$ |
$6$ |
$(1,4)(2,5,3,6,7,9)$ |
$0$ |
| $216$ |
$6$ |
$(1,3,6,4,2,5)(7,9,8)$ |
$0$ |
| $144$ |
$9$ |
$(1,2,5,4,3,6,8,7,9)$ |
$1$ |
| $108$ |
$12$ |
$(1,3,4,2)(5,6,9)(7,8)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
